Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1

Hur kommer det sig att det finns spiraler på kottar, kronärtskockor och ananaser? Om du inte har sett förklaringen, rekommenderar jag Vi Harts videoserie “Spirals, Fibonacci, and Being a Plant”: del 1, del 2 och del 3.

(Eller kolla upp en sida på svenska med många bra bilder.)

kotte

En av sakerna som avslöjs är att växternas blad växer ut med en och samma vinkel i förhållande till föregående bladet, nämligen vinkeln \frac{360^\circ}{\varphi}, där \varphi är det gyllenne snittet, även kallad det mest irationella talet. Detta för att bladen aldrig ska hamna direkt över och blockera solljus för varandra.

Eftersom bladen inte är hur tunna som helst, kommer de så småningom ändå överlappa varandra delvis. Därför bildas det spiraler, vilket förklaras i videorna. Men varför är antalet spiraler alltid lika med ett fibonaccital, för tallkottar oftast 5, 8 eller 13 (plocka upp en kotte och räkna spiralerna åt båda hållen)?

Min förklaring är att gyllene snittet approximeras med exempelvis 8/5, vilket betyder att växten efter 8 blad har avlagt 8\cdot\frac{360^\circ}{\varphi} grader, vilket är ungefär lika med 8\cdot\frac{360^\circ}{\frac{8}{5}} grader, det vill säga typ 5 varv. Och så med alla andra heltalsapproximationer, när växten
har gått ett ungefär helt antal varv, så har det vuxit ut ett fibonacciantal blad. När ett nytt varv börjar, bara då kan spiralerna börja växa, och därför är antalet spiral lika med antalet blad som vuxit ut hittills, det vill säga ett fibonaccital.

Vi sade förut att \varphi var det mest irrationella talet. Vad ska det betyda? Alla irrationella tal är ju lika irrationella, men vissa tydligen mer irrationella än andra. För växten innebär det att det nya bladet dyker upp inte bara på en ledig plats, utan också på en plats där det finns som mest utrymme (jag vet inte riktigt hur detta ska förklaras matematiskt).

Men varför skulle inte en växt kunna växa med en annan irrationell vinkel, som exempelvis \frac{360^\circ}{\pi} eller \frac{360^\circ}{e} grader? Talet \frac{22}{7} är ju en väldigt bra approximation av \pi, så varför skulle inte en sådan \pi-växt kunna ha 22 spiraler?

Nu när jag inte kan spekulera mer matematiskt, går jag ut i naturen och letar. De första två växter jag hittar verkar vara typiska \varphi-växter, men den tredje har vinkeln närmare 114,6^\circ, det vill säga \frac{360^\circ}{\pi}!

Eller nja, inte om man kollar på de färdigväxta bladen, då är det en vanlig \varphi-växt:
SAMSUNG

Den här då? Det är lite svårt att se i vilken ordning bladen har växt ut.

SAMSUNG

Men om det är någon av våra förmodade vinklar, bladen emellan, så är det i alla fall \pi:

SAMSUNG

SAMSUNG

Hurra! En \pi-växt! Så inte alla växter följer \varphi-lagen… Eller har jag mätt fel? Varför är de flesta växter ändå \varphi-växter?

Kan du hitta andra irrationell växter i naturen, kanske med vinkeln \frac{360^\circ}{\sqrt{2}} mellan bladen? Om en vecka kommer jag med mer spekulationer och förklaringar om växternas utväxtvinklar.

Fibonaccitalen och gyllene snittet

Ett välkänt trick är att man kan klippa en triangel i bitar, arrangera om bitarna, sätta ihop dem till en triangel igen och få en extra ruta!

Hur kan det stämma? Nedan kommer förklaringen, men fundera själv först!

.

.

.

.

.

.

.

.

De stora figurerna är egentligen inte trianglar, det ser bara ut som det. Vore de riktiga trianglar, skulle den gula och den röda triangeln vara likformiga, det vill säga ha samma förhållande på kateterna. Men \frac{5}{2}\neq\frac{8}{3} (eftersom \frac{3}{2}\neq\frac{8}{5}).
Så att den första figuren är en inåtböjd “triangel” och den andra är en utåtböjd. Därifrån kommer den extra rutan.

Låt oss jämföra liknande, men annorlunda bråk: \frac{3}{2} och \frac{8}{5}.
\frac{3}{2}=1,5

\frac{8}{5}=1,6
Ganska nära värden! Därför har även \frac{5}{2} och \frac{8}{3} ganska nära värden. Förhållanden mellan sidorna är så pass lika att trianglarna är nästan likformiga och har nästan likadana vinklar. Det innebär att deras hypotenusor bildar nästan en linje (och för oss ser det ut som att de bildar en linje).

Låt oss studera fler förhållanden:

\frac{13}{8}=1,625

\frac{21}{13}=1,61538462\ldots

\frac{34}{21}=1,61904762\ldots

\frac{55}{34}=1,61764706\ldots

\frac{89}{55}=1,61818182\ldots

Den noggranna läsaren kanske har upptäckt att de nya täljarna får man genom att addera de föregående två:

21=13+8

34=21+13

55=34+21

89=55+34

Och några känner igen Fibonaccitalen i nämnarna och täljarna:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\ldots

Fibonaccitalen startar med 1 och 1, sedan får man nästa tal genom att lägga ihop de två föregående.

Låt oss se om bråken (som är lika med förhållanden mellan två Fibonacci-granntal)

\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\ldots

i slutändan blir lika med något värde. Vi har ju sett på de tidigare att värdet verkar vara nära 1,6.

Man kan skriva om bråken till så kallade kedjebråk:

\frac{2}{1}=1+\frac{1}{1}

\frac{3}{2}=1+\frac{2}{1}=1+\frac{1}{\frac{2}{1}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}

\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}

Varje bråk blir lika med 1+1/(föregående bråk) och därför ser alla de bråken ut på ett och samma sätt. Det är bara antalet ettor i kedjebråket som ökar för varje steg.

Låt oss anta att vi får något reellt tal \varphi, om vi utför operationen oändligt många gånger:

\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots}}

Då måste

1+\frac{1}{\varphi}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots}}}=\varphi

\varphi=1+\frac{1}{\varphi} \iff \varphi^2-\varphi-1=0

Ekvationen har exakt en positiv lösning:

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,61803399

Detta tal kallas gyllene snittet och är lika med vissa proportioner i Da Vincis målning “Den vitruvianske mannen”. Många andra saker i naturen har den proportionen också, just på grund av att mycket i naturen beter sig som Fibonaccital (se början på videon):

Om du tyckte om Fibonaccitalen försök att lösa följande två problem:

1. Klipp upp en kvadrat med sida 1 i tre eller fyra delar och sätt ihop delarna till en rektangel med sidorna \varphi och \varphi-1.

2. Klipp upp en kvadrat med sida 8 i tre eller fyra delar och sätt ihop delarna till en nästan rektangel med sidorna 5 och 13. (Du kan öka Fibonaccitalen i problemet och se “felet försvinna”.)

(Bonusproblem. Bråken
\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{13}{5},\frac{21}{8},\frac{34}{13},\ldots
närmar sig ett värde. Vilket?)

Jag tackar Djalal för tipset om ovanstående problem och diskussion.