Lösningen till problemet för de äldre vecka 35


Mattegåta

Hitta det största antalet kongruenta icke-konvexa polygoner som man kan dela in en kvadrat i, på så sätt att polygonernas sidor är parallella med kvadratens och inga två polygoner går att få ifrån varandra genom translation. Visa varför just det antalet fungerar och varför det inte går med ett större.

Diskussion

Hur ska den här konstiga formuleringen tolkas?

Jo, att polygonerna har bara lodräta och vågräta sidor, så vinklarna överallt är 90 grader (eller 270). Och att alla figurera är kongruenta.

Vad betyder det att två figurer är kongruenta? Med det menas att man kan ta första figuren, flytta den på något sätt och precis täcka den andra figuren. Man får rotera och vända på den första figuren som man vill.

Faktum är att alla sådana här rörelser antingen är rotationer, speglingar, translationer eller kombinationer av de tre sakerna. Vi vet att rena translationer är förbjudna enligt uppgiften. Så det gäller att bestämma antalet sätt att rotera och spegla en figur så det alltid blir olika positionerade figurer. Sedan ska man hitta på ett exempel med det antalet också.

Lösning (av Erik Thörnblad)

Jag hävdar att åtta är det maximala antalet:
Bevis:
Rimligtvis har polygonerna hörn. Kolla på ett specifikt hörn. Kalla ena änden för A och andra änden för B. När man sedan roterar polygonen och bara tittar på just det hörnet, så framgår det att det finns totalt åtta olika sätt att vrida hörnet på, så att sidorna hela tiden är parallella med kvadratens sidor (som jag nu antagit är lodräta och vågräta).

Detta innebär att man som mest kan skapa åtta polygoner som uppfyller alla krav som ställts.