talteori – Mattebloggen

Korstal 2014

Fyll i precis som ett vanligt korsord (men endast med siffror). Obs! Inga tal börjar med noll.

korstal2014

Vågrätt:
1. Delbart med 9
4. Valören på en svensk sedel
5. Alla siffror i talet är likadana
7. Ett kubtal delbar med lodrätt 3
9. Ett tal bestående av siffror som är kvadrattal, där alla sådana siffror förekommer
11. Vågrätt 1 plus vågrätt 5 minus lodrätt 1

Lodrätt:
1. Antalet positiva tvåsiffriga tal
2. Ett palindromårtal i det förflutna
3. En delare till lodrätt 2
4. Vågrätt 1 minus vågrätt 5
5. Vågrätt 1 gånger vågrätt 5
6. Vågrätt 9 plus lodrätt 5
8. En tvåpotens minus lodrätt 1
10. Delbart med lodrätt 3

Ett kvadrattal är kvadrat av ett heltal. Ett kubtal är kub (tredjepotens) av ett heltal. Ett palindromtal är ett tal som ser likadant ut fram- som baklänges. En tvåpotens är 2 multiplicerat med sig själv några gånger (även 1 och 2 räknas som tvåpotenser). Med delbart med N menas att det går att jämnt dela med talet N. Med delare till N menas att N går att dela jämnt på det talet.

Visa lösningen

Delbart med 2014

Rekommenderad från: 13 år

[kkratings]

Visa att man kan stryka några siffror i början och några i slutet av talet
2014
(talet består av 2000 siffror), så att summan av de resterande siffrorna blir delbart med 2014.

Visa lösningen

Korstal 2013

[kkratings]

Fyll i precis som ett vanligt korsord (men endast med siffror). Obs! Inga tal börjar med noll.

Lös gärna korstalet tillsammans med familj eller vänner! Ladda ner för utskrift.

korstal2013

Vågrätt:
1. Ett palindromtal som är delbart med sin siffersumma. (Ett palindromtal läses likadant fram- som baklänges.)
5. En delare till lodrätt 11.
6. Har samma siffersumma som lodrät 9.
8. Har exakt samma rest vid division med 2, 3 respektive 5.
10. Vågrätt 8 fördubblat.
12. Minsta gemensamma multipel av 8 och 125.
13. Relativt primt med vågrätt 12.
15. En produkt av fem olika primtal varav det största är 23.

Lodrätt:
2. Ett palindromtal som också är en kub.
3. En faktor i både lodrätt 9 och vågrätt 15.
4. Skrivet i det binära talsystemet förekommer det sju ettor i rad.
6. En trepotens.
7. Vågrätt 8 i kvadrat.
9. Summan av fem på varandra följande årtal från det här århundradet.
11. Numret på året som kommer.
14. Inte ett primtal.

Visa lösningen

Korstal 2012

[kkratings]

Fyll i precis som ett vanligt korsord (fast nu endast med siffror). Obs! Inga tal börjar med noll.

Ladda ner för utskrift.

korstal2012

Vågrätt:
1. Tvåpotens.
6. Siffersumman för lodrätt 13, skrivet baklänges.
7. Närmsta årtalet i framtiden som skrivs med bara två olika siffror.
9. Årtal i det förflutna som var precis emellan två skottår.
10. Siffersumman för vågrätt 15.
11. Delbart med 4 olika primtal.
12. Om jag delar min ålder med 2 och sedan adderar 5, så får jag hur gammal jag var för 8 år sedan. Vilket år är jag född?
15. En kub.
18. Produkten av lodrätt 14 och lodrätt 16.
19. En summa av två olika kvadrattal.

Lodrätt:
1. Delbart med 9.
2. Siffrorna i talet bildar aritmetisk talföljd.
3. Delbart med 10101.
4. Produkten av siffersumman för vågrätt 10 och den positiva sifferdifferensen för vågrätt 10.
5. Talet ser likadant ut vänt upp-och-ner.
8. Siffrorna i talet kommer i avtagande ordning.
13. Ett primtal.
14. Hur gammal blir jag nästa år?
16. Har udda antal delare.
17. Har samma siffersumma som lodrätt 13.

Visa lösningen

Mattekorsord 2011

Jag behåller traditionen och presenterar ett sifferkorsord även i år. Denna är lite svårare än förra året, men också lite mindre. Utmana dina nära och kära eller lös korstalet tillsammans.

God Jul önskar mattebloggen!

Mattekorsord 2011

[kkratings]

Fyll i precis som ett vanligt korsord (fast nu endast med siffror). Obs! Inga tal börjar med noll.

Vågrätt:
1. Fibonaccital
3. Delbart med 11
6. Summan av talen från 1 till 1000
7. Närmaste heltalet till $\pi\cdot 10000$
9. Ett tal vars siffersumma delar sifferprodukten
10. En kub
11. Delbart med 9
13. Det sista talet som stryks när man utför Eratosthenes såll på tal upp till 100

Lodrätt:
1. En kvadrat
2. Det minsta femsiffriga talet med alla siffror olika
3. Fibonaccital
4. Ett tal med exakt 12 delare
5. En tvåpotens
8. Ett kvadrattal med siffrorna i stigande ordning
9. Summan av fyra på varandra följande primtal
10. Minsta talet med exakt 8 delare
12. En kub

Visa lösningen

Adventspyssel 24

En julklapp till er, kära läsare! Ett korsord!

Korstalet hittade jag och min kompisar på när vi gjorde tävlingen Mattekvadraten år 2002. Det var en lagtävling, så tanken är att 4 personer hjälps åt att lösa uppgiften. Skriv gärna ut och lös uppgiften med din familj, eller själv om du tror att det går snabbare så :) GOD JUL!

Mattekorsord

Fyll i precis som ett vanligt korsord. En siffra finns med från början. Obs! Inga tal börjar med noll.

Vågrätt:
2. Identiskt med lodrätt-3
4. En tvåpotens
6. Ett minsta tvåsiffriga tal som är lika med hälften av en kvadrattal
8. Största femsiffriga talet som har alla siffror olika
9. Vågrätt-6 multiplicerat med lodrätt-12
10. Ett tal som är en kub men inte en kvadrat
11. En trepotens
13. 111²
15. Ett kvadrattal
16. Ett tal som består av siffror 0,1,2,3 och 4 och är delbart med 8

Lodrätt:
1. Arean av en kvadrat med sida 12.
2. Multipel på 22
3. Palindrom (ett tal som ser likadant ut bak och fram)
5. Största tresiffriga talet
7. Palindrom
12. Ett primtal
13. Ett antal timmar på ett helt antal dygn
14. En sjupotens

Visa svaret

Lösningen till problemet för de äldre vecka 40

Mattegåta

Det finns fyra positiva heltal: a, b, c, d. Deras minsta gemensamma multipel råkar vara lika med a+b+c+d. Visa att abcd är delbart med 3 eller 5 (eller både 3 och 5).

Diskussion

Typiskt problem som kräver motsägelsebevis. Ett första steg är att inse att inget av talen a, b, c eller d får vara delbara med vare sig 3 eller 5 för att produkten inte ska vara det.

Eftersom problemets formulering inte skiljer på a, b, c och d (vi kan byta plats på två av dess bokstäver och få exakt samma problem), kan vi bestämma storleksordningen mellan dem till exempel.

Lösning

Antag att abcd är delbart med varken 3 eller 5.

Utan inskränkning kan vi anta att a>=b>=c>=d. Då kan a+b+c+d maximalt vara 4a (för a är störst).

Samtidigt vet vi att a+b+c+d är den minsta gemensamma multipeln till a, b, c och d. Så summan är delbar med alla dem var för sig, så bland annat a. Detta tillsammans med förra stycket medför att a+b+c+d är antingen lika med a, 2a, 3a eller 4a.

Fall I. a+b+c+d=4a. Men då är alla talen lika med a för att komma upp i den summan. I så fall skulle MGM(a, a, a, a)=a som inte är lika med 4a. Motsägelse.

Fall II. a+b+c+d=3a. Men då är 3a den minsta gemensamma multipeln till talen, det vill säga faktorn 3 behövs. Så något av talen måste vara delbart med 3.

Fall III (det svåraste fallet). a+b+c+d=2a. Så b+c+d=a, och eftersom b var det näst största talet, så är b minst en tredjedel utav a. Dessutom är b en delare till 2a. Således får vi begränsat med alternativ vad b kan vara.

Nämligen kan b vara lika med a/3 eller 2a/3 eller a/2 eller a (någon delare av större än dess tredjedel eller en dubblerad delare till a). De förstå två varianterna innebär att a är delbart med 3, vilket leder till motsägelse. Det sista fallet innebär c=d=0, vilket inte de får vara.

Vi får kvar att b=a/2. Så c+d=a/2 (för att hela summan ska bli 2a). Och c är störst av c och d, så c måste vara minst a/4. Kom ihåg att c också är delare till 2a, som var MGM för talen. Så c kan vara a/4 eller 2a/4 eller 2a/5 eller 2a/6 eller 2a/7.

Ifall c=a/4 så är d=a/4 (för att hela summan ska bli a). Men då är MGM(a, a/2, a/4, a/4)=a och inte 2a. Ifall c=2a/4=a/2, måste d=0, vilket inte går. Ifall c=2a/5 eller c=2a/6=a/3 medför att a är delbart med 3 eller 5, motsägelse. Så c=2a/7.

Då kan vi räkna ut att d=3a/14. Men då är ju d en multipel av 3.

Fall IV. a+b+c+d=a. Då är b=c=d=0. Det får de inte vara!

Nu är alla fall undersökta. Vi har fått motsägelse varenda gång, alltså var vårt antagande fel från början. Någon utan a, b, c eller d måste vara delbar med 3 eller 5, alltså är abcd delbart med 3 eller 5.

Kommentera gärna om jag glömt något fall.

Mattegåta

Hitta två äkta bråk, det ena med nämnaren 8 och det andra med nämnaren 13, så att differensen mellan det största och det minsta av dem är så liten som möjligt.

Diskussion

Vad menas med att ett bråk är äkta? Det är ett bråk vars täljare är mindre än dess nämnare (och båda är positiva heltal). Exempel på äkta bråk är $\frac{3}{5}$ och $\frac{100}{101}$ . Ett äkta bråk har alltså alltid ett värde mellan 0 och 1!

Nu har vi ett lite fuskigt sätt att lösa problemet, de äkta bråken med nämnare 8 respekrtive 13 är ju inte så många! För att gissa svaret kan man sätta ut alla äkta bråks värden på tallinjen. Tag nämligen sträckan mellan 0 och 1 och dela in i åtta lika stora delar. På markeringarna har vi bråken $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}$ och $\frac{7}{8}.$

Samma sak kan göras med trettondedelar, men det är lite för plottrigt att göra det på samma bild, eller hur? Det vore smidigare att rita en exakt bild, där $\frac{1}{13}, \frac{2}{13}$ och så vidare är utsatta, om sträckan hade en naturlig uppdelning i just 13 delar. Med andra ord, om antalet markeringar kan delas både med 8 och med 13, så är det ganska lätt att se skillnaden mellan bråken också.

Därför söker vi talens minsta gemensamma multipel, med andra ord det minsta positiva heltalet som både är delbart med 8 och med 13. Minsta gemensamma multipel betecknas också MGM. Och den största gemensamma delaren betecknas SGD, det behövs för att bestämma MGM av 8 och 13.

Lösning (av Toomas Liiv)

SGD(8,13)=1. Nämnarna är relativt prima.

MGM(8,13)=8*13=104, vilket också är minsta gemensamma nämnare till bråken.

Differensen av det största och minsta bråket kommer också att kunna skrivas med nämnaren 104 som ett äkta bråk. Det minsta sådana bråket är $\frac{0}{104}$ , vilket uppnås med bråken $\frac{8}{8}$ och $\frac{13}{13}$ , men dessa är olyckligtvis inte äkta bråk.