vinkel – Mattebloggen

Matematik i Genikampen – fjärde och femte avsnittet

Första, andra och tredje avsnittet av Genikampen innehöll en hel del matte, medan avsnitt fyra och fem var mycker mer fysikinriktade. Jag har inte så bra förståelse för fysik, så jag ska försöka framlägga hur jag försökte göra mitt bästa genom att tänka logiskt och matematiskt i tävlingarna. Samt hur man skulle kunna gjort för att prestera ännu bättre!

Avsnitt 4: Robottävlingen

Tävlingen handlade om att sätta sig in i ett drag-and-drop programmeringsspråk för att skriva program som fick en Lego-robot att utföra uppdrag. Man kunde bygga ut roboten med några Lego-bitar för att underlätta uppdragsutförandet.

Det fanns många saker man kunde göra på banan, men lite tid. Det mest tricksiga var att programmet är kopplat till en verklig fysisk händelse, till skillnad från många ”vanliga” datorprogram. Till exempel innebär det att svänging på 90 grader i programmet inte innebar svängning på 90 grader i verkligheten, utan lite mer om roboten precis hade varit i rörelse. Jag antar att det beror på att den har lite rörelseenergi/intertia/eller vad det heter. Vi fick exempel på hur dessa värden kunde motsvara de verkliga, men inte riktigt någon formel, så det handlade om att prova sig fram helt enkelt, som i många andra tävlingar. Tyvärr fick man bara två försök på själva banan.

Om det inte var trivialt att anpassa speglar från avsnitt 2, där vinklarna faktiskt var mer eller mindre exakta, så var det otroligt mycket svårare här; oexaktheterna ställde till det.

Därför lyckades båda lagen bäst med det enklaste programmet, som körde roboten fram och sedan tillbaka. Jag tror att tävlingen hade blivit roligare, ifall man inte hade fått dubbla poäng för att köra tillbaka roboten. Då skulle man ha vågat sig på någon svårare bana tror jag, och det laget som hade kommit längst i sina eskapader skulle ha vunnit.

Men alla snitsiga planer och programmeringskunskaper hjälper inte, när man inte ens kan stoppa in USB:n på rätt sätt för att det nya programmet ska laddas över till roboten :)

Hur som helst hade det gula laget kommit längre med sitt projekt, så det var en välförtjänt vinst. Men det hade varit spännande att se hur det skulle ha gått till ifall vi ”genier” hade fått öva på Lego-programmering innan. Annars var det lite som att vi skulle ha slängts i vatten i våtdräkter och behövt dyka utan att ha provat på det först!

Avsnitt 4: Bron

I den här tävlingen gällde det att vara stabil! De vinnande taktikerna gick ut dels på att två personer på bron samtidigt stabiliserar varandra och dels på att två plankor under en person stabiliserar personen bättre.

Så hur ska man såga i plankorna? För rakar rep är svaret självklart: såga skårorna på samma avstånd som repen är! För korsade rep är det lite svårare, det beror på var man fick ha plankan! Jag tror att Johan vill ha en kort planka en tredje del in (dvs förhållandet mellan avståndet bryggkant-planka skulle vara dubbelt så stort som planka-kryss). Då skulle avståndet mellan skårorna på grund av likformighet vara en tredje del av avståndet mellan repen. Vi hade ingen linjal eller måttband, men vi visste dessa avstånd. Därför kunde vi på ett ungefär räkna ut (med halveringsmetoden) var man skulle göra skårorna. Vinkeln gissade vi på :) Och det funkade!

Avsnitt 4: Pusselduellen

Svårt att skriva om en tävling som man inte fick testa på! Den första pyramidpusslet hade jag sett förut, den är icke-trivial! Ett sätt att lösa det på är att få till en bit att ligga med ”rätt” vinkel, dvs en vinkel som känns vettig med tanke på slutresultatet. Då blir det tämligen rätt att fylla i slutresultatet, med tanke på att pusslet dessutom är spegelsymmetriskt.

Angående andra pusslet säger Theres att det är fyra likadana bitar. Det är lite svårt att se på videon, men jag tycker att de bara nästan är likadana. Det underlättar enormt om bitar är exakt likadana: Då vet man att en sådan bit måste innhålla översta kulan t.ex. och så börjar man testa sätt som den biten kan ligga på. Man ser också att Theresa behövde bygga ihop bitarna ”alla samtidigt”, det gick inte att sätta in dem en i taget. Detta är något av det svåraste att komma i pussel. Lättare pussel, liksom matteproblem, löses ett steg i taget (och man förstår vilka steg det är som ska tas). I de svårare måste man däremot komma på en följd av steg som löser det, vilket i mitt tycke är exponentiellt mycket svårare!

Avsnitt 5: Flygplansbomben

I flygplanstävlingen skulle vi räkna ut tiden att släppa en kalkbomb på för att den skulle åka ett visst avstånde. Så som Axel säger är det en vanlig uppgift från fysikböcker. Vad händer då när ”genier” ska räkna på det på riktigt?

Msn sätter upp en modell, som tar hänsyn till hastighet och acceleration och sätter in de kända värden. Varför blir det så fel? Dels är luftmotståndet tydligen svår att beräkna exakt, men dels tror jag det skedde missförstånd. Vi fick planets hastighet relativt marken trodde vi, men det var nog relativt luften. Det borde vi kanske ha insett när det blev så mycket fel, men jag hade ingen intuition för fysik, så tyckte inte det var så värst dåligt resultat att hamna 65 m bakom. Hade jag gjort det själv skulle det inte gått lika bra tror jag! Jag skulle iofs använt en enklare modell.

Poängen är att om modellen inte fungerar perfekt handlar inte om att hitta en bättre modell snabbt, utan att modifiera svaren utefter hur fel de var. Detta är precis vad gula laget gjorde och de vann på det! Fredrik lade fram ett hypotetiskt värde genom att ställa upp ett linjärt samband ”x sekunder = y meter”. Det var lite tur att det fungerade, men det var ju helt rätt tänkt tänkt. Det berodde på att hastigheterna på planet ökade linjärt (170 km/h – 150 km/h – 130 km/h) och samma sak gällde höjden (och vikten). Allt som allt tror jag det borde blir ett linjärt samband för tid-avstånd också, i alla fall för små förändringar. Kul att det fungerade!

Avsnitt 5: Tryckluftkanoner

Jag kunde i stort sett ingenting om tryck när jag gick in i tävlingen, men efteråt berättade Axel om hur man modellerar skottkurvan utefter tryck och storlek och sådär. Vi räknade ut lite vinklar efteråt i lugn och ro, det var roligt!

När det gällde att komma på vinklar snabbt och bygga finns det ingen tid för räkning tyvärr. Det handlar mer om praktiska erfarenheter och tänk (hur fixar man läckande kanon). Där är en matematisk hjärna till ingen nytta!

Övningen med vattenmelonerna kunde man däremot tänka lite på. Fredrik har återigen rätt i att om uppgiften ska lösas med empiri så är det bara en parameter i taget som man tjänar på att ändra på.

Hur kunde man räkna ut den ungefärliga vinkeln? Jag gjorde det genom att rita en triangel på tavlan som var likformig med vår skjutbana (vi antog att kanonen skulle skjuta rakt uppåt om vi hade maximalt lufttryck) och sedan lägga på likadana vinklar (egentligen fördubbla dem) tills det skulle bli 90. Sedan kan man gå baklänges och räkna ut den ursprungliga vinkeln. Då fick vi 10.

I verkligheten beter sig inte saker perfekt, alltså inte som i modellen. Kanonen skjuter inte rakt uppåt och inte rakt framåt heller för den delen (som man ser blev det fler skott till vänster om målet än till höger). Återigen löser man uppgiften bäst genom att titta på det som faktiskt hände (här var referensskottet jätteviktigt att tänka på) och sedan anpassa sina värden därefter. Modeller är bra när man inte har någon aning, men har man något att utgå ifrån så borde man göra just det. Ännu än vinst för empiri!

Avsnitt 5: Stavningsduell

Inte särskilt mycket matte här, men bra att hålla reda på en regel för att skilja på enkelbokstav och dubbelbokstav. Överensstämma = överens + stämma (haha, lite matte blev det ändå), så det ska vara två ”s”. Kom dock ihåg att det kan aldrig bli tre ”s” (eller någon annan bokstav för den delen), utan de förkortast alltid till två i svenskan. Exempel: tuggummi = tugg + gummi.

Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 2

I del 1 kom vi fram till att en växt inte bör växa med en rationell vinkel. Det vill säga, om vinkeln bladen emellan är 360/(p/q), så kommer växter sabba solljuset för sig själv efter p blad.

Om p=5 och q=2 så växer bladen ut med 360/(5/2)= 144 graders mellanrum. Det innebär att nya blad sprutar ut 144, 288, 432 (det vill säga 72), 216 graders mellanrum i förhållande till det första. Men nästa blad, det sjätte, kommer hamna 360 grader ifrån det första, det vill säga på exakt samma ställe! Detta är väldigt ooptimalt för en växt.

Oavsett vad för rationellt tal vi tar kommer samma elände att hända efter p blad, eftersom då har bladen avlagt 360/(p/q)*p = q*360 grader, alltså ett helt antal varv. Växten vill att det aldrig riktigt ska bli helt.

Så händer det inte med de irrationella talen. Låt oss jämföra vad vi får för irrationella växter. I tabellen ser du en rationell växt, en phi-växt, en pi-växt och en e-växt. Början ser det relativt likt ut emellan alla växterna:

Men efter fem blad har den första växten fördelat sina blad jämnt, medan de andra ser annorlunda ut. Phi-växten har fördelat sina blad ganska bra, medan pi-växten har sina blad onödigt trångt.

Vad händer vid 12 blad? Oförändrat för den rationella växten – den kan bara ha sina blad på 5 positioner. Phi-växten är jämnfördelad som vanligt, e-växten är också ganska bra. Pi-växten har däremot tre tydliga delar. Kan det ha att göra med att pi på ett ungefär är lika med 3?
n12

Vi 30 ser vi hur växterna klarar av många blad. De mörkare partierna visar på att bladen överlappar varandra, vilket sker mer och mer på e-växten och pi-växten speciellt. Överlappningen finns hos phi-växten också, men den är mer jämnfördelad. Notera att pi-växten har 22 tydliga delar!
n30

Till sist kollar vi riktigt många blad, 50. Pi-växten har 22 väldigt tydliga delar, e-växten har 19, medan phi-växten aldrig har två blad så pass nära varandra som de andra växterna. Den verkar ha 5 stora delar, vilket tyder på att vi i verkligheten skulle se 5 spiraler för den bladstorleken.
n50

Varför blir det 22 tydliga delar hos pi-växten? Det har att göra med att pi approximeras väldigt bra med talet 22/7 (ca 3,14), vilket får växten att agera som en vanlig rationell växt och överlappa sina egna blad efter 22 stycken. Varför är vissa växter ändå pi-växter, som vi såg i förra delen? Jag gissar på att många verkliga plantor inte har så många blad eller grenar, och därför spelar det inte så stor roll för dem att det blir problem efter 22 stycken. De satsar snarare på 3 eller något sådant.

På samma sätt är 19/7 ett rationellt tal nära talet e (men inte lika när som 22/7 är pi), därför bildas det 19 delar på e-växter. Jag vet inte varför jag inte träffat på e-växter hittills, de verkar ju växa helt ok i början.

Men talet phi är väldigt speciellt. Det finns inte någon rationell approximation av det talet som är i någon mening så bra som 22/7 är för pi. Visst, vi kan använda större nämnare för att få ett rationellt bråk som är så nära phi som vi vill, men då blir nämnarna nästan onaturligt stora. För mer rigorös definition av bra rationella approximationer, se Hurwitz sats. Konstanten i satsen kommer just ifrån phi, det gyllene snittet, och det är det som medför att phi är det mest irrationella talet.

Det innebär att just den konstanten är optimal för växter med stort antal blad, frön, grenar etc. och det är därför vi vanligen finner just 34 och 55 spiraler på solrosor och inte 22 (Klicka på bilden för att räkna själv).

Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1

Hur kommer det sig att det finns spiraler på kottar, kronärtskockor och ananaser? Om du inte har sett förklaringen, rekommenderar jag Vi Harts videoserie ”Spirals, Fibonacci, and Being a Plant”: del 1, del 2 och del 3.

(Eller kolla upp en sida på svenska med många bra bilder.)

kotte

En av sakerna som avslöjs är att växternas blad växer ut med en och samma vinkel i förhållande till föregående bladet, nämligen vinkeln $\frac{360^\circ}{\varphi}$ , där $\varphi$ är det gyllenne snittet, även kallad det mest irationella talet. Detta för att bladen aldrig ska hamna direkt över och blockera solljus för varandra.

Eftersom bladen inte är hur tunna som helst, kommer de så småningom ändå överlappa varandra delvis. Därför bildas det spiraler, vilket förklaras i videorna. Men varför är antalet spiraler alltid lika med ett fibonaccital, för tallkottar oftast 5, 8 eller 13 (plocka upp en kotte och räkna spiralerna åt båda hållen)?

Min förklaring är att gyllene snittet approximeras med exempelvis 8/5, vilket betyder att växten efter 8 blad har avlagt $8\cdot\frac{360^\circ}{\varphi}$ grader, vilket är ungefär lika med $8\cdot\frac{360^\circ}{\frac{8}{5}}$ grader, det vill säga typ 5 varv. Och så med alla andra heltalsapproximationer, när växten
har gått ett ungefär helt antal varv, så har det vuxit ut ett fibonacciantal blad. När ett nytt varv börjar, bara då kan spiralerna börja växa, och därför är antalet spiral lika med antalet blad som vuxit ut hittills, det vill säga ett fibonaccital.

Vi sade förut att $\varphi$ var det mest irrationella talet. Vad ska det betyda? Alla irrationella tal är ju lika irrationella, men vissa tydligen mer irrationella än andra. För växten innebär det att det nya bladet dyker upp inte bara på en ledig plats, utan också på en plats där det finns som mest utrymme (jag vet inte riktigt hur detta ska förklaras matematiskt).

Men varför skulle inte en växt kunna växa med en annan irrationell vinkel, som exempelvis $\frac{360^\circ}{\pi}$ eller $\frac{360^\circ}{e}$ grader? Talet $\frac{22}{7}$ är ju en väldigt bra approximation av $\pi$ , så varför skulle inte en sådan $\pi$ -växt kunna ha 22 spiraler?

Nu när jag inte kan spekulera mer matematiskt, går jag ut i naturen och letar. De första två växter jag hittar verkar vara typiska $\varphi$ -växter, men den tredje har vinkeln närmare $114,6^\circ$ , det vill säga $\frac{360^\circ}{\pi}$ !

Eller nja, inte om man kollar på de färdigväxta bladen, då är det en vanlig $\varphi$ -växt:
SAMSUNG

Den här då? Det är lite svårt att se i vilken ordning bladen har växt ut.

SAMSUNG

Men om det är någon av våra förmodade vinklar, bladen emellan, så är det i alla fall $\pi$ :

SAMSUNG

Hurra! En $\pi$ -växt! Så inte alla växter följer $\varphi$ -lagen… Eller har jag mätt fel? Varför är de flesta växter ändå $\varphi$ -växter?

Kan du hitta andra irrationell växter i naturen, kanske med vinkeln $\frac{360^\circ}{\sqrt{2}}$ mellan bladen? Om en vecka kommer jag med mer spekulationer och förklaringar om växternas utväxtvinklar.

Klurig fyrhörning

Rekommenderad från: 17 år

[kkratings]

En konvex fyrhörning ABCD har kända sidlängder: AB = 5, BC = 10, CD = 14, DA = 11. Fyrhörningens diagonaler skär varandra med en viss vinkel. Hur stor är den vinkeln?

Visa lösningen

Lejonet på arenan

Grattis på pidagen!

Rekommenderad från: 17 år

Förkunskaper: radianer, transformationer.

[kkratings]

Ett lejon springer runt på en rund cirkusarena, som har radien 10 m. Lejonets bana består av raka streck och i slutändan springer han 30 km. Visa att summan av alla vinklar, som lejonet svängde under springturen, är minst 2998 radianer.

Källa: Kvant magazine

Visa lösningen

En lektion för små barn om vinklar på klockan och delbarhet

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Notera att barnen redan har haft en introduktion till vinklar och olika vinkeltyper.

Klockan

Vinklar på klockan

Var hittar vi vinklar i rummet? Det är svårt att hitta spetsiga och trubbiga vinklar, men klockans visare bildar oftast en spetsig eller trubbig vinkel. Vi tar fram en modell av en klocka med två visare och snurrar ena visaren. Barnen säger under tiden vilken vinkel det är mellan visarna (”trubbig, trubbig, trubbig, trubbig, RÄT, spetsig, spetsig, spetsig, jättespetsig…”).

Vad är klockan om visarna bildar en rät vinkel (om minutvisaren är på tolv)? De yngre barnen får experimentera med en klockmodell, medan de äldre får föreställa själva. Hur ofta sammanfaller visarna, kan man fråga de äldre barnen.

Branta backar

Ställer man en spetsig vinkelns ena ben på marken blir det en backe. Vilken backe åker man snabbast nedför? Vilken backe är jobbigast att klättra upp på?

Vika papper

Tänk om vi har varken linjal, gradskiva eller sax med oss! Det enda vi har är ett papper. Hur kan vi få fram en rät vinkel? Vad ska vi göra om pappersbiten är rund och inte triangulär från början?

De äldre barnen får i uppgift att vika ihop vinklar på 180, 90, 45 samt 60 grader.

Färga klockans siffror

Vi ska göra den tråkiga klockan lite snygg och färglägga cirklarna med siffror. Går det att måla cirklarna i två färger, så att varannan cirkel har en färg? Kommer det att gå ihop på slutet? Går det med 3 färger? 4 färger? 5 färger?

Tio- och kanske sjuåringarna får hitta tal upp till 100 som går att färga i både 2,3,4,5 och 6-färgsmönster.
I samband med det får de kort där de snabbt ska gissa hur många cirklar det finns av en viss färg.

Till exempel, hur många röda cirklar är det på bilden? Svara utan att räkna dem en efter en!

Bygga ihop $360^\circ$

Vi fortsätter på uppgiften från förra gången. Nu gäller det att inte bygga en cirkel utav vilka bitar som helst, utan av exakt två typer av bitar. Det finns inte så många lösningar till den här uppgiften om man lägger på begränsningar på att varannan bit ska ha samma färg (ett exempel är $90^\circ+30^\circ+90^\circ+30^\circ+90^\circ+30^\circ$ ). De äldre barnen får försöka bevisa att de har hittat alla lösningar.

En lektion för små barn om vinklar

En ny termin är igång och för mig innebär det söndagsträffar med mina matematiksugna 5-, 6-, 7- och 10-åringar! Förra terminen skrev jag om våra 6 träffar, men vi har egentligen haft 11 stycken och i vår ska vi ha ungefär lika många!

Gamla träffar:
Träff 1 och 2
Träff 3 och 4
Träff 5 och 6

Den här våren tänkte jag prova att ha 1-2 övergripande teman på varje lektion, ungefär samma tema för stora som för små barn. Uppgifterna kommer dock variera för olika åldrar. De planerade aktiviteterna ska jag försöka lägga upp här på bloggen i förväg, så ni kan komma med synpunkter och förslag. De riktiga lektionerna blir aldrig i och för sig exakt som planerat, men i alla fall hälften av aktiviteterna hinns med (det gäller att ha aktiviteter med sig med marginal!).

Vinklar

Vi har nämnt vinklar och hörn lite grann förra terminen och svarat på frågor av typen:
– Hur många hörn har rummet? (Svaret var 6 för vårt rum)
– Hur många hörn har bordet? (Svar: 4)
– Bordet består egentligen av två mindre. Hur många hörn blir det om man förskjuter ena halvan? (Svar: 8, eftersom vinklar som är större än $180^\circ$ räknas också)

Här är en kortfattad plan på hur jag ska lägga upp lektionen för barnen (där det inte står något, utgå från att de är 5-7 år gamla):

Introduktion till matematiska begrepp

Jag berättar om spetsiga, räta och trubbiga vinklar, visar exempel och ber dem att hitta olika sorts vinklar i rummet. Finns det andra vinklar än räta i verkligheten? Ja, men man får leta efter dem lite längre (ett exempel är klockans visare).

Lek med vinkelexempel

Barnen får dra kort, ett i taget, och säga vad för sorts vinkel det är på bilden (trubbig, spetsig, rät). Man måste visa att man har rätt också och det kan man göra genom att lägga vinkel inuti en rät t.ex., för att visa att den är spetsig. Sådant kommer jag be om, när en vinkel är väldigt nära en rät, så det är svårt att avgöra vinkelns sort. Jag frågar efteråt om det finns vinklar som är lika stora och även då får barnen bevisa sina hypoteser genom att t.ex. lägga vinklarna på varandra.

Bara den färgade delen (själva vinklarna) ska lamineras för att uppgiften ska gå att genomföra som planerat.

Färga vinklar

För att associera även det inre med ordet ”vinkel” (se bilden nedan), ska vi måla lite (barn älskar att måla!) och samtidigt träna lite kombinatorik.

Hur många vinklar ser du på bilden? Måla alla möjliga vinklar i olika färger (det finns 6 stycken mindre än 180 grader och barnen får 6 uppsättningar av bilden):

Rita egna vinklar

Barnen ritar några egna vinklar. Vissa får i uppgift att rita spetsiga, vissa trubbiga och vissa räta.
Nästa uppgift är att rita två linjer som skär varandra och räkna antalet spetsiga samt trubbiga vinklar på bilden.

Bygga ihop $360^\circ$

Jag har med ett pusselspel, som egentligen är menat till att lära sig bråk. Det är cirkelsektorer i plast i olika färger som är lika stora som 1/3 av cirkeln eller 1/8 till exempel. Sektorer av samma storlek har samma färg, till exempel är alla tredjedelar gula, alla åttondedelar – gröna.

Plastbitarna presenterar jag som vinklar. Barnens uppgift är att bygga ihop en cirkel utan ”vinklar” som inte alla har samma färg. Till exempel, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\$ bildar en hel cirkel ( $\ 180^\circ+120^\circ+60^\circ=360^\circ\$ ).

Dessa ”tårtbitar” återvänder vi till när vi ska prata om bråk.

De äldre barnen (10 år) får göra samma uppgift, men de måste mäta vinklarna med gradskiva och lägga ihop siffrorna, för att komma fram till att summan är 360 grader om vinklarna tillsammans bildar en cirkel.

Andra experiment för de äldre är att rita trianglar, riva bort hörnen och mäta vinkelsumman. Alternativt lägga hörnen bredvid varandra och se att det blir en rät linje (alltså 180 grader). Samma uppgift med fyrhörningar och femhörningar.

Rita en stjärna

Jag visar för de äldre barnen hur man kan rita exakta vinklar med hjälp av en gradskiva. Sedan får de lära sig att rita en femuddig regelbunden stjärna med passare, linjal och gradskiva.

Detta är allt för den första lektionen om vinklar! Notera att jag också hade tänkt med att hinna med ett annat tema, nämligen tal upp till 100 (och med de äldre barnen, delbarhet upp till 100).