Roligare matematik
En cirkel är ritad på koordinatplanet och dess mittpunkt har koordinaterna (a,b). Man vet också att origo hamnade inuti cirkeln.
Om S+ är den totala arean av delarna i cirkeln, som består av punkter med samma tecken på koordinaterna och S– är totala arean av delarna med punkter som har olika tecken på koordinaterna, vad är S+-S– lika med?
Ekvationen x2+px+q=0 har bara heltalsrötter och man vet att både p och q är primtal. Hitta p och q.
Det hjälper att känna till faktorsatsen, som ger oss att polynomet kan uttryckas som (x-x1)(x-x2), där x1 och x2 är rötterna.
Vidare är det bra att känna till följande samband mellan koefficienterna (i vårt fall är det p och q) i en andragradare och dess rötter.
Om ekvationen x2+px+q=0 har två rötter x1 och x2, så gäller:
x1 + x2 = -p
x1x2 = q.
Forsättningen på dessa tankar är ganska naturlig, som vi ser nedan.
Låt a,b vara lösningarna till ekvationen. Då har vi att
(x-a)(x-b) = x2-(a+b)x+(ab) = x2+px+q=0, så
p = -(a+b), q = ab.
Men q = ab, q primtal och a,b heltal ger a eller b lika med ±1. Vi kan anta att a = ±1. Det följer också att b = ±q är ett primtal.
Vi noterar att primtal är positiva, så b har samma tecken som a.
Så p = -( ±1+b). Positiva a och b ger ett negativt p, vilket inte är tillåtet, så a och b är negativa.
p = -(-1+b) = -b+1, d.v.s. p är ett primtal som är ett högre än primtalet q. Det finns bara en möjlighet, p = 3, q = 2 (a = -1, b = -2).
Skolornas matematiktävling är den officiella mattetävlingen vi har för gymnasister i Sverige.
Förutom att att tävla i matte är jätteroligt, kan dina resultat också ge meritpoäng vid antagning på universitet/högskola, både som student och doktorand.
Så kom ihåg att be din lärare om att anmäla dig till årets omgång av SMT, sista anmälningsdagen är imorgon! Själva tävlingen äger rum den 28 september.
Dessutom så har SMT uppgraderat till en ny snygg hemsida, so check it out, även om du inte kan tävla.
En springare hoppar alltid på schackbrädet antingen två rutor vågrätt och en ruta lodrätt eller tvärtom.
Plötsligt kom en ond schackspelare och placerade springaren på ett litet 6×6-bräde. Då började springaren hoppa frenetiskt mellan rutorna. Här syns spåren efter hoppandet.
Det visade sig, att springaren var på varje ruta exakt en gång. Den började på ruta nummer 1. Återställ alla nummer upp till 36 som saknas.
Cissi fyllde år så hon bakade en tårta till sin födelsedag. Tårtan var dock inte rund, utan formad som en regelbunden sexhörning ABCDEF. Cissi markerade K och L, som var mittpunkterna på sidorna EF och FA respektive. Sedan skar hon längs med BK och sedan längs med LC. Hanna fick den triangulära biten BOC, medan Sofie fick den fyrkantiga biten KOLF. Vilken tjej fick mer tårta?
När två figurer har så olika form som Hannas och Sofies bitar, är det svårt att jämföra dem. En idé är att ge dem mer tårta, men exakt lika mycket var. Sedan jämför vi de större bitarna.
Se hur mycket tjejerna får om de också fördelas var sin bit OKEDC:
Men om vi roterar ena hexagonen, så ser vi att det egentligen är lika mycket tårta! Därför fick Hanna och Sofie lika mycket tårta även i början.
Fredrik och Mona har 1999 kronor i kontanter tillsammans och ingen av dem har några tjugolappar (de har alltså bara valörerna 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 kronor). Fredrik ska köpa grisen i säcken av Mona och Mona tar inte kort. Grisen i säcken kostar ett helt antal kronor och det är inte mer än vad Fredrik har i cash.
Visa att Fredrik garanterat kan köpa grisen i säcken och få rätt summa i växel.
Hitta det största antalet kongruenta icke-konvexa polygoner som man kan dela in en kvadrat i, på så sätt att polygonernas sidor är parallella med kvadratens och inga två polygoner går att få ifrån varandra genom translation. Visa varför just det antalet fungerar och varför det inte går med ett större.
Hur ska den här konstiga formuleringen tolkas?
Jo, att polygonerna har bara lodräta och vågräta sidor, så vinklarna överallt är 90 grader (eller 270). Och att alla figurera är kongruenta.
Vad betyder det att två figurer är kongruenta? Med det menas att man kan ta första figuren, flytta den på något sätt och precis täcka den andra figuren. Man får rotera och vända på den första figuren som man vill.
Faktum är att alla sådana här rörelser antingen är rotationer, speglingar, translationer eller kombinationer av de tre sakerna. Vi vet att rena translationer är förbjudna enligt uppgiften. Så det gäller att bestämma antalet sätt att rotera och spegla en figur så det alltid blir olika positionerade figurer. Sedan ska man hitta på ett exempel med det antalet också.
Jag hävdar att åtta är det maximala antalet:
Bevis:
Rimligtvis har polygonerna hörn. Kolla på ett specifikt hörn. Kalla ena änden för A och andra änden för B. När man sedan roterar polygonen och bara tittar på just det hörnet, så framgår det att det finns totalt åtta olika sätt att vrida hörnet på, så att sidorna hela tiden är parallella med kvadratens sidor (som jag nu antagit är lodräta och vågräta).
Detta innebär att man som mest kan skapa åtta polygoner som uppfyller alla krav som ställts.
Gissa vilken symbol som ska stå istället för frågetecknet i den här följden. Vilken symbol kommer efter den?
Hitta två äkta bråk, det ena med nämnaren 8 och det andra med nämnaren 13, så att differensen mellan det största och det minsta av dem är så liten som möjligt.
Vad menas med att ett bråk är äkta? Det är ett bråk vars täljare är mindre än dess nämnare (och båda är positiva heltal). Exempel på äkta bråk är 
Nu har vi ett lite fuskigt sätt att lösa problemet, de äkta bråken med nämnare 8 respekrtive 13 är ju inte så många! För att gissa svaret kan man sätta ut alla äkta bråks värden på tallinjen. Tag nämligen sträckan mellan 0 och 1 och dela in i åtta lika stora delar. På markeringarna har vi bråken 
Samma sak kan göras med trettondedelar, men det är lite för plottrigt att göra det på samma bild, eller hur? Det vore smidigare att rita en exakt bild, där 
Därför söker vi talens minsta gemensamma multipel, med andra ord det minsta positiva heltalet som både är delbart med 8 och med 13. Minsta gemensamma multipel betecknas också MGM. Och den största gemensamma delaren betecknas SGD, det behövs för att bestämma MGM av 8 och 13.
SGD(8,13)=1. Nämnarna är relativt prima.
MGM(8,13)=8*13=104, vilket också är minsta gemensamma nämnare till bråken.
Differensen av det största och minsta bråket kommer också att kunna skrivas med nämnaren 104 som ett äkta bråk. Det minsta sådana bråket är 
Det näst minsta bråket med nämnaren 104 är 
och
som efter division med 104 kan skrivas som
och
Den första ekvationens minsta positiva lösning är 
Detta ger oss att
och att
Lösningen till problemet är alltså 
Som prenumerant på Nyhetsbrev matematik från skolverket har jag stött på nyheten om Fröken Matte som tydligen gjort succe på YouTube. Det är en fröken från Hagagymnasiet i Borlänge som har lagt upp videor som behandlar matte B på nätet. Alla elever kan således repetera något begrepp eller se på någon lektion de missat.
Jag stödjer fullkomligt en sådan form av hjälp. Det finns hur mycket instruktionsvideor på nätet som helst, men inte så mycket på svenska och inte så mycket som är lätt att hitta. Den lösningen som fungerar bäst hittills verkar vara just youtubekanaler.
Under mitt år som en vilsen doktorand förälskade jag mig i kanalen TheCatsters, som lärde mig kategoriteori. De är ett par duktiga och sympatiska matematiker som förklarar kategoriteori på väldigt grundläggande nivå. Det vill säga, på den nivån de flesta uppskattar.
Kurslitteraturen tenderade att bli alledels för kondenserad på avancerade kurser, lärarna skippade gärna många detaljer i sina bevis. Just då saknade jag någon kompis som kunde svara på ens dumma fråga, för kompisen var också lite förvirrad över universiella produkter. (Eller alledeles för oförvirrad, så det inte gick att förstå hans förklaringar.) Då var det bra med TheCatsters!
På Mattebloggen har jag försökt förklara olika begrepp, som induktion och linjär avbildning, men de förklaringarna tror jag är svåra att ta till sig när formlerna är lite fula och det inte riktigt går att förklara slutledningen inför varje steg. Jag har inte testat att spela in förklarande videor, men jag vill gissa att det skulle ge mer resultat för ungefär lika mycket arbete.
Vad tycker ni om videoförklaringar? Behövs de här på bloggen?
© 2009-2024 Mattebloggen
