Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1

Hur kommer det sig att det finns spiraler på kottar, kronärtskockor och ananaser? Om du inte har sett förklaringen, rekommenderar jag Vi Harts videoserie “Spirals, Fibonacci, and Being a Plant”: del 1, del 2 och del 3.

(Eller kolla upp en sida på svenska med många bra bilder.)

kotte

En av sakerna som avslöjs är att växternas blad växer ut med en och samma vinkel i förhållande till föregående bladet, nämligen vinkeln \frac{360^\circ}{\varphi}, där \varphi är det gyllenne snittet, även kallad det mest irationella talet. Detta för att bladen aldrig ska hamna direkt över och blockera solljus för varandra.

Eftersom bladen inte är hur tunna som helst, kommer de så småningom ändå överlappa varandra delvis. Därför bildas det spiraler, vilket förklaras i videorna. Men varför är antalet spiraler alltid lika med ett fibonaccital, för tallkottar oftast 5, 8 eller 13 (plocka upp en kotte och räkna spiralerna åt båda hållen)?

Min förklaring är att gyllene snittet approximeras med exempelvis 8/5, vilket betyder att växten efter 8 blad har avlagt 8\cdot\frac{360^\circ}{\varphi} grader, vilket är ungefär lika med 8\cdot\frac{360^\circ}{\frac{8}{5}} grader, det vill säga typ 5 varv. Och så med alla andra heltalsapproximationer, när växten
har gått ett ungefär helt antal varv, så har det vuxit ut ett fibonacciantal blad. När ett nytt varv börjar, bara då kan spiralerna börja växa, och därför är antalet spiral lika med antalet blad som vuxit ut hittills, det vill säga ett fibonaccital.

Vi sade förut att \varphi var det mest irrationella talet. Vad ska det betyda? Alla irrationella tal är ju lika irrationella, men vissa tydligen mer irrationella än andra. För växten innebär det att det nya bladet dyker upp inte bara på en ledig plats, utan också på en plats där det finns som mest utrymme (jag vet inte riktigt hur detta ska förklaras matematiskt).

Men varför skulle inte en växt kunna växa med en annan irrationell vinkel, som exempelvis \frac{360^\circ}{\pi} eller \frac{360^\circ}{e} grader? Talet \frac{22}{7} är ju en väldigt bra approximation av \pi, så varför skulle inte en sådan \pi-växt kunna ha 22 spiraler?

Nu när jag inte kan spekulera mer matematiskt, går jag ut i naturen och letar. De första två växter jag hittar verkar vara typiska \varphi-växter, men den tredje har vinkeln närmare 114,6^\circ, det vill säga \frac{360^\circ}{\pi}!

Eller nja, inte om man kollar på de färdigväxta bladen, då är det en vanlig \varphi-växt:
SAMSUNG

Den här då? Det är lite svårt att se i vilken ordning bladen har växt ut.

SAMSUNG

Men om det är någon av våra förmodade vinklar, bladen emellan, så är det i alla fall \pi:

SAMSUNG

SAMSUNG

Hurra! En \pi-växt! Så inte alla växter följer \varphi-lagen… Eller har jag mätt fel? Varför är de flesta växter ändå \varphi-växter?

Kan du hitta andra irrationell växter i naturen, kanske med vinkeln \frac{360^\circ}{\sqrt{2}} mellan bladen? Om en vecka kommer jag med mer spekulationer och förklaringar om växternas utväxtvinklar.

Gardners drake

Du har säkert bilder eller monument där någon tycks följa dig med ögonen när du passerar. Men har du någonsin träffat en konstgjord varelse som följer dig med hela huvudet?

(Vänta ett tag innan videon laddas, det är värt besväret!)

anka_kanin

Synvillan fungerar bra på film

När kameran filmar, så registerar “bara” den 2-dimensionella bilden, precis vad som skulle hända om du skulle kolla på världen med bara ett öga. Med ett öga ser du en platt bild, men med hjälp av ljussättningen, storlekar och din kunskap om världen uppfattar du ändå hur långt bort saker är. Det andra ögat ser en egen platt bild, men ser världen ur en annan vinkel. Eftersom hjärnan är medveten om de här vinklarna kan den lägga på de platta bilderna på varandra och du får ännu bättre djupseende. (Testa att titta ut genom fönstret, blundandes med ett öga. Öppna sedan det andra ögat och sedan blunda med det igen, öppna igen, blunda igen och så vidare. På så sätt kan du avgöra hur djupt du egentligen ser med bara ett öga.)

Hjärnan ser ett djup i taget

Problemet uppstår när två olika tredimensionella objekt har samma projektion, det vill säga den platta bilden som en kamera skulle registrera. Hjärnan kan då inte se två tredimensionella objekt samtidigt, utan måste växla och tycka en sak i taget.

Precis som att du inte kan se en anka och en kanin samtidigt på den här bilden:

anka_kanin

så måste du bestämma dig i varje stund om den lilla kuben är en utbuktning eller ett hål:
kub_illusion

Varför draken ser dig

Eftersom vid är vana vid tredimensionella objekt som “buktar ut” snarare än “buktar in”, så väljer hjärnan att tolka drakhuvudet som fylligt om vi kollar på draken med bara ett öga (ibland fungerar det även om vi kollar med två). Istället för att se drakhuvudet för det inbuktade fusket det faktiskt är, så går hjärnan hellre med på att draken följer oss med huvudet hur vi än tittar på den. Drakens konstruktion är baserad på design av Jerry Andrus.

Tillverka själv

Rekommenderas för: alla åldrar, men för att draken ska fungera krävs noggrannhet, så någon över 12 år borde närvara

Materiel: utskrifter med drakar, sax, lite tejp eller lim

Tid: 30 minuter för tillverkning, samt 30 minuter för tokigt tittande på den färdiga draken.

Ladda ner en drakbild och skriv ut på en A4. Instruktionerna finns på bilden, men är på engelska. Det du behöver veta är att “mountain fould” betyder att man ska vika pappret som ett “berg” längs med linjen, det vill säga så att spetsen utgörs av sidan med drakbilden, och att “valley fould” är tvärtom.

Börja med att klippa ut hela draken och lägg den sedan tillbaka till resten av pappret för att se de exakta instruktionerna. Har du några frågor om konstruktionen, skriv i kommentarerna!

blue_dragon

green_dragon

red_dragon

Trassel (tangles)

Aktiviteten trassel

Rekommenderas för: gymnasieet, universitetet (eller i förenklad form för högstadiet)

Materiel: två stora rep eller sladdar (gärna av olika färger), en ogenomskinlig plastpåse

Tid: 45 minuter

Antalet deltagare: 4 + publik

Aktiviteten “trassel” kommer från matematikern och pusselkonstruktören Johan Conway och har genomförts i Sverige på bland annat Sonja Kovalevsky-dagarna. Den passar att genomföra på en matematiklektion om bråkräkning/gruppteori eller som en extra matematikaktivitet.

Man börjar med att fyra elever ställer sig som hörnen på en kvadrat inför resten av klassen. Var och en av dem tar tag i var sin ände av ett rep så att repen hänger parallella med hur publiken sitter. Under experimentet får de aldrig släppa sin ände.

Så här ser det ut uppifrån (Positionerna närmast klassen är D och C):

trassel start

Nu kommer de fyra personerna utföra en slags dans och trassla till repen samtidigt. Varje trassel (tangle) repen bildar kommer att ha ett motsvarande tal. Från början, när repen är parallella mot varandra och mot klassen, motsvarar det talet 0.

Det första tillåtna danssteget är att vrida om repen runt varandra. Och inte på vilket sätt som helst, utan det måste göras av personerna som står på positionerna B och C. Dessa två personer byter plats med varandra och B är den som lyfter sin repände, som C går under för att komma till sin nya position.

vrida om

Att vrida om trasslet på det här sättet kommer att öka talet med 1. Så en omvridning ger ett trassel med värdet 1, medan en till omvridning ger talet 2 osv.

Det andra tillåtna danssteget är att rotera medurs. Person A går till position B, person B går till position C och så vidare.

Att rotera trasslet kommer också att förändra talet. Men hur? Om elevera har hållit på med funktioner och algebra tidigare kan man låta dem att lista ur svaret. Annars kan man helt enkelt säga att talet x omvandlas till talet -1/x vid en sådan rotation. Notera t.ex. att två rotationer i rad inte gör någon skillnad på trasslet, vilket är klart för trassel som består av några omvridningar:

n -> -1/n -> -(1/(-1/n)) = n

rotera

När alla har förstått reglerna kan man be eleverna att uföra några danssteg (börja med att först
vrida om), samtidigt som man räknar på talet som ska motsvara trasslet. Om man från början gör dansstegen: vrida om, vrida om, rotera, vrida om, vrida om, vrida om, rotera, vrida om så kommer man till talet:

0 -> 1 -> 2 -> -1/2 -> 1/2 -> 3/2 -> 5/2 -> -2/5 -> 3/5

Hur ska man lösa upp detta trassel om man bara tillåts att göra dansstegen ovan? Publiken får lösa denna uppgift genom att försöka räkna ut hur man ska göra med bråket 3/5 för att det ska bli 0, om man bara tillåts addera 1 och ta den negativa inversen. Man kan ju inte göra dansstegen “baklänges”, eftersom steget “att vrida runt åt andra hållet” inte finns.

När någon har kommit på dansstegsföljden kan man testa dansen och se att knuten verkligen löses upp.

Det här kan man göra med andra tal. Ju svårare trasslet är, desto roligare blir det att se det lösas upp. När repen är tilltrasslade, kan man knyta några plastpåsar runt dem, så att trasslet inte syns och sedan utföra dansstegen som eventuellt ska lösa upp trasslet. När talet på tavlan är 0 kan man knyta upp påsarna och se att allt blir som i början, bara man drar i repen!

Fler frågor att diskutera på avancerad nivå:

– Vad händer om man roterar först? Vad är talet -1/0 och vad har det för egenskaper? Ska trasslet -1/0 förändras om man vrider om det?

– Hitta inversen till att vrida om. Det vill säga, om man startar från ett trassel och sedan vrider om en gång, vad för danssteg skall man göra för att komma tillbaka till starttrasslet?

Fler frågor för att grupper:

– Om man börjar från 0, hur kommer man till ett specifikt trassel, t.ex. -3?

– Hut kommer man snabbast ner till 0 från ett specifikt trassel? Här kan eleverna tävla om vem som kan hitta på kortaste dansstegsekvensen när trasslet är ett relativt avancerat bråktal.

Mer om aktiviteten kan du läsa i Conways text (tangles börjar på sida 10) conway.pdf, samt Tom Davis text med utförlig diskussion och beskrivning av aktiviteten. tangle.pdf.

Tack till Johan Björklund för tipset!

Adventspyssel 5


Varje dag innan Jul kommer det publiceras en lite gåta eller något pyssel, och ni kära läsare får gärna skicka in egna bidrag till valentina.chapovalova@gmail.com!

Sierpenskis triangel

Mycket vacker konst kan göras av fraktaler. Nedan har man börjat konstruera Sierpenskis triangel, och det kommer ta låång tid att få den klart :)

sierpinski_lera

Bilden hittade jag på sidan Evil Mad Scientist.