Lösningen till problemet för de yngre vecka 39



Mattegåta

Pippi, Tommy och Annika delar på 100 godisbitar. Det är Pippi som delar in godisar i tre högar. Hon vet inte på förhand vem som ska få vilken hög, utan det slumpar de fram efter att hon delat.

Pippi vet att ifall Tommy och Annika får olika många godisbitar kommer det syskonet som fick mest ge överskottet till Pippi (så att Tommy och Annika till slut får lika mycket).

a) Vilka högar ska Pippi skapa för att få exakt 80 godisbitar, varken mer eller mindre?
b) Kan Pippi skapa högar så att hon får exakt 65 godisbitar?

Diskussion

För att lösa a)-uppgiften kan man göra ett antagande som förenklar problemet. Man kan nämligen anta att två av högarna är exakt lika stora. Då skulle vi bara behöva testa två av fall: att Pippi får den unika högen eller att Pippi får en av de två likadana.

Det visar sig att det går att hitta på sådana högar (se lösningen nedan).

På b)-uppgiften är svaret “nej” och då kan man förstås inte göra några förenklande antaganden. Där ska man visa att det aldrig går hur högarna än ser ut. För att bevisa detta ställer vi upp ekvationer.

Lösning (av Toomas Liiv, något modifierad)

a)

För att vara säker på att få 80 godisbitar bör hon skapa en hög med 80 bitar och två högar med 10 bitar i varje.

Om hon får den första högen med 80 bitar kommer syskonens respektive högar att sakna differens, vilket betyder att Pippi får 80 bitar.

Om hon får en hög med 10 bitar i kommer differensen mellan syskonens högar vara 70, vilket överförs till Pippi, så att hon får 80 bitar.

I de båda möjliga fallen kommer hon garanterat att ha 80 bitar i slutändan.

b)

Antag att den första högen innehåller x bitar, den andra y bitar och den tredje z bitar. Vi vet att x+y+z=100 och att x, y och z tillhör de positiva heltalen.

För enkelhetens skull: Antag att Pippi alltid får högen med x bitar och att av y och z är y alltid större än eller lika med z. Då kommer Pippis slutgiltiga summa att vara x+y-z, som ska vara lika med 65.

Om vi från ekvationen x+y+z=100 subtraherar ekvationen x+y-z=65 ledvis får vi

(x+y+z)-(x+y-z)=100-65 vilket är samma som

2z=35.

Den ekvationen saknar heltalslösningar. Alltså kan Pippi inte dela bitarna i högar så att hon med all säkerhet får 65 bitar.

2 reaktioner till “Lösningen till problemet för de yngre vecka 39”

  1. Naturligtvis finns det många fler lösningar till uppgift a. Från ekvationerna x+y+z=100 och x+y-z=80 (Pippi skall ha 80 bitar) får vi att x+y=90. Dvs, så länge som summan av det Pippi fått och av det en av syskonen fått är lika med 90 så kommer Pippi slutändan få 80 bitar. Det är ju detsamma som att ett av syskonen alltid måste få 10 bitar. Andra exempel än de ovan nämnda: P 65, A 25, T 10 eller P 37, A 10, T 53.

  2. Johan: Nej, det där stämmer ju inte. Du bortser från att Pippi inte väljer vilken hög hon själv får.

    Resonemanget Toomas använder i (b) fungerar bara för att visa att det inte kan existera en viss uppdelning av godisbitarna, genom att visa att en godtycklig sådan uppdelning garanterat leder till en motsägelse (att vi flyttar oss utanför heltalen till exempel). Den kan inte användas för att hitta en specifik lösning, för då kan vi inte välja x, y och z fritt på samma sätt. De lösningar du nämner är inte lösningar om Pippi råkar få någon av de andra tre högarna, alltså om x, y och z byter plats med varann.

Kommentera