Roligare matematik
Som vanligt åker jag till Ryssland där jag kommer att vara hela juli. Mitt uppdrag är att lära ryska barn matematik på ett mattekollo.
Bloggen är tillbaka i början av augusti, håll utkik efter den nya tävlingen i att lösa mattegåtor! Jag har funderat på att göra två olika tävlingar, en för grundskolan och en för de andra deltagarna, så kommer det nog att bli i höst.
Vi hörs! Ha en kanonsommar!
En tärning låg på bordet. Den flyttades ett steg i taget genom att rullas över på en ny sida (som gränsade till sidan som nyss var i kontakt med bordet). Till slut hamnade tärningen på samma plats som i början med samma sida uppåt. Kunde den översta sidan vrida sig 90 grader i förhållande till startläget?
Nej, det kunde den inte.
Låt oss beteckna kubens hörn med 
Om tärningen rullas över en gång, kommer tetraedern befinna sig i samma läge som 
För att tärningen ska komma tillbaka tillsamma ruta, måste den rullas ett jämnt antal gånger (föreställ er ett schackbräde på bordet, då byter rutan färg efter varje steg). Det innebär att den annorlunda tetraedern kommer att avbildas på sig själv.
Men om den översta sidan vrids 90 grader, så avbildas sidan 
Det finns två potatisar med godtycklig form och storlek. Visa att man kan lägga på var sin bit koppartråd på deras ytor så att det bildas två böjda ringar (inte nödvändigtvis platta), som har samma form och storlek.
Erik T. förser oss med lösningen nedan. De andra lösningarna var iofs precis likadana, kanske med något annorlunda formuleringar.
Jag ångrar dock lite att folk ibland kan lite för mycket topologi, eftersom jag fick följande kommentar från Johan B. när jag publicerade problemet:
”Jag tror du måste göra något antagande om potatisarna.
Låt ena potatisen vara en fylld torus, men istället för att tvärsnitten är cirklar så är de kochkurvor. En eventuell koppartråd som inte vill vara fraktal måste följa med torusen runt och bilda cirklar. Deras radie kan begränsas underifrån genom att göra innerdiametern på torusen stor. Låt den andra potatisen vara en epsilonsfär, det finns inga cirklar av stor radie på dess yta.”
Man ska anta att potatisar ser ut som potatisar :) Det vill säga är släta 3-dimensionella mångfalder, för de som inte äter potatis.
Placera potatisarna så att de överlappar varandra (om man tänker sig att de inte består av solitt material utan kan ”gå in i varandra”). De skär då varandra i någon slags kurva. Men denna kurvan ligger på båda potatisarnas yta. Alltså kan man lägga två kopparbitar med samma form och storlek (ge dem samma utseende som kurvan) på två valfria potatisars ytor.
På dataskärmen står ett tal, som varje minut ökar med 102. Från början står det 123. Programmeraren Daniel kan när som helst ändra ordningen på siffrorna i talet på dataskärmen. Kan han garantera att talet aldrig blir fyrsiffrigt?
Jadå, det kan han, till och med på flera olika sätt. Det här är Jonnes sätt, varje pil betyder att Daniel byter plats på siffror i talet:
123 -> 132
234 -> 243
345 -> 354
456 -> 465
567 -> 576
678 -> 687
789 -> 798
900 -> 009
111
213 -> 123
Följden är periodisk, det vill säga vi kan varje gång komma tillbaka till startsituationen. Därför kommer talet aldrig bli fyrsiffrigt.
På ett lager fanns likadana ostar. En natt kom sluga råttor dit och åt upp 10 av ostarna. Varje råtta åt lika mycket. Några råttor klarade dock inte av måltiden och fick ont i magen. Nästa natt kom de 7 råttorna som inte fick ont i magen och åt upp resten av osten. Dock fick varje råtta hälften så mycket som natten innan. Hur många ostar fanns det från början?
Alla lösningar jag har fått in går ut på att ställa upp ett ekvationssystem. Lösningen nedan är kopierad från Erik R.
Man kan definiera tre okända storheter: O för antalet ostar, R för antalet råttor och Ä för hur många ostar varje råtta åt under den första natten. Man får då förstås det enkla sambandet
R*Ä = 10 => Ä = 10/R
Man kan då räkna på O
O = 10 + 7*Ä/2
O = 10 + 35/R
Man tänker sig att O skall vara ett heltal, så om det inte finns några bråkdelsråttor som springer omkring måste R vara 1, 5, 7 eller 35. Det framgår dock att R>7, vilket ger R=35. Då blir förstås antalet ostar O=11.
En fotboll är hopsydd av 32 lappar: vita sexkanter och svarta femkanter. Varje svart lapp gränsar till bara vita, varje vit lapp gränsar till tre vita och tre svarta lappar. Hur många vita lappar finns det i en fotboll?
Man kan anta att Eulerkarakteristiken på fotbollen är 2 och arbeta utifrån det, om man nu vet vad Eulerkarakteristik är för något. Med nedan använder jag mig av Thomas lösning.
Det finns S svarta lappar och V vita lappar. Totalt finns det 32 st, så S + V = 32.
För varje svart lapp finns 5 vita lappar runt den, men varje vit lapp ligger intill 3 svarta, så 5S räknar varje vit lapp 3 gånger och vi får 5S / 3 = V
Och S + 5S/3 = 32, det vill säga 3S + 5S = 96 och då är S = 12, V = 20. Alltså finns 20 vita lappar.
Eftersom problemet vecka 19 var publicerat för sent ger jag er en extra dag att skicka in lösningar. Lösning kommer imorgon och likaså gör problemet för vecka 21 (denna vecka).
Ha det bra på handduksdagen allihop!
På bordet ligger en papperscirkel med radien 5 cm. Så länge det är möjligt, lägger Ilian till papperskvadrater med sidan 5 cm intill cirkeln så att följande villkor uppfylls:
1. Varje kvadrat har ett hörn som nuddar cirkeln.
2. Kvadraterna överlappar inte varandra.
3. Varje ny kvadrat nuddar den föregåendes hörn med ett hörn.
Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.
Jag fick in ett par fina lösningar, och jag kommer att använda mig av Erik T.’s bilder i lösningen (som ni kanske har märkt, ritar jag vanligtvis i paint, fastän jag borde ha lärt mig att TeX:a bilder för länge sen).
Säg att Ilian bestämmer sig för att lägga den andra kvadraten moturs från den första (det är symmetriskt ifall han lägger åt andra hållet). Det går bara att göra på ett sätt för att den nya kvadratens sida ska nudda både cirkeln och ett gammalt hörn (finns bara en punkt på cirkeln på avståndet 5 cm, som inte redan är upptagen).
Lägg på en till kvadrat, spelar inte så stor åt vilket håll, i vilket fall får vi tre kvadrater:
Eftersom cirkelns radie är lika med kvadraternas sidor, bildas figurer som kallas romber. En romb är en fyrkant med alla sidor lika. Man kan dela upp en romb i två trianglar och visa att trianglarna är kongruenta (sida-sida-sida). Då följer att rombens motstående vinklar är lika.
Den inringade vinkeln är 360°. Den består av en 90°-vinkel från kvadraten, samt två vinklar från var sin romb. Vinklarna från romberna är 180°-α respektive 180°-β stora. För att dessa tillsammans ska bilda en vinkel på 360°, måste α+β=90°.
Detta innebär att för varje två nya kvadrater bildas en ny 90°-vinkel runt cirkelns mittpunkt. Det finns tydligen plats för 8 kvadrater, eftersom hela vinkeln runt cirkelns mittpunkt är 360°.
α och β kommer dessutom alterneras (alla två romber bredvid varandra kommer att ge den sammanlagda vinkeln 90° runt cirkelns mittpunkt.
Således, om vi fortsätter att bygga på kvadrater kommer den nionde romben att sammanfalla med den första. Detta implicerar att den nionde kvadraten sammanfaller med den första. Alltså måste den åttonde och den första kvadraten nudda med hörnen (den åttonde och nionde gör det ju enligt konstruktionsreglerna). Så här ser det ut:
En och samma fredagsfilm startade samtidigt på två televisionskanaler. Ena kanalen delade upp filmen i stycken om 20 minuter och sände 2 minuter långa reklampauser mellan filmstycken. Den andra kanalen delade upp filmen i 10 minuters-stycken och hade reklampauser som var 1 minut långa istället. På vilken kanal slutade filmen först?
Om en film delas upp i stycken, är antalet reklampauser 1 mindre än antalet stycken.
Så om filmen delas upp i x stycken om 20 minuter, kommer den att ha x-1 reklampauser. Och om varje reklampaus är 2 minuter lång, blir det 2x-2 minuter reklam.
Om samma film delas upp i stycken om 10 minuter, blir det dubbelt så många stycken, det vill säga 2x. Det innebär 2x-1 stycken reklampauser och om varje paus är 1 minut lång ger det 2x-1 minuter reklam.
Det är lika mycket tid själva filmen tar på båda kanalerna och i det första fallet är det mindre reklam. Så filmen slutar först på första kanalen!
Thomas skrev ner alla dagar i en viss månad på en rad: 123456789101112… Sedan målade han över 3 av dagarna (som var hans kompisars födelsedagar) och inga övermålade dagar var precis efter varandra. Det visade sig att alla omålade områden består av exakt lika många siffror. Kan den första dagen vara oövermålad eller måste den vara övermålad?
För andra gången på kort tid använder jag mig av Erik R.’s lösning :)
Antag att den första dagen är omålad.
Det finns ett ojämnt antal ensiffriga dagar. Det innebär att om den första övermålade dagen är en tvåsiffrig dag, så måste det omålade området vänster om den ha ett ojämnt antal siffror.
Men det går inte, därför då måste även de andra omålade områdena, som består av tvåsiffriga tal, ha ett ojämnt antal siffror. Således måste den första övermålade dagen vara ensiffrig.
Men om den första övermålade dagen är ensiffrig, så har det omålade området vänster om den maximalt 8 siffror. Eftersom tre målade dagar som mest kan dela in sifferraden i fyra omålade områden kan det totala antalet siffror då max vara 8*4+1+2+2=37.
Men den kortaste månaden (februari i ett vanligt år) ger 9*1+19*2=47 siffror. Därmed kan ingen månad täckas in på detta vis.
Den första dagen måste därmed vara övermålad.
© 2009-2024 Mattebloggen