Problemlösning – Sida 5

Vad är ett fullständigt bevis?

När man löser ett riktigt matematiskt problem räcker det inte att presentera svaret. Du måste presentera lösningen också, det vill säga hur du kom fram till svaret. Ibland har inte problemet något svar, utan du skall bevisa att något påstående är sant. Hur vet man att beviset är fullständigt? Ett sätt är att berätta beviset för en kompis. Om du övertygar denne om att du har bevisat det du skulle, så är ditt resonemang antagligen korrekt. Ett annat sätt är att själv försäkra sig om att man inte glömt att undersöka några möjligheter.

På vår mattecirkel får vi träna båda sätten! På en vanlig träff får man berätta lösningen för läraren och sedan få eventuella förtydligande frågor. På den första matteträffen denna termin körde vi dessutom tävlingen där deltagarna fick berätta lösningar för varandra. Denna tävling kallas mattedrabbning och man lär sig otroligt mycket på att både försöka övertyga motståndaren om att man har löst problemet rätt och, när man spelar opponentens roll, försöka fälla motståndaren med kluriga frågor.

Ta en titt på vår första lektion under fliken Cirkel.

Har du någon att diskutera problemen med, försöka att uttnyttja det. Du och den personen kommer lära er mycket om att resonera. Om du vill ha fler att prata matte med, och går eller tänker gå på Katedralskolan i Uppsala, välkommen på vår cirkel!

Bäst resultat vinner!

Den senaste träffen på Katedralskolan genomförde vi en liten tävling bland deltagarna.

Varje deltagare fick 5 stycken problem att lösa på kort tid. Dock behövde inte problemen lösas fullständigt, utan det viktiga var att uppnå ett resultat. Men jämna mellanrum samlade jag in resultaten på varje problem. Sedan får det sämsta resultatet 1 poäng, nästa resultat får 3 poäng och så vidare.

Till exempel, när det hade gått 5 minuter av tävlingstiden så lämnade deltagarna in sina svar (tillsammans med exempel) på problem 1. Säg att deltagarna lyckas med svaren 20, 22, 20 och en lösning är felaktig. I det här fallet är det bra att ha så litet svar som möjligt. Personen med svaret 22 får då 1 poäng, personerna med svaren 20 får då 4 poäng var (de delar jämnt på 3- och 5-poängaren). Personen utan giltig lösning får inga poäng.

Testa själv att uppnå så bra resultat som möjligt på 25 minuter. Läs igenom problemen först och starta sedan klockan. Posta gärna dina bästa resultat i kommentarerna sedan, så kan vi se vem som vinner ”tävlingen” här på bloggen.

Fem minuter per problem

1. Placera springare på schackbrädet 8×8 för att de ska angripa samtliga lediga rutor. Ju få springare desto bättre.

2. Skriv ner på en rad några på varandra följande positiva heltal som har siffersummor ej jämnt delbara med 8. Ett exempel: 18, 19, 20. Ju fler tal desto bättre.

3. Fyll i en tabell av format 3×5 med olika positiva heltal. Summan i ett vilket som helst par grannrutor skall inte vara jämnt delbart med 3. Som grannar räknas rutor med en gemensam sida eller ett gemensamt hörn. Ju mindre det största talet i tabellen blir desto bättre.

4. Hitta ett tal med samma siffersumma som siffersumman hos 1992 och samma sifferprodukt som sifferprodukten hos 1992. Ju större talet är desto bättre.

5. Det finns tillräckligt många kort med talen 9, 49, 169, 289, 729 och 625. Plocka ut ett antal kort med summan 2004. Ju färre kort desto bättre.

Problemlösning lådprincipen

Den här vårterminen har jag äran att tillsammans med en annan lärare leda problemlösningskursen på Katedralskolan i Uppsala! Vi håller 2 timmarslektioner för intresserade elever på skolan, samt för nior som ska börja läsa där.

Tanken med träffarna är att träna eleverna inför kommande tävlingen SMT (SM i matte för gymnasister) och utveckla elevernas problemlösningsförmåga. Framförallt ska vi ha kul och upptäcka spännande ny matte tillsammans.

Problemlösning intro
Problemlösning heltalsekvationer

Nedan är den tredje lektionen som jag höll i (femte lektionen totalt).

Problemlösning Katedralskolan, 2012-05-09

Lådprincipen

“Om tio duvor sitter i nio lådor, så måste någon låda innehålla minst två duvor”

0. På en skola går 400 elever. Visa att två av dem fyller år samma dag.

1. a) Niklas har en stor låda med vita och svarta strumpor. En morgon har han bråttom och vill få ett par matchande strumpor så snabbt som möjligt ur lådan. Hur många strumpor måste han dra upp på måfå för att vara säker på att få ett par av samma färg?

b) Samma fråga, men med tre färger.

c) Det finns nu 10 vita, 10 röda samt 10 vita strumpor i lådan. Hur många strumpor ska Niklas dra på måfå för att vara säker att få upp alla olika färger?

2. I en granskog växer en miljon granar. Varje gran har som mest 200000 barr. Visa att det finns två träd i skogen med samma antal barr.

3. Det finns 15 pyttesmå hål i en maläten matta 4m×4m. Visa att man kan klippa ut en liten matta av storlek 1m×1m som är utan hål.

4. a) Givet 10 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?
b) Givet 11 positiva heltal, kan det hända att alla möjliga skillnaderna emellan dem är ej delbara med 10?

5. På Jorden utgör havet mer än hälfen av planetens yta. Visa att det finns två diametralt motsatta punkter på planeten, som båda ligger i havet.

6. 65 elever gjorde nationella provet i Engelska B. På mutliga, skriftliga respektive förståelsedelen kunde man få IG, G, VG eller MVG. Stämmer det att man kan hitta två elever som fick samma betygskombination?

7. Visa att vilka fem personer man än tar, så har två av dem samma antal kompisar i den gruppen.

8. Visa att vilka 52 heltal man än tar, så går det att hitta två vars summa eller skillnad är delbar med 100.

9. På ett militärlager finns kängor i storlek 41, 42, 43, två hundra kängor av varje storlek. Totalt är det tre hundra vänsterkängor och tre hundra högerkängor. Visa att man kan bilda åtminstone 100 par kängor som matchar.

Extraproblem. Visa att bland 6 personer går det alltid att hitta tre som känner varandra eller tre som inte känner varandra.

Problemlösning heltalsekvationer

Nedan är den andra lektionen som jag höll i. Vi övade på att lösa ekvationer, där variablerna var heltal. Vi gick igenom uppgift 0 på tavlan och totalt sett löstet uppgifterna 1-5. Det var en svår lektion med andra ord.

Inte det roligaste ämnet heller inom problemlösning tycker jag, men sådana här uppgifter träffar man jämt på i SMT-kvalen.

Problemlösning Katedralskolan, 2012-04-25

Tal och ekvationer

0. Hur många lösningar har ekvationen xy = 10
a) i positiva heltal;
b) i heltal;
c) i reella tal?

1. Produkten av tre positiva heltal är 77 medan deras summa är mindre än 77. Bestäm summan.

2. Samtliga portar i ett hyreshus har samma antal våningar. Det finns lika många lägenheter på varje våning. Man vet att antalet våningar är större än antalet lägenheter per våning vilket i sin tur är större än antalet portar. Det finns minst två portar. Totalt finns det 105 lägenheter. Bestäm antalet våningar.

3. Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till ekvationen 4x+7xy = 100.

4. Produkten av två positiva heltal är 19 större än kvadraten på det första talet. Bestäm det andra talet.

5. En 40-foting har ett huvud, en drake har tre huvuden. Det flyger en svärm av sådana djur. Det finns totalt
а) 26 huvuden och 298 fötter;
b) 39 huvuden och 648 fötter.
Hur många fötter har en drake?

6. Finns det sådana positiva heltal x och y att
a) x²-y² = 21;
b) x²-y² = 20;
c) x²-y² = 22?

7. Av en rutad kvadrat klipper man en mindre rutad kvadrat. Det finns 23 rutor kvar. Bestäm storleken på den större kvadraten.

8. Det är ett känt faktum att 1993 är ett primtal. Bestäm om det finns sådana positiva heltal x och y att
a) x²-y²=1993;
b) x³-y³=1993;
c) x⁴-y⁴=1993.

9. (SMT) Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 17 positiva heltal som endast innehåller siffran 7 och ange alla sådana framställningar. Två framställningar som skiljer sig enbart beträffande termernas ordning räknas bara en gång.

10. (SMT) Bestäm x² + y² + z² om x, y, z är heltal som uppfyller
x + y + z = 60
(x − 4y)² + (y − 2z)² = 2

Blandade problem

1. a) Man har suddat första siffran i ett tresiffrigt tal och multiplicerat det erhållna talet med 7. Då fick man det ursprungliga talet. Bestäm talet.
b) Man har suddat andra siffran i ett tresiffrigt tal och multiplicerat det erhållna talet med 6. Då fick man det ursprungliga talet. Bestäm talet.

2. (SMT) Differensen mellan tva femsiffriga heltal ar 246. Visa att de tio siffror som ingår i de båda talen inte alla kan vara olika.

Problemlösning intro

Nedan är första lektionen, som kan användas som introduktion till problemlösning för intresserade elever. Problemen 0 och 5 går man igenom på tavlan genom att tillsammans med eleverna få fram lösningen.

Problemlösning Katedralskolan, 2012-04-11

Startuppgifter

0. I en skål växer en bakteriekultur. Varje sekund delar sig alla bakterier i två nya. Efter en minut är skålen helt full med bakterier. Efter hur länge var skålen full till hälften?
(Ledtråd: tänk från slutet.)

1. En bit föll ur en gammal tidskrift. Första sidan hade numret 328 och sista hade ett nummer som bestod av samma siffror, men i en annan ordning. Hur många sidor föll ut ur tidskriften?

2. Du har tillgång till 24 kg spikar och en balansvåg med två skålar. Hur kan du mäta upp 9 kg spikar?

3. En snigel tar sig upp för en påle, den börjar från markens nivå. Varje dag kommer snigeln upp 5 cm, medan varje natt åker den ner 4 cm. När kommer snigeln upp till toppen, om pålen är 75 cm lång?

4. Ta bort 10 siffror från talet 1234512345123451234512345, så att talet som står kvar är så stort som möjligt.

Problemlösningstips 1: lös ett “förenklat” problem

5. I en 5×5-tabell står det ett plustecken i en hörnruta och i alla andra rutor står ett minustecken. En tillåten operation är att invertera alla tecken i en hel rad eller en hel kolonn. Går det att genom tillåtna operationer få alla tecken till att vara plus?
(Svar: nej. Ledtråd: titta på samma problem för en 2×2-tabell)

6. Det finns en träkub med sidan 3 cm. Det är ganska lätt att såga upp den i 27 små kuber med sidan 1 cm genom att såga sex gånger. Går samma sak att genomföra med färre sågningar om det är tillåtet att flytta bitarna emellanåt?

7. Visa att en konvex polygon med n hörn har vinkelsumman 180(n-2) grader.

8. Visa att n(n+1)(n+2) är delbart med 6 för alla heltal n.

9. Lös ekvationen (x²+x-3)²+2x²+2x-5 = 0

Logikövningar

10. I ett hav bor många olika bläckfiskar. Om en bläckfisk har jämnt antal armar så talar den alltid sanning, men om den har udda anta armar så ljuger den alltid. En gång sade den gröna bläckfisken till den mörkblåa:
– Jag har 8 armar. Och du har bara 6.
Då blev den mörkblåa sur:
– Det är jag som har 8 armar. Du har bara 7.
Den svarta bläckfisken höll med:
– Den mörkblåa har verkligen 8 armar. Men jag har hela 9!
Varpå den randiga bläckfisken sade:
– Det är ingen av er som har 8 armar! Bara jag har 8.
Vilka bläckfiskar hade exakt 8 armar?

11. I ett land finns endast tre städer: Sannholm, Löngeborg och Turmö. Sannholmsborna talar alltid sanning, Löngeborgarna ljuger alltid och de som bor i Turmö turas om strängt att tala sanningar och lönger.
En dag såg en jourhavande brandsoldat en rök och telefonen ringde. ”Vi har en brand! ” ”I vilken stad brinner det? ” ”I Turmö ”. Till vilken stad skall brandkåren?

HMT-final 2012 och föredraget om spel

Lördagen den 21 januari var en spännande dag för ca 45 högstadieelever. De tävlade nämligen i junior-sm i matte, det vill säga finalen i Högstadiets Matematiktävling!

Vinnaren blev precis som förra året Lisa Lokteva från Borås, denna gång på en odelad 1:a plats!

Lisa och Valentina — Jag och vinnaren av HMT 2012

Jag är extra stolt, eftersom Lisa har övat lite genom att lösa problemen på mattebloggen. Det har också Toomas Liiv gjort och han kom på delad 6:e plats i år! Grattis till de båda!

Jag var med och rättade problemet om cirklar och olika färger. Tyvärr såg bilden väldigt symmetrisk ut och några deltagare antog att delarna med samma färg hade samma area, men så var det inte nödvändigtvis (problemets text sade inget om saken). Men det var många som löste uppgiften rätt, det vill säga oberoende av de olika färgade områdens form och storlek.

Sedan var det dags för mig att hålla ett föredrag i aulan. Jag valde att prata om lösningstekniken ”att sno strategi” som fungerar i vissa sorts spel. Vissa problem hann jag inte prata om utförligt och du kan ladda ner föredraget och titta på det i lugn och ro.

Det handlar om att bevisa att man kan vinna eller spela oavgjort ett spel där man egentligen inte har någon aning om den optimala strategin. Precis som amatörkvinnan som kunde spela remi mot två förstaklassiga schackspelare (du kan börja kolla från 2:30):

Lösningar till Sonja Kovalevsky-dagarnas problem 2011

I helgen har Sonja Kovalevsky-dagarna varit i Stockholm för andra året i rad. Och fjärde året i rad har jag hjälpt till med problemlösningsdelen :)

Här är tävlingsproblemen och lösningar för de intresserade.

Tips inför SMT-final

Som vanligt lite sent kommer det några tips inför morgondagens tävling! De allmäna tävlingstipsen gäller förstås fortfarande.

Saker som är bra att kunna inför finaltävlingen utöver det man ska kunna inför kvaltävlingen:
– Triangelolikheten
– Största sida ligger mittemot största vinkeln i en triangel, minsta mittemot minsta
– Bisektrissatsen och förhållandet i vilken medianernas skärningspunkt delar medianerna
– Homoteti och inversion (om du är proffs och kan allt annat :))
– Linjens ekvation
– Vad polynom är för något, faktorisering och division med rest
– Grundläggande sannolikhetsteori
– Diofantiska ekvationer
– Grundläggande kombinatorik

Bevistekniker som är bra att kunna inför tävlingen:
– Induktion
– Insättning av specialfall i funktionalekvationer och härledning av fukntionens egenskaper (jämn, udda, linjär, kvadratisk etc.)
– Invarianter och halvinvarianter

Problemen i finalen är svåra, men det handlar framför allt att komma på finurliga lösningar och inte särskilt mycket om att kunna matematiska termer. Mitt största råd är att koncentrera sig på problemen där man har fullt koll på matematiken. Försök på alla problemen litegrann, men försök seriöst på ungefär fyra av problemen. Ibland krävs helt enkelt en timmes koncentration för att komma på en lösning!

Och sist men inte minst: lycka till!!!!!

Tips inför SMT-kval

Nu är det bara några timmar kvar till SMT-kval och jag tänkte dela av mig med mina tävlingstips.

Allmänna tävlingstips:
– Ha skoj! Det här är bara en tävling.
– Slösa inte bort tiden, fem timmar kan gå väldigt fort! Gör ett gott försök att lösa varje problem, men spendera inte mer än en halvtimme om du inte kommer nånvart.
– Läs problemtext noga. Det är bättre att ställa en fråga till läraren än att försöka lösa ett annat problem än det som står.
– Om du tror att du har löst uppgiften, läs texten noga igen. Skriv ner lösningen direkt. Eventuella fel eller obevisade påståenden brukar dyka upp först när du skriver ner resonemanget.
– Bara ett svar ger oftast 0 poäng, men en ofullständig lösning kan ge upp till 6. Skriv alltså ner alla idéer du har på problemen tydligt. Om du har en plan för lösningen, men inte kan bevisa alla stegen, skriv ner planen.

När du inte har någon aning om hur du ska lösa uppgifterna, finns det några olika tekniker du kan prova:
– Undersök ett enkelt fall av problemet. T.ex., om det handlar om en 8×8-kvadrat, prova att göra samma sak med en 4×4-kvadrat eller även 2×2.
– Kolla specialfall. Svaren kan t.ex. vara olika för jämna och udda n. Prova att sätta in några tal och se om du upptäcker samband eller mönster. Om det är en funktionalekvation, stoppa in 0 iställer för x och sedan ocskå 1, -1, 2, -2, -x.
– Är det en geometriuppgift, rita figuren så nogrannt som möjligt! Då kan du t.ex. ”se” vad svaret ska bli för något. Och om du vet svaret, t.ex. att en vinkel ska vara lika med 45 grader, blir det lättare att bevisa det.
– Kom ihåg att olika bilder kan uppstå i geometriuppgifter. Ett missat fall (t.ex. en punkt ligger inuti en cirkel och du har bara kollat när den är utaför eller på) kan ge avdrag.
– Att rita en bild underlättar även lösning av uppgifter, som inte är geometri.
– Anta saker ”utan inskräkning” så att det blir lättare att jobba med problemet. T.ex. i en olikhet som är symmetrisk med avseende på a, b och c (det vill säga att man kan byta plats på två av bokstäver och olikheten förblir densamma) kan man anta att a>=b>=c.

Lite saker bör du kunna för att lösa många av uppgifterna:
– Hur man faktoriserar tal i primtal. Delbarhetsprinciperna för 2, 3, 4, 5, 9 och 11.
– Uppställning för aritmetik för tal i bas tio (dvs talteoriproblem som handlar om siffror löses med att kolla på sista siffran först etc.)
– Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärdet och några relaterade olikheter (t.ex. a+1/a>=2 för positiva a). De flesta olikheterna går ut på att man ska få ”nånting i kvadrat >= 0”.
– Sinussatsen och cosinussatsen.
– Pythagoras sats.
– Likformighet.
– Randvinkelsatsen.
– Inskrivna (cykliska) fyrhörningar.
– Hur man räknar ut arean för olika figurer.
– Eventuellt de tredimensionella kropparnas volym.
– Lådprincipen.

Det är allt jag kan tänka ut på rak arm. Har du några tips?

Sista dagen för att anmäla dig till matematik-SM!

Nu är det snart igång igen! Sverige väljer sina skarpaste hjärnor bland gymnsieeleverna för att i sommar skicka de 6 bästa till matematik-VM eller IMO, som det egentligen heter. Jag blev imponerad av de senaste resultaten, då Sverige tog hem en silvermedalj! Det händer inte så ofta tyvärr.

Sista anmälningsdagen är 14 september. Jag har för mig att även högstadieelever kan få lov och delta. Jag skulle tro att mattebloggens läsare absolut har en chans att lösa ett par problem (av sex stycken). Dock kräver några av problemen ofta kunskaper som man får i tvåan eller trean på gymnasiet, så tävlingen är mer riktad på de sistnämnda. Men jag tycker att man ska känna på tävlingen även om man är yngre.

Här är lite info från den officiella hemsidan:

Den 27 september tävlar gymnasieskolor runt om i landet i Skolornas matematiktävling (även kallat matematik-SM). Tävlingen har arrangerats av den ideella föreningen Svenska matematikersamfundet sedan 1961 och firar i år 50 årsjubileum. Det är den äldsta tävlingen i matematik och naturvetenskapliga ämnen för gymnasieskolan. Förra året deltog 126 skolor runt om i landet i tävlingen.

Skolornas matematiktävling är ett av flera kvalificerande moment till deltagande i den ansedda Internationella matematikolympiaden (IMO). I juli i år arrangerades IMO 52:a gången 12-24 juli i Amsterdam. Sverige kom på plats 54 av 101 deltagande länder, en klar förbättring mot i fjol då Sverige hamnade på plats 72. Nästa matematikolympiad arrangeras i Argentina i juli 2012.

Uppdatering: Tips om vad man kan ”plugga på” innan tävlingen.