Problem vecka 17

Nötter (1 poäng).
I tre högar finns 22, 14 respektive 12 nötter. Du får göra tre förflyttningar, så att högarna får lika många nötter. Under en förflyttning får du flytta ett antal nötter från en hög till en annan, men antalet nötter man flyttar måste vara lika med antalet nötter i högen man flyttar till. Vilka förflyttningar ska du göra?

Äpplen (3 poäng). Några lådor innehåller sammanlagt 2000 äpplen. Du får antingen ta bort lådor eller ta bort äpplen från lådor. Visa att du kan med hjälp av sådana operationer få kvar lådor med samma antal äpplen i varje, så att det sammanlagt finns minst 100 äpplen kvar.

Visa lösningar

Lösningen till problemet för de yngre vecka 39


Mattegåta

Pippi, Tommy och Annika delar på 100 godisbitar. Det är Pippi som delar in godisar i tre högar. Hon vet inte på förhand vem som ska få vilken hög, utan det slumpar de fram efter att hon delat.

Pippi vet att ifall Tommy och Annika får olika många godisbitar kommer det syskonet som fick mest ge överskottet till Pippi (så att Tommy och Annika till slut får lika mycket).

a) Vilka högar ska Pippi skapa för att få exakt 80 godisbitar, varken mer eller mindre?
b) Kan Pippi skapa högar så att hon får exakt 65 godisbitar?

Diskussion

För att lösa a)-uppgiften kan man göra ett antagande som förenklar problemet. Man kan nämligen anta att två av högarna är exakt lika stora. Då skulle vi bara behöva testa två av fall: att Pippi får den unika högen eller att Pippi får en av de två likadana.

Det visar sig att det går att hitta på sådana högar (se lösningen nedan).

På b)-uppgiften är svaret “nej” och då kan man förstås inte göra några förenklande antaganden. Där ska man visa att det aldrig går hur högarna än ser ut. För att bevisa detta ställer vi upp ekvationer.

Lösning (av Toomas Liiv, något modifierad)

a)

För att vara säker på att få 80 godisbitar bör hon skapa en hög med 80 bitar och två högar med 10 bitar i varje.

Om hon får den första högen med 80 bitar kommer syskonens respektive högar att sakna differens, vilket betyder att Pippi får 80 bitar.

Om hon får en hög med 10 bitar i kommer differensen mellan syskonens högar vara 70, vilket överförs till Pippi, så att hon får 80 bitar.

I de båda möjliga fallen kommer hon garanterat att ha 80 bitar i slutändan.

b)

Antag att den första högen innehåller x bitar, den andra y bitar och den tredje z bitar. Vi vet att x+y+z=100 och att x, y och z tillhör de positiva heltalen.

För enkelhetens skull: Antag att Pippi alltid får högen med x bitar och att av y och z är y alltid större än eller lika med z. Då kommer Pippis slutgiltiga summa att vara x+y-z, som ska vara lika med 65.

Om vi från ekvationen x+y+z=100 subtraherar ekvationen x+y-z=65 ledvis får vi

(x+y+z)-(x+y-z)=100-65 vilket är samma som

2z=35.

Den ekvationen saknar heltalslösningar. Alltså kan Pippi inte dela bitarna i högar så att hon med all säkerhet får 65 bitar.

Matteproblem för de yngre vecka 39


Mattegåta

Pippi, Tommy och Annika delar på 100 godisbitar. Det är Pippi som delar in godisar i tre högar. Hon vet inte på förhand vem som ska få vilken hög, utan det slumpar de fram efter att hon delat.

Pippi vet att ifall Tommy och Annika får olika många godisbitar kommer det syskonet som fick mest ge överskottet till Pippi (så att Tommy och Annika till slut får lika mycket).

a) Vilka högar ska Pippi skapa för att få exakt 80 godisbitar, varken mer eller mindre?
b) Kan Pippi skapa högar så att hon får exakt 65 godisbitar?