Tips inför SMT-kval


Nu är det bara några timmar kvar till SMT-kval och jag tänkte dela av mig med mina tävlingstips.

Allmänna tävlingstips:
– Ha skoj! Det här är bara en tävling.
– Slösa inte bort tiden, fem timmar kan gå väldigt fort! Gör ett gott försök att lösa varje problem, men spendera inte mer än en halvtimme om du inte kommer nånvart.
– Läs problemtext noga. Det är bättre att ställa en fråga till läraren än att försöka lösa ett annat problem än det som står.
– Om du tror att du har löst uppgiften, läs texten noga igen. Skriv ner lösningen direkt. Eventuella fel eller obevisade påståenden brukar dyka upp först när du skriver ner resonemanget.
– Bara ett svar ger oftast 0 poäng, men en ofullständig lösning kan ge upp till 6. Skriv alltså ner alla idéer du har på problemen tydligt. Om du har en plan för lösningen, men inte kan bevisa alla stegen, skriv ner planen.

När du inte har någon aning om hur du ska lösa uppgifterna, finns det några olika tekniker du kan prova:
– Undersök ett enkelt fall av problemet. T.ex., om det handlar om en 8×8-kvadrat, prova att göra samma sak med en 4×4-kvadrat eller även 2×2.
– Kolla specialfall. Svaren kan t.ex. vara olika för jämna och udda n. Prova att sätta in några tal och se om du upptäcker samband eller mönster. Om det är en funktionalekvation, stoppa in 0 iställer för x och sedan ocskå 1, -1, 2, -2, -x.
– Är det en geometriuppgift, rita figuren så nogrannt som möjligt! Då kan du t.ex. “se” vad svaret ska bli för något. Och om du vet svaret, t.ex. att en vinkel ska vara lika med 45 grader, blir det lättare att bevisa det.
– Kom ihåg att olika bilder kan uppstå i geometriuppgifter. Ett missat fall (t.ex. en punkt ligger inuti en cirkel och du har bara kollat när den är utaför eller på) kan ge avdrag.
– Att rita en bild underlättar även lösning av uppgifter, som inte är geometri.
– Anta saker “utan inskräkning” så att det blir lättare att jobba med problemet. T.ex. i en olikhet som är symmetrisk med avseende på a, b och c (det vill säga att man kan byta plats på två av bokstäver och olikheten förblir densamma) kan man anta att a>=b>=c.

Lite saker bör du kunna för att lösa många av uppgifterna:
– Hur man faktoriserar tal i primtal. Delbarhetsprinciperna för 2, 3, 4, 5, 9 och 11.
– Uppställning för aritmetik för tal i bas tio (dvs talteoriproblem som handlar om siffror löses med att kolla på sista siffran först etc.)
– Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärdet och några relaterade olikheter (t.ex. a+1/a>=2 för positiva a). De flesta olikheterna går ut på att man ska få “nånting i kvadrat >= 0”.
– Sinussatsen och cosinussatsen.
– Pythagoras sats.
– Likformighet.
– Randvinkelsatsen.
– Inskrivna (cykliska) fyrhörningar.
– Hur man räknar ut arean för olika figurer.
– Eventuellt de tredimensionella kropparnas volym.
– Lådprincipen.

Det är allt jag kan tänka ut på rak arm. Har du några tips?

17 reaktioner till “Tips inför SMT-kval”

  1. Måste säga att dessa är mycket bra tips, och i en redigerad form bör de helt klart publiceras på tävlingens hemsida.

    Ett möjligt tillägg är additions- och multiplikationsprincipen, samt de ting dessa ger upphov till.

  2. Jag håller med om att dessa tips var riktigt bra. Jag läste dem väldigt noggrant inför tävlingen. Det var dock lite synd att de inte kom upp förrän dagen före tävlingen. Då hade man ju inte tid att plugga på det man hade missat.

  3. Hur gick det för er, Toomas och Lisa?

    Ursäkta att tipsen kom upp så sent, jag skrev de så fort jag fick lite fritid. Men nu finns de inför nästa år i alla fall. Toomas, menar du regler när du säger addition- och multiplikationsprincipen, det vill säga distributivitet och liknande?

    Hjälpe tipsen er för övrigt? :)

  4. Jag menar kombinatorik, kombinationer, permutationer och dylikt, som alla baserar sig på additions- och multiplikationsprincipen. Fast det andra är nog nyttigt det också.

    Fick just höra (av inofficiella källor) att Lisa har gått till final! Många gratulationer och lycka till! Detta gjorde visst även Lars, som också vann HMT i våras. För en själv gick det inte så värst bra, hade många av de rätta idéerna, men sjäbblade bort en massa värdefulla poäng, dock är det onekligen en god erfarenhet. Till final kom jag inte, men man kan se ljust på det också. Samma dag som finalen kommer hållas pågår Sonja Kovalevksy-dagarna i Stockholm, så det blir inga obekvämligheter med dubbelbokning.

    Tipsen kom upp lite sent, men jag han fräscha upp minnet på delbarhetsregeln för 11, vilket visade sig vara nyttigt.

  5. Hur lyder delbarhetsregeln för 11? När det gäller sju vet jag ju att det är enklare att dividera än att använda delbarhetsregeln, men är inte det samma sak för 11 också? När jag löste denna uppgift använde jag inte delbarhetsregeln överhuvudtaget, utan multiplicerade helt enkelt tvåsiffriga tal delbara med 9 med 11. Det var ju inte så svårt med tanke på att multiplikationerna med 11 följer ett visst mönster. Dock undrar jag hur man på ett snabbt sätt kan veta om säg 198245361 är delbart med 11. Eller i och för sig, never mind (yet)! Jag ska försöka att lösa det här själv först! Verkar ju inte så svårt…

    Sonja Kovalevsky-dagarna? Kan inte du berätta lite mer? Vad är det för något? När är det? Är det något jag vill gå på?

    Haha, det här känns så spännande! :D Efter provet väntade jag mig aldrig att komma till final. Ett litet hopp fanns kvar, men jag räknade inte med någonting. Så, om du, Valentina, har lust att lägga upp tips inför finalen också, blir jag inget annat än tacksam. Så får man ju hoppas att den inofficiella informationen stämmer. ;) Resultatet i lagtävlingen finns i alla fall ute på hemsidan nu. :D

    När det gäller om tipsen inför kvalet hjälpte eller inte så var väl det mesta som stod ganska självklart för mig redan från början, men det var bra att man fick chansen att tänka till en extra gång på om man hade koll eller inte. Sinus- och cosinussatsen förstod jag också snabbt att jag behövde, men lyckades aldrig lära mig. Jag får väl ge mig på dem en gång till. När det gäller delbarhetsprincipen för 11, cykliska fyrhörningar och vad aritmetiska och geometriska medelvärdet nu betyder, vet jag faktiskt inte var jag ska leta. Ska jag ta fram de ryska böckerna eller finns det i någon svensk gymnasiekurs?

  6. Det finns delbarhetsregler för både 7 och 11, men i vanliga fall är det enklare att dividera direkt, dock så kan det ju hända, att du inte känner till talen (som vid talteoriuppgifter), och då kan dessa regler vara till stor nytta. Just i problem fem var det inte nödvändigt, precis som du anmärkte, men det finns ett problem som var för några år sedan, som knappast kunde lösas utan dessa. Om du vet hur man bevisar de andra delbarhetsreglerna, bör du kunna hitta en för även 11. Sjuans är lite svårare. Lycka till!

    Sonja Kovalevsky-dagarna är en konferens för gymnasielever intresserade av matematik, där varje skola med naturprogram (eller något sådant, är inte så värst insatt) har rätt att skicka två till fyra elever. I år är det på Stockholms Universitet, och pågår 18-20 november, alltså samtidigt som finaltävlingen, 19 november. Jag tror säkert att det är något du vill gå på i framtiden, för ytterligare förkovran i matematik, men främst för att knyta kontakter med likasinnade. Val brukar, vad jag har förstått, vara involverad i arrangemanget.

    Det är svårt att hitta bra material på svenska om de mer avancerade sakerna. Det är antingen alldeles för ytligt eller för grundligt samt ofta svårt att finna. SMT anordnar en korrespondenskurs för finalistena, och därigenom bör du dock få tag på bra material. Jag har själv några av häftena, och de är onekligen användbara, kanske lite för svåra till en början. Det finns många bra böcker, varav de flesta går att låna med hjälp av fjärrlån från KTH:s matematikbibliotek. Annars kan jag rekommendera Art of Problem Solving (AOPS), ett oerhört stort community för främst tävlingsmatematik. De anordnar också distanskurser anpassade för duktiga elever, dock gör tidsskillnaden att det kan vara svårt att deltaga på dessa från Europa.

    Sinus- och cosinussatsen finns i Ma D, och är absolut inget svårt att lära sig. Sinussatsen är en omformuleing av areasatsen, som helt enkelt går ut på att man i en triangel drar en höjd och med hjälp av definitionen av sinus uttrycker denna i resterande element av triangeln. Cosinussatsen är en utvidgning av Pythagoras sats för alla trianglar, och bygger på att man drar en höjd, och skriver om denna med hjälp av Pythagoras sats, samt sedan flyttar om lite i termerna.

    Delbarhetsregler finner du på http://matmin.kevius.com/delbar.php

    Olikheten mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet är väldigt användbar. Det förhåller sig så att det aritmetiska medelvärdet, det vill säga det medelvärdet man lär sig i skolan, alltid är större eller lika det geometriska medelvärdet (googla på det). Man kan med hjälp av detta skapa en kedja av olikheter, där uttrycket till slut kan bli på en sådan form att det enkelt går att visa att den är större eller mindre än något annat. På grund av kedjan av olikheter, gäller detta även för grunduttrycket. SMT:s häfte på olikheter är väldigt bra, försök få tag i den.

  7. Tack så grymt mycket för länken! Jag har nu lyckats hitta ett bevis för delbarhet med 11. ;) Ska se, det kanske står mer intressant på sidan. ;)

    Men, det finns något jag alltid har tänkt på när det gäller bevis för delbarhetsregler. Jag kan bevisa om ett tal med ett bestämt antal siffror är delbart med 3, 9 eller 11, men jag vet inte hur man generaliserar beviset så att det gäller alla möjliga antal siffror. Behöver man införa ny beteckning?

  8. Det, enligt en god och kunnig vän till mig, man behöver veta om cykliska fyrhörningar sammanfattas i inledningen på wikipediasidan: http://sv.wikipedia.org/wiki/Cyklisk_fyrhörning

    Det är inte svårt alls att generalisera delbarhetsregler. Det gäller bara att skriva ut ett godtyckligt heltal i utvecklad form, det vill säga som en summa, antingen med hjälp av ellipsis eller summatecken, och sedan flytta runt på termerna lite. Det är lite bökigt till en början, men det tar sig. Om man skriver summan med hjälp av ellipsis är indexeringen av talen det som känns krångligt, men det gäller bara att ha tungan rätt i mun.

  9. Grattis Lisa till finalplatsen!
    Hur många problem löste du från kvaltävlingen förresten?

    Jag ska nu försöka lägga upp några finaltips (dock är finalen väldigt snart!)

  10. Tack, haha! :D

    Jag tror jag löste fyra problem fullt ut och att jag sedan fick två poäng på ett till, men jag vet inte säkert. Jag har nämligen inte fått reda på min exakta poäng på varje uppgift.

    Nja, så snart är finalen inte! Jag tror att de flesta skolelever, inklusive jag, har lov nästa vecka vilket för många innebär mer fritid än vanligt. ;) Därför tror jag nog att det skulle bli mindre bökigt att börja öva nu än kvällen innan tävlingen. ;)

    Toomas, tack så grymt mycket för tipset om Wikipediaartikeln om cykliska fyrhörningar! Du skulle bara veta vilken reaktion jag fick! :) Jag hade lite svårt att fatta att det kunde vara så enkelt! Jag såg den första punkten och undrade varför jag inte hade kommit på det där själv. Jag måste bara lära mig att bevisa allting. Jag måste lära mig att bevisa saker överhuvudtaget.

    Nu fattar jag dessutom det här med hur man bevisar delbarhetsreglerna för alla godtyckliga heltal. ;) Min mamma kom nämligen hem med en elevs arbete med problem 5 i årets SMT-kval. (Hon hade givit det till sina elever i Diskret matematik.) Det var läskigt omfattande och sjukt snyggt. Detta arbete var alltså sex sidor skrivna i LaTeX, innehållande bevis för delbarhetsreglerna för sju och nio som gäller för alla godtyckliga heltal gjorda med hjälp av moduloaritmetik, lemman, huvudteorem och som grädde på moset dessutom ett Pythonprogram som genererar dessa tal N. Det intressanta är moduloaritmetikens möjligheter! Det finns så sjukt mycket man kan göra med det! Bland annat kan det användas för att effektivt bevisa delbarhetsregler. :) Den gör bevisen så enkla och fina! Det där arbetet var verkligen spännande läsning. :D Nu håller jag på att lära mig moduloaritmetik själv.

  11. Moduloaritmetik är mycket givande och det är intressant, att man så många gånger innan använt det, utan att egentligen veta det.

    Hur går det med förberedelserna inför lördagen?

  12. Ja, visst är det lite läskigt… Några dagar veckor innan jag började att på allvar lära mig moduloaritmetik (jag hade tidigare haft en uppfattning om vad det var) satt jag på SMT-prov och försökte att komma någonvart med andra delen på uppgift 6. Min idé var att på något sätt använda rester för att lösa det hela och jag försökte att använda mina egna improviserade begrepp för det. Dock trasslade jag snart in mig i mina egna formuleringar. Det som däremot är intressant för mig är att jag (jag vet inte om det är samma sak för andra) hade en så intuitiv förståelse av restbegreppet redan innan jag började lära mig det hela. Det har för mig alltid varit naturligt att om jag lägger ihop ett tal som ger 1 vid division med 3 med ett tal som ger rest 2 vid division med 3 så blir summan ett tal som är delbart med tre. Nu har jag fått en fin regel för det på papper skriven med konstiga symboler.

    Hur det går med förberedelserna inför lördagen? Lustig fråga, lustigt svar… :P Jag känner mig som en liten högstadieflicka (vilket jag också är) som bara har läst lite matte C som ska försöka att lösa ett prov med konstig matte hon aldrig har sett och försöka att göra det någorlunda bra, samtidigt som det i samma sal kommer att sitta folk som går på fina spetsutbildningar eller andra superbra skolor och läser universitetsmatte och ska försöka att få full poäng. Situationen känns ganska underhållande. Vi får se hur det går. Jag satsar inte direkt på att vinna i år (vilket man säkert kan förstå)… Något som försvårar ganska mycket är att jag inte riktigt vet vad jag borde öva på. Jag är lite orolig att jag inte kommer att kunna matten för att lösa det. Egentligen borde jag kanske fokusera mer på att göra gamla prov och lära mig lösningar än att försöka hitta svår matte att lära mig.

    Hur gick det för dig i SMT? Löste du många uppgifter?

  13. På senare år har det inte varit så mycket svår och konstig matematik, utan snarare svåra problem, så att lösa gamla prov är nog det bästa. Alla finns på nätet. Att du inte vet vad man bör öva på, har ni inte fått några häften till korrespondenskursen? Annars finns det rätt mycket material på nätet.

    Samt spetsutbildningarna, ska du själv söka en sådan? Vad har du för planer? Själv tänkte jag Matematikgymnaiset i Danderyd.

    SMT gick inte enligt förhoppningarna. Jag löste en del, men inte tillräckligt. Det är dock en mycket bra erfarenhet.

    För övrigt, det är HMT i morgon.

  14. Nej, vadå för korrespondenskurs? Jag har hört talats om den på rapporten från IMO, men jag har inte fått någon information själv så jag vet inte så väl vad det är. Dvs, frågan borde vara: “Vadå för häften till korrespondenskursen?”…

    Ja, jag ska söka till Hvitfeldtska i Göteborg. Stockholm är lite för svårt att flytta till, men till Göteborg kan jag pendla. Skolan lägger visserligen ut alldeles för lite information om spetsutbildningen på nätet (det är snarare musikutbildningen som syns) och jag känner att jag inte vet någonting om skolan och deras utbildning, men hur som helst lär jag nog inte ha något val om jag vill lära mig något jag är intresserad av under gymnasietiden. Det känns lite lustigt. För alla andra verkar skolbesök handla om att välja skola. För mig handlar det bara om att se om jag kommer ha roliga gymnasieår eller inte. :P

    Japp, HMT är imorgon. Jag hoppas mina lärare kommer ihåg det. Ibland kan man inte vara helt säker… Det skulle nästan vara lättare för både skolor och vissa elever om skolorna inte behövde engagera sig i tävlingarna utan om de var oberoende från skolan. Då skulle lärarna slippa mödan att hålla koll på datum och elever som verkligen vill delta skulle slippa att ringa hem till sina lärare kvällen innan och upptäcka att deras lärare totalt har glömt bort att det är en tävling nästa dag. Tänk vad skönt det skulle vara… (Det skulle även ge följden att färre elever visste om tävlingarna, men ändå…)

    Ja, du har rätt, det är en bra erfarenhet. ;) När man går i grundskolan tycker jag inte att man behöver komma till final i SMT för att räknas som grymt bra på problemlösning. Om man i grundskolan lyckas lösa så gott som ett enstaka SMT-problem måste man vara sjukt smart. Det inser man när man har vunnit HMT och för första gången stirrar på ett SMT-problem. Man ser en vägg. Denna vägg tog det ett bra tag för mig ta mig förbi. Därför säger jag: är du missnöjd med ditt resultat kan du fundera på hur många högstadieelever som lyckas lösa ett HMT-finalproblem. När du vet ungefär kan du fundera på hur många av dem som kan lösa ett problem från SMT. Något gör att jag har svårt att tro att denna siffra ens om det finns ett stort mörkertal överstiger 10. Lyckas du lösa ett problem är du definitivt bland de absolut bästa… Det ska bli kul att ses på SMT nästa år! :)

  15. Vad jag vet om korrespondenskursen har jag hört från en av mina vänner, som deltagit. Meningen är att genom den välja ut de sex deltagarna till Internationella Matematikolympiaden, genom hemprov som sänds till en varje vecka. För att man inte skall stå helt handfallen, får man också ett gäng häften med teori och problem som krävs för matematik på olympiadnivå. Om du kontaktar tävlingsledningen bör du få dem redan nu, ty du ändå kommer få dem senare. Ett utdrag från korrespondenskursen verkar finnas på SMTs hemsida: http://www.math.chalmers.se/~jana/Problem_2011.pdf

    Ja, att pendla till Göteborg är nog säkerligen enklare. Vad jag förstår tar det drygt en timme, samma som det kommer ta mig till Danderyd. Jag håller rätt bra koll på det som skrivs om matematikutbildning på nätet i Sverige, och jag håller med, det kommer väldigt lite information från dem. Jag vet dock att de vann lagtävlingen i SMT för ett par år sedan och slog därmed Danderyds vinstsvit, så kompetens finns det där, onekligen. Det hade varit kul att se dig i Stockholm, men så blir det visst inte. I lagtävlingen mellan skolorna blir det dock spännande, med dig på Hvitfeldstka, Lars på Borgarskolan och mig samt förstås många andra kapabla i Danderyd.

    Att tävlingarna skulle ordnas externt från skolorna skulle nog vara fördelaktigt för oss redan intresserade, men tanken med dem är ofta att väcka intresse, så det skulle nog inte fungera riktigt. Men jag håller med om att det skulle vara mycket skönare.

    Självklart är jag missnöjd med att jag inte lyckades komma till final, men det är inget som grämer mig, utan är snarare ett incitament att studera hårdare. Även om man är bland de bästa, strävar man ju efter att utvecklas vidare.

Kommentera