I Sverige finns en tradion av tävlingar för högstadier (HMT, Pythagoras Quest, Sigma8) och gymnasiet (SMT) men nästa inga tävlingar finns för mellanstadiet!
Vissa skolor anordnar förstås Känguru, men det är en individuell tävling, lagtävlingar saknas. Därför bestämde jag mig för att starta upp en sådan tävling som fick heta ”Borromeiska trianglar”.
Tre deltagare i laget symboliseras av tre trianglar
Jag har märkt på mina lektioner då det är tävling att barnen blir eld & lågor. På en lektion löser de 20 uppgifter då de vanligtvis skulle kanske löst 5. Ännu mer spännande blir det om man får se resultatet under tävlingens gång (ganska osvenskt) och man väljer då naturligt en konkurrent som ligger en närmast i poäng. Man får dessutom veta sitt resultat direkt!
Alla tävlar samtidigt
Ju fler lag desto lättare är det att hitta ett lag man är jämnbra med. Vi lever dessutom i ”snabbt internet”-eran, så varför inte kan flera städer vara med samtidigt och alla får se alla resultaten i molnet? Sagt och gjort, i år anordnas tävlingen för första gången den 27 maj kl. 10-12 i Göteborg, Karlstad, Stockholm och Lund.
Jag har fått kontakt med skolor i Paris och Munchen som var intresserade av att vara med, så kanske blir tävlingen till och med internationell!
Alla åk 4-6 välkomna
Alla elever är åk 4-6 är välkomna att delta, oavsett om man redan har ett lag eller inte. Enda kravet är att man är pepp på att lösa lite kluriga matteuppgifter ihop med andra.
På en rad utan mellanrum skrev man upp alla udda tal: 13579111315… På vilken plats, räknat från vänster, står den femte nollan?
Svar: Plats 109.
Förklaring: De udda talen 1-99 innehåller inte noll. Det finns 5 udda tal med en siffra och 45 udda tal med två siffror, så detta är redan 5+90=95 siffror.
De första udda talen som har 0 i sig är 101, 103, 105, 107, och 109, så den femte nollan kommer vara inuti talet 109. För att komma dit måste vi alltså passera 3+3+3+3+2 = 14 siffror till. Den femte nollan står alltså på plats 95+14=109.
I veckan besökte jag Matematikbiennalen i Karlstad, en stor händelse för mattelärare, där ett par tusen besökare fick vara med om föreläsningar, workshops och utställningar. Allt handlade om matematikundervisning.
Jag höll i en föreläsning där jag delade med mig om mina erfarenhet kring problemlösningslektioner. Följande poänger försökte jag få fram:
– Lektioner i matte följer nödvändigtvis en struktur pga förutsättningar och omständigheter, men man kan variera undervisningen genom att erbjuda eleverna helt olika sorters problem.
– Poängen med problemlösning är att man ställs inför problem man aldrig tidigare mött förut och vänjer sig vid att vara bekväm med det.
– Man kan ha ett problem som inslag i en lektion (där passar kluringar) eller ha en problemserie, där det också finns olika sätt att lägga upp det på.
– Det finns allmängiltiga ledtrådar man kan ge, men ledtrådarna kan även vara anpassade till varje elev om man ser vart hen är på väg.
– Elever som är svaga i problemlösning tjänar på att bli inkluderade via lek eller se att alla kan ha fel, även de bästa eleverna och läraren.
– Matematikens historia ska tas upp för att ge perspektiv på att eleven redan har lärt sig minst 1000 års visdom.
– I mattetävlingar som sker på lektionstid ska man kunna lämna in svar flera gånger för att bli uppmuntrad att försöka på nytt.
– Ge helst problem där man vill ta reda på svaret, eftersom att man KAN ta reda på svaret är inte uppbart från formuleringen.
– Problemlösnings finns till för att fostra matematiska färdigheter (sanningssökande, kreativitet, etc.) men också för att stärka matematiskt självförtroende, upptäckarglädje och njutning av vackra lösningar.
För konkreta exempel på problem och lektioner kan du ladda ner och bläddra igenom föreläsningen:
Tredje avsnittet av Genikampen innehöll mycket matte! Så mycket att det inte hanns med att skriva om det innan avsnitt fyra kom ut. Avsnitt fyra och fem kommer jag däremot att slå ihop till ett inlägg.
Avsnitt tre innehöll tre tävlingar: allmänbildningspyramiden, bombdesarmering och pussel i duellen.
Pyramiden
I pyramidtävlingen skulle vi välja ett av fyra svarsalternativ på varje fråga, ställa in lådorna med de sidorna framåt och sedan klättra upp på pyramiden för att få en kontroll. Programledaren Micke skulle då säga hur många rätt vi hade (men förstås inte vilka som var rätt) och då kunde vi ändra lådorna till nästa kontroll. Det gällde att få alla rätt, men hur ska man göra om man inte kan svaret på frågorna?
Hade man fått veta vilka frågor man hade fått fel på, så skulle det inte ta mer än fyra testomgångar för att lyckas få alla rätt — då tar man ju bara hela tiden nästa alternativ på de som är fel. Eftersom man bara får veta antalet, så gäller det att chansa lite vilka frågor man hade fått fel på.
Mer om detta senare, men i verkliga förloppet hade vi verkligen tur med att snabbt få noll rätt.
Foto: SVT/Genikampen/Axel Bååthe
Som sagt i programmet ger detta oss nu 3^10 = 59049 möjliga kombinationer för de rätta svaren som ska testat istället för 4^10 = 1048576, nästan 18 gånger färre det vill säga! I termer av utvunnen information är det till och med lite sämre att få fem rätt, då man inte vet vilka fem det är och resterande fem kan varieras på tre sätt, så antalet kombos som fortfarande funkar är:
Noll rätt är dessutom riktigt bra att få tidigt, då framtida manipulationer av lådor kan bara göras på tre sätt istället för fyra (om man nu kommer ihåg de felaktiga alternativen, men vi utgår från perfekt minne här förstås).
Nu är det intressant att avgöra vilken taktik som snabbast ger en alla rätt om man bara chansar (och inte använder faktakunskaper man tror man besitter, hade vi kunnat någon fråga så hade vi nog inte fått noll rätt :)).
För enkelhets skull jämför vi två taktiker: att chansa på en låda i taget eller att chansa på två lådor i taget (och sedan förändra dem en och en för att få båda rätt). Att vända på lådorna tar ungefär lika lång tid som att att vänta på svar från programledaren, så det är det totala antalet ”försök” som avgör tiden det tar att testa sig fram.
Om man vänder på en låda i taget (och har tre alternativ som kan vara rätt), så är det en på tre att man gissar rätt och två på tre att man gissar fel. I det andra fallet behöver man max gissa en gång till, sedan kan man gå vidare till nästa låda, eftersom man vet vilket alternativ som är rätt. Det allra sista kontrollen kan vi alltså bortse från (försumbart). Således, väntevärdet på antalet försök är:
Gör man detta för två lådor, blir väntevärdet då lite mer än 3.
Om vi vänder två lådor i taget kan vi få tre alternativ: antalet rätt ökar med 2, med 1 eller med 0. Om två lådor är rätt behövdes det då ett försök, om en låda är rätt, så behöver man först vända en av dem för att bestämma vilken låda som var rätt (om man vänder på den som var fel kommer antalet rätt öka med 0 eller 1 (det senare fallet händer med mycket liten sannolikhet), annars minska), sedan kommer man antingen behöva testa noll/ett alternativ till (om man vände på den lådan som var fel) eller ett/två alternativ (om man saboterade den lådan som var fel från början). Om man har däremot 0 rätt från början så vänder man på båda lådorna igen och sedan behöver vända en eller två gånger till för att få båda rätt. Totalt blir väntevärdet ungefär följande:
vilket också är lite mer än 3!
Därför spelar det inte så stor roll om man testar en låda i taget eller två (och sedan fixar till lådorna en och en). I längden får man göra lika många försök i alla fall.
Sedan är ju frågan om man ska gå efter genomsnittsfallet (3 försök på båda strategierna), på värsta fallet (att man har maximalt otur) eller på det bästa fallet (att man har maximalt tur).
Första strategin (vända en låda i taget) har följande antal försök (innan man vet de rätta svaren) på vart och ett av fallen:
Värsta fallet: 5
Genomsnittsfallet: 3
Bästa fallet: 2
Andra strategin har följande:
Värsta fallet: 4
Genomsnittsfallet: 3
Bästa fallet: 1
Detta visar på att om man vill köra ”safe” så ska man satsa på andra strategin, då man behöver försöka färre gånger om man har otur. Men ointuitivt nog ska man också köra på den om man vill köra ”djärvt” och vill kunna klara pyramiden på färsta möjliga antalet försök. Den första strategin är helt enkelt för ”långsam”. Detta förutsätter att man har bra minne, men i övrigt tror jag båda lagen körde på den här strategin, vilket visar på en bra intuition för matematik och sannolikheter hos deltagarna.
Bombdesarmeringen
I andra tävlingen skulle lagen komma på ett kommunikationssystem för att kunna överföra siffrorna 0-9 och bokstäverna A-J utan ljud på ett långt avstånd till sina lagkamrater. För att inte hålla för mycket i huvudet kom båda lagen på ett system för antingen siffrorna eller bokstäverna och endast den typen skickades (gult lag skickade siffror, blått — bokstäver). Sedan översatte mottagarna på flotten: A=0, B=1, C=2 och så vidare. Detta system förutsätter att mottagarna inte till exempel råkar tänka att A=1. Effekten +/-1 är annars är ett vanligt fel vuxna brukar göra, till exempel när de programmerar eller beräknar antalet dagar i ett visst tidsintervall.
Systemet med siffror tyckte vi hade en fördel, eftersom uppgifterna gick ut på att få fram siffror, både i del 1 och del 2. Det hade varit lite extraarbete och osäkerheterna kommer in när man först ska översätta siffran till en bokstav, skicka bokstaven och sedan ska bokstaven översättas tillbaka till siffran i del 1. Men det verkade blå laget klara bra, det var inte det som var svårast, utan att lösa uppgifterna var det. Sedan är det ju en fördel i andra delen, att skicka bokstäverna direkt. I vilket fall blir det samma antal översättningarna för båda strategierna i andra delen.
Foto: SVT/Genikampen
När jag ändå pratar om osäkerhetsfaktorer, så är det just på grund av dem som det hade varit bra att skicka all information på en gång i andra omgången. Dykaren får veta fem bokstäver vars motsvarande kablar hen ska klippa. OM man räknat fel så finns det stor sannolikhet att kabeln med bokstaven inte ens finns. (OM man till exempel får två likadana siffror som svar så vet man redan på berget att man har gjort fel. Det vet man inte om man skickar en siffra i taget.) Då kan dykaren låta bli att klippa något och säga att en viss bokstav inte finns, vilket mottaggarna får försöka kommunicera tillbaka till räknarna.
Lag gult hann inte dock skicka ut någon information i del 2, utav vi fokuserade på att kontrollräkna istället då vi inte fick några likadana siffror.
Vad gäller del 1 så var det bra att skicka ett lås i taget, då man kan kolla just ett lås i taget (och inte en siffra i taget), om det är rätt, och kostnaden för fel är mycket mindre.
Här hittar du lösningar till alla uppgifter. Som jag nämner i det inlägget så kunde man löst uppgifterna på ett ännu smartare sätt, då man visste att svaret skulle bli en siffra. En smart lösning som min kompis Johan B tipsade mig till uppgiften
((√256 x 20 − 25^2 + 15^2 + 3^4) x 10) / 5 = ?
är följande:
Vi vill veta vilken siffra som resultatet är, därför räcker det att betrakta uppgiften ”modulo 10”, det vill säga studera slutsiffram i varje steg. Till exempel ser vi att vi har uttrycket (√256 x 20 − 252 + 152 + 34) x 2, därför kommer siffran att bli jämn. Och därför räcker att kolla vad uttrycket innan x 2 kommer att vara modulo 5. √256 x 20 slutar på 0 oavsett vad √256 är, därför kan vi strunta i att räkna ut det. − 25^2 + 15^2 är båda delbara med 5 och därför inte kommer bidra till sista siffran när man multiplicerar med 2 i slutet. 3^4 är det enda viktiga och vi kan räkna ut att det slutar på 1. Därför blir slutsiffran 1×2=2.
På liknande sätt kunde man ha gjort med kabel 3-uppgiften (försök själv!)
Det var svårt att se pusslen under programinspelningen, så vi roade oss med att räkna antalet kombinationer som varje pussel kunde vara i. Sedan gäller det förstås att hitta en bra sökväg mellan alternativen för att lösa pusslen snabbt.
Första pusslet består av sex bitar. Det var kanske givet vilken bit som skulle vara längst ner (om det inte var givet kunde man ta en godtycklig bit), så de resterande bitarna kan du placera på 5!*8^5 = 3932160 olika sätt (när du väl väljer en bit och en plats kan du vrida biten på 8 olika sätt vid den platsen, givetvis kommer de flesta sätt att direkt inte passa). Det är såklart inte rimligt att testa alla de sätten då en människa kan direkt se vad som passar och vad som inte passar. Ganska enkel brute force löser uppgiften i det här fallet.
Andra pusslet bestod av 18 bitar! Om man nu bara testar att lägga ner dem som en apa (utan att bry sig om hålen), så kan man göra det på 18!*4^18 sätt (varje pinne kan placeras på 4 sätt, em kombination av bak-och-fram eller inte och upp-och-ner eller inte), och det är för stort för att få plats i Google miniräknare-fönstret (storleksordningen 10^26)! Sedan kan man ha vissa symmetrier på hela konstruktioner, men det är bara en liten konstant som man delar med.
Man kan inte minska sökvägen jättemycket här heller, utan det finns väldigt många kombinationer ändå. Man får utgå från olika bitsorter och testa att starta på olika sätt. Inte konstigt att det tog lång tid…
Tredje pusslet är lättare än den andra, då det innehåller färre bitar. Här är tricket att börja med den största biten, den med mest volym och testa alla möjligheter för hur den kan sitta i den stora (än imaginära) kuben. Sedan ska den näst största biten in och så vidare. På så sätt kapar man sökträdet som bäst i början. Här är det svårt att uppskatta antalet kombinationer som behöver ”testas”, då pusslet har en mycket oregelbunden struktur.
Det tredje avsnittet av Genikampen var sprängfyllt med matte! Det var så pass mycket matte att jag behöver dela upp inlägget om det i två delar. I första delen vill jag presentera problemen som ingick i den andra lagtävlingen, samt lösningar till de alla.
Kodlås 1 bestod av tre uppgifter, där varje uppgift gav en siffra. Den tresiffriga koden skulle låsa upp det första låset under vatten. Kodlås 2 gav på samma sätt ett tresiffrigt kod till andra låset. Kablar 5 uppgifter gav 5 siffersvar, där 0 stod för A, 1 stod för B och så vidare till 9 som stod för J. Bokstäverna var kopplade till kablar som var safe att klippa av.
Foto: SVT/Genikampen
Kodlås 1
sifferkod 1
Sofie och Maria är syskon. För deras åldrar gäller följande samband: Summan är lika stor som produkten. Hur gamla är Sofia och Maria?
Addera talen.
Det här var enda uppgiften vi först gjorde fel på!
Den går ut på lista ut åldrarna S och M sådana att S+M = S·M.
Ekvationen S·M − S − M = 0 beskriver en hyperbel, som har oändligt många punkter. Men eftersom vi frågas efter heltalslösningar (och det bara ska vara en lösning som funkar), så funkar det bra att gissa.
Vi gissade på 0+0 = 0·0, men 2+2 = 2·2 funkar också. Det senare betraktas troligare som ålder (kanske säger man aldrig att någon är 0 år gammal), så svaret var 4 (och inte 0 som vi först trodde).
Första kodlåssiffran är 4.
sifferkod 2
En tjuv stal en säck med guldmynt i ett slott. För att komma ut ur slottet måste han passera tre vakter. Den första mutade han genom att ge vakten hälften av guldmynten. Vakten gav dock tillbaka 100 guldmynt av ren medkänsla. Den andra vakten fick hälften av tjuvens pengar men gav sedan tillbaka 50 guldmynt. Den tredje vakten fick hälften av pengarna men gav sedan tillbaka 25 guldmynt. Tjuven hade då 100 guldmynt kvar. Hur många mynt hade han från början?
Dividera svaret med 40.
Här är det lättast att gå baklänges. Tjuven hade 100 guldmynt i slutet.
Nu kollar vi hur mycket han hade innan varje händelse:
Innan tredje vakten gav honom 25 mynt hade han alltså 75 mynt (100-25).
Innan tredje vakten fick hälften av pengarna hade tjuven 150 mynt (75*2).
Innan andra vakten gav honom 50 mynt hade han 100 mynt (150-50).
Innan andra vakten gick hälften av pengarna hade han 200 mynt (100*2).
Innan första vakten gav honom 100 mynt hade han 100 mynt (200-100).
Innan första vakten fick hälften av pengarna hade han 200 mynt (100*2).
200/40 = 5.
Andra kodlåssiffran är 5.
sifferkod 3
Ett tåg består av ett lok och fem vagnar (A, B, C, D och E). På hur många sätt kan vagnarna ordnas så att vagn A kommer närmare loket än vagn B kommer?
Dividera svaret med antalet konsonanter i det svenska alfabetet.
Det går att ställa vagnarna på rad på 5! sätt. 5! står för uttrycket 5*4*3*2*1 = 120.
Detta beror på att en av de fem vagnarna kan ställas längst fram, en av de fyra kvarstående kan ställas på andra plats, en av de tre kvarstående på tredje plats, en av de två som är kvar kan ställas näst sist och ett alternativ har vi kvar för den vagnen som ska stå sist.
Exakt hälften av de ordningarna är sådana att A kommer närmare loket än B (och exakt hälften är tvärtom). Det beror på att alla ordningar kan paras ihop: varje ordning är i par med nästan samma ordning, fast där A och B har bytt plats. Till exempel är CADEB i par med CBDEA. Därför ska vi dela svaret med 2.
(Det här är för övrigt i stort sett samma uppgift som 2(a) här: LÄNK http://mattebloggen.com/wp-content/uploads/2014/09/Lektion2Permutationer.pdf)
120 / 2 = 60.
I det svenska alfabetet finns det 20 konsonanter (29 bokstäver totalt, varav 9 är vokaler).
60 / 20 = 3.
Tredje kodlåssiffran är 3.
Kodlås 2
sifferkod 1
Sofie satt på balkongen och gjorde sin matteläxa. Hon hade just skrivit svaret på en uppgift, när en duva kom flygande och lämnade sitt ”visitkort”, så att sista siffran (= entals siffran) i svaret inte syntes. Skillnaden mellan det ursprungliga svaret och det svar som nu syntes var 276. Vilket var det ursprungliga svaret?
Addera svarets siffror.
Om det ursprungliga slutsiffra var A, så kan talet skrivas som 10*X + A (oavsett hur många siffror talet har kan de skrivas som ett visst antal tiotal plus en slutsiffra).
När duvan har varit framme och busat hade Sofie talet X framme (antalet tiotal i det ursprungliga talet).
Det betyder att 10*X + A – X = 276
Det vill säga 9*X + A = 276.
Talet 276 är inte med i nians tabell, utan ger rest 6 när man dividerar med 9. Det betyder att A måste ha varit 6 och X i sin tur måste ha varit 30 (=270/9).
Så talet som stod där från början var 306 (=10*30+6). Detta är det enda svaret.
3+0+6 = 9
Första kodlåssiffran är 9.
sifferkod 2
Tre positiva heltal (naturliga tal) är så beskaffade, att om vart och ett multipliceras med de två övrigas summa, får man produkterna 120, 133 och 169. Bestäm talen.
Addera dessa tre tal och subtrahera det med det tal som kommer efter 13 i Fibonaccis talföljd.
Vi har tre tal som vi kan beteckna med a, b och c. Då vet vi att:
a*(b+c) = 120
b*(a+c) = 133
c*(a+b) = 169
Sen ska man bestämma talen står det, men det struntade vi i! Man skulle nämligen addera dessa tre tal senare, så vi fokuserade på att bestämma a+b+c (så man behöver inte bestämma vart och ett av talen).
c*(a+b) = 169. Eftersom 13*13 = 169 och 13 är ett primtal, går det bara skriva 169 som en produkt av tåv positiva heltal på två sätt:
169 = 13*13
169 = 1*169.
I det första fallet får vi att a+b+c = 13+13 = 26
I det andra fallet får vi att a+b+c = 1+169 = 170
Resan nu inser man att det är det första som är rätt (eftersom vi ska subtrahera 21 och få en siffra, men vi bevisar det korrekta svaret ändå utan att använda det).
133 = 7*19 och 7 och 19 är primtal, därav a+b+c är antingen 7+19=26 eller 1+133=134, så det måste vara 26!
(Detta stämmer även med faktoriseringen av 120 = 20*6 till exempel. Nu kan vi bestämma a, b och c för sig men det är för mycket jobb).
Fibonaccis talföljd är 1,1,2,3,5,8,13,21,34 och så vidare. Varje tal från och med det tredje är lika med summan av de två talen innan. Läs coola grejer om Fibonaccitalen
26 – 21 = 5
Andra kodlåssiffran är 5.
sifferkod 3
((√256 x 20 − 252 + 152 + 34) x 10) / 5 =
Det här är bara en vanlig uträkning. Men man kan ändå räkna ut det lite smart:
Då 256 är 2 upphöjt till 8, så är roten ur det 2 upphöjt till 4, det vill säga 16.
Multiplicerar man den stora parentesen med 10 och sedan dividerar med 5, så är det samma sak som att multiplicera parentesen med 2.
Sedan räknar man ut potenserna.
Då får man följande uttryck och du kan följa lite hur man kan tänka för att räkna snabbare:
(16*20 – 625 + 225 + 81)*2 =
(320 + 225 + 81 – 625)*2 =
(320 + 306 – 625)*2 =
(26 – 25)*2 =
1*2 = 2
Tredje kodlåssiffran är 2.
Kablar
Kabel 1
(6y-7)/4 + (3y-5)/7 = (5y+78)/28
Vad är y?
Detta är en vanlig ekvation, dessutom ser man att 28 är en minsta gemensam multipeln till 4 och 7, så det lättaste är att få bråken till gemensam nämnare:
7*(6y-7)/28 + 4*(3y-5)/28 = (5y+78)/28
Nu kan vi glömma bort 28:
7*(6y-7) + 4*(3y-5) = (5y+78)
Multiplicerar in talen:
42y – 49 + 12y – 20 = 5y + 78
Förenklar:
42y + 12y – 5y = 78 + 49 + 20
49y = 147
7y = 21
y = 3
Första kabeln ska ha bokstaven (3=)D.
Kabel 2
I herrtruppen till VM i cykel hade lagledare Hjulström tagit ut cyklister från enbart två klubbar – lika många från varje klubb. När det var dags för lagtempo, visade ett testlopp att alla åkarna i stort sett var jämngoda.
Hjulström beslöt därför att ta med två cyklister från vardera klubb i lagtempolaget. Ändå gav detta inte mindre än 36 tänkbara lagsammansättningar! Hur många cyklister bestod truppen av?
Den här uppgiften var inte det lättaste att tolka, så vi försökte tolka på ett sätt som skulle ge ett ensiffrigt svar.
Vi vet att det finns n cyklister i var och en av de två klubbarna. Om man ska räkna hur många sätt det finns att välja två stycken ur en klubb får man det från uttrycket n*(n-1)/2 (n sätt att välja den första, n-1 sätt att välja den andra, dela med två för att ordningen på de inte spelar roll, precis samma idé som i vagnuppgiften).
För att få antalet sätt att sätta ihop laget måste man multiplicera sätten att välja två från första klubben och två från andra klubben, vilket ska ge 36. Då n är densamma för båda klubbarna, innebär det att det ska finnas 6 sätt att välja två pers från en av klubbarna (för att 6*6=36).
Nu får vi uppställningen n*(n-1)/2 = 6, vilket betyder att n*(n-1)=12, så n måste vara lika med 4.
Så då är frågan om vi ska svara 8 eller 4. Troligen 8 eftersom det verkar som att man räknar in båda klubbarna i truppen.
Andra kabeln ska ha bokstaven (8=)I
Kabel 3
(15 – 7)(1500 – 25) – 2200 x 3 – 84 – 210 – 79 =
En vanlig uträkning till! Tur att man kan sina tvåpotenser:
210 = 1024
84 = (23)4 = 212 = 4096
Lille Micke sålde två fotbollskort för 21 kronor.
På det ena kortet tjänade han 10 % och på det andra kortet förlorade han 10 %.
Allt som allt tjänade han 5 %. Hur mycket hade varje fotbollskort kostat i inköp?
Svar: Addera dessa två tal och dividera summan med
den fjärde decimalen i pi.
Ett av de (till synes) svårare problemen! Lätt att virra ihop sig med procent. Men precis som i kodlåsproblemet med primtal behöver man inte lösa hela uppgiften. Vi ska ju använda summan av ursprungspriserna sedan, därför behöver vi egentligen inte ta reda på vart och ett av priserna, utan på vad det var tillsammans.
Om korten hade kostat A och B från början kan vi skriva villkoren som
21 = 1,1*A + 0,9*B = 1,05*(A + B).
Men om det är A+B vi är ute efter är uppgiftens andra rad helt onödig! Vi har:
21 = 1,05*(A + B)
A + B = 21/1,05 = 2100/105 = 300/15 = 100/5 = 20.
Och tur att man kan lite pidecimaler! 3,14159… Så svaret ska divideras med 5. 20/5 = 4.
Fjärde kabeln ska ha bokstaven (4=)E
Kabel 5
Då ett visst fyrsiffrigt tal multipliceras med fyra, får man ett nytt fyrsiffrigt
tal, där sifferföljden är omvänd jämfört med det första talet,
dvs. 4*ABCD = DCBA
Vilket är det ursprungliga talet?
Subtrahera svaret med 2004 och dividera den summan
med det tionde primtalet.
Här berättar jag en stor del av lösningen i tv. Men nu har jag chansen att kortfatta lösningen.
A = 1 eller 2, annars blir inte talet DCBA fyrsiffrigt. Då HL är jämnt, måste A = 2.
Då är D = 8 eller 9, annars är HL för litet (VL är minst 4*2000). Då 4*D ska sluta på A måste D = 8.
Vi har då 4*2BC8 = 8CB2.
Om vi fortsätter uträkningen med tiotal måste 4*C + 3 sluta på B. Samtidigt får inte B vara för stort (måste vara mindre än 3) för att multiplikationen 4*B00 inte ska ge ett till tusental.
Vi testar med olika C (i uppgiften är det inte givet att siffrorna A,B,C och D är olika även om det brukar vara så i sådana rebusar):
4*C + 3 = (”slutar på”) B
4*0 + 3 = 3 – för stort
4*1 + 3 = 7 – för stort
4*2 + 3 = 1
4*3 + 3 = 5 – för stort
4*4 + 3 = 9 – för stort
4*5 + 3 = 3 – för stort
4*6 + 3 = 7 – för stort
4*7 + 3 = 1 –
4*8 + 3 = 5 – för stort
4*9 + 3 = 9 – för stort
Då vet vi att B måste vara 1 och C är antingen 2 eller 7. Vi testar med båda:
4*2128 = 8512 – passar inte.
4*2178 = 8712 – passar!
Nu räknar vi ut kabelbokstaven:
2178 – 2004 = 174
Tur att man kan lite primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Det tionde primtalet är alltså 29.
174/29 = 6 (egentligen hade man kunnat gå från slutet och testat de tio olika ursprungstalen 2004+0, 2004+29, 2004+29*2 och så vidare, men det är lätt att vara efterklok).
Fjärde kabeln ska ha bokstaven (6=)G
Vi var klara med uppgifterna lite innan motståndarbomben smällde (men höll på att kontrollräkna)!
Det är riktigt kul att höra att så många är positiva till idén att ha Mattekollo nu i sommar! Här tänkte jag skriva lite mer detaljerat om vad jag har för vision.
Var ska det vara?
Då jag själv åkt på kollo som barn vet jag att jag inte bara njöt av matten och människorna, men också naturen. Därför skulle det vara idealiskt att vara ute på en gård någonstans, där det finns möjligheter till skogsutflykter och bad. Det viktiga med den miljön är inte bara att det är lugnande men också att det är isolerande, dvs man kan fokusera på matten, kamraterna och lärarna och inte ha en massa stadsliv runtomkring. Går det inte att vara på någon sådant ställe i sommar, funkar det givetvis med någon skola eller universitet. Kanske någon internatskola?
Perfekt vore det om eleverna bodde i rum för 2-4 personer, i samma hus som lärare som också bor 1-4 personer per rum. Det skulle behövas 2-3 klassrum, en matsal, samt ett lite större umgängesrum (se nedan). Finns det här i närheten av Stockholm/Uppsala vore det perfekt, men jag är öppen för de flesta platserna i Sverige. Tanken är att kollot ska vara rikstäckande.
När och hur länge?
Jag ser gärna till att kollot håller på i två veckor. Är man där en vecka eller mindre hinner man inte riktigt komma in i kollolivet (och inte i mattelivet riktigt heller). Jag vill att eleverna ska lära känna varandra (och oss lärarna) mycket bra. Hade jag haft möjlighet skulle jag ordnat det här i tre veckor, men det är kanske för länge för att hålla det första gången.
Just nu försöker vi bestämma om det ska vara i juni eller augusti. Om du (eller ditt barn) vill delta skulle det vara till hjälp för oss om du fyllde i preliminäranmälan, speciellt om du vill påverka tiden då kollot hålls.
Hur ser en dag på kollot ut?
Förutom vanliga saker som frukost, lunch och middag har vi obligatoriska mattepass. Jag tänker mig cirka 4 timmar mellan frukost och lunch (9-13 typ). Efter lunch finns det tid för att vila eller lösa ikapp matteproblemen eller hålla på med någon sport. Ungefär tredje-fjärde dag är det en matematisk lek/tävling efter lunch.
På lektionerna lär vi oss matteavsnitt som inte ingår i skolprogrammet (förutom möjligen i någon gymnasiemattekurs som t.ex. ”diskret matte”) samt tränar problemlösningsförmåga. Eleverna berättar lösningar muntligt för oss lärare. Jag siktar på att ha i snitt 1 lärare på 6 elever. Grupperna kommer vara 12-20 elever stora.
Senare på eftermiddagen hålls intresseklubbar för dem som vill: kanske lektioner i jonglering, diskussioner om minnestekniker, brädspelsmöten etc., allt beroende på vad vi lärare hittar på och vad eleverna vill göra. Efter middagen är det någon slags gemensam aktivitet för alla: teaterlekar, frågesport, disko, föreläsning, rollspel, sitta vid brasan etc., också det beroende på vad eleverna och lärarna vill göra.
Vad händer vilka dagar?
Om kollot hålls i 14 dagar, så tänker jag mig något sådant:
Dag 1: Ankomst
Dag 2-5: Första fyra mattedagarna
Dag 6: Helg
Dag 7-10 Andra fyra mattedagarna
Dag 11: Helg
Dag 12: Repetition inför det muntliga examen
Dag 13: Muntligt examensprov
Dag 14: Åka hem
Muntligt examensprov
För att avsluta kolloutbildningen på ett formellt sätt kommer varje elev att få lösa några matteproblem och berätta lösningar till dem. Det blir ett sätt att mäta hur bra man har blivit på problemlösning efter utbildningen. Men det viktigaste är att det blir något slags mål att jobba mot under kollotiden. Om det är tydligt att eleven inte klarar av att lösa grundläggande problem så blir man rekommenderad att inte åka på kollo nästa år. Vårt mål som lärare är att göra att alla antagna till kollot blir godkända och får åka nästa år.
Antagning
Min tanke är att hålla högsta möjliga nivå för matte och problemlösning i åk 6-7. Jag vill att mattestudierna ska vara intressanta och utmanande för alla deltagare, men alla som kommer ska ha chansen att klara av dem.
Därför vore det bra att anordna en uttagningsprocess, som t.ex. skulle kunna vara ett skriftligt hemmaprov. Eleverna löser en lista med svåra uppgifter under säg en månads tid och sedan skickar in lösningar till oss. Det kommer att ge oss möjligheten att välja de eleverna som både är de mest dedikerade (skriver och skickar in lösningar) och som redan är ganska bra på problemlösning. Matematikkunskaperna ska inte spela någon roll, utan förväntas vara normala för åk 6-7. Jag kan förstås tänka mig att anta elever på annat sätt också. T.ex. om man har dyslexi så ska det gå bra att berätta lösningar muntligt för oss, t.ex. via Skype.
Kostnad
Jag har svårt att säga för tillfället vad kostnaden för en elev hamnar på. Det beror väldigt mycket på var vi kommer hålla hus, samt huruvida vi kommer få sponsorer. För att ge ett hum så kostar de bästa mattekollon i Ryssland ungefär en månadslön för fyra veckor. Så om vi inte skulle få sponsorer gissar jag att kostnaden blir 10-15 tusen kronor, men då ska boende och mat ingå (inte resa). Dock tror jag att om eleven kommer känna sig hemma, kommer resan att vara ovärderlig för henom.
Mina erfarenheter
Det är svårt att beskriva i ord hur det känns att förstå gången bara vara bland likasinnade, men det känns helt enkelt fantastiskt. När jag var typ 13 och precis hade kommit till Sverige, så hade jag svårt att definiera vad ”hem” var för något, men att åka på Mattekollo varje sommar var en stabil punkt, det var som att komma hem. De somrarna har gett mig några av barndomens starkaste minnen. I princip alla från Ryssland som jag har håller kontakt med idag har varit elever eller lärare på något mattekollo. Jag har besökt matematikskolor många fler gånger än min hemstad sedan jag flyttade till Sverige. Så fäst är jag vid det! :)
Jag lär mig att göra pärlarmband på mitt första mattekollo.
Jobba som lärare
Att vara lärare på kollo är utmanande och underbart! Räkna med fullt sysselsatta dagar med planering av lektioner och fritidsaktiviteter. Förbereder man inte saker, så spenderar man tid med barnen. Men det är jätteroligt! Varje sak man jobbar på får man feedback på direkt! Du jobbar i lag med lika engagerade personer som du och vi är där för att göra en så bra upplevelse för barnen som möjligt.
Men egentligen räcker det nästan bara att du är där och är som du är. Det viktiga här är att eleverna får se att det finns vuxna som precis som de gillar matte och att man (precis som de) värdesätter intelligens och kreativitet. Givetvis har lärarna det yttersta ansvaret för barnen, men på sätt och vis är man deras kompis. Är man likasinnad spelar inte ålder någon roll!
Känner du dig manad att bli lärare eller hjälpa till med organisationen av Mattekollot? Fyll då i enkäten, helst innan 23 februari. Det verkar som att det finns en hel del som är intresserade av att vara med! :)
För en dryg vecka sedan hölls finalen i Högstadiets Matematiktävling i Stockholm! 49 skarpa hjärnor var med och löste 6 matematiska problem på tid och en kom ut som vinnare. Grattis Björn Magnusson från Lund som fick fullpoäng på alla uppgifter!
På delad andraplats kom två Lundabor också, nämligen Anna-Lisa Rathsman och Hugo Eberhard. Hela resultatlistan kan du se på HMT:s hemsida.
Jag och vinnaren av HMT 2015
Finalproblemen
Prova att lösa uppgifterna själv!
1. Lotta väljer slumpmässigt två olika tal bland talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Hon beräknar därefter deras produkt. Hur stor är sannolikheten att produkten är ett ensiffrigt tal?
2. Parken Parc des Mathématiques är formad som ett kvadratiskt rutnät med 5×5 trädgårdar. Två trädgårdar anses vara grannar om de har en gemensam sida (men inte om de bara har ett gemensamt hörn). Om man placerar en vakt i en trädgård så kan den vakta den parterren samt alla grannar.
a) Placera ut sju vakter i parken så att alla 25 trädgårdarna är vaktade.
b) Visa att det inte går att vakta hela parken med fem vakter.
3. I kvadraten ABCD dras fyra linjer: från hörnet A dras en linje till mitten av sidan CD, från B till mitten av sidan AD, från C till mitten av sidan AB och från D till mitten av sidan BC. Hur stor är fyrhörningen som bildas i mitten i förhållande till hela kvadraten?
4. I 3×3-rutnätet är vissa radprodukter och kolumnprodukter utsatta. Finn alla möjliga sätt att placera samtliga siffror från 0 till 8 i rutnätet så att produkterna blir korrekta.
5. En oändlig talföljd a1, a2, a3,… har egenskapen att för alla positiva heltal m och n gäller
Vidare vet vi att a3 = 2015. Bestäm a2015.
6. Aladdin önskar sig tre böcker med sagor. Varje bok skall ha två tusen och fjorton sagor. Var och en av sagorna kan vara antingen spännande eller romantisk. Dock kommer hans käresta att ta en av böckerna eftersom hon också vill läsa sagor.
Aladdin förklarar för anden att han kommer läsa två sagor varje natt, en från varje bok som han har kvar. Självklart läser han dem i den ordning de står i böckerna. ”Men”, förklarar Aladdin, ”jag vill ha omväxling, så ibland vill jag ha två olika typer av sagor och ibland två lika typer, och jag kräver att vid precis hälften av nätterna få en romantisk och en spännande saga”.
Kan anden ge Aladdin tre böcker så att alla Aladdins önskemål är uppfyllda, oavsett vilken bok hans käresta tar bort?
Statistik
Tävlingen innehöll flera svåra problem. Som mest kan man få 7 poäng på ett problem, men man kan också få delpoäng. Snittresultaten blev sådana:
* Problem 1: 5.18
* Problem 2: 5.98
* Problem 3: 2.76
* Problem 4: 3.70
* Problem 5: 2.64
* Problem 6: 1.08
Så det var problem 2 som var lättast och inte problem 1 som vi i juryn trodde.
På graden kan du också se hur många finalister (y-axeln) som fick ett visst antal poäng på respektive problem.
Arbetet i jurygruppen
I år var jag en av medlemmarna i jurygruppen och hjälpte till att ta fram problemen. Jag tror att juryn kan vara stolta över resultatet, då vi fick en tävling med roliga varierande problem. De flesta av dem innehöll någon twist och det var inte självklart hur man skulle lösa dem. Ändå är de möjliga att lösa eller vad tycker du? Är det något speciellt problem som du tycker är extra snyggt?
Själv gillar jag problem nummer 6 väldigt mycket. Från början hade den en annan formulering:
”Aladdin önskar sig ett rutnät med 2014 rader och 3 kolumner, där varje ruta är färgad antingen turkos eller gredelin. Han önskar sig specifikt ett rutnät som är sådant att vilka två kolumner han än väljer så är antalet rader där rutorna i de två kolumnerna har samma färg lika stort som antalet rader där rutorna har olika färg. Går det att uppfylla Aladdins alla önskningar?”
Vi valde att formulera om det till en mer konkret situation med sagoböcker. Olika människor föredrar olika formuleringar, men i slutändan ska det ju inte spela någon roll. Välj vilken formulering du vill och försök lösa Aladdin-problemet!
Vi började lektionen med leken ”Gissa talet”. Jag tänkte på ett tal mellan 1 och 10 och eleverna fick ställa ”Ja/Nej”-frågor för att försöka bestämma vilket tal jag tänkte på. Jag tror att det tog 5 frågor för dem att bestämma talet.
Här ska man vara tydlig om vad som gäller sista frågan. Ska man veta vilket tal det är efter x frågor eller ska man med fråga nummer x bekräfta talet? I uppgifterna räcker det att man vet vilket tal det ska vara, men man behöver inte fråga specifikt om det. Till exempel, om man vet att talet är 3 eller 4, frågar ”Är talet 3?” och får svaret ”Nej”, så behöver man inte fråga något mer, utan talet räknas som gissat.
Jag undrade sedan om hur många frågor som krävdes som mest för att garanterat gissa ett tal mellan 1 och 10 på det här sättet. Eleverna tänkte att 5 frågor räckte, men var osäkra på om 4 frågor var nog.
Startuppgiften var till för att presentera idén informationsteori, det vill säga hur mycket information man egentligen får när man det bara finns ”Ja” och ”Nej” som svar på frågorna. Hur mycket information är nog för att gissa talet?
Informationsteori: problemlösning och genomgång
Vi delade ut dagens uppgifter sedan och eleverna löste dem, mestadels på egen hand. För att alla ändå skulle ta del av varandras idéer körde vi genomgångar på tavlan allt eftersom. Då kunde eleverna snappa upp lösningssätt direkt för att eventuellt tillämpa dem på senare problem.
Problemen försökte jag ordna i svårighetsgrad, så att man successivt skulle sättas in ämnet och idéerna. Efter varje problem skriver jag dialoger jag hade med enskilda elever, samt med gruppen när vi gick igenom respektive uppgift på tavlan.
1. Du och en kompis spelar ett spel där ni ska ge varandra hemliga signaler. Ni har kommit överens om att man antingen kan blunda med ena ögat, med båda ögonen eller ha ögonen öppna, samt röra på vänster lillfinger eller hålla vänstra lillfingret still (alla andra rörelser spelar ingen roll, och görs för att avleda motståndarna från systemet). Hur många olika kombinationer av signaler kan du göra?
Elev: Jag vet inte om det räknas som samma eller olika om man blundar med höger- eller vänsterögat.
Lärare: Vi räknar det som olika i den här uppgiften.
Elever: Då har jag ritat upp alla möjligheter och det blir 4*2 = 8.
Lärare: Rätt!
2. Vilgot tänker på ett heltal mellan 1 och 8. Theo ställer frågor, som Vilgot bara kan svara ”ja” eller ”nej” på. Theo vill bestämma talet.
a) Kan han bestämma talet på tre frågor?
b) På två frågor?
Elev: Så här kan man göra med tre frågor (visar frågorna som man kan ställa och hur man fortsätter beroende på svar).
Lärare: Javisst, tror du det går med två frågor?
Elev: Nej, inte alltid.
Lärare: Varför inte?
Elev: Vet inte riktigt..
Gruppdisskussion: Lärare: Ni har kommit på olika sätt att ställa frågor så att man kan gissa talet garanterat på tre försök. Går det att hitta på frågor som alltid är desamma oavsett vad personen svarar?
Elever: De första två går. Först frågar man om talet är större än 4 och sedan huruvida det är udda eller jämnt.
Lärare: Japp, det funkar att ställa den andra frågan oavsett svaret på den första. Men går det med alla tre? Tänk på det…
En annan lärare: Jag vet hur man gör, men det är ganska komplicerade frågor…
Lärare: Det går inte med två frågor, varför inte?
Elev: (Berättar om halvering)
Lärare: Precis, det är en möjlig förklaring, här är en annan! (Berättar om hur man beräknar information för att särskilja mellan möjliga kandidater.)
3. På en balansvåg kan man jämföra vikten i vänsterskålen med vikten i högerskålen. Vågen kan antingen visa balans eller att vänsterskålen är tyngre eller att högerskålen är tyngre. Emilia experimenterar med att väga olika mynt för att jämföra dem med varandra. Klara antecknar resultatet av varje vägning på ett papper.
Emilia gör 5 vägningar. På hur många sätt kan Klaras protokoll se ut?
Elev: Första vägningen kunde se ut på tre sätt. Sedan är det liksom en förgrening, där det kan se ut på tre sätt till efteråt. Jag försöker skriva upp alla kombinationer.
Lärare: På hur många sätt kunde då protokollet se ut efter 2 vägningar?
Elev: 3*3 = 9
Lärare: Och efter tre? Och efter fem?
Elev: Ahaa.. 35.
4. 9 mynt ser likadana ut. Man vet att exakt ett av dem är falskt (men man vet inte vilket). Man vet även att alla äkta mynt väger lika mycket samt att det falska myntet är något lättare. Hur kan man bestämma det falska myntet med högst två vägningar? Går det att göra det på en vägning?
Elev: (Visar hur man gör med två vägningar).
Lärare: Rätt. Varför går det inte att göra på en vägning?
Elev: Hur man än gör så blir det en hög över som man inte vet något om.
Lärare: Men kan man inte lämna 1 mynt över och väga de andra?
Elev: Jo, men då vet man fortfarande inte vilket som är falskt, om det inte blir lika.
Det var inte så många som kopplade ihop uppgift nummer 3 och nummer 4. Jag förklarade sedan högt att man kan göra precis som i uppgift 2, fast istället för ”halvering” har vi ”tredelning”. Eller, om man gör på det andra sättet, så ska vi ha resultat som skiljer på 9 mynt, men vi kan bara få 3 olika resultat (”protokoll”).
5. Det finns 6 mynt, varav 2 är falska och väger mindre än de riktiga. Hur många vägningar behöver du som minst för att säkerligen bestämma de båda falska mynten?
En av eleverna visade korrekt resonemang för tre vägningar, men det var en annan lärare som kontrollerade detta. Tillsammans gick vi igenom den lösningen på tavlan. Sedan gällde det att motivera varför detta inte gick att göra på två vägningar.
Lärare: Nu är det inte ett mynt man ska bestämma, utan två. Hur många ”situationer” behöver vi skilja emellan? På hur många sätt kan 2 mynt av 6 vara falska?
Elever: (Kommer fram till att det är 15).
Lärare: Så vi har 15 misstänkta situationer. På hur många sätt kan protokollet se ut efter 2 vägningar?
Elever: 9.
Lärare: Alltså går det inte att skilja mellan 15 olika situationer, så det går inte att säkerligen bestämma de falska mynten på 2 vägningar.
6. En liksidig triangel är uppdelad i 9 små kongruenta liksidiga trianglar. Benni markerade en av de små trianglarna med osynligt bläck. Ivar kan peka på en triangel, vars sidor går längs med de utritade linjerna och då måste Benni svara huruvida den markerade triangeln ligger i den Ivar pekar ut.
Hur många frågor behöver Ivar som minst för att garanterat hitta den markerade triangeln?
Denna uppgift hanns inte med, utan den blev kvar i läxa. Jag förtydligade vilka regler som gällde på tavlan, nämligen visade upp exempel på trianglar med olika storlekar som man kunde peka ut vid frågor.
Andra (lite mindre) halvan av lektionen körde vi mattetävlingen ”Skottväxling”. Eleverna delades upp i lag om tre personer. Lagen fick de kreativa namnen A, B, C och D.
Reglerna till Matematisk Skottväxling är följande:
Varje uppgift ger ditt lag rätt till ett skott. Ange ert svar på en papperslapp och skriv vilket lag ni skjuter på. Var femte minut verkställs anmälningar i samma ordning som de har kommit. Fel svar räknas som ett ett klickskott och minskar er träffsäkerhet. Vid rätt svar slumpas det (beroende på er träffsäkerhet) huruvida ni träffar eller missar.}
Träffar ni så minskas den träffade lagets styrka med 1/5 av er styrka (en kvot avrundas neråt).
Är er styrka mindre än 15, så minskar er motståndares styrka med 3.
Efter spelets slut vinner den som är starkast då. Ursprungliga styrkor är 100.
Den ursprungliga träffsäkerheten är 2:2, det vill säga 2 chanser att träffa och 2 att missa.
Rätt svar ökar era chanser att träffa med 1, fel svar ökar era chanser att missa med 1.
Uppgifterna är indelade i 2 delar, del 1 ges ut i början, del 2 ges ut 20 minuter efter start. Spelet är slut antingen när det har gått 40 minuter eller när alla har skjutit sina 10 skott.
Ett lag får lämna svar på varje uppgift i godtycklig ordning och vid valfri tidpunkt, men inte mer än en gång per uppgift.
(Detta stod inte i reglerna, men vi förtydligade vid start att chanserna förändrades innan skotten avfyrades).
Vi körde tävlingen i två delar med 5 problem i varje. De flesta inlämnade svar var korrekta, så många skott under tävlingen träffade. Vi skrev upp protokoll direkt under tävlingens gång över vem som sköt på vem och hur mycket lagen minskade i styrka. Det var roligt att följa hur vissa lag ”förklarade krig” mot varandra då och då. Det var ganska mycket action och vi fyra lärare var sysselsatta nästan hela tiden!
Detta är ju en lek som det är svårt att ha vinnande strategi i, eftersom man alltid kan skjuta på den som leder. Men man kan vara lite taktisk med tidpunkter då man lämnar in sina svar.
I slutändan stod lag D som segrare efter en ganska jämn match! Tyvärr har jag inte sparat poängtabellen.
Här kan du själv prova att lösa Skottväxling-uppgifterna. Fråga mig om du vill veta de rätta svaren. Notera att den sista uppgiften på del B är lite annorlunda från de andra. Den är baserad på en uppgift som en av eleverna på Matteklubben kom på. Den var dock ändrad för att eleven inte skulle ha för mycket fördel i tävlingen.
På del A var uppgift 2 och 3 lättast och på uppgift 5 gavs flest felaktiga svar. Vi gick igenom den uppgiften i slutet av lektionen.
Prova gärna att organisera skottväxling i den egen klass! Det är roligt för de flesta, eftersom vilket lag som helst, oavsett styrka, har möjlighet att vinna. Anpassa uppgifterna efter elevernas nivå.
Hos oss var tävlingen i alla fall populär, vilket märktes på utvärderingarna. De flesta av eleverna i den här gruppen känner inte varandra så det var bra att ”tvinga” dem att samarbeta lite.
Utvärdering
I slutet av lektionen fick eleverna svara på följande frågor om matteklubben:
Vilken matteklubben-träff tyckte du bäst om?
Vilket tema var mest intressant?
Vilket avsnitt var svårast?
Vad kan fungera bättre med matteklubben?
Vill du se någon förändring inför nästa termin? Vad i så fall?
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in)?
Ja Nej Kanske
Det är lite konstigt ser jag nu att vi inte bad eleverna att bedöma deras insats, så som vi gjorde i de yngre årskursna. Vi missade nog helt enkelt att inkludera den frågan.
Resultatet av utvärderingarna
Efter varje svar står siffran för antalet elever som gav det svaret.
Vilken matteklubben-träff tyckte du bäst om?
– Den sista 7 (2 säger: för att det var tävling)
– Vet inte 2
– Nr 3
– Ingen var utmärkande
– Informationsteori
Vilket tema var mest intressant?
– Alla var ungefär lika intressanta 2
– Vinklar
– Informationsteori 5
– Delbarhetsprinciper
– Vet inte/ej svar 3
Vilket avsnitt var svårast?
– Vinklar 4
– Vet inte/ej svar 5
– Alla var bra anpassade så ingen var speciellt svår
– Andra lektionen 3
Vad kan fungera bättre med matteklubben?
– Ingen aning/Vet ej/ej svar 9
– Lättare uppgifter
– Mer tävlingar
– Tydligare vilken sal man är i
– Lite tidigare möten
Vill du se någon förändring inför nästa termin? Vad i så fall?
– Att varje person ska få göra en uppgift och så kan vi lösa varandras
– Vet ej/ej svar 7
– Lite tidigare möten
– Mer tävlingar
– Lättare uppgifter
– Jag vill ha det tidigare i veckan
– Enda förändringen jag vill se är hos mig själv och mina kunskaper. Matteklubben är bra!
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in)?
Ja 6
Nej 0
Kanske 6
Tankar inför nästa termin
Jag tänker precis som eleverna: mer tävlingar, bättre anpassad svårighetsgrad! Jag ska försöka köra tävlingar var tredje gång även i den här gruppen eller kanske en större tävling var fjärde gång och en minitävling var fjärde gång. Vi behöver även att träna på fler redovisningsformer, t.ex. ha skriftliga lösningar någon gång. Tyvärr kan inte vi ha Matteklubben tidigare på dagen, på grund av svårigheten att boka salarna tidigare.
Med en så pass liten grupp borde jag ha hunnit lära mig allas nivå och styrkor, men det har visat sig vara rätt svårt. Eleverna har varit ganska tysta under lektionerna och jag har själv uppmanat dem till att redovisa lösningar, åtminstone till mig. Vi får se om det blir bättre med tiden, att eleverna känner sig säkra på sin problemlösningsförmågor samt att det är helt ok att ha fel på Matteklubben. Nästa termin kan bara bli bättre! :)
Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan läsa om första, andra och tredje träffen med gruppen.
Nytt sätt att sitta
Den sista gången för terminen testade vi en ny bordsuppställning. Vanligtvis brukar vi behålla lektionssalen som den är, det vill säga ha 4 långa rader med bord och stolar, uppdelade i tre sektioner (den mittersta sektionen är störst). Det finns egentligen plats för cirka 40 personer, men vår grupp är inte lika stor längre (det brukar nu komma mellan 20 och 30 barn). Dels för att skapa naturlig ”gruppkänsla” och dels för att ha mer utrymme för att gå runt mellan grupperna gjorde vi några ”öar” med bord, med 4-6 sittplatser runt dem.
Några av barnen kom tidigt och hjälpte oss att flytta borden och stolarna. Det känns som att barnen gillade den här uppställningen, det är ju så det brukar vara i grundskolan och jag tycker att det ger en mer avslappnad känsla. Dessutom kunde vi snabbt skapa stort tomt utrymme i mitten av rummet för en aktivitet i slutet av lektionen.
Introduktion till scheman
Målet med lektionen var att introducera schemaritande i problemlösning. Den idén har vi gått igenom med årskurs 5-6, men nu behövde vi ta ner nivån något för att även de minsta barnen skulle förstå vitsen med tekniken.
Jag tycker om att börja lektionerna med en lekövning, så att alla kan komma igång och få en känsla för dagens tema. Denna gång var det dock svårt att göra övningar i form av spel, det vill säga, det fanns inget uppenbart mål för eleverna. Men de gjorde uppgifterna så som de blivit ombedda att göra och fick hum om dagens tema ändå. Följande fick de göra:
Varje grupp fick två papper. Första pappret skulle de riva sönder i några bitar (så många som de var i gruppen, det vill säga 3-6). Varje person skulle ta en lapp och skriva sitt namn på lappen. Sedan skulle de skrynkla lappen, lägga den i en hög och sedan dra en slumpvis annan lapp. På så sätt skulle varje barn få någon annans namn. På det andra pappret skulle de rita ett schema över vem som fick vems namn.
I den andra övningen skulle de sitta i grupper om 5-6 personer. Barnen skulle blunda och sträcka ut båda sina händer mot mitten. Sedan skulle de ta tag i någon annans hand med vänsterhanden, samt med högerhanden. När alla är klara får man titta igen. Sitter alla ihop nu? Om inte, vilka sitter ihop, vilka sitter inte ihop? Här behövde inte barnen rita, utan bara säga svaren högt.
Det blev lite förvirring över en andra uppgiften, då jag först bad dem att gissa ifall alla satt ihop eller inte när de fortfarande blundade. Vissa grupper kunde ge en gissning, vissa inte. Jag tror att de behöver ha lekt leken några gånger och känna igen situationen för att börja komma på strategier för att testa om de utgör en sammanhängande graf eller inte. Men denna lek var ny för dem och målet med leken var som sagt ganska diffus.
Efter att alla grupper hade testat att göra scheman på sig själva gick vi igenom allas ritningar från första övningen på tavlan. Vissa fick en triangel, vissa fick cirkel och vissa mer avancerade figurer. Vi kom överens om att en cirkel med tre personer är egentligen samma schema som en triangel. Barnen kunde då förstå att en cirkel med fyra personer är samma som en kvadrat. Och att en kvadrat kan ritas på ett annat sätt (som en ”åtta”/”timglas”). Jag försökte poängtera att det inte formen som räknas, utan vem som faktiskt fick vems namn. Detta motsvarar grafisomorfismer i matematiken och det är roligt att introducera isomorfismer till barnen i så tidig ålder och att de verkar förstå.
Grafer
Som vanligt fick eleverna försöka lösa uppgifter i grupper, men denna gång var det naturligt att grupperna blev lite större (på grund av hur gruppen satt i en ring runt ett par bord). Det gjorde troligen så att klassen löste uppgifterna lite fortare än vad de annars skulle ha gjort. Vissa grupper fick en extrauppgift när de var helt klara (en extra svår bild att rita enligt reglerna i uppgift 3).
Under varje uppgift skriver jag några diskussioner jag haft med grupperna.
1. Några barn gick på en picknick. En vuxen ritade av dem på en bild där varje barn blev en liten cirkel. Sedan ritade han ut pilar, som om varje pojke skulle peka på sina systrar. Så här så det ut:
(a) Vilka barn är säkerligen flickor? Markera dem med ett kryss.
(b) Är det några pilar som den vuxna säkerligen glömde bort att rita ut?
Lärare (ser hur eleverna har ritat): Hur vet ni av de överkryssade är flickor?
Elever: Det är de som man pekade på.
Lärare (ser att inga nya pilar är utsatta): Kan man inte veta något mer, någon som skulle ha pekat på sin syster? Vilka vet man är syskon?
Elever visar på en större grupp, men ibland visar (gissar?) helt fel också.
Lärare (när elever visar fel): Det här kan man inte veta säkert. De kan ha varit syskon, men också är det möjligt att de inte är det. Markera bara det som är helt säkert.
2. Harry Potter vet hur man omvandlar en padda till en prinsessa, en svamp till en
padda och ett päron, ett päron till ett äpple, en äppelskrutt till en kattunge och en
igelkott, en kattunge till ett päron eller ett äpple, en igelkott till ett päron, ett äpple
kan han dock bara omvandla till en äppelskrutt. Just nu har han bara ett äpple. Kan
han omvandla det till en prinsessa?
Elever: Det är svårt att se. Vi lyckas inte..
Lärare: Rita ett schema över vad Harry Potter kan göra. Då kan ni lättare se om svaret är ”ja” eller ”nej”.
Elever: Ahaa, kan svaret alltså vara ”nej”!?
3. Vilken av följande bilder går att rita utan att släppa pennan från pappret? Vilken går inte att rita på det sättet? Det är inte tillåtet att dra samma sträcka flera gånger.
Elever: Så här gjorde vi på den första. På den andra går det bara om man ritar ”ett tak”.
Lärare: Nu finns det inget ”tak” på den andra. Varför är det så att det inte går att rita? Man kanske kan börja i mitten?
Elever: Kanske… (prövar)… nä, det går inte att börja i mitten heller.
4. Går att rita följande figur utan att lyfta pennan från pappret med samma regler som innan?
Elev: Jag lyckades! Men jag kommer inte ihåg hur jag gjorde… Vänta så ska jag visa hur man gör (ritar igen).
Lärare: Japp!
5. Hitta på en figur som består av 8 linjer som inte går att rita enligt reglerna ovan.
Elever: Den här går inte.
Lärare: Består den verkligen av 8 linjer?
Elever: Ah, justja…
När de flesta av eleverna var klara med uppgifterna gick vi igenom dem på tavlan.
1. På den första uppgiften ritade jag upp situationen och pekade på cirklarna en i taget samtidigt som jag frågade ”ska det vara ett kryss där?” Då svarade eleverna unisont ”ja” eller ”nej”, förutom i fallen då cirklarna stod ensamma. Där är man faktiskt inte säker. Det skulle kunna vara ett ensambarn och man vet inte huruvida det är en pojke eller en flicka.
Sedan fick några elever komma fram och rita ut pilarna som saknades. Jag sade att halvsyskon inte förekommer i den här uppgiften, fast jag tror egentligen det inte var någon som frågade det heller.
2. Uppgiften om Harry Potter löste eleverna på lite olika sätt. Någon utgick från slutet och kunde motivera svaret ”nej” genom att säga att det inte går att få svamp på något sätt och man måste ha en svamp för att senare få en prinsessa.
Jag ritade ändå upp schemat med pilar över vad man kunde få ur vad, så att det blev klart att det fanns två åtskilda system och man kunde se direkt att det inte gick att gå med pilar mellan dem. Fördelen med den lösningen är att man kan svara på fler frågor än just den som ställs i uppgiften, t.ex. att man inte kan omvandla ett päron till en padda heller.
3. Vi ritade upp den första figuren på tavlan och kom fram till att den andra inte gick (utan att egentligen bevisa det). Jag frågade eleverna var det gick att börja (i vilken punkt) för att rita den första figuren. Efter lite testning kom vi fram till att bara två punkter gick att starta i för att få en korrekt väg.
4. Efter att en elev ritade upp vägen i tre kvadrater-uppgiften ställde jag samma fråga. Vilka punkter gick att starta på eller snarare, vilka punkter går det inte att starta på? Dock när någon elev pekade ut en ”omöjlig” punkt, så visade jag hur man kunde starta i den och rita upp figuren enligt reglerna. Till slut avslöjade jag att det faktiskt gick att starta i vilken punkt som helst.
Vi gick inte igenom teorin om Eulerstigar och hörn med udda/jämn grad, men eleverna är nu mottagliga för den idén efter att ha fått känna på sådana uppgifter.
5. Många grupper fick komma fram till tavlan samtidigt och rita upp sina grafer. Jag ringade in de som var korrekta (bestod av 8 linjer och var omöjliga att rita enligt reglerna), vilket de flesta var.
Efter genomgången tog vi en välbehövd rast. Enligt schemat skulle vi ha lekt knutleken, men jag senarelade den.
Julnötter
Många barn frågade vad ”julnötter” vad för något, eftersom de inte hade träffat på ordet ”nötter” i betydelsen ”kluringar”. Jag tror att vi fick den frågan från alla grupper :)
1. Erik var ute och julhandlade. 1/10 av alla sina pengar spenderade han på nötter, 2/5 på kakor och 1/2 på praliner. Hur mycket pengar hade Erik kvar efter att han hade handlat?
Elever: Hur ska man tänka här?
Lärare: Till att börja med, testa vad som skulle ha hänt om Erik hade 10 kronor från början.
Elever (efter att ha räknat): Då skulle han få 0 kronor kvar.
Lärare: Vad skulle hända om han hade 100 kronor från början? 150?
Elever räknar…
Lärare: Ni kan testa att rita upp delarna om det är svårt att räkna.
2. Det finns två timglas som kan mäta 7 respektive 11 minuter. Julgröten måste kokas i exakt 15 minuter. Hur kan man mäta denna tid med hjälp av endast timglasen? Försök att vända timglasen så få gånger som möjligt.
Elever: Hur funkar det här? Vi kommer inte på hur man ska göra.
Lärare: Vi har timglas så att vi kan mäta 7 minuter och vi kan mäta 11 minuter. Kan ni komma på hur man skulle mäta 18 minuter?
Eleverna kommer på hur man gör.
Lärare: 14 minuter då?
Eleverna berättar hur man gör.
Lärare: Försök att komma på ett sätt att mäta 4 minuter.
Efter ett tag kommer en av eleverna i gruppen på hur man gör. Då ber jag att förklara lösningen till de andra gruppen. Efter det brukar någon i gruppen eller samma elev komma på hur man gör för att mäta upp 15 minuter.
3. Har du någonsin gjort girlanger utav gubbar till julgranen? Nedan ser du hur du kan göra en girlang av snögubbar (eller ljus), men hur gör man för att klippa ut en girlang med varannan snögubbe, vartannat ljus?
Jag såg endast 1-2 grupper börja på den här uppgiften, eftersom vi hade så lite tid till julnötterna (och de var svåra). Men åtminstone en grupp lyckades göra girlangen.
I slutet av lektionen plockade vi bort borden och stolarna i mitten för att göra ett stort tomt utrymme för knutleken. Alla, både eleverna och lärarna, ställde sig i en ring. Vi gjorde samma sak som i början av lektionen, fast i helklass: Alla blundade, sträckte fram två händer och gick mot mitten. Jag hjälpte till när händerna skulle ta tag i varandra, så att alla händer fick en annan och så att inga tre händer möttes. Sedan fick alla titta igen och nu var det meningen att man skulle trassla upp ”knuten” utan att släppa händerna från varandra. Såklart kunde det bli så att flera separata ringar bildades, vilket några av eleverna förutspådde och vilket också hände. Också kunde det hända att några deltagare stod bak-och-fram i slutet, bara för att slutresultatet skulle bli en ring.
Det är faktiskt inte givet att knuten går upp, men oftast gör den det. I vårt fall hade vi en liten ring på två personer som lösgjorde sig i början, samt två större ringar som var fästa i varandra.
Efter att vi var klara skulle eleverna fylla i en liten utvärdering, men så fort de hade gjort det ville de leka knutleken igen. Det gjorde de även efter att lektionen var slut. Jag håller med dem om att det är en kul lek :)
Utvärdering
Precis som i mellanstadiet fick eleverna svara på följande frågor:
Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?
Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?
Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
1 2 3 4 5
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):
Ja Nej Kanske
Resultatet av utvärderingarna
Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så. Det märks vilken aktivitet föregick utvärderingen :)
Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?
– Lösa uppgifter tillsammans
– Mattekluringar 2 – det borde vara lite svårare och lättare beroende på vilka frågor det är.
– Knutleken 3
– Att man fick vara i grupper och räkna tillsammans 4
– Vet ej
– Allt! Bäst i världen!
– Mattelekarna 4
– Mera matte, mindre raster
– Att klippa rubiks kub
– Att alla uppgifter är lagom svåra
– Goda mackor
Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?
– Sallad på mackorna
– Vet inte 4
– Vissa uppgifter är svåra!
– Genomgångarna fast de var också roliga
– Att sitta och vänta
– Bara mattelekarna var roliga – minst roligt var allting annat 2
– Kortare genomgångar 3
– För korta raster 2
– Inget 3
– Julnötter
Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 0
Betyg 3: 9
Betyg 4: 5
Betyg 5: 5
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 11
Nej: 1
Kanske: 7
Tankar efter terminen
Det märks att de minsta barnen tyckte att det var roligt att gå på Matteklubben, men kanske var det roligast just att ”leka” med matte. Vi har försökt att blanda lek och allvar, speciellt på de senaste två gångerna och det ämnar vi att göra även nästa termin. Möjligen blir det lättare att göra lektionen tillräckligt varierande för att de yngsta barnen ska orka med, då vi kommer att ha 1,5h-lektioner i vår, något kortare än i höstas. Kanske finns det en poäng i att ha någon speciell aktivitet på rasten. På så vis förlorar vi inte så mycket på att göra rasten längre, och barnen får samtidigt samarbeta på ett mer avslappnat sätt och lära känna varandra.
Då matteklubben fortsätter hela 2015 kan jag nu planera ett löpande program istället för att ta enskilda teman. Nu när jag har bättre koll på barnen (och med mindre grupper) vore det kanske möjligt att följa enstaka barnens utveckling.
Har du tips på rastaktiviteter/lekar med matematisk vinkel som passar bra att göra i den här gruppen, kommentera gärna här nedan!
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen, andra träffen och tredje träffen innan du läser vidare.
Besök av Uppsalas Nya Tidning
Den fjärde gången fick vi lite halvt oväntat ett besök från Uppsalas Nya Tidning. De kom för att skriva en artikel om Matteklubben i och med att det hade blivit klart att satsningen skulle fortsätta under 2015. Tyvärr innebar det att jag behövde vara ifrån lektionen lite för att svara på journalisternas frågor. Men trots en hastig intervju blev artikeln ganska bra i alla fall! Enda felet de gjorde var att formulera läxan på ett oförståeligt sätt.
Det stod ”Uppgiften handlar om att räkna ut om det går att förflytta sig mellan våning ett och två med hiss i ett 100 våningshus om bara knapparna för våning sju och nio fungerar.” Just det där sista med knapparna vore ganska konstigt, utan uppgiften ska formuleras så som det står i läxan.
Hemuppgifterna
I den första hemuppgiften fick eleverna använda sig av knapparna +7 och -9 för att röra sig mellan våningarna. Många hade hunnit tänka på uppgiften redan på den föregående lektionen så att det fanns flera olika idéer. Den mest intressanta diskussionen uppstod när vi skulle förklara varför det går att ta sig från vilken våning som helst till vilken annan våning som helst med hjälp av dessa knappar.
Någon hade en lösning som använde sig av modulo 7 (förstås utan att dessa ord yttrades), det vill säga att först ta sig till en våning som ger samma rest modulo 7 som målvåningen och sedan åka uppåt sju steg i taget (det här gäller för stora målvåningsnummer). En annan hade förklaringen om att strategin för att ta oss upp en våning egentligen kan varieras genom att man byter på knappordningen. Vi kan alltid trycka på knapparna på så sätt att vi slipper åka utanför våningarna och till slut tar oss en våning upp eller ner, vad vi nu behöver.
Det var härligt att se att några elever hade intuion för dessa ganska så abstrakta idéer som moduloräkning och kommutativitet och deras användbarhet.
Den andra uppgiften handlade om hästarna på schackbrädet. Medelst en dialog med eleverna visade jag hur uppgiften kunde lösas med hjälp av en graf. Uppgiften är typisk på det sättet att det är lätt att förstå varför det inte går men svårt att förklara varför. Med en graf av möjliga hästförflyttningar blir det mycket lättare att se och förklara varför det inte kan gå.
Blandat
Den största delen av lektionen togs upp av blandade uppgifter som eleverna löste själva eller i par. De börjar bli väldigt bekanta vid sådana problemlösningssessioner, vilket betyder att vi lärare knappt behöver lägga någon tid på organisation eller disciplin. Vi kan istället snabbt besöka alla eleverna, lyssna på dem och ställa ledande frågor om det behövs.
Under varje uppgift skriver jag ner diskussionerna som jag hann ha med några av eleverna.
1. Shrek hade en stor bit tvål i form av ett rätblock. Efter att han hade duschat 7 gånger blev biten hälften så lång, hälften så bred samt hälften så hög som den var i början. För hur många duschar till räcker den tvålbiten som är kvar?
Elever: Det är svårt att veta hur det ser ut. (De har svårt för att rita 3D-bilder.)
Lärare: Försök att rita vad som skulle hända med en rektangel först. Sedan försök att rita rätblocket.
Elever: Den minskar fyra gånger (visar upp hur de har gjort för en rektangel och säger att det är samma för rätblocket). Sedan vet vi inte hur vi ska räkna.
Lärare: Det här stämmer om tvålen hade varit platt. Men den har en volym. Minskar den inte ännu mer om den också blir mindre på bredden?
2. Hur många tresiffriga tal finns, där alla siffror är olika?
Elever: Vi skrev upp alla sådana tal som börjar med siffran 1. Eller snarare, vi skrev de som börjar med 10.. och det blev åtta stycken. Det blir åtta sådana rader för tal som börjar med 1, så 8*8 = 64 tal. Men första siffran kan väljas som vilken som helst utav 9, så totalt 64*9 = 576 sätt.
Lärare: Ja, det verkar rätt. (Märker felet sedan vid genomgången.) Varför blir det förresten åtta rader?
Elever: (Räknar…) 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 (får ”åtta” ett par gånger, men till slut får ”nio”).
3. Hur stor area har den ifyllda rektangeln på bilden? Ange arean i antalet rutor.
Elev: Jag delade upp figuren i halvrutor och räknade alla de inuti bilden. Det blev 24.
Lärare: Ja, precis, så kan man göra!
Elever: På ett sätt fick vi 24, men när vi tittar på den som en rektangel så kan man dela upp den i 3*4 = 12 rutor (visar uppdelningen). Varför blir det annat svar?
Lärare: Det stämmer att man delar upp den i 12 rutor, men är det verkligen lika stora rutor som de ursprungliga? Hur var det nu man räknade ut arean på en ”stor” ruta? (Syftar på diskussion av hemuppgiften på den tredje träffen.)
Elever: Ah, de är större ja. De är två rutor stora, alltså är arean 12*2 = 24!
4. Emil plockar svarta och röda kort från en låda och lägger dem i två prydliga högar. Det är förbjudet att lägga kort av samma färg på varandra. Det tionde och det elfte kortet som Emil lägger ut är röda, det tjugofemte är svart. Vilken färg har det tjugosjätte kortet?
Elever: Om han lägger röd-svart-röd-svart och så vidare (på samma hög) från och med det tolfte kortet, så kommer det tjugofemte kortet vara svart och det tjugosjätte vara rött.
Lärare: Men om man skulle lägga korten på något annat sätt, kommer det tjugosjätte kortet fortfarande garanterat vara rött?
Elever: Ahaa, det är det som är frågan…
5. I Sifferlandet finns 9 städer som heter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. En turist upptäckte att det finns flyg mellan två städer bara om det tvåsiffriga talet som bildas av stadsnamnen är delbart med 3. Lista alla städer som man kan komma till från staden 1.
Här hann jag inte ha dialog med någon, men i efterhand fick jag se att både vissa lärare och elever var osäkra på om man fick mellanlanda. I gemensamma klassdiskussionen förtydligade vi det och gjorde klart uppgiften.
Efter den rätt så långa problemlösningssessionen hade vi en paus och sedan drog vi igång genomgången.
Redan i planeringsfasen bestämde vi att olika lärare skulle ta genomgången av varje uppgift. Så fem personer fick var sin uppgift. Det var roligt att se hur alla lärare på ett sätt var lika (frågade eleverna ungefär lika mycket som jag, ställde ledande frågor etc.), men på ett annat sätt också olika. Ingen lärare skulle ju leda redovisningen exakt likadant eller säga exakt samma ord. Jag tror att det är väldigt nyttigt, då mitt sätt att redovisa kanske tilltalar vissa elever, men inte alla. Andra lärare är helt enkelt andra bra förebilder och ju fler olika man får se desto bättre.
Samtidigt kunde jag sätta mig längst bak i klassrummet och se hur det hela såg ut från elevernas sida. Jag försökte också föregå med gott exempel och ställa frågor (som kunde verka dumma) om redovisningen tills jag förstod. Det vill säga, jag spelade inte med, utan jag förstod verkligen inte vissa saker och ställde frågor tills en av lärarna gjorde sakerna klara för mig. Det går inte trycka för mycket på att vi är på Matteklubben för att förstå och inte för att visa oss smarta inför varandra. Det finns inget skam i att inte förstå! Det hjälper ju den som förklarar att bli bättre i just konsten att förklara.
Symmetri
Genomgången tog rätt så lång tid, så den tematiska problemlösningsdelen blev rätt så kort. Några av eleverna påstod att de hade löst allting och fick därför extrauppgifter eller fyllde i utvärderingen tidigare. Vid närmare anblick såg jag att eleverna hade förhastat sig genom uppgifterna, missförstått några och bara trott att de hade löst det.
Nedan skriver jag några sätt som jag kunde syna lösningarna på.
1. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma. Hitta ett annat sätt.
Lärare: Man får endast skära längs med rutgränserna.
2. Observera att i samtliga fall är skärningslinjen symmetrisk kring kvadratens medelpunkt.
Således lönar det sig att rita länkarna två och två i motsatt läge. Börja vid kanten.
Bestäm vilka punkter som kan vara ändpunkter till en skärningslinje.
Försök att bestämma alla möjliga svar till uppgift 1.
Här var texten lite förvirrande (många svåra ord!), det var svårt för många att se att frågan egentligen kom efter bilden. Det var också svårt att tolka hjälpen för hur man skulle rita skärningslinjen. Jag tog en genomgång med några av eleverna hur man kan rita en sådan rotationssymmetrisk linje för att få en uppdelning.
Lärare: Kan man starta linjen på något annat ställe? Kan man ”gå” med linjen på olika sätt?
3. En kamomill-blomma har 12 kronblad. Under ett drag får man plocka antingen ett eller två intilliggande kronblad. Den som plockar det sista kronbladet vinner. Vem av spelarna, den som börjar eller den andra, kan vinna oavsett hur skicklig motståndaren är?
Lärare: Ni tror att ni vet vem som vinner? Låt oss spela! (Eleven får vara den spelaren, ettan eller tvåan, som de tror vinner.)
Då eleverna ibland trodde att man fick ta bort två blad, även om de inte satt bredvid varandra, gick deras strategi ut på det. Oftast vann jag, då de inte hade tänkt igenom sin strategi ordentligt, även om de hade fattat reglerna.
4. En turist måste promenera från ett tält till en lägereld samt hämta en hink vatten från en flod under promenaden (se bild).
Exakt vilken väg skall turisten välja för att den ska bli så kort som möjligt?
Den här uppgiften hann jag inte diskutera med någon. Den är svår att formulera på ett bra sätt. Vad menas med ”exakt”? Som matematiker vet man vad som man underförstått kan konstruera (linjer genom givna och erhållna punkter till exempel). Men som barn räcker det kanske bara att rita för hand. Den ungefärliga lösningen blir ju ”bra nog”.
Vi avslutade lektionen och terminen genom att fylla i en liten utvärdering. Följande frågor fick de svara på:
Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?
Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?
Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
1 2 3 4 5
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):
Ja Nej Kanske
Föräldrarna fick fylla i en utvärdering på nätet, men där har jag inte fått se svaren än.
Resultatet av utvärderingarna
Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så.
Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?
– Tävling 14
– Lyckas med att lösa svårare uppgifter och ha rätt
– Att lära mig nya sätt att lösa uppgifter 2
– Bra blandning av olika delar i matten (symmetri, schema mm)
– Samarbetsuppgifter 2
– När man löste ett problem genom att samarbeta med gruppen. Då blev vi stolta
– Problemlösning 4
– Att äta (3) och att göra uppgifter i små grupper 2
– Att vara med kompisar och räkna roliga uppgifter 2
– Lösa kluriga uppgifter 3
– Svår matte 2
– Läxorna/”förhören”
Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?
– Jobba i större grupper 2
– Långa tråkiga genomgångar och för komplicerade uppgifter
– Väldigt långa genomgångar 4
– Svåra uppgifter/uppgifter man inte förstod 3
– Lätta uppgifter 2
– Att det har varit så långt. Det kunde varit lite kortare
– Att inte få redovisa varje gång
– Inget/vet inte 9
– Att vissa fjantar sig under lektionerna
– Tävlingen – jag blir stressad …
– Göra tråkiga uppgifter
– Läxorna
– Kort rast
– Att ha fel 2
– Tävla och jobba
Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 1
Betyg 3: 10
Betyg 4: 19
Betyg 5: 3
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 20
Nej: 0
Kanske: 13
Tankar efter terminen
Spontana tankar jag har efter de här fyra träffarna och efter att ha sett utvärderingarna är att det blev en väldigt lyckad start!
Såklart har inte allting varit perfekt, till exempel har de långa genomgångarna kanske inte gett så mycket som vi trodde. En idé jag får är att ha genomgångarna i små grupper, att man turas om att presentera uppgifterna inför 4-5 andra. Något att experimentera med nästa termin!
En annan tydlig sak är att eleverna älskade att tävla. Jag har tidigare skrivit om varför tävlingar engagerar så och får elever att prestera på topp. Nästa termin planerar jag att ha små tävlingar kanske var tredje träff. Om möjligt hoppas jag att vi kan få besök av en mattegrupp från en annan kommun, så att våra elever kan tävla mot varandra.
Kanske behöver nivån på uppgifterna sänkas något, jag har lätt för att dra upp svårighetsgraden onödigt mycket. Jag hoppas att andra lärare kommer kunna hjälpa mig med det, de har nu fått erfarenhet och uppfattning om vad som är lagom för högpresterande elever i den här åldern.
Jag vill tacka eleverna, föräldrarna, de andra lärarna, kommunen och matteinstitutionen för jätteroliga fyra träffar, och ser fram emot att fortsätta nästa termin!
På grund av hastigt salsbyte rådde lite förvirring i början om var vi skulle hålla hus, men precis till lektionens början kunde vi samlas i en och samma sal. Vi blev 18 elever och 3 lärare, vilket räckte gott och väl då eleverna oftast inte vill ha så mycket hjälp från oss. De ville mest sitta och klura själva. Kanske har de den vanan på grund av hur de brukar bli behandlade på vanliga mattelektioner.
Hemfrågan
Vi började med att diskutera läxan som jag såhär i efterhand bedömer som mycket svår. Vi repeterade först beviset för hur man räknar ut vinkelsumman i en godtycklig triangel, och sedan i en godtycklig fyrhörning.
Därefter gav eleverna ett par förslag på hur man skulle gå tillväga med en femhörning. Vi diskuterade även fallet med de icke-konvexa månghörningarna. Strategin var att skära bort en triangel i taget och på så sätt minska triangelns vinkelsumma med 180°. Då kunde vi förklara varför vinkelsumman i en n-hörning blev (n-2)180°.
Vi gick inte rigoröst igenom varför man alltid KAN skära bort en triangel på det viset. Eleverna ha ju precis börjat med geometriska resonemang, och ett sådant bevis skulle ligga på för hög nivå. Jag har redan tendensen att överskatta elevernas erfarenhet av bevis. Jag måste komma ihåg att de flesta knappt har träffat på denna typ av matte förut. Den är inte alls som skolmatten, utan mycket mer som universitetsmatten! Vilket tyvärr ofta är helt skilda saker.
Vi diskuterade även uppgiften om vinkelsumman i en stjärna. Först spekulerade vi lite om hur mycket det kunde vara och fick förslag på svaren 180°, 360° och 540°. En elev hade förberett en lösning där han hade infört olika vinkelbeteckningar och ställt upp ekvationer. Med hjälp av hans lösning kunde vi få ut resultatet 180°.
Blandade problem
Planen var att både hinna med blandade problem och ett tema (informationsteori), men vi hann bara med den första delen. Det berodde på att alla problemen var riktigt kluriga och det behövdes tid för att knäcka dem.
Ibland var uppgifterna lite väl kortfattat formulerade, så jag skrev upp lite förtydliganden på tavlan. Till exempel: ”Allt kaffe och mjölk blev uppdrucket” (uppgift 1), ”Det är bara tillåtet att ta två glas i taget och jämna ut juicenivån i dem” (uppgift 3) och ”Det tog 2014 gånger att byta från grön till lila” (uppgift 4).
Under varje uppgift har jag skrivit reaktioner, frågor och funderingar som dök upp hos eleverna. Jag har även skrivit upp vanliga angreppssätt som förekom och försökt att analysera dem.
1. Under lärarfikat drack alla en hel kopp kaffe med mjölk. Det visade sig att Angelika drack en fjärdedel av all mjölk och en sjättedel av allt kaffe. Hur många lärare kom på fikat?
Elev: Det är så lite information i frågan. Man vet inte riktigt var man ska börja!
Lärare: Det är sant att det finns lite information. Ändå finns det bara ett möjligt svar.
Angreppssätt:
• Att ställa upp ekvationer. Kan ge information om man inte har för många variabler. Men man måste ha två olika variabler för kaffemängden respektive mjölkmängden (i uppgiften tas 1/4 och 1/6 av olika saker).
• Att anta att Angelika drack lika mycket kaffe som mjölk. Då kan man räkna ut hur mycket 1 kopp utgör av den totala mängden vätska och beräkna antalet koppar till 5. Problemet är att detta är ett specialfall och löser inte uppgiften då Angelika inte drack lika mycket kaffe som mjölk.
Elever: Vi tror att svaret är fem. Det funkar då.
Lärare: Då återstår det att bevisa att det inte kan vara någon annat tal. Varför tror ni inte att svaret kan vara fyra? Eller tre? Eller ännu mindre?
(Efter den frågan kunde eleverna vanligtvis knäcka uppgiften.)
2. Tre på varandra följande tal har summan A. Summan av de tre talen som följer efter betecknar vi med B. Kan produkten AB vara lika med 1111111111?
Lärare: Tror ni att det går eller inte går?
Elever: Vi tror att det går! Vi håller på att räkna ut på ett ungefär vilka tal det måste vara för att senare se vad det ska bli exakt.
Lärare: Ja, det är en bra strategi för att bestämma svaret utifall det går, att göra det på ett ungefär först.
Angreppssätt:
• Att börja räkna på exempel. Utifall det går så kan man råka stöta på rätt svar. Ifall det inte går, så får man en känsla för vad produkten kan bli för tal. Så det är en bra strategi överlag.
• Att beteckna första talet i raden med x. Om man kan uttrycka A och B med hjälp av x får man en variabel istället för två och då är det lättare att få hum om uppgiften. Minst en elev löste uppgiften med denna strategi.
• Att studera egenskaperna hos talen A och B. Är de jämna eller udda? Detta leder också till korrekt lösning.
3. På bordet står 8 glas med juice. Det är tillåtet att ta vilka två glas som helst och jämna ut juicenivån i dem (genom att hälla över juice från det glaset som har mer). Hur kan man med hjälp av sådana operationer göra så att alla 8 glasen innehåller lika mycket juice?
Elev: Totala mängden enheter ska vara delbart med 8, annars går det inte.
Lärare: Det är ok även om mängden juice i varje glas blir ett decimaltal i slutändan.
Angreppssätt:
• Att hitta på ett exempel där man vet hur många enheter juice det är i varje glas. Då kan man räkna ut hur mycket juice det ska vara i varje glas i slutändan. Problemet med strategin är att man ofta hittar på krångliga tal och inte kan få översikt över det specialfallet heller.
• Att försöka jämna ut nivån i fyra av glasen först. Denna strategi leder till rätt lösning.
• Att försöka få mängderna juice i glasen att bli så nära varandra som möjligt. Detta leder till approximativ, inte exakt strategi.
4. På kameleontuppvisningen ska kameleonterna byta färg: från röd till gul, från gul till grön, från grön till blå, från blå till lila, och från lila igen till röd. En av kameleonterna bytte färg 2014 gånger och gick från att vara grön till att vara lila. Men den gjorde ett enda misstag under uppvisningen och bytte färg till röd, när den inte skulle ha gjort det. Vilken färg hade kameleonten innan den gjorde misstaget?
Elev: Hur kunde kameleonten byta färg från grön till lila?
Lärare: Det menas att den var grön från början, sedan gjorde 2014 byten och till slut blev lila.
Angreppssätt:
• Att titta på vad kameleonten skulle ha fått för färg efter 2014 gånger. Sedan backa så många steg som behövs genom det felaktiga bytet. Detta fungerar om man har bra koll på antalet steg (och inte tar ett för mycket eller ett för lite).
• Att hitta på ett exempel där det fungerar. Det återstår att visa att svaret blir densamma oavsett vilket exempel man skulle ta.
5. I triangeln ABC är BD en bisektris (en linje som delar vinkeln vid B mitt itu). Bestäm differensen mellan vinklarna ACB och BAC om vinkeln BDC = 68°.
Elev: Vilka vinklar är ACB, BAC, etc.?
Läraren visar hur man läser av vinkelbeteckningarna med hjälp av en bild.
Lärare: Till exempel, vinkel B (i triangeln ABC) och vinkeln ABC är samma vinkel.
Angreppssätt:
• Att räkna ut de vinklar man kan, sedan införa beteckningar och ställa upp ekvationer. Detta sätt fungerar om man är van vid att hantera ekvationer och har koll på vad man vill få på ena sidan (om man betecknade ACB med x och BAC med y, så vill man få x-y).
• Att sätta ut så många lika vinklar som möjligt och försöka läsa av bilden (om man inte vill räkna med ekvationer). I detta fall tjänar man på att rita ut en extralinje, så att en vinkel med samma mått som den eftersökta skillnaden skulle bildas. Man kan räkna ut den med hjälp av regeln om yttervinklar.
Ingen av uppgifterna var enkel att lösa. Alla krävde någon tanke ”utanför lådan” och innehöll minst två steg i lösningen. När det bara behövs ett steg, en strategi, så kan man se direkt om ens egna strategi fungerar eller ej. Men man kan inte avgöra om man kommit ”halvvägs” eller inte, om man inte på förhand vet lösningen. Det gäller alltså att både våga chansa och våga satsa på sin strategi. Och väljer man en strategi som inte fungerar, så går det åt ganska mycket tid att inse det.
Trots allt detta är det väldigt kul att lösa svåra uppgifter (uppgifter som tar lång tid för en att lösa). Kanske är det därför som många av eleverna inte vill lyssna på ledtrådarna, för då skulle lösningsupplevelsen inte vara lika tillfredsställande. Jag var likadan när jag var yngre och brukade dessutom gå ur rummet när vi hade genomgång, bara för att inte få ”tricket avslöjad” för mig. Så mycket är det värt att lösa problemet själv.
Tyvärr lär man sig inte så mycket om man inte får veta lösningen till slut, därför är jag glad att alla eleverna på Matteklubben stannade för genomgång.
Genomgång
På varje uppgift fick minst en person gå fram och redovisa sin lösning. Vissa av lösningarna var ofullständiga eller hade fel och då fick andra i klassen hjälpa till personen vid tavlan eller komma med egna lösningsförslag. Ibland tog vi upp olika sätt att lösa uppgiften, som till exempel uppgift 2.
Eleverna känner sig olika säkra vid tavlan. De är oftast bra på att redovisa till klassrummet (och inte till läraren, så som många små barn gör), och de flesta i gruppen kan ta till sig deras lösning. Dock är eleverna ofta ovilliga att komma fram och eventuellt exponeras för kritik. Jag försöker betona att vi kritiserar lösningar hos den som presenterar dels för att förstå bättre och dels för att märka om personen gör ett matematiskt fel. Jag vill att eleverna gör likadant mot mig när jag själv presenterar en lösning. Samtidigt vill jag att man ska känna sig trygg vid tavlan och inte bli ifrågasatt som person. Alla ska tycka att det är ok att ha fel, men då kanske jag måste föregå med gått exempel och göra lite fel vid tavlan först :)
Detta ger mig en idé till en lektion, där eleverna skulle få en lista med felaktiga resonemang, där de ska hitta felen. Lite som med trollekvationen och den extra rutan. Jag tror att eleverna behöver träna på att kritisera inte bara andras muntliga, men också skriftliga resonemang.
Nästa gång
Jag hoppas att vi kan köra igenom temat. Blandade uppgifter tar vi med för att de är underhållande och för att just ”blanda ut” ett ensidigt tema. Men informationsteorin, som vi ska hålla på med nästa gång, innehåller så pass varierande frågeställningar, att jag tror att vi inte behöver kika på något blandat. Jag ska tänka på att variera svårighetsgraden, så att inte alla uppgifterna blir svåra. Vi kommer också att utvärdera Matteklubben och förhoppningsvis öppna anmälningarna inför nästa termin!
