Mattebloggen

Hösterminen 2010 är tävlingen på bloggen uppdelad i två kategorier: matteproblem för de äldre (personer som har avslutat en gymnasieutbildning) och för de yngre (personer som går i grundskolan eller på gymnasiet). Givetvis får alla skicka in lösningar på problem från den andra kategorin, men de äldre får inte poäng för de yngres problem.

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast måndagen den 13 september. Missa inte chansen att få priser!

På bordet ligger en papperscirkel med radien 5 cm. Så länge det är möjligt, lägger Ilian till papperskvadrater med sidan 5 cm intill cirkeln så att följande villkor uppfylls:
1. Varje kvadrat har ett hörn som nuddar cirkeln.
2. Kvadraterna överlappar inte varandra.
3. Varje ny kvadrat nuddar den föregåendes hörn med ett hörn.

Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.

Jag fick in ett par fina lösningar, och jag kommer att använda mig av Erik T.’s bilder i lösningen (som ni kanske har märkt, ritar jag vanligtvis i paint, fastän jag borde ha lärt mig att TeX:a bilder för länge sen).

Lösning:

Säg att Ilian bestämmer sig för att lägga den andra kvadraten moturs från den första (det är symmetriskt ifall han lägger åt andra hållet). Det går bara att göra på ett sätt för att den nya kvadratens sida ska nudda både cirkeln och ett gammalt hörn (finns bara en punkt på cirkeln på avståndet 5 cm, som inte redan är upptagen).

Lägg på en till kvadrat, spelar inte så stor åt vilket håll, i vilket fall får vi tre kvadrater:

Eftersom cirkelns radie är lika med kvadraternas sidor, bildas figurer som kallas romber. En romb är en fyrkant med alla sidor lika. Man kan dela upp en romb i två trianglar och visa att trianglarna är kongruenta (sida-sida-sida). Då följer att rombens motstående vinklar är lika.

Den inringade vinkeln är 360°. Den består av en 90°-vinkel från kvadraten, samt två vinklar från var sin romb. Vinklarna från romberna är 180°-α respektive 180°-β  stora. För att dessa tillsammans ska bilda en vinkel på 360°, måste α+β=90°.

Detta innebär att för varje två nya kvadrater bildas en ny 90°-vinkel runt cirkelns mittpunkt. Det finns tydligen plats för 8 kvadrater, eftersom hela vinkeln runt cirkelns mittpunkt är 360°.

α och β kommer dessutom alterneras (alla två romber bredvid varandra kommer att ge den sammanlagda vinkeln 90° runt cirkelns mittpunkt.

Således, om vi fortsätter att bygga på kvadrater kommer den nionde romben att sammanfalla med den första. Detta implicerar att den nionde kvadraten sammanfaller med den första. Alltså måste den åttonde och den första kvadraten nudda med hörnen (den åttonde och nionde gör det ju enligt konstruktionsreglerna). Så här ser det ut:

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

På bordet ligger en papperscirkel med radien 5 cm. Så länge det är möjligt, lägger Ilian till papperskvadrater med sidan 5 cm intill cirkeln så att följande villkor uppfylls:
1. Varje kvadrat har ett hörn som nuddar cirkeln.
2. Kvadraterna överlappar inte varandra.
3. Varje ny kvadrat nuddar den föregåendes hörn med ett hörn.

Bestäm hur många kvadrater Ilian kan lägga ut och visa, att den första och den sista kvadraten måste också nudda varandras hörn.

Kan man dela upp en kvadrat i 9 kvadrater och måla en av dem i vitt, 3 av dem i grått och 5 av dem i svart på så sätt att kvadrater med samma färg har samma storlek, men kvadrater med olika färg har olika storlek?

Lösning:

Ja, det kan man faktiskt! Så här till exempel:

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Kan man dela upp en kvadrat i 9 kvadrater och måla en av dem i vitt, 3 av dem i grått och 5 av dem i svart på så sätt att kvadrater med samma färg har samma storlek, men kvadrater med olika färg har olika storlek?

På ett papper finns en bild på en svart kvadrat. Du har tillgång till 7 kvadratformade brickor av samma storlek som den ritade kvadraten. Hur ska du göra för att täcka över kvadraten med brickorna så att inga brickor ligger på varandra och varje bricka täcker åtminstone en liten del av kvadraten (åtminstone en punkt inuti)?

Det kluriga ligger i att lista ut att man kan vrida på brickorna innan man lägger dem på kvadraten. Den lösningen kom de regelbundna lösarna Johan och Ove på, men också niorna Amanda, Elin, Emelie, Adam, Michaela och Hampus från Häggviksskolan i Stockholm. Författaren tackar Adam Jonsson, deras lärare, för hans engagemang!

Här är de inskickade lösningarna, som förstås är egentligen likadana. Notera dock att alla lösningar är fel för att kvadraten inte är svart

Lösning:

På ett papper finns en bild på en svart kvadrat. Du har tillgång till 7 kvadratformade brickor av samma storlek som den ritade kvadraten. Hur ska du göra för att täcka över kvadraten  med brickorna så att inga brickor ligger på varandra och varje bricka täcker åtminstone en liten del av kvadraten (åtminstone en punkt inuti)?

Från början har vi en kvartscirkel med radie 1 (cm om man så vill). Gränserna för kvartscirkeln utgör diametrar för två mindre cirklar, deras halvor syns på bilden.

i) Hur förhåller sig areorna A och B?

ii) Vad är areorna A och B lika med?

Lösning:

(i) Notera att areorna A och C tillsammans utgör halva lilla cirkeln, det vill säga halva cirkeln med diameter 1. Den har area pi*((½)^2)/2. Samma gäller A och D, A+D=pi*((½)^2)/2=pi/8.

Å andra sidan utgör A+B+C+D en kvarts stor cirkel, således A+B+C+D=pi*(1^2)/4=pi/4. Vi ser att arean för den stora kvartscirkeln är dubbelt så stor som areorna för de små halvorna.

Således har vi A+B+C+D=(A+C)+(A+B), och subtraher vi A, B och C på båda sidor av likheten, så får vi A=B. Notera att vi nu inte har bestämt själva areorna, utan bara hur A och B förhåller sig.

(ii) Följande är min arbetskamrats Albins lösning:

Om man ritar ut den små (röda) cirklarna, syns det tydligare vad som händer. Den gröna punkten är skärningspunkten mellan tangentlinjer (svarta) till cirklarna, som då måste bilda 90° vid skärningen. Då är vinkeln mellan de två röda cirklarna också 90°.

Då vet vi att också de blåa tangentlinjerna skär varandra i vinkeln 90°. Det kan också ses av symmstriskäl. Från den gröna och från den blåa punktens perspektiv måste allting vara symmetriskt. Alltså bildas en kvadrat rektangel i mitten av bilden (en kvadrat egentligen), eftersom igen, av symmetriskäl så måste återstående två vinklarna vara lika och då måste de vara 90° också.

Nu finns olika sätt att bestämma arean A och jag gör det med liknande metod som i (i).

Här har vi att A+x=pi/16, en kvart av en cirkel med radie ½. A+x+x=1/4, arean av kvadraten. Alltså är x=1/4-pi/16. Och då måste A=pi/16-(1/4-pi/16)=pi/8-1/4.

Svar: 

Jag hoppas att ni flitigt har försökt lösa de här uppgifterna. Nu tänker jag nämligen berätta lösningen till uppgift 3. Dessutom följer en förklaring på hur man tänker. Uppgiften är alltså:

Visa att en kvadrat kan delas upp i n stycken mindre kvadrater för alla n>5. 

Med ”att dela upp” menas att vi klipper en kvadrat så att alla erhållna delar också är kvadrater och det blir inga bitar över. Vi ska hitta på en sådan klippning för alla möjliga antal bitar, från och med 6.

Det känns lite omöljigt, hur ska vi kunna ge en lösning för alla tal som är större än eller lika med 6? Det tar ju oändligt lång tid att presentera! Men, uppgiften säger ”visa att”, det vill säga ”visa att det går” och det frågas inte hur, vilket är två olika saker. Det är skillnad på ”visa att ekvationen har en lösning” och ”bestäm en lösning för ekvationen”. På samma sätt som det är skillnad på ”visa att dinosaurierna levde på Jorden under hundra miljoner år” och ”hitta hundra miljoner årtal under vilka dinosaurierna levde”. Det kan vara subtil olikhet mellan de paren av påståenden, men det är bara så att det senare svaret skulle ge oss det tidigare men inte tvärtom. Man kanske vet att dinosaurierna levde under en viss period, men är osäker på under vilka årtal de säkerligen levde. Men ger någon oss årtal så är det klart att dinosaurierna levde i minst hundra miljoner år.

Men åter till problemet, hur ska man börja lösa det? Tvärtemot vad jag precis skrev om, ska man försöka konstruera lösningarna explicit för olika tal. Vilka n lyckas vi med? Det är en viktig metod i problemlösning, som säger att vi ska starta med små fall, trots att vi har godtyckligt stora framför oss. Små fall kommer ge oss en känsla för hur problemet funkar.

Ok, i hur många kvadrater kan du dela upp en stor kvadrat? Jag kan i 4! Visst, det ingick inte i problemet att lösa det för 4, men jag kan ändå:

Det går upprepa samma idé och få 9, 16, (och så vidare) kvadrater:  

Detta ger oss inte så mycket, bara alla kvadrattal, men vi har oändligt många kvar. Vad händer om vi änvänder ”samma konstruktion” som i fallet 4, fast på ett annat sätt? Jag menar så här:

Och vi kan givetvis fortsätta på samma sätt, splittrande en av kvadraterna i fyra små. Vi kan få 7 kvadrater som på bilden ovan och sedan också 10, 13 osv:

Det spelar ingen roll för oss vilken av de befintliga kvaraterna vi delar in i fyra nya. Det viktigaste är att antalet ökar med 3 hela tiden.

Vi har alltså fått svaret för 7, 10, 13, 16, 19, … Oändligt många svar, med det är ändå foftarande oändligt många kvar! Men ni kanske kan gissa att talen 6, 9, 12, 15, …. och talen 8, 11, 14, 17, …. kan fixas på samma sätt så fort vi hittar på någon lösning för 6 respektive 8 kvadrater. Notera då att alla tal större än 6 kommer vara fixade då.

Okej, försök att klura ut 6 eller 8 kvadrater själv innan du tittar nedan. Ett tips är att ha en motsatt taktik: i stället för att lägga till kvadrater till en befintlig konstruktion, försök att ta bort lite kvadrater.

För att få 6 kvarater tar jag bort lite från min konstruktion på 9 kvadrater:

På liknande sätt gör vi 8 kvadrater från 16:

Då är vi klara! Vi kan få alla konstruktioner från konstruktionerna med 6, 7 och 8 kvadrater genom att dela upp en kvadrat i fyra och därmed lägga till 3 till antalet.

Vad har då detta med induktion att göra?

Denna lösning, som går ut på metoden ”stegvis konstruering”, kan även anpassas till induktionsmodellen. I det här problemet består inte induktionssteget av ett enda ”steg”, från talet n till talet n+1, utan av tre fall som i och för sig löses på samma sätt (fallen är olika kongruensklasser modulo 3). Basen bestär också av olika fall. 

Uppgiften är löst, vi förstår hur lösningen funkar, det är nu vi kan baka in den i induktionsmodellen:

Bas:

n=6, n=7 och n=8:

Induktionssteg:

Induktionsantagandet är att det går att dela upp en stor kvadrat i n stycken mindre. Vi visar att det då går att dela upp i n+3 stycken mindre. Beviset är: skär en av gamla kvadraterna i fyra nya.

Slutsats:

Enligt inuktionsaxiomen och alla basfall modulo 3 visade kan vi dra slutsatsen att påståendet gäller för alla n>5.

Detta kanske inte var det bästa exemplet på att induktion kan vara bra. Lösningen ser mycket naturligare ut i den mindre formella beskrivningen. Men å andra sidan blir den mycket kortare och mer elegant formulerat i induktionstermer.