Roligare matematik
Det finns fyra positiva heltal: a, b, c, d. Deras minsta gemensamma multipel råkar vara lika med a+b+c+d. Visa att abcd är delbart med 3 eller 5 (eller både 3 och 5).
Minsta gemensamma multipel av några positiva heltal är det minsta positiva heltalet som är delbar med dem alla. Den betecknas MGM.
Minsta gemensamma multipeln av 2 och 7 är lika med 14.
MGM (2,4,8) = 8
MGM (6,10,15) = 30
En cirkel är ritad på koordinatplanet och dess mittpunkt har koordinaterna (a,b). Man vet också att origo hamnade inuti cirkeln.
Om S+ är den totala arean av delarna i cirkeln, som består av punkter med samma tecken på koordinaterna och S– är totala arean av delarna med punkter som har olika tecken på koordinaterna, vad är S+-S– lika med?
När problem handlar om att jämföra areor, så är det ofta så att delar av de här areorna är lika, speciellt när delarna har konstiga former (jämför med problemet för de yngre vecka 35).
Börja med att rita den enklare varianten (då cirkelns mitt är i första kvadranten) och försök att ta bort så många lika stora delar från S+ och S– som möjligt och jämför det som blir kvar.
Proof by picture:
Jag tillför två hjälplinjer paralella med koordinataxlarna genom (2a,2b). De är spegelbilder av koordinataxlarna speglade genom linjer (igenom parallella med koordinataxlar) genom (a,b).
Det är lätt att se att flera av områdena har lika area (markerat med bokstäver). De kommer att ta ut varandra när vi beräknar S+-S– (S+ är den gula plus den rosa arean, medan S– är den gula plus den blå). Kvar blir den centrala rektangeln med area 4ab.
Detta var ifall mittpunkten låg i den första kvadranten. Om den istället ligger i den tredje kvadranten, då är fallet uppenbart det samma efter rotation med ett halvt varv, och ifall mittpunkten ligger i andra eller fjärde kvadranten, då speglar vi i y- respektive x-axeln och får samma fall fast med S+ och S- ombytt, så att den sökta arean byter tecken.
Vi finner emellertid att just 2a * 2b ändå uttrycker arean i samtliga dessa fall.
Vad vore matematiken utan bevis?
Inte riktig matematik, tycker många och artisten Skägget håller med, när han sitter och lider igenom kursen i Sannolikhet och statistik.
Hans senaste låtkreation heter Matematikerns klagan och är en kampsång för ren matematik.
Text och musik: Skägget
Hör upp, bröder, ni matematiker,
på denna min kvalfyllda låt!
Den kursen jag läser mig plågar ihjäl,
ja jag tror snart jag faller i gråt
För det svider i själen, jag dör lite grann
för var sats som går utan bevis,
och när allting jag får är en formel,
det är som gymnasiet gick i repris
Och jag orkar ej mer, nej bespara mig det här,
för jag vet inte ens vad jag gör,
ty i formelhäftet finns svaret
men ingen förklaring varför
Jag finner ett par variabler
som sägs ha nån slags relevans,
och slår upp tio tusen tabeller
för att finna mitt värde nånstans
Så dammar jag av miniräknaren
som jag sen gymnasiet har kvar,
och ger upp alla mina principer
och beräknar numeriskt mitt svar
Men jag orkar ej mer, nej bespara mig det här,
jag vet inte ens varför det går,
men i formelhäftet finns svaret
så jag gör väl precis som det står
Jag som trodde jag var här för att lära mig nåt
– än har jag inte lärt mig ett skvatt!
För vad hjälper en formel jag inte förstått?
Jag ger upp nu och utropar att:
Jag vill va’ en sann matematiker
som bevisar själv allt han vill ha,
och som fäktas mot världens mysterier
med en värja av ren algebra!
Så slut upp bakom mig och vi seglar iväg
på ett stormande renlärigt hav,
med ett skepp som vi bygger från grunden,
med axiomen Euklides oss gav
För jag orkar ej med en till dag av det här,
nej, jag vet inte ens vad jag gör,
ty i formelhäftet finns svaret
men ingen förklaring varför
Ja, i formelhäftet finns svaret,
och matematikern inom mig dör
Pippi, Tommy och Annika delar på 100 godisbitar. Det är Pippi som delar in godisar i tre högar. Hon vet inte på förhand vem som ska få vilken hög, utan det slumpar de fram efter att hon delat.
Pippi vet att ifall Tommy och Annika får olika många godisbitar kommer det syskonet som fick mest ge överskottet till Pippi (så att Tommy och Annika till slut får lika mycket).
a) Vilka högar ska Pippi skapa för att få exakt 80 godisbitar, varken mer eller mindre?
b) Kan Pippi skapa högar så att hon får exakt 65 godisbitar?
En springare hoppar alltid på schackbrädet antingen två rutor vågrätt och en ruta lodrätt eller tvärtom.
Plötsligt kom en ond schackspelare och placerade springaren på ett litet 6×6-bräde. Då började springaren hoppa frenetiskt mellan rutorna. Här syns spåren efter hoppandet.
Det visade sig, att springaren var på varje ruta exakt en gång. Den började på ruta nummer 1. Återställ alla nummer upp till 36 som saknas.
För att bestämma lösningen kan man börja med hörnen. Till exempel så står det 17 i övre vänstra hörnet, vilket betyder att de enda rutorna som springaren når därifrån är 16 och 18. Därför kan man sätta ut 18 redan nu.
Resten av siffrorna kan vi inte vara säkra på direkt. Det man kan göra är att skriva in alla möjliga versioner på var till exempel siffran 3 kan vara. Efter det skirver vi in alla möjliga versionen på siffran 4 (från alla möjligheter för siffran 3). Vi fortsätter att sätta ut möjligheter för 5, 6 och 7. När vi senare kommer till en siffra som redan finns (som 8), kan vi sudda bort några av möjligheterna.
Ibland blir det för många möjligheter och då får man göra observationer på några andra tal (var kan talen 34 och 36 finnas?) På slutet är det faktiskt bara en möjlig väg som är kvar och det är den här.
På en gata finns två radhus och i varje radhus bor två djurgalna familjer. Familjerna äger katter och hundar.
Andelen katter (kvoten mellan antalet katter och totala antalet katter och hundar) hos första familjen i första huset är större än andelen katter hos första familjen i andra huset. Andelen katter hos andra familjen i första huset är större än andelen katter hos andra familjen i andra huset.
Måste det vara så att andelen katter i första huset är större än andelen katter i andra huset?
Fredrik och Mona har 1999 kronor i kontanter tillsammans och ingen av dem har några tjugolappar (de har alltså bara valörerna 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 kronor). Fredrik ska köpa grisen i säcken av Mona och Mona tar inte kort. Grisen i säcken kostar ett helt antal kronor och det är inte mer än vad Fredrik har i cash.
Visa att Fredrik garanterat kan köpa grisen i säcken och få rätt summa i växel.
Det har kommit in två lösningar, som är ganska olika. Den första lösningen undersöker vad det kan finnas för valörer och sammanfattar allting i ett enda fall. Den andra lösningen säger inget om de konkreta valörerna, utan baserar sig på induktion. Välj själva vilken ni tycker bäst om!
Antag att Mona och Fredrik, av till synes måhända besynnerliga skäl, beslutar att Mona först av allt lånar ut alla sina pengar till Fredrik. Då vet vi att Fredrik har totalt 1999 kronor, och att han nu ska betala till Mona en viss summa pengar, som är summan av grispriset och pengarna han just lånat. Denna summa överstiger inte 1999 kronor, eftersom grisen kostade högst det Fredrik hade från början, vilket tillsammans med Monas pengar alltså blir högst den totala mängden pengar i rörelse, dvs 1999 kr.
Vi har därmed reducerat problemet till att handla om huruvida Fredik kan skriva varje tal under 2000 som en summa av de kontantvalörer som finns tillgängliga.
Låt oss studera fallet där Fredik har så många stora valörer som möjligt. Vi noterar att om han klarar det i det fallet, så går det även i alla andra fall, ty att byta ut en stor valör mot flera mindre kan uppenbart inte reducera antalet möjliga summor.
Fallet med maximala valörer är att Fredik innehar följande kontanter:
1x 1000 kr
1x 500 kr
4x 100 kr
1x 50 kr
4x 10 kr
1x 5 kr
4x 1 kr
Det är lätt att visa att varje tal under 2000 kan skrivas som en summa av ovanstående valörer. Varje tal 1-9 kan ju skrivas med bara enkronor för talen 1-4, med en femkrona för 5 och med en femkrona och resten enkronor för 6-9. På exakt samma sätt kan varje tiotal upp till hundra nås, och inom varje sånt tiotal kan vi nå varje ental med en- och femkronorna. På samma sätt kan vi även nå alla hundratal med 100- och 500-lapparna, och inom varje hundratal når vi varje 10-tal med 10- och 50-kronorna, och inom varje tiotal inom varje hundratal når vi varje ental med hjälp av 1- och 5-kronorna. Därmed kan varje tal upp till 1000 skrivas. Och vill vi ha varje tal upp till 2000 så lägger vi bara till 1000-lappen där den behövs.
Således kommer Fredik kunna betala Mona exakt rätt mängd pengar, vilket skulle bevisas.
Vi gör detta med induktion. Om Fredrik har 0 kr så är grisen gratis och vi är klara.
Antag att Fredrik kan köpa grisen om Fredrik har p kronor (och griskostnaden är ≤p). Om Fredrik har p+1>0 kronor så kan han givetvis köpa den om grisen är gratis. Om den inte är gratis så försöker han betala en krona.
Antag att den lägsta valören Fredrik har är m. Då gäller att 1999≡m-1 (mod m) då alla valörer delar 2000. Då varje valör delar ”nästa” valör så måste det då vara så att det finns m-1 kronor i lägre valörer (fördelat mellan Mona och Fredrik).
Men då Fredrik hade lägsta valör m så måste alla de m-1 kronorna tillhöra Mona. Om Fredrik ger sin m-sedel till Mona och får de m-1 kronorna tillbaka så har han p kronor kvar och har betalat av 1 krona på grisen, dvs vi är i det tidigare lösta fallet. Induktion ger att han alltid kan betala.
I ett sällskap med många personer kan man leka en lek som kallas ”knuten”. Alla ställer sig i en ring och sluter ögonen. Sedan sträcker alla fram båda sina händer och börjar gå mot mitten. Alla ska ta tag i två andra händer med sina egna.
Efter att alla är klara med det öppnar man ögonen. Målet är nu att lösa upp ”knuten” som bildats utan att släppa taget med händerna. Det gäller att bilda en stor ring igen (det kan också hända att det blir flera ringar).
Ett liknande spel är Planarity, fast personerna i spelet kan ha fler än två händer. Målet är att lösa upp all tilltrassel så att inga par av händer måste hållas över varandra.
Personer är representerade med punkter och en kant som går mellan två punkter visar att de två personerna håller handen. Alla spelande har väldigt uttänjbara händer. Försök att klara några nivåer! (Jag kom till Level 7.)
Sådana här bilder kallas grafer, om de går att ”plana ut” på det här snygga sättet (så att inga två kanter korsar varandra) kallas de planära. Det är svårt att se direkt huruvida en graf är planär eller inte, däremot uppfyller alla planära grafer följande formel.
En graf är ritad på ett plan på så sätt, att inga två kanter korsar varandra. Om V är antalet hörn i grafen, E – antalet kanter och F – antalet områden som planet delas upp i, så gäller:
Att det blev just talet 2 beror på att man ritade på ett plan. Ritar man grafer på andra konstiga ytor blir det ett annat specifikt tal just för denna yta. Det talet kallas ytans eulerkaraktäristik.
Jon-Erik har en triangel utan några markeringar, som är gjord av plast. Triangeln är rätvinkling och har förutom vinkeln 90° också vinklarna på 60° och 30°. Hur kan Jon-Erik konstruera en vinkel på 15° om han inte får använda några andra redskap än plasttriangeln och papper?
Gissa vilken symbol som ska stå istället för frågetecknet i den här följden. Vilken symbol kommer efter den?
Tricket är omplacera symbolerna så att de är uppställda på en kolonn. Då är det lättare att se att de första symbolhalvorna bildar siffror!
Siffrorna är formade så som de visas på digitala klockan. Så de nästa symbolerna är dubblade åttan och nian (första halvan normal, andra speglad).
© 2009-2024 Mattebloggen