Etikett: alla åldrar

Tillsammans är Nils, Sven, Anders, Erik och Johan lika gamla som Nilsson, Svensson, Andersson, Eriksson och Johansson tillsammans (eftersom de är samma personer). Men då Nils, Sven, Anders och Erik tillsammans är 10 år äldre än Nilsson, Svensson, Andersson och Eriksson tillsammans, så måste Johan vara tvärtom 10 år yngre än Johansson.

Varje gång någon skakar granen faller det ner ett äpple och två frukter till (som är bananer eller apelsiner). Eftersom antalet apelsiner och bananer i slutändan blev 3000, så vet man att granen skakades 1500 gånger. Därför föll det ner exakt 1500 äpplen.

Varje frukt behöver finnas med åtminstone två gånger. Om en frukt finns med bara en gång, då har den som mest två ”grannskap” och då kan den ligga som mest bredvid två andra fruktsorter (men frukter av alla tre andra sorter ska finnas med bredvid den). Alltså är det som minst åtta frukter och en sådan rad är möjlig att hitta på.

En av många möjliga lösningar är: apelsin-clementin-äpple-apelsin-päron-clementin-äpple-päron.

Efter förstå överhällningen blir det 1/2 l vatten i den första behållaren och 3/2 l i den andra. Men efter andra överhällningen tar man en tredjedel av vad som finns i andra behållaren, det vill säga 1/2 l och häller det tillbaka, så att det blir 1 l vatten i varje behållare.

Det fortsätter på samma sätt. Efter tredje överhällningen blir det 3/4 l i första och 5/4 i andra, och då blir en femtedel lika med precis 1/4 l, så att efter fjärde överhällningen är det 1 l i varje behållare igen.

Efter en udda överhällning blir det (x-1)/x l i första behållaren och (x+1)/x i andra behållaren. Eftersom man precis hälst över 1/x-del, så ska man nu hälla tillbaka 1/(x+1)-del, som är då lika med 1/x liter. Så efter en jämnt överhällning är man tillbaka på en liter i varje.

Efter överhällning nummer 100 är det alltså återigen 1 l i varje behållare.

Antag att kuben delades upp i x*x*x småkuber.

Småkuberna med bara en målad sida kommer från kubens sex sidor. På en sida är de lika många som (x-2)*(x-2), eftersom de formar en lite mindre kvadrat än kubens sida (man tar inte med småkuberna på kanten). Totalt är det 6 sådana kubskivor, det vill säga 6*(x-2)*(x-2).

Kuberna som är helt omålade bildar kubens inre, det vill säga en (x-2)*(x-2)*(x-2)-kub.

Då de är lika många till antal ser man att 6 är lika med x-2. Således sågades kuben upp i 8*8*8 = 512 småkuber.

Om talet har åtminstone sex siffror, så måste de första fem av de siffrorna ge en jämn summa, medan alla sex av siffrorna ger en udda summa. Det betyder att den sjätte siffran är 1 (annars skulle summan förbli jämn). På samma sätt måste den första av de sex siffrorna vara 1, då summan av de sista fem är jämn.

Talet kan inte ha tio siffror: Av de första sex måste den första vara 1, av de andra sex måste den första vara 1 (det vill säga andra siffran i talet är 1) och så vidare till de sista sex siffrorna, vilket betyder att den sjätte siffran från slutet är 1, vilket är den femte siffran från början. Men då är summan av de fem första siffrorna lika med 1+1+1+1+1=5, som är ett udda tal, vilket det inte fick vara.

Alltså har talet som mest nio siffror. På samma sätt som innan måste den första siffran vara 1, den andra vara 1 och så vidare till det sjätte från slutet (som är den fjärde från början). Så talet börjar med 1111. Med samma resonemang måste talet sluta med 1111. I mitten kan det bara vara en 2:a, för att summan av de första fem siffrorna till exempel ska bli jämn. Talet som bildas är 111121111 och uppfyller alla villkoren.

Alla andra tal som uppfyller villkoren har färre siffror och är alltså mindre. Vi har funnit det största möjliga talet.