Mattebloggen

Phi-växter, pi-växter och e-växter, del 1

Hur kommer det sig att det finns spiraler på kottar, kronärtskockor och ananaser? Om du inte har sett förklaringen, rekommenderar jag Vi Harts videoserie ”Spirals, Fibonacci, and Being a Plant”: del 1, del 2 och del 3.

(Eller kolla upp en sida på svenska med många bra bilder.)

kotte

En av sakerna som avslöjs är att växternas blad växer ut med en och samma vinkel i förhållande till föregående bladet, nämligen vinkeln $\frac{360^\circ}{\varphi}$ , där $\varphi$ är det gyllenne snittet, även kallad det mest irationella talet. Detta för att bladen aldrig ska hamna direkt över och blockera solljus för varandra.

Eftersom bladen inte är hur tunna som helst, kommer de så småningom ändå överlappa varandra delvis. Därför bildas det spiraler, vilket förklaras i videorna. Men varför är antalet spiraler alltid lika med ett fibonaccital, för tallkottar oftast 5, 8 eller 13 (plocka upp en kotte och räkna spiralerna åt båda hållen)?

Min förklaring är att gyllene snittet approximeras med exempelvis 8/5, vilket betyder att växten efter 8 blad har avlagt $8\cdot\frac{360^\circ}{\varphi}$ grader, vilket är ungefär lika med $8\cdot\frac{360^\circ}{\frac{8}{5}}$ grader, det vill säga typ 5 varv. Och så med alla andra heltalsapproximationer, när växten
har gått ett ungefär helt antal varv, så har det vuxit ut ett fibonacciantal blad. När ett nytt varv börjar, bara då kan spiralerna börja växa, och därför är antalet spiral lika med antalet blad som vuxit ut hittills, det vill säga ett fibonaccital.

Vi sade förut att $\varphi$ var det mest irrationella talet. Vad ska det betyda? Alla irrationella tal är ju lika irrationella, men vissa tydligen mer irrationella än andra. För växten innebär det att det nya bladet dyker upp inte bara på en ledig plats, utan också på en plats där det finns som mest utrymme (jag vet inte riktigt hur detta ska förklaras matematiskt).

Men varför skulle inte en växt kunna växa med en annan irrationell vinkel, som exempelvis $\frac{360^\circ}{\pi}$ eller $\frac{360^\circ}{e}$ grader? Talet $\frac{22}{7}$ är ju en väldigt bra approximation av $\pi$ , så varför skulle inte en sådan $\pi$ -växt kunna ha 22 spiraler?

Nu när jag inte kan spekulera mer matematiskt, går jag ut i naturen och letar. De första två växter jag hittar verkar vara typiska $\varphi$ -växter, men den tredje har vinkeln närmare $114,6^\circ$ , det vill säga $\frac{360^\circ}{\pi}$ !

Eller nja, inte om man kollar på de färdigväxta bladen, då är det en vanlig $\varphi$ -växt:
SAMSUNG

Den här då? Det är lite svårt att se i vilken ordning bladen har växt ut.

SAMSUNG

Men om det är någon av våra förmodade vinklar, bladen emellan, så är det i alla fall $\pi$ :

SAMSUNG

Hurra! En $\pi$ -växt! Så inte alla växter följer $\varphi$ -lagen… Eller har jag mätt fel? Varför är de flesta växter ändå $\varphi$ -växter?

Kan du hitta andra irrationell växter i naturen, kanske med vinkeln $\frac{360^\circ}{\sqrt{2}}$ mellan bladen? Om en vecka kommer jag med mer spekulationer och förklaringar om växternas utväxtvinklar.

Sudoku med femrutiga block

Rekommenderad från: 11 år

[kkratings]

Måla rutorna i figuren nedan i 5 färger på så sätt att rutorna i varje rad, varje kolonn, samt varje markerad 5-rutig figur blir olikafärgade.

block

Visa lösningen

Bollvolymer i n dimensioner

Det är lätt att med experiment uppskatta volymer av olika tredimensionella kroppar: Exempelvis kan ett akvarium i from av en rätblock fyllas med vatten och sedan kan man mäta hur mycket vatten som gick åt. Samma kan göras med (ungefär) sfäriska behållare. Med matematik kan man bevisa att formeln för volymen av en tredimensionell boll är $\frac{4}{3}\pi R^3$ , vilket redan Arkimedes visade på den gamla goda tiden.

vatten_boll

Svårare är det när objekt har 4 eller fler dimensioner. Vi har inte längre några fysiska experiment vi kan göra, men för matematiken spelar det mindre roll hur många dimensioner det handlar om. Bollar i olika dimensioner är nämligen väldigt lika varandra om man tittar på dem med hjälp av ekvationer. Men låt oss börja från början.

Vad är en 1-dimensionell boll? Det är ju alla punkter på en linje, som ligger på ett givet avstånd från en given punkt eller närmare. Med andra ord, ett intervall. Om det givna avståndet, det vill säga radien, är lika med $R$ , så är intervallets längd lika med $2R$ . Det kan vi kalla formeln för volymen av en 1-dimensionell boll (väldigt fancy sätt att säga ”längd”).

En 2-dimensionell boll, som du säkert redan gissat, är en cirkel. På högstadiet (hoppas jag) lär man sig att cirkelns area är $\pi R^2$ om cirkelns radie är lika med $R$ . Volymen av en 2-dimensionell boll är således fastställd.

cirkel_area

Men hur räknar vi ut (hyper)volymen av en 4-dimensionell boll och hur definieras en sådan ens? Om vi ska fortsätta på samma sätt så måste vi definiera en $n$ -dimensionell boll på följande vis:

En $n$ -dimensionell boll med radie $R$ är ett område i $\mathbb{R}^n$ som innehåller alla punkter med koordinater $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ som uppfyller $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leq R^2$ .

Men hur ska vi ta reda på bollens volym? Genom att uttrycka den via de föregående volymerna! Volymen av bollen med radien $R$ i $n$ dimensioner, $V_n(R)$ , hänger nämligen ihop med volymen av bollen i $n-2$ dimensioner, $V_{n-2}(R)$ , på följande sätt:

$V_n(R)=\frac{2\pi R^2}{n}V_{n-2}(R)$

Detta bevisas genom att man ”delar upp” $n$ -bollen i $(n-2)$ -bollar (exempelvis den vanliga tredimensionella bollen kan ses som en massa vertikala streck) och sedan beräknar en dubbelintegral.

Formeln räcker, eftersom vi känner till volymerna för $n=1$ och $n=2$ , alltså kan vi konstruera formlerna för alla högre $n$ också.

$V_3(R)=\frac{2\pi R^2}{3}V_1(R) = \frac{2\pi R^2}{3}2R = \frac{4\pi R^3}{3}$ , som vi har sett tidigare.

Hyperbollen då?

$V_4(R)=\frac{2\pi R^2}{4}V_2(R) = \frac{2\pi R^2}{4}\pi R^2 = \frac{{\pi}^2 R^4}{2}$

Fler dimensioner? Från rekursionen deducerar vi en formel för udda dimensioner och en för jämna:

$V_n(R) = \frac{2^{\frac{n-1}{2}}\pi^{\frac{n-1}{2}}R^n}{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot n}$ om $n$ är udda och

$V_n(R) = \frac{2^{\frac{n}{2}}\pi^{\frac{n}{2}}R^n}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot n}$ om $n$ är jämnt.

Vad beräknas volymen till då om radien antas vara 1? Vi får följande tabell:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Volym, ca	2	3,14	4,19	4,93	5,26	5,17	4,72	4,06	3,30	2,55	1,88	1,34	0,91	0,60	0,38

Volymen går upp först men sedan verkar den gå det mot noll! Det intressanta är att trots att den 5-dimensionella bollen har störst volym av alla här, så är den egentligen inte så speciell. Om vi ändrar radien blir det någon annan dimension som ger en boll med störst volym (testa själv med hjälp av formeln, vid radie 1,29 är det istället den 9-dimensionella bollen som har störst volym.)

Det verkar lite skumt att volymerna går mot 0, men om man ser på formeln, så innehåller den exponentiella funktioner i täljaren, men i princip fakulteter i nämnaren. För stora tal dominerar fakulteterna alltid, alltså går kvoten mot 0 (och växer i början, för små $n$ , då fakulteterna inte än börjat ”ta fart”).

Ett annat sätt att tänka på det är att för att ekvationen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 = R^2$ ska vara uppfylld för stora $n$ måste många av talen $x_i$ vara nära 0. Exempelvis ligger punkten $(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}\ldots,\frac{1}{\sqrt{n}})$ på bollens yta och alla de koordinaterna närmar sig 0 när $n$ växer.

Texten ovan är baserad på följande artikel på engelska, som även innehåller beviset för rekursionsformeln. Stort tack!

Oändlig choklad

En triangel kan ju delas i delar, byggas om och bli totalt en ruta mindre, se inlägget Fibonaccitalen och gyllene snittet.

Men samma princip kan utnyttjas för att få en ruta mer av en rektangel, vilket ger oss ett utmärkt sätt att äta choklad på:

oandlig_chokladkaka

Påskens Skönhetstävling

Rekommenderad från: 13 år

[kkratings]

I Påskens Skönhetstävling deltog Hönan, Tuppen och Kyckligen. Varje domare röstade på en av deltagarna. Påskharen räknade att det var 59 domare, där de gav 15 röser till Hönan och Tuppen sammanlagt, 18 röster till Tuppen och Kycklingen sammanlagt, samt 20 röster till Hönan och Kycklingen sammanlagt.

Påskharen är inte så bra på att räkna, men alla fyra tal han nämnde skiljer sig från de riktiga svaren med inte mer än 13. Hur många av domarna röstade på Tuppen?

skoenhetstävling

Visa lösningen

Hur man multiplicerar matriser

Ju mer matteförklaringar är intuitiva, desto mer gillar jag dem. Matematik är svårare att förklara bättre på video än IRL på en tavla, men det finns undantag och det är då videoformen utnyttjas som mest.

Jag är nöjd över att ha hittat följande undantag: en video som berättar om matriser. Om du själv har svårt för att komma ihåg hur man multiplicerar matriser eller har en kompis som är det, rekommenderar jag att kolla på denna mästerverk i 4 minuter.

Två bokhögar

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

På ett bord ligger en boksamling av barnböcker i 10 delar, uppdelade i två högar. Du får ta tag i en stapel (några av de översta böckerna i en hög, som minst en, som mest hela högen) och placera den överst på den andra högen.

Hur kan man på 19 sådana operationer eller färre se till att alla böckerna ligger i en hög och delarna är ordnare (det vill säga, del 1 ligger underst, del 2 ligger näst underst och så vidare)?

bokhog

Visa lösningen

Böcker kan ligga hur som helst i början, men vi vet att de ligger i två högar på något sätt, och del 1 måste vara i en utav högarna. Låt oss först se till att just del 1 hamnar underst i en hög.

Ta då tag i högen som inte innehåller del 1 och lägg det överst på den andra högen. Allt ligger nu i en hög. Ta sedan tag i stapeln som har del 1 som understa bok och lyft över allting till den tomma platsen. Nu har vi en hög med del 1 underst och en annan hög, vilket ha tagit oss 2 operationer. Högst 2 egentligen, om del 1 redan låg på rätt plats från början.

Oavsett var del 2 ligger nu gör vi följande process. Lyfta bort alla eventuella böcker som ligger på del 1 och placera den stapeln på andra högen. Eftersom del 2 nu finns i den högen, lyft stapeln som har den delen underst och placera alltihop på del 1. Detta tog oss (högst) 2 operationer.

Gör samma sak med del 3: lämna först del 1 & del 2 ensamma och sedan lyft över stapeln med del 3 underst dit. Igen (högst) 2 operationer.

Fortsätter man på samma sätt kommer del 4, del 5, del 6, del 7, del 8 ta högst 2 operationer var. Vi har nu förbrukat 16 operationer, så det är 3 kvar.

Hur kan högarna se ut nu? I en hög ligger del 1 till del 8 i rätt ordning och på dem ligger eventuellt några böcker.

Om del 9 och del 10 råkar ligga ovanpå dem i rätt ordning, så är vi klara. Om de råkar ligga i fel ordning, lyft bort de båda och sedan lägg dem tillbaka en i taget (del 9 kommer vara först med att läggas på den stora stapeln, sist kommer del 10), det kommer ta (högst) 3 operationer.

Om både del 9 och del 10 ligger i den andra högen, lägg dem över antingen båda på en gång (om del 9 är underst), eller en i taget (om del 10 är underst), detta kommer ta (högst) 3 operationer.

Om den lilla högen bara innehåller del 10, så tar det 1 operation att lägga över den och få sorterad stapel. Om den lilla högen bara innehåller del 9, är det lite svårare. Då lägger vi över del 10 till den lilla högen, och sedan lägger tillbaka del 9 & del 10 tillsammans, och får en sorterad stapel. Detta tog alltså (högst) 2 operationer.

Oavsett hur det ser ut på slutet, tar det alltså högst 3 operationer. Vi klarade således att sortera bokhögen på högst 19 operationer!

Hur långt är det till horisonten?

Om du någonsin undrat hur långt det är till horisonten, så förklaras det i den tyska låten nedan.

Mer matematisk konst åt folket!

Pizzasats nummer 2

Matematik används inte bara när man ska skära upp pizza, utan också när man ska äta den. Möjligen har ni löst problemet nedan utan att ens tänka på matte.

När en pizzabit tas ut ur kartongen ser det ofta ut så här:
förväntning

Mot detta finns följande strategi:

Men varför fungerar det? Det hela beror på en sats som Gauss kom på.
gauss

Gauss sats har att göra med att alla ytor har så kallad krökning. Det är ett mått på hur mycket objekt kan böja sig utan att deras ”materiella” struktur förstörs (fler exempel på detta kommer senare).

Varje naturlig kurva har en specifik böjningsradie r i varje punkt. Storheten 1/r kallar vi då för krökningen i den punkten. Om kurvan är rak kring punkten, så säger vi att böjningsradien är oändligt stor och krökningen är lika med 0.

krökning

Samma definition gäller för ytor, men nu har punkten många olika värden på krökningen – en i varje riktning. Det maximala samt det minimala värdet av krökningen för en punkt kallas för huvudkrökningar.

kurvatur_yta

TIll exempel, på ett plan har alla punkter alltid krökning 0, medan på en sfär med radie R har alla punkter överallt krökningen 1/R. En cylinder med radien R kommer ha huvudkrökningarna lika med 1/R respektive 0.

kurvatur_cylinder

Om vi böjer lite på ett A4-papper, så kommer inte avstånden mellan punkterna på pappret att förändras. Sådana ändringar av ytor kallas isometrier.

papper

Om vi rullar ihop pappret, kommer vissa punkter ha ett kortare avstånd mellan sig än tidigare, eftersom nu finns det vägar som går genom kortsidorna som nu nuddar varandra.

papper_rulle

Gauss underbara sats (Theorema Egregium) säger att vid en lokal isometri kommer inte ytans Gaussiska krökning (produkten av huvudkrökningarna) att förändras.

Så länge pizzabiten ligger i kartongen är alla dess krökningar lika med 0.

pizzabit_kurvatur

Så fort pizzabiten tas ut, kommer den att böja sig. Då kommer ena huvudkrökningen att växa, medan den andra förblir 0.

pizza_sned_kurvatur

Men om kanterna viks upp kommer den sistnämnda huvudkrökningen sluta vara 0. Men enligt Gauss sats ska produkten av huvudkrökningarna förbli noll, det vill säga den andra huvukrökningen måste bli 0.

pizza_upp_kurvatur

Pizzabiten rätar ut sig och går bra att äta!

(Bilderna är tagna ur ryska internet, källa okänd. Tack konstnären!)

Theorema Egregium förklarar varför vi inte kan omforma ett papper till en boll utan att skrynkla ihop det. Inte heller kan en boll slätas ut till en sfär.

Det mest kända exemplet på detta är kartor. Jorden kan inte få en platt karta utan att avstånd förvrängs. Testa ett kartpussel för att övertyga dig om detta.

Pizzasats nummer 1

Geometri är inte bara någonting skäggiga greker höll på med, utan den kan vara användbar även för den gemene svensken – till exempel när man ska dela en rund pizza!

Om man får en pizza hemkörd och ska dela den på två personer, så brukar man skära pizzan i två halvor. Problemet är att om man inte skär precis genom mitten, så kommer inte halvorna att bli lika stora.

En metod som garanterar rättvis fördelning av pizzan är följande. Välj en punkt inuti pizzan, vilken som helst, och gör fyra snitt, med $45^\circ$ graders vinkel emellan.

Då, om ena personen får varannan utav bitarna som bildas, medan den andra får resten, så kommer båda få exakt hälften utav pizzan.

Den generaliserade versionen av pizzasatsen, där man kan dela pizzan i ännu fler delar med lika stor vinkel mellan snitten (12, 16 delar osv.), bevisades av L.J.Upton 1968.

Man kan bevisa satsen på olika sätt, men bland annat finns ett bevis som består av en enda bild.

Nyfiken på beviset? Se ledtrådarna nedan i så fall.

Visa ledtråd 1

Visa ledtråd 2