Mattebloggen

Matteproblem vecka 16

Thomas skrev ner alla dagar i en viss månad på en rad: 123456789101112… Sedan målade han över 3 av dagarna (som var hans kompisars födelsedagar) och inga övermålade dagar var precis efter varandra. Det visade sig att alla omålade områden består av exakt lika många siffror. Kan den första dagen vara oövermålad eller måste den vara övermålad?

kalender

Lösning till problem vecka 14

Eli och Tiffany är kompisar och bor i grannhus. Eli bor på nummer 4. Om Tiffany ska ta den kortaste vägen till Eli, så spelar det ingen roll på vilken sida hon springer runt hennes eget hus. Bestäm numret som Tiffany bor på.

Lösning:

Om Tiffany springer till höger när hon kommer ut följer hon den röda vägen, om hon springer till vänster följer hon den blåa:

Den blåa vägen är 4 steg längre än den röda just nu, men de ska i slutändan bli lika långa.

Eftersom långsidan på Tiffanys hus är 8 steg totalt, måste 2 av dem gå till den blåa vägen och 6 till den röda för att det ska jämna ut sig. Alltså bor Tiffany på nummer 6.

Transformationsmatrisen – del 3

Det här är fortsättningen på inläggen Transformationsmatrisen – del 1 och Transformationsmatrisen – del 2. I de två första delarna behandlades begreppen bas och vektorernas koordinater i olika baser.

Hur bestämmer man en transformationsmatris?

För att bestämma en matris, vilken som helst matris, är det ett nyttigt första steg att ta reda på matrisens storlek. Det vill säga hur många rader och kolonner den borde ha.

En mxn-matris är en matris med m rader och n kolonner. När en matrismultiplikation sker, händer följande med storlekarna:

mxn-matris gånger nxk-matris resulterar i en mxk-matris

Som ni ser äts det mittersta talet (n) upp, och de andra två kvarstår (m och k) och ger stoleken på resultatmatrisen.

I vårt fall känner vi inte till storleken på vänstraster matrisen (som ska bli transformationsmatrisen), men på de andra två (de är vektorer, kolonnvektorer, som är då kx1-matriser). De är, eftersom vi är i 2 dimensioner, 2×1 matriser.

Alltså: mxn matris gånger 2×1-matris resulterar i en 2×1-matris. Hmm, den siffran som äts upp är i alla fall 2, det vill säga n=2. Och m ska vara samma som den första siffran i resultat, så också 2.

Vi söker en 2×2-matris och en dum men ofta fungerande lösning är att köra brute force, det vill säga ansätta
Transformationsmatrisen= $\left(\begin{array}{cc}a &b\\c &f\end{array} \right)$

Nu ska vi faktiskt minnas vad det var vi höll på med från början. Vi ville bestämma en matris som omvandlade vektorer från standardbasen till bas d.

Det ska alltså bland annat funka för själva basvektorerna.

Ett sätt

Som exempel kan vi välja standardbasvektorer, men jag väljer basvektorerna i basen d. Orsaken är att vi känner till koordinaterna för dem både i bas d, nämligen $d_1=\left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)_d, d_2=\left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)_d$ och i standardbasen, nämligen $d_1=\left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right), d_2=\left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)$ .

Vi kan då ställa upp:
$\left(\begin{array}{cc}a &b\\c &f\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right)$ blir $\left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)$
samt
$\left(\begin{array}{cc}a &b\\c &f\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)$ blir $\left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)$

Och utförande matrismultiplikation som vanligt, även om a, b, c och f är okända, får vi:
a-b=1
c-f=0
a+b=0
c+f=1

Det ekvationssystemet kan vi lösa för hand: addera ekvationerna med a och b ledvis, då får vi 2a=1, så a=½, b=-½. På liknande sätt c=½, f=½.

Så transformationsmatrisen= $\left(\begin{array}{cc}1/2 &-1/2\\1/2 &1/2\end{array} \right)$ .

Men man kan göra samma uppgift på flera olika sätt, detta glöms alldeles för ofta när man läser matematik.

Ett annat sätt

Vad händer till exempel om vi istället väljer standardbasvektorerna? De är vektorerna $\left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)$ och $\left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)$ i standardbasen, men vad är de i bas d? Vi kan gissa det eller räkna ut det, ett arbete som kommer löna sig ska det visa sig.
$\left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)=xd_1+yd_2$
$\left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)=x\left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right)+y\left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)$

vilket ger ekvationssystemet x+y=1, -x+y=0 (det liknar lite det vi fick i del 2), som i sin tur ger oss 2y=1 och således y=½, x=½ . På liknande sätt med andra standardbasvektorn:

$\left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)=zd_1+wd_2$
$\left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)=z\left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right)+w\left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)$ som ger ekvationssystemet z+w=0, -z+w=1, som ger 2w=1 och således w=½, z=-½ .
Bekanta tal, eller hur?

Vi har alltså $\left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)_{st}=\left(\begin{array}{c}1/2 \\1/2\end{array} \right)_d$ och $\left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)_{st}=\left(\begin{array}{c}-1/2 \\1/2\end{array} \right)_d$

Vad är då belöningen för denna möda?
Jo, om vi nu ställer upp matrisekvationen precis som innan, fast med nya vektorer, ser vi följande:
$\left(\begin{array}{cc}a &b\\c &f\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\0\end{array} \right)$ blir $\left(\begin{array}{c}1/2 \\1/2\end{array} \right)$

$\left(\begin{array}{cc}a &b\\c &f\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\1\end{array} \right)$ blir $\left(\begin{array}{c}-1/2\\1/2\end{array} \right)$

Och utför man matrismultiplikationen med variablerna får man:
a+0=½
c+0=½
0+b=-½
0+f=½

Praktiskt, eller hur? Utan mycket extra möda får vi igen $\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & f\end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc}1/2 &-1/2\\1/2 &1/2\end{array} \right)$

Det är just den här andra metoden man i allmänhet använder för att ta reda på transformationsmatriser generellt. Vi tittar på ett lite mer generellt fall i nästa del.

Matteproblem vecka 15

På ett 10×10-bräde finns en pjäs i varje ruta. En tillåten operation är att välja en diagonal som innehåller ett jämnt antal pjäser och ta bort en valfri pjäs från den diagonalen. Hur många pjäser kan man som mest ta bort med hjälp av sådana operationer?

Matteproblem vecka 14

Hissen

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

Eli bor i ett höghus med 9 våningar. Han kan åka hiss från sin egen våning till den första och då tar det 1 minut.

Men han når inte knappen till sin egen våning, eftersom han är så liten. Istället trycker han på den högsta knappen han når och därefter går han upp. Hela vägen upp tar 1 minut 10 sekunder.

Hissen har samma hastighet både upp och ner och Eli går upp två gånger så långsamt som hissen. Vilken våning bor Eli på? (Observera att basvåningen är samma som första våningen det vill säga våning nummer 1.)

Visa lösningen

Ett falskt mynt

Rekommenderad från: 13 år

[kkratings]
Du har hittat en skatt som består av 6 stycken antika mynt. I skattkistan låg en lapp som berättade om att ett av mynten är falskt. Det väger inte lika mycket som de riktiga mynten (de riktiga mynten väger lika mycket). Men det stod inte ifall det vägde mer eller mindre än ett riktigt mynt.

skattkista

Till ditt förfogande har du en vanlig våg. Den visar summan av vikten på alla mynt som du lägger på vågen vid ett tillfälle.

Hur kan du bestämma det falska myntet genom tre sådana vägningar?

Visa lösningen

Transformationsmatrisen – del 2

Det här är fortsättningen på inlägget Transformationsmatrisen – del 1. I första delen behandlas begreppet baser.

Vektorer i olika baser

Vektorer som skrivs med hjälp av siffror till exempel så här $\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\5\end{array} \right)$ betyder egentligen ingenting särskilt av sig själv, utan måste ha en bas hängande efter sig som en svans. $\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\5\end{array} \right)_b$ betyder att en vektor är uttryckt i basen b.

Ofta skriver man inte ut denna svans och det är när man har koll på vilken bas det är som gäller. Ganska ofta menar man standardbasen. Men skriv alltid ut den när det händer basbyten och liknande grejer! Det är lätt att tappa bort sig.

Till exempel är $\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)_b$ , $\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)_c$ och $\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)_d$ helt olika vektorer:

Hur visste jag hur de olika vektorerna såg ut? Jo, $\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)$ i bas b betyder $b_1+2b_2$ och på samma sätt $\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)$ i bas c betyder $c_1+2c_2$ och $\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)$ i bas d betyder $d_1+2d_2$ :

Det vi vill nu är tvärtom: att skriva samma fysiska vektor i olika baser b, c, d. Då kommer dess siffror att se ut på olika sätt.

Exempelvis är vektorn $\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)$ i standardbasen lika med:
$v=\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}-1/2 \\1\end{array} \right)_b=\left(\begin{array}{c}-1 \\1\end{array} \right)_c=\left(\begin{array}{c}-3/2 \\1/2\end{array} \right)_d$

Och hur får man tag på dem siffrorna? Jo, man kan antingen ”se” hur många basvektorer av varje sort som behövs för att få vektorn $v$ :

Eller så kan man ställa upp en ekvation, som för basen d. Säg att det behövs $x$ stycken första basvektorer och $y$ stycken andra basvektorer (kan också vara icke-helt antal stycken).

Så $v=x\cdot d_1+y\cdot d_2$ och då
$v=x\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right)+y\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)$
$\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}x \\-x\end{array} \right)+\left(\begin{array}{c}y \\y\end{array} \right)$
$\left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}x+y \\-x+y\end{array} \right)$
De motsvarande koordinaterna skall vara lika, så $-1=x+y$ och $2=-x+y$ . Då har vi att $1=2y$ genom att summera båda ekvationerna ledvis och då måste $y=1/2$ och följaktigen $x=-3/2$ .

Om vi nu behöver göra detta många gånger till (bestämma koordinater med hjälp av ekvationssystem) blir det tröttsamt i längden. I stället kan vi bestämma transformationsmatrisen mellan standardbasen och basen d exempelvis och därefter bara behöva multiplicera med den matrisen.

Jag kan avslöja redan nu att transformationsmatrisen, som tar vektorer i standardbasen och sedan uttrycker dem i bas d är $\left(\begin{array}{cc}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{array} \right)$

Vi testar:
$\left(\begin{array}{cc}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array} \right)$ blir $\left(\begin{array}{c}-3/2 \\1/2\end{array} \right)$ . Hurra!

Hur man bestämmer sådana här transformationsmatriser kommer att avslöjas i nästa del!

Transformationsmatrisen – del 1

De flesta matematik- och ingenjörsstudenter läser någon form av linjär algebra. Det är ett högst rimlig inslag i deras utbildning – vilken vuxen människa räknar inte med matriser :)?

Just beräkningar är dessutom det studenterna måste lära sig först. Efter att de behärskat teknikerna som Gauss-elimination och matrismultiplikation är det dags för nästa steg: räkna med olika baser.

Jag har som lärare på kursen Linjär algebra II fått överlägset mest frågor om avsnittet som handlar om transformationsmatriser. De frågorna var jag också sämst på att besvara, eftersom man alltid är tvungen att hålla tungan rätt i mun med transformationsmatriser. Olika beteckningar i olika böcker förbättrar inte situationen.

Så vad är en transformationsmatris?

Med en transformationsmatris från basen b till basen c menar jag en matris som omvandlar vektorer, uttryckta i basen b, till likadana vektorer, men uttryckta i basen c.

Eller snarare så här: tar man en vektor (föreställ er ett geometriskt objekt) och skriver upp dess koordinater i basen b och sedan multiplicerar med transformationsmatrisen från vänster (det vill säga tar produkten matris $\cdot$ vektor), så kommer resultatet vara samma vektor (exakt samma geometriskt objekt), men koordinaterna kommer ändra sig. De kommer att vara uttryckta i basen c.

Därför kallas transformationsmatrisen också basbytesmatrisen. Det den gör är att byta vilken bas som för tillfället är den aktuella, i vilken bas vi just nu räknar saker.

Vissa begrepp kanske känns oklara i förklaringen ovan. Vi reder ut dem!

Vadå baser?

En bas kan ses som en sorts koordinatsystem. Om vi arbetar på det tvådimensionella planet så kan vi rita flera olika koordinatlinjer:

Som vi ser bestäms hela bilden alltid av två sorts linjer. Det är riktningarna på linjerna som är viktiga.

På samma sätt bestämmer två vektorer en bas i planet. De skall vara riktade åt olika håll (inte parallella). En bas är alltså ett par av vektorer. (Men i rum med högre dimension ska en bas bestå av fler vektorer, antalet är lika med dimensionen.)

Så exempel på baser (som vi ska jobba med) är:

Om vi lägger på koordinater på rutnätet kan vi läsa av vad de här basvektorerna har för koordinater (i standardbasen):

Nämligen $b_1=(2,0)$ , $b_2=(0,2)$ , $c_1=(2,0)$ , $c_2=(1,2)$ , $d_1=(1,-1)$ , $d_2=(1,1)$

Eller, skrivna på kollonform: $b_1=\left(\begin{array}{c}2 \\0\end{array} \right)$ , $b_2=\left(\begin{array}{c}0 \\2\end{array} \right)$ , $c_1=\left(\begin{array}{c}2 \\0\end{array} \right)$ , $c_2=\left(\begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right)$ , $d_1=\left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array} \right)$ , $d_2=\left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right)$

Det är egentligen ingen väsentlig skillnad mellan radform och kolonnform, men oftast skriver man vektorerna på kolonnform. Om man gör det, så skall matrisen skrivas till vänster om vektorn vid multiplikation.

I nästa del reder vi ut hur man beräknar och skriver vektorer i olika baser.

Fler rektanglar

Rekommenderad från: 11 år

[kkratings]

Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.

Visa lösningen