Roligare matematik
Tack till David Nilsson som påminnt mig om en gammal klassiker!
En apa är i ett 100-våningshus och vill veta vilken den högsta våningen är som den kan släppa en kokosnöt ifrån utan att den går sönder när det träffar marken. Hur många gånger behöver apan testa att kasta ner en nöt för att garanterat ta reda på det, om den bara har två kokosnötter till godo?
Mattekoll 2015 är ett dagsläger för elever i åk 6-7. Lägret kommer att hållas 3-13 augusti på Ångströmlaboratoriet i Uppsala, och elever från hela Sverige är välkomna att delta! Mattekollo riktar sig till elever som är intresserade av matte och vill lära sig mer matte än den som ingår i skolan, på ett djupare plan och dessutom tillsammans med andra! År 2015 kommer vi att fokusera på programmeringstänk (algoritmik) och matematiken som är nyttig för att kunna tänka algoritmiskt.
Under Mattekollo-tiden tränas deltagarna att tänka på ett sätt som är karakteristiskt för verksamma matematiker och programmerare. Vi ämnar att kultivera vetenskapligt tänkande och träna eleverna att arbeta självständigt, genom att ge dem chansen att lösa intressanta matematiska problem.
Inte riktigt. Vi kommer att fokusera på matematiklektioner på förmiddagen, medan vi på eftermiddagen har andra sorts sociala aktiviteter (sport, lekar, brädspel, utflykter). Under kvällen låter vi de nya matematiska ideerna “sjunka in” och man uppmuntras till att självständigt arbeta med materialet som inte hanns med under förmiddagen. En av dagarna kommer vi istället för lektioner bara köra “matematiklekar”.
Nej, så länge du är intresserad och är redo att studera är Mattekollo för dig. Platserna är dock begränsade och vi kommer att ta in 25 elever som vi bedömer kommer att kunna klara av det ganska avancerade programmet.
Du som vill vara deltagare på Mattekollo 2015 måste senast den 2:a juni formellt registrera dig (ditt barn) via formuläret , samt skicka in dina lösningsförslag till det skriftliga provet till mattekollo@gmail.com (se instruktionerna i provfilen). Du som har avslutat åk 6 eller åk 7 kan komma till Mattekollo 2015, men i exceptionella fall (vid mycket bra lösningar på provet) kan elever från åk 5 bjudas in.
Ordinarie deltagaravgift är 1500 kronor. Om du kan husera en deltagare från en annan kommun hemma hos dig under hela perioden är avgiften istället 750 kronor. Om du kommer från annan kommun än Uppsala och söker någonstans att bo under kolloperioden är avgiften 2250 kronor. I priset ingår luncher från och med den 4:e till och med 13:e augusti, t-shirt, häfte med lektionsmaterialet, samt alla aktiviteter (från cirka 9:00 på morgonen till cirka 17:30 på kvällen).
Bakom Mattekollo står den ideella föreningen Matematiksällskapet vars syfte är att anorda sociala aktiviteter för barn med matematikintresse. Gruppen som anordnar kollot består av matematiker, föräldrar och studenter som alla delar en passion för matematik och bra undervisning. Som sökande kan du välja att gå med i föreningen oavsett om du kommer att vara med på kollot eller inte.
Du kan bli medlem i Matematiksällskapet redan nu på http://www.matematiksallskapet.se/bli-medlem/
Du sitter i en fängelsehåla och en vakt kommer till dig med ett erbjudande. Han säger att han kommer lägga upp mynt (totalt 64 st.) på ett schackbräde, ett mynt i varje ruta och det kommer vara slumpat för varje mynt huruvida det ligger med krona eller klave uppåt. Därefter kommer vakten peka på en ruta. Du får sedan en möjlighet att vända upp-och-ner på exakt ett av mynten, vilket du vill.
Därefter kommer en kompis in i rummet, som får se schackbrädet och får gissa vilken ruta vakten pekade på. Gissar han rätt, får ni båda gå fria. Hur kan du och kompisen komma överens om en strategi som garanterar er frihet, oavsett hur vakten gör?
För en dryg vecka sedan hölls finalen i Högstadiets Matematiktävling i Stockholm! 49 skarpa hjärnor var med och löste 6 matematiska problem på tid och en kom ut som vinnare. Grattis Björn Magnusson från Lund som fick fullpoäng på alla uppgifter!
På delad andraplats kom två Lundabor också, nämligen Anna-Lisa Rathsman och Hugo Eberhard. Hela resultatlistan kan du se på HMT:s hemsida.
Prova att lösa uppgifterna själv!
1. Lotta väljer slumpmässigt två olika tal bland talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Hon beräknar därefter deras produkt. Hur stor är sannolikheten att produkten är ett ensiffrigt tal?
2. Parken Parc des Mathématiques är formad som ett kvadratiskt rutnät med 5×5 trädgårdar. Två trädgårdar anses vara grannar om de har en gemensam sida (men inte om de bara har ett gemensamt hörn). Om man placerar en vakt i en trädgård så kan den vakta den parterren samt alla grannar.
a) Placera ut sju vakter i parken så att alla 25 trädgårdarna är vaktade.
b) Visa att det inte går att vakta hela parken med fem vakter.
3. I kvadraten ABCD dras fyra linjer: från hörnet A dras en linje till mitten av sidan CD, från B till mitten av sidan AD, från C till mitten av sidan AB och från D till mitten av sidan BC. Hur stor är fyrhörningen som bildas i mitten i förhållande till hela kvadraten?
4. I 3×3-rutnätet är vissa radprodukter och kolumnprodukter utsatta. Finn alla möjliga sätt att placera samtliga siffror från 0 till 8 i rutnätet så att produkterna blir korrekta.
5. En oändlig talföljd a1, a2, a3,… har egenskapen att för alla positiva heltal m och n gäller
Vidare vet vi att a3 = 2015. Bestäm a2015.
6. Aladdin önskar sig tre böcker med sagor. Varje bok skall ha två tusen och fjorton sagor. Var och en av sagorna kan vara antingen spännande eller romantisk. Dock kommer hans käresta att ta en av böckerna eftersom hon också vill läsa sagor.
Aladdin förklarar för anden att han kommer läsa två sagor varje natt, en från varje bok som han har kvar. Självklart läser han dem i den ordning de står i böckerna. ”Men”, förklarar Aladdin, ”jag vill ha omväxling, så ibland vill jag ha två olika typer av sagor och ibland två lika typer, och jag kräver att vid precis hälften av nätterna få en romantisk och en spännande saga”.
Kan anden ge Aladdin tre böcker så att alla Aladdins önskemål är uppfyllda, oavsett vilken bok hans käresta tar bort?
Tävlingen innehöll flera svåra problem. Som mest kan man få 7 poäng på ett problem, men man kan också få delpoäng. Snittresultaten blev sådana:
* Problem 1: 5.18
* Problem 2: 5.98
* Problem 3: 2.76
* Problem 4: 3.70
* Problem 5: 2.64
* Problem 6: 1.08
Så det var problem 2 som var lättast och inte problem 1 som vi i juryn trodde.
På graden kan du också se hur många finalister (y-axeln) som fick ett visst antal poäng på respektive problem.
I år var jag en av medlemmarna i jurygruppen och hjälpte till att ta fram problemen. Jag tror att juryn kan vara stolta över resultatet, då vi fick en tävling med roliga varierande problem. De flesta av dem innehöll någon twist och det var inte självklart hur man skulle lösa dem. Ändå är de möjliga att lösa eller vad tycker du? Är det något speciellt problem som du tycker är extra snyggt?
Själv gillar jag problem nummer 6 väldigt mycket. Från början hade den en annan formulering:
”Aladdin önskar sig ett rutnät med 2014 rader och 3 kolumner, där varje ruta är färgad antingen turkos eller gredelin. Han önskar sig specifikt ett rutnät som är sådant att vilka två kolumner han än väljer så är antalet rader där rutorna i de två kolumnerna har samma färg lika stort som antalet rader där rutorna har olika färg. Går det att uppfylla Aladdins alla önskningar?”
Vi valde att formulera om det till en mer konkret situation med sagoböcker. Olika människor föredrar olika formuleringar, men i slutändan ska det ju inte spela någon roll. Välj vilken formulering du vill och försök lösa Aladdin-problemet!
Du kan läsa om vad som har hänt på de tidigare träffarna här: första träffen, andra träffen och tredje träffen.
Vi började lektionen med leken ”Gissa talet”. Jag tänkte på ett tal mellan 1 och 10 och eleverna fick ställa ”Ja/Nej”-frågor för att försöka bestämma vilket tal jag tänkte på. Jag tror att det tog 5 frågor för dem att bestämma talet.
Här ska man vara tydlig om vad som gäller sista frågan. Ska man veta vilket tal det är efter x frågor eller ska man med fråga nummer x bekräfta talet? I uppgifterna räcker det att man vet vilket tal det ska vara, men man behöver inte fråga specifikt om det. Till exempel, om man vet att talet är 3 eller 4, frågar ”Är talet 3?” och får svaret ”Nej”, så behöver man inte fråga något mer, utan talet räknas som gissat.
Jag undrade sedan om hur många frågor som krävdes som mest för att garanterat gissa ett tal mellan 1 och 10 på det här sättet. Eleverna tänkte att 5 frågor räckte, men var osäkra på om 4 frågor var nog.
Startuppgiften var till för att presentera idén informationsteori, det vill säga hur mycket information man egentligen får när man det bara finns ”Ja” och ”Nej” som svar på frågorna. Hur mycket information är nog för att gissa talet?
Vi delade ut dagens uppgifter sedan och eleverna löste dem, mestadels på egen hand. För att alla ändå skulle ta del av varandras idéer körde vi genomgångar på tavlan allt eftersom. Då kunde eleverna snappa upp lösningssätt direkt för att eventuellt tillämpa dem på senare problem.
Problemen försökte jag ordna i svårighetsgrad, så att man successivt skulle sättas in ämnet och idéerna. Efter varje problem skriver jag dialoger jag hade med enskilda elever, samt med gruppen när vi gick igenom respektive uppgift på tavlan.
1. Du och en kompis spelar ett spel där ni ska ge varandra hemliga signaler. Ni har kommit överens om att man antingen kan blunda med ena ögat, med båda ögonen eller ha ögonen öppna, samt röra på vänster lillfinger eller hålla vänstra lillfingret still (alla andra rörelser spelar ingen roll, och görs för att avleda motståndarna från systemet). Hur många olika kombinationer av signaler kan du göra?
Elev: Jag vet inte om det räknas som samma eller olika om man blundar med höger- eller vänsterögat.
Lärare: Vi räknar det som olika i den här uppgiften.
Elever: Då har jag ritat upp alla möjligheter och det blir 4*2 = 8.
Lärare: Rätt!
2. Vilgot tänker på ett heltal mellan 1 och 8. Theo ställer frågor, som Vilgot bara kan svara ”ja” eller ”nej” på. Theo vill bestämma talet.
a) Kan han bestämma talet på tre frågor?
b) På två frågor?
Elev: Så här kan man göra med tre frågor (visar frågorna som man kan ställa och hur man fortsätter beroende på svar).
Lärare: Javisst, tror du det går med två frågor?
Elev: Nej, inte alltid.
Lärare: Varför inte?
Elev: Vet inte riktigt..
Gruppdisskussion:
Lärare: Ni har kommit på olika sätt att ställa frågor så att man kan gissa talet garanterat på tre försök. Går det att hitta på frågor som alltid är desamma oavsett vad personen svarar?
Elever: De första två går. Först frågar man om talet är större än 4 och sedan huruvida det är udda eller jämnt.
Lärare: Japp, det funkar att ställa den andra frågan oavsett svaret på den första. Men går det med alla tre? Tänk på det…
En annan lärare: Jag vet hur man gör, men det är ganska komplicerade frågor…
Lärare: Det går inte med två frågor, varför inte?
Elev: (Berättar om halvering)
Lärare: Precis, det är en möjlig förklaring, här är en annan! (Berättar om hur man beräknar information för att särskilja mellan möjliga kandidater.)
3. På en balansvåg kan man jämföra vikten i vänsterskålen med vikten i högerskålen. Vågen kan antingen visa balans eller att vänsterskålen är tyngre eller att högerskålen är tyngre. Emilia experimenterar med att väga olika mynt för att jämföra dem med varandra. Klara antecknar resultatet av varje vägning på ett papper.
Emilia gör 5 vägningar. På hur många sätt kan Klaras protokoll se ut?
Elev: Första vägningen kunde se ut på tre sätt. Sedan är det liksom en förgrening, där det kan se ut på tre sätt till efteråt. Jag försöker skriva upp alla kombinationer.
Lärare: På hur många sätt kunde då protokollet se ut efter 2 vägningar?
Elev: 3*3 = 9
Lärare: Och efter tre? Och efter fem?
Elev: Ahaa.. 35.
4. 9 mynt ser likadana ut. Man vet att exakt ett av dem är falskt (men man vet inte vilket). Man vet även att alla äkta mynt väger lika mycket samt att det falska myntet är något lättare. Hur kan man bestämma det falska myntet med högst två vägningar? Går det att göra det på en vägning?
Elev: (Visar hur man gör med två vägningar).
Lärare: Rätt. Varför går det inte att göra på en vägning?
Elev: Hur man än gör så blir det en hög över som man inte vet något om.
Lärare: Men kan man inte lämna 1 mynt över och väga de andra?
Elev: Jo, men då vet man fortfarande inte vilket som är falskt, om det inte blir lika.
Det var inte så många som kopplade ihop uppgift nummer 3 och nummer 4. Jag förklarade sedan högt att man kan göra precis som i uppgift 2, fast istället för ”halvering” har vi ”tredelning”. Eller, om man gör på det andra sättet, så ska vi ha resultat som skiljer på 9 mynt, men vi kan bara få 3 olika resultat (”protokoll”).
5. Det finns 6 mynt, varav 2 är falska och väger mindre än de riktiga. Hur många vägningar behöver du som minst för att säkerligen bestämma de båda falska mynten?
En av eleverna visade korrekt resonemang för tre vägningar, men det var en annan lärare som kontrollerade detta. Tillsammans gick vi igenom den lösningen på tavlan. Sedan gällde det att motivera varför detta inte gick att göra på två vägningar.
Lärare: Nu är det inte ett mynt man ska bestämma, utan två. Hur många ”situationer” behöver vi skilja emellan? På hur många sätt kan 2 mynt av 6 vara falska?
Elever: (Kommer fram till att det är 15).
Lärare: Så vi har 15 misstänkta situationer. På hur många sätt kan protokollet se ut efter 2 vägningar?
Elever: 9.
Lärare: Alltså går det inte att skilja mellan 15 olika situationer, så det går inte att säkerligen bestämma de falska mynten på 2 vägningar.
6. En liksidig triangel är uppdelad i 9 små kongruenta liksidiga trianglar. Benni markerade en av de små trianglarna med osynligt bläck. Ivar kan peka på en triangel, vars sidor går längs med de utritade linjerna och då måste Benni svara huruvida den markerade triangeln ligger i den Ivar pekar ut.
Hur många frågor behöver Ivar som minst för att garanterat hitta den markerade triangeln?
Denna uppgift hanns inte med, utan den blev kvar i läxa. Jag förtydligade vilka regler som gällde på tavlan, nämligen visade upp exempel på trianglar med olika storlekar som man kunde peka ut vid frågor.
Andra (lite mindre) halvan av lektionen körde vi mattetävlingen ”Skottväxling”. Eleverna delades upp i lag om tre personer. Lagen fick de kreativa namnen A, B, C och D.
Reglerna till Matematisk Skottväxling är följande:
Varje uppgift ger ditt lag rätt till ett skott. Ange ert svar på en papperslapp och skriv vilket lag ni skjuter på. Var femte minut verkställs anmälningar i samma ordning som de har kommit. Fel svar räknas som ett ett klickskott och minskar er träffsäkerhet. Vid rätt svar slumpas det (beroende på er träffsäkerhet) huruvida ni träffar eller missar.}
Träffar ni så minskas den träffade lagets styrka med 1/5 av er styrka (en kvot avrundas neråt).
Är er styrka mindre än 15, så minskar er motståndares styrka med 3.
Efter spelets slut vinner den som är starkast då. Ursprungliga styrkor är 100.
Den ursprungliga träffsäkerheten är 2:2, det vill säga 2 chanser att träffa och 2 att missa.
Rätt svar ökar era chanser att träffa med 1, fel svar ökar era chanser att missa med 1.
Uppgifterna är indelade i 2 delar, del 1 ges ut i början, del 2 ges ut 20 minuter efter start. Spelet är slut antingen när det har gått 40 minuter eller när alla har skjutit sina 10 skott.
Ett lag får lämna svar på varje uppgift i godtycklig ordning och vid valfri tidpunkt, men inte mer än en gång per uppgift.
(Detta stod inte i reglerna, men vi förtydligade vid start att chanserna förändrades innan skotten avfyrades).
Vi körde tävlingen i två delar med 5 problem i varje. De flesta inlämnade svar var korrekta, så många skott under tävlingen träffade. Vi skrev upp protokoll direkt under tävlingens gång över vem som sköt på vem och hur mycket lagen minskade i styrka. Det var roligt att följa hur vissa lag ”förklarade krig” mot varandra då och då. Det var ganska mycket action och vi fyra lärare var sysselsatta nästan hela tiden!
Detta är ju en lek som det är svårt att ha vinnande strategi i, eftersom man alltid kan skjuta på den som leder. Men man kan vara lite taktisk med tidpunkter då man lämnar in sina svar.
I slutändan stod lag D som segrare efter en ganska jämn match! Tyvärr har jag inte sparat poängtabellen.
Här kan du själv prova att lösa Skottväxling-uppgifterna. Fråga mig om du vill veta de rätta svaren. Notera att den sista uppgiften på del B är lite annorlunda från de andra. Den är baserad på en uppgift som en av eleverna på Matteklubben kom på. Den var dock ändrad för att eleven inte skulle ha för mycket fördel i tävlingen.
På del A var uppgift 2 och 3 lättast och på uppgift 5 gavs flest felaktiga svar. Vi gick igenom den uppgiften i slutet av lektionen.
På del B gavs flest rätt svar på uppgift 3 och 4, medan 2 och 1 svarade de flesta fel på. Ingen löste uppgift nummer 5 (den var nog överkurs).
Prova gärna att organisera skottväxling i den egen klass! Det är roligt för de flesta, eftersom vilket lag som helst, oavsett styrka, har möjlighet att vinna. Anpassa uppgifterna efter elevernas nivå.
Hos oss var tävlingen i alla fall populär, vilket märktes på utvärderingarna. De flesta av eleverna i den här gruppen känner inte varandra så det var bra att ”tvinga” dem att samarbeta lite.
I slutet av lektionen fick eleverna svara på följande frågor om matteklubben:
Vilken matteklubben-träff tyckte du bäst om?
Vilket tema var mest intressant?
Vilket avsnitt var svårast?
Vad kan fungera bättre med matteklubben?
Vill du se någon förändring inför nästa termin? Vad i så fall?
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in)?
Ja Nej Kanske
Det är lite konstigt ser jag nu att vi inte bad eleverna att bedöma deras insats, så som vi gjorde i de yngre årskursna. Vi missade nog helt enkelt att inkludera den frågan.
Efter varje svar står siffran för antalet elever som gav det svaret.
Vilken matteklubben-träff tyckte du bäst om?
– Den sista 7 (2 säger: för att det var tävling)
– Vet inte 2
– Nr 3
– Ingen var utmärkande
– Informationsteori
Vilket tema var mest intressant?
– Alla var ungefär lika intressanta 2
– Vinklar
– Informationsteori 5
– Delbarhetsprinciper
– Vet inte/ej svar 3
Vilket avsnitt var svårast?
– Vinklar 4
– Vet inte/ej svar 5
– Alla var bra anpassade så ingen var speciellt svår
– Andra lektionen 3
Vad kan fungera bättre med matteklubben?
– Ingen aning/Vet ej/ej svar 9
– Lättare uppgifter
– Mer tävlingar
– Tydligare vilken sal man är i
– Lite tidigare möten
Vill du se någon förändring inför nästa termin? Vad i så fall?
– Att varje person ska få göra en uppgift och så kan vi lösa varandras
– Vet ej/ej svar 7
– Lite tidigare möten
– Mer tävlingar
– Lättare uppgifter
– Jag vill ha det tidigare i veckan
– Enda förändringen jag vill se är hos mig själv och mina kunskaper. Matteklubben är bra!
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in)?
Ja 6
Nej 0
Kanske 6
Jag tänker precis som eleverna: mer tävlingar, bättre anpassad svårighetsgrad! Jag ska försöka köra tävlingar var tredje gång även i den här gruppen eller kanske en större tävling var fjärde gång och en minitävling var fjärde gång. Vi behöver även att träna på fler redovisningsformer, t.ex. ha skriftliga lösningar någon gång. Tyvärr kan inte vi ha Matteklubben tidigare på dagen, på grund av svårigheten att boka salarna tidigare.
Med en så pass liten grupp borde jag ha hunnit lära mig allas nivå och styrkor, men det har visat sig vara rätt svårt. Eleverna har varit ganska tysta under lektionerna och jag har själv uppmanat dem till att redovisa lösningar, åtminstone till mig. Vi får se om det blir bättre med tiden, att eleverna känner sig säkra på sin problemlösningsförmågor samt att det är helt ok att ha fel på Matteklubben. Nästa termin kan bara bli bättre! :)
Du kan läsa om vad som har hänt på de tidigare träffarna här: första träffen och andra träffen.
På grund av hastigt salsbyte rådde lite förvirring i början om var vi skulle hålla hus, men precis till lektionens början kunde vi samlas i en och samma sal. Vi blev 18 elever och 3 lärare, vilket räckte gott och väl då eleverna oftast inte vill ha så mycket hjälp från oss. De ville mest sitta och klura själva. Kanske har de den vanan på grund av hur de brukar bli behandlade på vanliga mattelektioner.
Vi började med att diskutera läxan som jag såhär i efterhand bedömer som mycket svår. Vi repeterade först beviset för hur man räknar ut vinkelsumman i en godtycklig triangel, och sedan i en godtycklig fyrhörning.
Därefter gav eleverna ett par förslag på hur man skulle gå tillväga med en femhörning. Vi diskuterade även fallet med de icke-konvexa månghörningarna. Strategin var att skära bort en triangel i taget och på så sätt minska triangelns vinkelsumma med 180°. Då kunde vi förklara varför vinkelsumman i en n-hörning blev (n-2)180°.
Vi gick inte rigoröst igenom varför man alltid KAN skära bort en triangel på det viset. Eleverna ha ju precis börjat med geometriska resonemang, och ett sådant bevis skulle ligga på för hög nivå. Jag har redan tendensen att överskatta elevernas erfarenhet av bevis. Jag måste komma ihåg att de flesta knappt har träffat på denna typ av matte förut. Den är inte alls som skolmatten, utan mycket mer som universitetsmatten! Vilket tyvärr ofta är helt skilda saker.
Vi diskuterade även uppgiften om vinkelsumman i en stjärna. Först spekulerade vi lite om hur mycket det kunde vara och fick förslag på svaren 180°, 360° och 540°. En elev hade förberett en lösning där han hade infört olika vinkelbeteckningar och ställt upp ekvationer. Med hjälp av hans lösning kunde vi få ut resultatet 180°.
Planen var att både hinna med blandade problem och ett tema (informationsteori), men vi hann bara med den första delen. Det berodde på att alla problemen var riktigt kluriga och det behövdes tid för att knäcka dem.
Ibland var uppgifterna lite väl kortfattat formulerade, så jag skrev upp lite förtydliganden på tavlan. Till exempel: ”Allt kaffe och mjölk blev uppdrucket” (uppgift 1), ”Det är bara tillåtet att ta två glas i taget och jämna ut juicenivån i dem” (uppgift 3) och ”Det tog 2014 gånger att byta från grön till lila” (uppgift 4).
Under varje uppgift har jag skrivit reaktioner, frågor och funderingar som dök upp hos eleverna. Jag har även skrivit upp vanliga angreppssätt som förekom och försökt att analysera dem.
1. Under lärarfikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Angelika drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många lärare kom på fikat?
Elev: Det är så lite information i frågan. Man vet inte riktigt var man ska börja!
Lärare: Det är sant att det finns lite information. Ändå finns det bara ett möjligt svar.
Angreppssätt:
• Att ställa upp ekvationer. Kan ge information om man inte har för många variabler. Men man måste ha två olika variabler för kaffemängden respektive mjölkmängden (i uppgiften tas 1/4 och 1/6 av olika saker).
• Att anta att Angelika drack lika mycket kaffe som mjölk. Då kan man räkna ut hur mycket 1 kopp utgör av den totala mängden vätska och beräkna antalet koppar till 5. Problemet är att detta är ett specialfall och löser inte uppgiften då Angelika inte drack lika mycket kaffe som mjölk.
Elever: Vi tror att svaret är fem. Det funkar då.
Lärare: Då återstår det att bevisa att det inte kan vara någon annat tal. Varför tror ni inte att svaret kan vara fyra? Eller tre? Eller ännu mindre?
(Efter den frågan kunde eleverna vanligtvis knäcka uppgiften.)
2. Tre på varandra följande tal har summan A. Summan av de tre talen som följer efter betecknar vi med B. Kan produkten AB vara lika med 1111111111?
Lärare: Tror ni att det går eller inte går?
Elever: Vi tror att det går! Vi håller på att räkna ut på ett ungefär vilka tal det måste vara för att senare se vad det ska bli exakt.
Lärare: Ja, det är en bra strategi för att bestämma svaret utifall det går, att göra det på ett ungefär först.
Angreppssätt:
• Att börja räkna på exempel. Utifall det går så kan man råka stöta på rätt svar. Ifall det inte går, så får man en känsla för vad produkten kan bli för tal. Så det är en bra strategi överlag.
• Att beteckna första talet i raden med x. Om man kan uttrycka A och B med hjälp av x får man en variabel istället för två och då är det lättare att få hum om uppgiften. Minst en elev löste uppgiften med denna strategi.
• Att studera egenskaperna hos talen A och B. Är de jämna eller udda? Detta leder också till korrekt lösning.
3. På bordet står 8 glas med juice. Det är tillåtet att ta vilka två glas som helst och jämna ut juicenivån i dem (genom att hälla över juice från det glaset som har mer). Hur kan man med hjälp av sådana operationer göra så att alla 8 glasen innehåller lika mycket juice?
Elev: Totala mängden enheter ska vara delbart med 8, annars går det inte.
Lärare: Det är ok även om mängden juice i varje glas blir ett decimaltal i slutändan.
Angreppssätt:
• Att hitta på ett exempel där man vet hur många enheter juice det är i varje glas. Då kan man räkna ut hur mycket juice det ska vara i varje glas i slutändan. Problemet med strategin är att man ofta hittar på krångliga tal och inte kan få översikt över det specialfallet heller.
• Att försöka jämna ut nivån i fyra av glasen först. Denna strategi leder till rätt lösning.
• Att försöka få mängderna juice i glasen att bli så nära varandra som möjligt. Detta leder till approximativ, inte exakt strategi.
4. På kameleontuppvisningen ska kameleonterna byta färg: från röd till gul, från gul till grön, från grön till blå, från blå till lila, och från lila igen till röd. En av kameleonterna bytte färg 2014 gånger och gick från att vara grön till att vara lila. Men den gjorde ett enda misstag under uppvisningen och bytte färg till röd, när den inte skulle ha gjort det. Vilken färg hade kameleonten innan den gjorde misstaget?
Elev: Hur kunde kameleonten byta färg från grön till lila?
Lärare: Det menas att den var grön från början, sedan gjorde 2014 byten och till slut blev lila.
Angreppssätt:
• Att titta på vad kameleonten skulle ha fått för färg efter 2014 gånger. Sedan backa så många steg som behövs genom det felaktiga bytet. Detta fungerar om man har bra koll på antalet steg (och inte tar ett för mycket eller ett för lite).
• Att hitta på ett exempel där det fungerar. Det återstår att visa att svaret blir densamma oavsett vilket exempel man skulle ta.
5. I triangeln ABC är BD en bisektris (en linje som delar vinkeln vid B mitt itu). Bestäm differensen mellan vinklarna ACB och BAC om vinkeln BDC = 68°.
Elev: Vilka vinklar är ACB, BAC, etc.?
Läraren visar hur man läser av vinkelbeteckningarna med hjälp av en bild.
Lärare: Till exempel, vinkel B (i triangeln ABC) och vinkeln ABC är samma vinkel.
Angreppssätt:
• Att räkna ut de vinklar man kan, sedan införa beteckningar och ställa upp ekvationer. Detta sätt fungerar om man är van vid att hantera ekvationer och har koll på vad man vill få på ena sidan (om man betecknade ACB med x och BAC med y, så vill man få x-y).
• Att sätta ut så många lika vinklar som möjligt och försöka läsa av bilden (om man inte vill räkna med ekvationer). I detta fall tjänar man på att rita ut en extralinje, så att en vinkel med samma mått som den eftersökta skillnaden skulle bildas. Man kan räkna ut den med hjälp av regeln om yttervinklar.
Ingen av uppgifterna var enkel att lösa. Alla krävde någon tanke ”utanför lådan” och innehöll minst två steg i lösningen. När det bara behövs ett steg, en strategi, så kan man se direkt om ens egna strategi fungerar eller ej. Men man kan inte avgöra om man kommit ”halvvägs” eller inte, om man inte på förhand vet lösningen. Det gäller alltså att både våga chansa och våga satsa på sin strategi. Och väljer man en strategi som inte fungerar, så går det åt ganska mycket tid att inse det.
Trots allt detta är det väldigt kul att lösa svåra uppgifter (uppgifter som tar lång tid för en att lösa). Kanske är det därför som många av eleverna inte vill lyssna på ledtrådarna, för då skulle lösningsupplevelsen inte vara lika tillfredsställande. Jag var likadan när jag var yngre och brukade dessutom gå ur rummet när vi hade genomgång, bara för att inte få ”tricket avslöjad” för mig. Så mycket är det värt att lösa problemet själv.
Tyvärr lär man sig inte så mycket om man inte får veta lösningen till slut, därför är jag glad att alla eleverna på Matteklubben stannade för genomgång.
På varje uppgift fick minst en person gå fram och redovisa sin lösning. Vissa av lösningarna var ofullständiga eller hade fel och då fick andra i klassen hjälpa till personen vid tavlan eller komma med egna lösningsförslag. Ibland tog vi upp olika sätt att lösa uppgiften, som till exempel uppgift 2.
Eleverna känner sig olika säkra vid tavlan. De är oftast bra på att redovisa till klassrummet (och inte till läraren, så som många små barn gör), och de flesta i gruppen kan ta till sig deras lösning. Dock är eleverna ofta ovilliga att komma fram och eventuellt exponeras för kritik. Jag försöker betona att vi kritiserar lösningar hos den som presenterar dels för att förstå bättre och dels för att märka om personen gör ett matematiskt fel. Jag vill att eleverna gör likadant mot mig när jag själv presenterar en lösning. Samtidigt vill jag att man ska känna sig trygg vid tavlan och inte bli ifrågasatt som person. Alla ska tycka att det är ok att ha fel, men då kanske jag måste föregå med gått exempel och göra lite fel vid tavlan först :)
Detta ger mig en idé till en lektion, där eleverna skulle få en lista med felaktiga resonemang, där de ska hitta felen. Lite som med trollekvationen och den extra rutan. Jag tror att eleverna behöver träna på att kritisera inte bara andras muntliga, men också skriftliga resonemang.
Jag hoppas att vi kan köra igenom temat. Blandade uppgifter tar vi med för att de är underhållande och för att just ”blanda ut” ett ensidigt tema. Men informationsteorin, som vi ska hålla på med nästa gång, innehåller så pass varierande frågeställningar, att jag tror att vi inte behöver kika på något blandat. Jag ska tänka på att variera svårighetsgraden, så att inte alla uppgifterna blir svåra. Vi kommer också att utvärdera Matteklubben och förhoppningsvis öppna anmälningarna inför nästa termin!
På lektionen bevisade vi att vinkelsumman i en godtycklig triangel är 180° och en i fyrhörning 360°. Hur blir det med en femhörning, sexhörning osv.? Och hur bevisar man resultatet?
Det är inte bara månghörningar som har en viss bestämd vinkelsumma, utan andra figurer också. Vad blir vinkelsumman i en stjärna och varför är det alltid så?
Det här är alltså uppgifterna man kan tänka på hemma inför nästa Matteklubben-möte:
• Bestäm vinkelsumman i en n-hörning.
• Bestäm vinkelsumman (av de markerade vinklarna) i en femuddig stjärna.
Under andra matteträffen med högstadiet hade vi 19 elever som besökte oss. Vi var 3 lärare plus en till som hjälpte lite grann. Det var alldeles lagom för en grupp med elever som inte så ofta räcker upp handen. Men hade eleverna varit lika aktiva som de i åk 2-4, så hade vi lärare inte räckt till. Men som sagt, det var mycket lugnt i klassrummet.
Det är inte så lätt att börja med matematisk problemlösning sent i högstadiet, då man redan har lärt sig en del metoder och hur man brukar göra i matten. Det finns många uppfattningar om hur man bör göra som vi på Matteklubben försöker ändra lite. Det vill säga, vi vill visa dels att man kan göra matte på många olika sätt, dels vill vi lära ut att vara rigorösa i ens tänkande (annars blir det något annat än matte). Det är extra svårt att lära ut något när man ses så sällan!
Det var därför mycket klurigt att välja tema till lektionerna som är lagom svår, men som också är rätt ny för eleverna, där de inte redan har bestämda sätt att göra uppgifterna på. I andra länder är det vanligt att elever stöter på matematisk stringens först när de läser geometri. Samtidigt har vi i Sverige en mattetävling där eleverna presterar sämst just på geometriuppgifterna (mest för att de inte övat på sådana förut). Därför valde jag ”Vinklar” som tema på dagens lektion.
Men jag vill skriva om lektionen som har varit i kronologisk ordning, därför börjar vi med hemuppgiften.
Sist i uppgiftsbladet förra gången stod hemuppgiften. Den gick ut på att, med hjälp av att betrakta rester som tiopotenser ger vid division med talet 11, lista ut en delbarhetsprincip för talet 11.
Det var ungefär 3-4 elever som hade tänkt på uppgiften hemma, vilket är glädjande, det betyder att de tyckte att det var tillräckligt intressant och en lagom utmaning. Självklart förväntar jag mig inte att man ska titta på hemuppgiften, då det finns så mycket annat som kallar på ens uppmärksamhet. Men de som tycker att det är kul att utforska ska givetvis göra det, jag försöker att välja lagom uppgifter för det.
Innan vi tog oss an delbarhetsprincipen med 11 och elevernas teorier, repeterade vi beviset för hur man visar att ett tal och dess siffersumma ger samma rest vid division med 9. Mycket för att påminna om hur rester fungerar (att man kan subtrahera tal som är delbara med 9 och få samma rest) men också för att de som var nya på träffen skulle komma in i vad vi höll på med. Jag gjorde en tydligare uppställning än förra gången, då beviset lite hastigt gicks igenom på slutet av lektionen.
Sedan svarade vi på frågorna om vad det blir för rest när man dividerar 100…00 (jämnt antal nollor) med 11 och när man dividerar 100..00 (udda antal nollor) med 11.
I det första fallet tyckte eleverna att svaret var 1, och för att visa det subtraherade vi talet 99..99. Vi diskuterade dels hur många nior det fanns i talet (lika många som nollorna i tiopotensen), dels vad resultatet av divisionen 99..99/11 blir. Eleverna hade inte helt lätt för att svara på den frågan, förmodligen för att de inte är vana vid att jobba med icke-konkreta (stora) tal. Först fick vi svaret 99..9 (en nia mindre), men efter lite rimlighetskontroll förstod de att vi inte hade räknat rätt. En elev formulerade att svaret faktiskt blev 909090..09 (hälften så många nior). Sedan nämnde jag att det ändå inte var så jätteviktigt vad resultatet blev (men att resultatet är ett heltal är en försäkring om att talet verkligen är delbart med 11).
I det andra fallet tyckte vissa elever att svaret fortfarande var 1, men snabbt insåg vi att svaret var 10 (subtraherade talet 999…90 på samma sätt). Hur skulle vi nu kontrollera delbarheten av ett godtyckligt tal med 11?
Likt fallet med delbarhet med 9 gjorde vi ett konkret exempel med ett tal som bestod av några 10000-tal, 1000-tal, 100-tal, tiotal och ental (t.ex. 30000 + 7000 + 400 + 20 + 1). Varannan siffra gav alltså sig själv i rest (3, 4, 1) och varannan gav sig själv gånger tio (70, 20). Vi har förstås en delbarhetsprincip nu (det är bara att räkna ut summan 3 + 70 + 4 + 20 + 1 och se om resultatet är delbart med 11), men den är ju inte särskilt smidigt.
Skulle vi kunna subtrahera något mer, t.ex. från 70? från 20? Vi vill subtrahera något som är delbart med 11 för att inte förändra resten. En elev föreslog talet 66, och vi provade det och fick 4 som svar. Men det är inte självklart hur man från början skulle få den där fyran från siffran sju. På en förfrågning efter andra förslag sade en elev att man kunde subtrahera 77, och då skulle vi få -7 i summan. En annan elev insåg att det var logiskt att ta bort 22 från 20 (och då få -2 i summan). Tillsamman kom vi fram till att resultatet av 3 – 7 + 4 – 2 + 1 skulle ge ett tal med den sökta resten.
Nu bad jag en elev att formulera delbarhetsprincipen med 11, vilket blev att man räknar ut ”varannan siffra plus och varannan minus”. Vi testade slutsatsen på några exempel. På frågan om man skulle börja räkna med minus eller plus nämnde jag att det inte spelade någon roll. Det är inte trivialt varför det spelar någon roll, men jag gav en snabb förklaring om att resultatet blir precis samma, fast med omvänt tecken. Det spelar alltså roll för den exakta resten, men kvittar om vi bara ska bestämma huruvida ett tal är delbart med 11 eller inte.
Det var roligt att tillsammans bevisa den här riktigt svåra delbarhetsprincipen och se att många hängde med. Frågan är om eleverna kan upprepa det på egen hand, när de till exempel förklarar det för någon annan.
Jag valde vinklar som ett avsnitt i geometri, dels för att eleverna redan har mött dem och vet vad det är för något och dels för att många problem i tävlingen HMT handlar om vinklar. Lär man sig tekniken ”vinkeljakt”, det vill säga har vanan att räkna ut vinklar i olika figurer, så kan man komma ganska långt bara på det.
Tyvärr innebar det att eleverna behövde träffa på många nya begrepp på en gång, men jag försökte poängtera att det inte var lika viktigt att lära sig namnet ”alternatvinklar” som att känna till det faktum att sådana vinklar är lika.
Jag ritade upp en bild med två parallella linjer på tavlan, samt en linje som korsar dem. Det bildas många vinklar (åtta), men vilka av dem är lika? Jag tror eleverna redan hade en känsla för det, men det är ju viktigt i geometri att nämna vad som räknas som ett ”vetertaget faktum” (axiom) och vad som inte gör det. Jag pekade på några par vertikalvinklar och sade att de var lika, förklarade vad likbelägna vinklar var (och att det var lika), samt att det då följde att alternatvinklar var lika.
Jag gjorde genomgången av alla tre begreppen på en och samma bild och dessutom lite för hastigt, eftersom jag var ivrig med att komma igång med problemlösningen. Men i efterhand ser jag att det där med ”vedertagna fakta” inte uppfattades av de flesta eleverna. Vi hade tjänat på att gå igenom dessa typer av vinklar noggrannare, långsammare och inte på en och samma bild.
Jag berättade också hur man brukar markera lika vinklar i en figur. Det spelar inte så stor roll vad man väljer för beteckning, så länge alla likadana vinklar är markerade på samma sätt. Man kan markera lika vinklar med lika många bågar eller med lika många streck på bågen eller med ett hjärta om man så vill.
Eleverna fick lösa uppgifter om vinklar i kanske 35 minuter. De flesta försökte på egen hand, några samarbetade och var två och två. Efter varje uppgift har jag har skrivit upp några av typiska svårigheter och frågor som eleverna (och lärarna) hade, samt hur det gick för dem att lösa uppgiften.
1. Två linjer skär varandra. En av viklarna som bildas är lika med 41°. Vad är de andra tre vinklarna lika med?
Eleverna tolkade som att bilden ”vertikalvinklar” hörde till den uppgiften (eftersom den fanns direkt bredvid). Till elever, som hade svårigheter med frågan, gav jag ledtrådar av typen ”vilka vinklar är lika på bilden?”, ”vad vet man om summan av de alla fyra vinklarna?”. Efter det hade de flesta inga problem med att lösa uppgiften.
2. Markera så många lika vinklar som möjligt i a) en kvadrat c) ett parallellogram:
b) en rektangel
c) ett parallellogram
Eleverna hade inga problem med att markera de parvis lika vinklarna (förutom en överanvändning av streck i vissa fall, en vinkel med fem överstrykningar gick inte att skilja från en vinkel med sex överstrykningar, och där gav jag rådet att använda en annan beteckning). Men nästan ingen kunde motivera varför de markerade vinklarna var lika. ”Eftersom de är lika stora”, fick jag höra några gånger. Det var helt nytt med motivering inom geometri för de flesta eleverna. Därför krävde vi inte någon rigorös förklaring på alla egenskaper hos figurerna, men stannade och diskuterade gärna om sätt att dra slutsatser på. Helt enkelt visade vi hur problemen kunde angripas strikt matematiskt.
Till exempel kunde vi fråga varför alla vinklar i mitten av kvadraten (där diagonalerna skär varandra) var lika stora och nöja oss med svaret ”kvadraten består av fyra likadana trianglar”. Men ingen refererade till ”likbelägna” eller ”alternatvinklar”, antagligen på grund av ovanan vid axiomatiskt resonerande (eller min hafsiga genomgång). Skönt i alla fall att eleverna höll med Euklides om att dessa axiom gäller :)
3. Vad är vinkelsumman i a) en triangel? b) en fyrhörning?
Här skrev de flesta eleverna ner rätt svar, men nästan ingen hade någon som helst motivering till det. På grund av detta stannade vi upp i den enskilda problemlösningen och hade en gemensam slutledning om varför vinkelsumman i en triangel alltid är 180° (ALLA visste det, men INGEN hade sett något bevis för det). Eleverna hittade på ett spännande sätt som gick ut på att kopiera triangeln och lägga den upp och ner ett par gånger. Vi behövde fortfarande använda ”alternatvinklar”-axiomet, men det sjönk nog ändå inte in att vi använde det. Det kommer ta ett tag innan gruppen är vana vid bevis!
Vad gäller förhyrningen så hade ett par elever bra idéer som gick ut på att en fyrhörning består av två trianglar (vilket ju egentligen räcker för att bygga ihop ett riktigt bevis). Vi gick igenom det på slutet av geometrimomentet och då tog jag även upp icke-konvexa fyrhörningar.
4. En linje skär två andra parallella linjer. Bestäm vinkeln mellan de mostående inre vinklarnas bisektriser.
Eleverna som satte sig in i uppgiften kunde hitta lösningen genom att kombinera dessa två definitionsbilder. Jag kan tänka mig att om uppgiften skulle ha tagits upp på någon annan träff, så skulle en del inte kunnat lösa den. Men i samband med temat ”vinklar” och ett par ledande bilder blir den tvärtom ganska lätt.
5. Går det att rita fem strålar från en punkt så att det bildas exakt fyra spetsiga vinklar mellan strålarna? Vinklar mellan varje par av strålar räknas, inte bara mellan grannstrålarna.
Det behövdes några förtydliganden för vad som gäller i den här uppgiften, men de flesta hade en intuitiv känsla för vad strålar och spetsiga vinklar är för något. Under genomgången fick en elev komma fram och visa sitt exempel (som för övrigt inte är trivialt att konstruera). Totalt var det kanske 5 elever som hade löst uppgiften (och velat gå fram till tavlan).
6. Yttervinklarna för triangel ABC vid hörnen A och C är lika med 115° respektive 140°. En linje, som är parallell med AC, skär sidorna AB och AC i punkterna M och N. Bestäm vinklarna hos triangeln BMN.
En fråga som många av eleverna (och till med någon av lärarna!) inte visste svaret på, var vad ”yttervinkel” är för något. En av lärarna läser inte uppgifterna i förväg av pedagogiska skäl, det vill säga för att titta på uppgifterna med samma nya ögon som eleverna på lektionen. Men kanske är det inte en strategi som håller. Det var hur som helst det ordet eleverna fastnade på. Men ett par elever hann ändå klara uppgiften, med det var inte jag personligen som lyssnade igenom lösningarna.
Allt som allt var geometri och vinkeljakt ett svårt ämne, framförallt för att eleverna var så ovana. Fördelen är att alla då är på samma villkor, ingen hade mycket mer förkunskaper än någon annan. Jag hoppas att eleverna gillade att upptäcka nya saker om vinklar och bevisföring. Om någon inte gjorde det, så kan det bero att det var ett för stort kognitivt steg att direkt hoppa in i bevisens värld eller så gillade kanske inte personen att hålla på med helt nya saker (och kanske hellre ville syssla med något bekant). I det senare fallet tror jag inte Matteklubben är en rätt aktivitet för personen, då vi kommer att hålla på med nya tankesätt varje träff.
Som jag har nämnt ovan, att motivera sina lösningar från grunden (använda sig av axiom) var någonting som var helt nytt för eleverna. När man pluggar matte möter man ofta olika typer av bevis (till exempel beviset för Pythagoras sats), men man ombes inte alltid att konstruera bevis själv. Egentligen är en motiverad lösning till vilken uppgift som helst ett bevis i sig, men brukar inte kallas för det. Därför är många universitetsstudenterna rädda för att hitta på bevis, de förstår inte hur man går till väga.
Tanken är att eleverna på Matteklubben så småningom inte ska bli rädda för att motivera saker så utförligt som möjligt. Det handlar dels att lära sig om vad som är allmänt vedertaget fakta (t.ex. behöver man inte bevisa att 1 + 1 = 2, trots att det egentligen går att motivera), med också vad som inte är det. Och dels om att bli säker på att man inte missat några möjligheter i sitt bevis. Den känslan utvecklas när man blir bra på logik och kombinatorik, vilket vi ofta övar på när vi löser blandade uppgifter.
Jag har bloggat om bevis tidigare: Vad är ett fullständigt bevis?, Att bevisa. Ett exempel på ett bevis hittar du här: Klassiska bevis: roten ur 2 irrationellt.
I samband med att tävlingen HMT hålls den 11:e november ville jag lägga ner en del av lektionen på att informera om den och att träna inför den genom att lösa gamla problem. Bara några stycken i gruppen hade hört talas om Högstadiets Matematiktävling, vilket kanske inte är så konstigt, eftersom få skolor i Uppsala har deltagit de senaste åren. (En elev som var med på första träffen hade dock gått till final förra året och presterat bra!)
Eleverna som går i Matteklubben är de mest lämpade att delta, men för att de ska kunna göra det, behöver deras lärare vara delaktiga. Därför fick alla ett informationsblad som de kunde ge till sina respektive lärare. Sista anmälningen är den 4:e november och det går att läsa mer om tävlingen på HMT:s hemsida.
Jag hoppas att några elever vill delta, de har en god chans att ta sig vidare till final! Oftast behöver man lösa ungefär 4 problem (av 6) för att gå vidare. Men det är förstås frivilligt och man ska bara tävla om man tycker att det är kul.
Vi hade bara någon halvtimme kvar av lektionen för att öva på gamla HMT-problem. Men klassen hann lösa alla uppgifter en minut innan lektionen skulle sluta! Det vill säga varje uppgift löstes av åtminstone en elev. Även om jag sade att uppgifterna inte var ordnade i svårighetsgrad, så försökte de flesta ändå att lösa uppgifterna i ordningen de stod, det är ju svårt att avgöra svårighetsgraden innan man har ett hum om uppgiften.
Som det märks från mängden material som vi hinner ta upp under en lektion, så kan eleverna ta in en hel del kunskap. Men de har inte riktigt lärt sig att tillämpa allt vi pratar om. Det är inte så konstigt. Det är ganska lätt att visa häftiga saker för intresserade elever, kanske berätta om sitt eget sätt att se på matte eller visa en naturvetenskaplig grej som någon annan har kommit på (sådant som förekommer på tekniska museer). Men det är svårt att lära ut genomförande, det vill säga förmågan att komma på egna häftiga saker. Det tar många år av arbete och träning.
Det är dock väldigt viktigt att ta vara på intresserade elever, eftersom de i framtiden kommer att kunna bli riktigt bra ingenjörer eller forskare (eller något annat häftigt). Målet är ju att de ska komma på nya saker och därför behöver de att träna på den förmågan. Däri ligger Matteklubbens styrka och utmaning! Det finns hur mycket som helst i matematiken som bjuder in till upptäckter, men det gäller att välja sådan material som passar eleverna. De ska ha en chans att både göra upptäckter som någon annan har gjort före dem, men också ha möjligheter för att hitta på helt nya lösningar!
När man lär sig vissa skills så finns det ofta sätt att utvärdera dem. I karate finns det bälten av olika färger som visar på vilken nivå du har uppnått hittills. Om du lär dig att dansa så ordnas det dansföreställningar som markerar slutet av någon inlärningsperiod. Om du spelar fotboll på fritiden finns det matcher som ditt lag spelar mot andra. Och i skolans ämnen finns betyg.
Men vad händer om du är intresserad av mer matematik än den som finns i skolan? Hur kan du avgöra om du blir bättre på det?
Ett sätt är att plugga en bok från en högre årskurs på egen hand. Du kan se om du räknar rätt på uppgifterna och på så vis läsa svårare ”skolmatte” och så småningom även universitetsmatte. Det är en helt ok väg att ta om du litar på att kurserna i skolan och högskolan är upplagda på ett bra sätt. Det är svårt att lägga upp kursplanerna i ett ämne som du inte kan än, så det är kanske det enda sättet att lära sig matematik på egen hand.
Men matematisk problemlösningsförmåga är svårare att mäta på samma sätt. För det behöver man jämföra sig med andra, eftersom det inte finns några etablerade nivåer inom problemlösning. Jag känner inte till något bättre sätt att sätta sina kunskaper på prov än just mattetävlingar.
Man löser kluriga uppgifter på tid! Oftast handlar det inte lika mycket om att kunna begrepp från skolmatten, utan att kunna tillämpa sina kunskaper. Det finns individuella tävlingar och tävlingar för små grupper (främst i högstadiet). Ibland får man vara på sin egen skola och ibland får man träffa tävlande från andra skolor (oftast på finalen av respektive tävling).
Du kan kolla upp de olika tävlingarna:
HMT (Högstadiets matematiktävling)
PQ (Pythagoras Quest)
SigmaÅtta
SMT (Skolornas matematiktävling)
Förutom att det är ett sätt att utvärdera sig själv, så är den sociala aspekten en stor grej av tävlingar. Många brukar säga ”det viktigaste är inte att vinna, utan att delta” om fotbollsmatcher (för barn). Förvisso är det mycket roligare att vinna, men det är en enorm skillnad mellan att delta och förlora och att inte delta alls. Varje tävling är en chans att visa upp sig och göra sitt bästa. Att prestera på topp under kort tid (även vid förlust) är givande för de flesta i deras matematiska utveckling. Men att också umgås med andra, som försöker prestera på topp inom samma område, att utbyta tankar och erfarenheter med dem är ovärderligt. Därför är det hälsosamt att tävla om man kan ta en förlust.
Tävlingar anordnas för att hjälpa eleverna att hitta sin bana. Det är en belöning för dem som har valt att satsa på sina matematiska intresse.
På tävlingar görs reklam för vidare matematikstudier eller yrkesmöjligheter – självklart vill skolorna och företagen ha de bästa hjärnorna i Sverige.
De som anordnar tävlingar förstår deras betydelse för både lärare och elever. Som en av de som förbereder Högstadiets Matematiktävling kan jag säga att vi gör det mest för att stimulera intresset för svår matematik, så att den inte dör ut hos duktiga elever som har lätt för skolmatte.
En lärare kan få en helt annan inställning i klassen mot matte om hen inför kulturen av regelbundna tävlingar. Då finns det ett större mål med matematikstudier, vilka annars är svåra att motivera. För vad svarar man vanligtvis på frågan ”Vad behöver vi det här till?” under en mattelektion? Man säger ”Det här kommer du behöva senare i livet”, vilket är lite sisådär motiverande för en högstadieelev.
Om matteprestationer belönas extra med ära och erkännande, så blir det ”coolt” att vinna mattetävlingar och att vara bra på matte. Liten hälsosam konkurrens i klassen tjänar de allra duktigaste oerhört mycket på. De svagas självförtroende kan dock minska så man ska vara försiktig med att jämföra eleverna för mycket inom klassen. Betrakta istället klassprestationer som en gemensam sak, det vill säga, om det går bra för någon i klassen, så är det hela klassens förtjänst. Eleverna intresserar sig mycket mer för den skolmatten och har inget emot att nöta vanliga räkneuppgifter som ”träning” inför den svåra problemlösningen.
Lördagen den 21 januari var en spännande dag för ca 45 högstadieelever. De tävlade nämligen i junior-sm i matte, det vill säga finalen i Högstadiets Matematiktävling!
Vinnaren blev precis som förra året Lisa Lokteva från Borås, denna gång på en odelad 1:a plats!
Jag är extra stolt, eftersom Lisa har övat lite genom att lösa problemen på mattebloggen. Det har också Toomas Liiv gjort och han kom på delad 6:e plats i år! Grattis till de båda!
Jag var med och rättade problemet om cirklar och olika färger. Tyvärr såg bilden väldigt symmetrisk ut och några deltagare antog att delarna med samma färg hade samma area, men så var det inte nödvändigtvis (problemets text sade inget om saken). Men det var många som löste uppgiften rätt, det vill säga oberoende av de olika färgade områdens form och storlek.
Sedan var det dags för mig att hålla ett föredrag i aulan. Jag valde att prata om lösningstekniken ”att sno strategi” som fungerar i vissa sorts spel. Vissa problem hann jag inte prata om utförligt och du kan ladda ner föredraget och titta på det i lugn och ro.
Det handlar om att bevisa att man kan vinna eller spela oavgjort ett spel där man egentligen inte har någon aning om den optimala strategin. Precis som amatörkvinnan som kunde spela remi mot två förstaklassiga schackspelare (du kan börja kolla från 2:30):
© 2009-2024 Mattebloggen
