Matematik i Genikampen – kluringar från tredje avsnittet

Det tredje avsnittet av Genikampen var sprängfyllt med matte! Det var så pass mycket matte att jag behöver dela upp inlägget om det i två delar. I första delen vill jag presentera problemen som ingick i den andra lagtävlingen, samt lösningar till de alla.

Kodlås 1 bestod av tre uppgifter, där varje uppgift gav en siffra. Den tresiffriga koden skulle låsa upp det första låset under vatten.
Kodlås 2 gav på samma sätt ett tresiffrigt kod till andra låset.
Kablar 5 uppgifter gav 5 siffersvar, där 0 stod för A, 1 stod för B och så vidare till 9 som stod för J. Bokstäverna var kopplade till kablar som var safe att klippa av.

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Kodlås 1


sifferkod 1

Sofie och Maria är syskon. För deras åldrar gäller följande samband: Summan är lika stor som produkten. Hur gamla är Sofia och Maria?

Addera talen.

Det här var enda uppgiften vi först gjorde fel på!

Den går ut på lista ut åldrarna S och M sådana att S+M = S·M.
Ekvationen S·M − S − M = 0 beskriver en hyperbel, som har oändligt många punkter. Men eftersom vi frågas efter heltalslösningar (och det bara ska vara en lösning som funkar), så funkar det bra att gissa.

Vi gissade på 0+0 = 0·0, men 2+2 = 2·2 funkar också. Det senare betraktas troligare som ålder (kanske säger man aldrig att någon är 0 år gammal), så svaret var 4 (och inte 0 som vi först trodde).

Första kodlåssiffran är 4.

sifferkod 2

En tjuv stal en säck med guldmynt i ett slott. För att komma ut ur slottet måste han passera tre vakter. Den första mutade han genom att ge vakten hälften av guldmynten. Vakten gav dock tillbaka 100 guldmynt av ren medkänsla. Den andra vakten fick hälften av tjuvens pengar men gav sedan tillbaka 50 guldmynt. Den tredje vakten fick hälften av pengarna men gav sedan tillbaka 25 guldmynt. Tjuven hade då 100 guldmynt kvar. Hur många mynt hade han från början?

Dividera svaret med 40.

Här är det lättast att gå baklänges. Tjuven hade 100 guldmynt i slutet.

Nu kollar vi hur mycket han hade innan varje händelse:
Innan tredje vakten gav honom 25 mynt hade han alltså 75 mynt (100-25).
Innan tredje vakten fick hälften av pengarna hade tjuven 150 mynt (75*2).
Innan andra vakten gav honom 50 mynt hade han 100 mynt (150-50).
Innan andra vakten gick hälften av pengarna hade han 200 mynt (100*2).
Innan första vakten gav honom 100 mynt hade han 100 mynt (200-100).
Innan första vakten fick hälften av pengarna hade han 200 mynt (100*2).

200/40 = 5.

Andra kodlåssiffran är 5.

sifferkod 3

Ett tåg består av ett lok och fem vagnar (A, B, C, D och E). På hur många sätt kan vagnarna ordnas så att vagn A kommer närmare loket än vagn B kommer?

Dividera svaret med antalet konsonanter i det svenska alfabetet.

Det går att ställa vagnarna på rad på 5! sätt. 5! står för uttrycket 5*4*3*2*1 = 120.
Detta beror på att en av de fem vagnarna kan ställas längst fram, en av de fyra kvarstående kan ställas på andra plats, en av de tre kvarstående på tredje plats, en av de två som är kvar kan ställas näst sist och ett alternativ har vi kvar för den vagnen som ska stå sist.

Exakt hälften av de ordningarna är sådana att A kommer närmare loket än B (och exakt hälften är tvärtom). Det beror på att alla ordningar kan paras ihop: varje ordning är i par med nästan samma ordning, fast där A och B har bytt plats. Till exempel är CADEB i par med CBDEA. Därför ska vi dela svaret med 2.

(Det här är för övrigt i stort sett samma uppgift som 2(a) här: LÄNK http://mattebloggen.com/wp-content/uploads/2014/09/Lektion2Permutationer.pdf)

120 / 2 = 60.

I det svenska alfabetet finns det 20 konsonanter (29 bokstäver totalt, varav 9 är vokaler).

60 / 20 = 3.

Tredje kodlåssiffran är 3.

Kodlås 2


sifferkod 1

Sofie satt på balkongen och gjorde sin matteläxa. Hon hade just skrivit svaret på en uppgift, när en duva kom flygande och lämnade sitt ”visitkort”, så att sista siffran (= entals siffran) i svaret inte syntes. Skillnaden mellan det ursprungliga svaret och det svar som nu syntes var 276. Vilket var det ursprungliga svaret?

Addera svarets siffror.

Om det ursprungliga slutsiffra var A, så kan talet skrivas som 10*X + A (oavsett hur många siffror talet har kan de skrivas som ett visst antal tiotal plus en slutsiffra).

När duvan har varit framme och busat hade Sofie talet X framme (antalet tiotal i det ursprungliga talet).
Det betyder att 10*X + A – X = 276
Det vill säga 9*X + A = 276.

Talet 276 är inte med i nians tabell, utan ger rest 6 när man dividerar med 9. Det betyder att A måste ha varit 6 och X i sin tur måste ha varit 30 (=270/9).

Så talet som stod där från början var 306 (=10*30+6). Detta är det enda svaret.

3+0+6 = 9

Första kodlåssiffran är 9.


sifferkod 2

Tre positiva heltal (naturliga tal) är så beskaffade, att om vart och ett multipliceras med de två övrigas summa, får man produkterna 120, 133 och 169. Bestäm talen.

Addera dessa tre tal och subtrahera det med det tal som kommer efter 13 i Fibonaccis talföljd.

Vi har tre tal som vi kan beteckna med a, b och c. Då vet vi att:

a*(b+c) = 120
b*(a+c) = 133
c*(a+b) = 169

Sen ska man bestämma talen står det, men det struntade vi i! Man skulle nämligen addera dessa tre tal senare, så vi fokuserade på att bestämma a+b+c (så man behöver inte bestämma vart och ett av talen).

c*(a+b) = 169. Eftersom 13*13 = 169 och 13 är ett primtal, går det bara skriva 169 som en produkt av tåv positiva heltal på två sätt:

169 = 13*13
169 = 1*169.

I det första fallet får vi att a+b+c = 13+13 = 26
I det andra fallet får vi att a+b+c = 1+169 = 170

Resan nu inser man att det är det första som är rätt (eftersom vi ska subtrahera 21 och få en siffra, men vi bevisar det korrekta svaret ändå utan att använda det).

133 = 7*19 och 7 och 19 är primtal, därav a+b+c är antingen 7+19=26 eller 1+133=134, så det måste vara 26!

(Detta stämmer även med faktoriseringen av 120 = 20*6 till exempel. Nu kan vi bestämma a, b och c för sig men det är för mycket jobb).

Fibonaccis talföljd är 1,1,2,3,5,8,13,21,34 och så vidare. Varje tal från och med det tredje är lika med summan av de två talen innan. Läs coola grejer om Fibonaccitalen

26 – 21 = 5

Andra kodlåssiffran är 5.

sifferkod 3

((√256 x 20 − 252 + 152 + 34) x 10) / 5 =

Det här är bara en vanlig uträkning. Men man kan ändå räkna ut det lite smart:
Då 256 är 2 upphöjt till 8, så är roten ur det 2 upphöjt till 4, det vill säga 16.
Multiplicerar man den stora parentesen med 10 och sedan dividerar med 5, så är det samma sak som att multiplicera parentesen med 2.

Sedan räknar man ut potenserna.

Då får man följande uttryck och du kan följa lite hur man kan tänka för att räkna snabbare:
(16*20 – 625 + 225 + 81)*2 =
(320 + 225 + 81 – 625)*2 =
(320 + 306 – 625)*2 =
(26 – 25)*2 =
1*2 = 2

Tredje kodlåssiffran är 2.

Kablar


Kabel 1

(6y-7)/4 + (3y-5)/7 = (5y+78)/28

Vad är y?

Detta är en vanlig ekvation, dessutom ser man att 28 är en minsta gemensam multipeln till 4 och 7, så det lättaste är att få bråken till gemensam nämnare:

7*(6y-7)/28 + 4*(3y-5)/28 = (5y+78)/28

Nu kan vi glömma bort 28:

7*(6y-7) + 4*(3y-5) = (5y+78)

Multiplicerar in talen:

42y – 49 + 12y – 20 = 5y + 78

Förenklar:

42y + 12y – 5y = 78 + 49 + 20

49y = 147
7y = 21
y = 3

Första kabeln ska ha bokstaven (3=)D.


Kabel 2

I herrtruppen till VM i cykel hade lagledare Hjulström tagit ut cyklister från enbart två klubbar – lika många från varje klubb. När det var dags för lagtempo, visade ett testlopp att alla åkarna i stort sett var jämngoda.
Hjulström beslöt därför att ta med två cyklister från vardera klubb i lagtempolaget. Ändå gav detta inte mindre än 36 tänkbara lagsammansättningar! Hur många cyklister bestod truppen av?

Den här uppgiften var inte det lättaste att tolka, så vi försökte tolka på ett sätt som skulle ge ett ensiffrigt svar.

Vi vet att det finns n cyklister i var och en av de två klubbarna. Om man ska räkna hur många sätt det finns att välja två stycken ur en klubb får man det från uttrycket n*(n-1)/2 (n sätt att välja den första, n-1 sätt att välja den andra, dela med två för att ordningen på de inte spelar roll, precis samma idé som i vagnuppgiften).

För att få antalet sätt att sätta ihop laget måste man multiplicera sätten att välja två från första klubben och två från andra klubben, vilket ska ge 36. Då n är densamma för båda klubbarna, innebär det att det ska finnas 6 sätt att välja två pers från en av klubbarna (för att 6*6=36).

Nu får vi uppställningen n*(n-1)/2 = 6, vilket betyder att n*(n-1)=12, så n måste vara lika med 4.

Så då är frågan om vi ska svara 8 eller 4. Troligen 8 eftersom det verkar som att man räknar in båda klubbarna i truppen.

Andra kabeln ska ha bokstaven (8=)I


Kabel 3

(15 – 7)(1500 – 25) – 2200 x 3 – 84 – 210 – 79 =

En vanlig uträkning till! Tur att man kan sina tvåpotenser:
210 = 1024
84 = (23)4 = 212 = 4096

(15 – 7)(1500 – 25) – 2200 x 3 – 84 – 210 – 79 =
8*1475 – 6600 – 4096 – 1024 – 79

Egentligen kan man bryta ut 8:an på tre ställen för att slippa räkna en stor multiplikation:

8*1475 – 8*825 – 8*512 – 8*128 – 79 =
= 8*(1475 – 825 – 512 – 128) – 79 =
= 8*(650 – 512 – 128) – 79 =
= 8*(138 – 128) – 79 =
= 8*10 – 79 =
= 80 – 79 =
= 1

Tredje kabeln ska ha bokstaven (1=)B


Kabel 4

Lille Micke sålde två fotbollskort för 21 kronor.
På det ena kortet tjänade han 10 % och på det andra kortet förlorade han 10 %.
Allt som allt tjänade han 5 %. Hur mycket hade varje fotbollskort kostat i inköp?

Svar: Addera dessa två tal och dividera summan med
den fjärde decimalen i pi.

Ett av de (till synes) svårare problemen! Lätt att virra ihop sig med procent. Men precis som i kodlåsproblemet med primtal behöver man inte lösa hela uppgiften. Vi ska ju använda summan av ursprungspriserna sedan, därför behöver vi egentligen inte ta reda på vart och ett av priserna, utan på vad det var tillsammans.

Om korten hade kostat A och B från början kan vi skriva villkoren som

21 = 1,1*A + 0,9*B = 1,05*(A + B).

Men om det är A+B vi är ute efter är uppgiftens andra rad helt onödig! Vi har:

21 = 1,05*(A + B)
A + B = 21/1,05 = 2100/105 = 300/15 = 100/5 = 20.

Och tur att man kan lite pidecimaler! 3,14159… Så svaret ska divideras med 5. 20/5 = 4.

Fjärde kabeln ska ha bokstaven (4=)E


Kabel 5

Då ett visst fyrsiffrigt tal multipliceras med fyra, får man ett nytt fyrsiffrigt
tal, där sifferföljden är omvänd jämfört med det första talet,
dvs. 4*ABCD = DCBA
Vilket är det ursprungliga talet?

Subtrahera svaret med 2004 och dividera den summan
med det tionde primtalet.

Här berättar jag en stor del av lösningen i tv. Men nu har jag chansen att kortfatta lösningen.

A = 1 eller 2, annars blir inte talet DCBA fyrsiffrigt. Då HL är jämnt, måste A = 2.
Då är D = 8 eller 9, annars är HL för litet (VL är minst 4*2000). Då 4*D ska sluta på A måste D = 8.

Vi har då 4*2BC8 = 8CB2.

Om vi fortsätter uträkningen med tiotal måste 4*C + 3 sluta på B. Samtidigt får inte B vara för stort (måste vara mindre än 3) för att multiplikationen 4*B00 inte ska ge ett till tusental.

Vi testar med olika C (i uppgiften är det inte givet att siffrorna A,B,C och D är olika även om det brukar vara så i sådana rebusar):

4*C + 3 = (”slutar på”) B
4*0 + 3 = 3 – för stort
4*1 + 3 = 7 – för stort
4*2 + 3 = 1
4*3 + 3 = 5 – för stort
4*4 + 3 = 9 – för stort
4*5 + 3 = 3 – för stort
4*6 + 3 = 7 – för stort
4*7 + 3 = 1 –
4*8 + 3 = 5 – för stort
4*9 + 3 = 9 – för stort

Då vet vi att B måste vara 1 och C är antingen 2 eller 7. Vi testar med båda:

4*2128 = 8512 – passar inte.

4*2178 = 8712 – passar!

Nu räknar vi ut kabelbokstaven:
2178 – 2004 = 174

Tur att man kan lite primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Det tionde primtalet är alltså 29.

174/29 = 6 (egentligen hade man kunnat gå från slutet och testat de tio olika ursprungstalen 2004+0, 2004+29, 2004+29*2 och så vidare, men det är lätt att vara efterklok).

Fjärde kabeln ska ha bokstaven (6=)G

Vi var klara med uppgifterna lite innan motståndarbomben smällde (men höll på att kontrollräkna)!

Gillade du för övrigt sifferrebusen, kan du kolla upp några lite svårare här på bloggen: Granrebus, Sifferrebus, Palindromrebus och Trigonometrisk rebus.

Matematik i Genikampen – andra avsnittet

Andra avsnittet innehöll kanske inte lika mycket matte som första avsnittet, men det betyder ju inte att man inte skulle vara smart för att klara tävlingarna. Och allt som har med kreativt tänkande att göra kan jag om jag vill koppla ihop med matte så nu tänker jag göra det.

Flottbygge: Planering och materielinköp

Vi fick 3000 kronor för att handla materiel till vår flotte. Tävlingsledarna skulle kopiera både gula och blå lagets inköp och lagen skulle få de andras inköpta material först. Men i andra omgången skulle lagen få eget material, så det gällde att inte köpa sjukt dåliga saker. Framförallt gällde det att köpa något som man själv skulle ha mer nytta av än motståndaren i samma situation.

Enligt tävlingsreglerna behövde man antingen vinna båda omgångarna för att vinna hela tävlingen eller vinna en av omgångarna med bäst vinsttid (det vill säga, bara tiden för den vinnande omgången räknades). En grej som är lätt att se i efterhand och lite svårare att tänka på innan tävlingen är att det är bara den andra omgången som spelar roll. Givet erfarenhet och att man bygger med eget material tar den andra omgången med störst sannolikhet kortare tid för båda lagen. Det gällde alltså att samla erfarenhet i första och ge järnet i andra omgången.

Under tidspress kunde vi inte vara så värst smarta och planerade en konstruktion som skulle bli alldeles för tidskrävande i andra omgången (så den övergavs). Inne i affären fokuserade vi på att göra beräkningar av typen ”hur mycket volym måste flotten ha för att bära allas vikt?” (blå laget räknade detsamma verkar det som). Fysik i all ära, men ingenjörskonsten med höftning snarare än exakta beräkningar tar ändå alltid priset när det är snabba puckar och inte forskning som gäller.

Andra beräkningar som vi kunde göra skulle då vara hur många hinkar sand flotten skulle kunna bära (förutom oss själva då). Jag kom tyvärr inte ihåg att vi hade fått hinkmått eller mått på lådan vi skulle fylla också, så jag fokuserade på att räkna på kostnaden istället. Tog lite i överkant på varje vara för att inte hamna över (samt för att räkna snabbt) och det slutade med att vi verkligen inte hamnade i överkant, utan hade kunnat köpa typ ett halv toasits till.

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Att köpa toasitsar som åror var en briljant idé utav Nina som sparade gula laget mycket tid som annars skulle behövs till åror-tillverkning. Synd att de var så dyra!

Flottbygge: Första omgången

Första omgången gick för båda lagen ut på att samla erfarenhet, framför allt om en bra form på flotten samt om hur många omgångar fram och tillbaka som skulle behövas för att fylla lådan med sand. Vi hade nio hinkar tillgängliga, om jag minns rätt (dock sänkte vi i gula laget en hink i sjön i första omgången). Gula laget hann dumpa sand två gånger, medan blå fyllde hinken på tre gånger! Det betydde att två eller tre gånger skulle behövas i andra omgånger för att vinna hela tävlingen.

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Om man skulle åka två omgångar långsamt istället för tre snabbt skulle man ändå vinna tävlingen då tiden att åka fram-tillbaka-fram är tre intervall, medan fram-tillbaka-fram-tillbaka-fram är fem intervall, alltså tar det andra fallet mer än 50% mer tid än det första, om man nu åker med samma hastighet. Tiden det tar att dumpa sand är försumbart i jämförelse med tiden det tar att åka. I programmet hör man att vinsttiden är mer än femtio minuter. Skulle gissa på att max 15 min gick ut på att bygga för blå laget, medan allt annat var rodd (i snitt 7 min per sträcka fram eller tillbaka).

Flottbygge: Andra omgången

Vi i gula laget satsade på att fylla lådan på två rundor, det vill säga åka fram-tillbaka-fram och vinna. Blå laget satsade på samma sak. Viktiga skillnaden för gula laget var att istället för att lägga de 12 frigolitbitarna i fyra lager lägga dem i tre lager. Det betyder att flotten blev till ytan större (4 plattor iställer för 3) och mer stabil (lägre). Det var helt klart den största förbättringen för gula laget gentemot första omgången. En eloge till blå laget som körde på den utformningen av talet 12 redan från omgång ett! I slutändan som det syns i avsnittet var det inställning och småsaker som avgjorde och inte matten. Men utan de idéer som jag nämnt skulle det gula laget varit körda. Tur att det är hög lägstanivå på lagen, så att det inte blir jätteskämmigt när vi spelar genier!

Laser och speglar

Andra tävlingen gick ut på att rikta en laserstråle med hjälp av speglar. Strålen skulle förbi en massa hinder och träffa en ”prisma” (jag tyckte det mera såg ut som en halvklot ihopsatt med en halvikosaeder eller nåt, en prisma ska ha två kongruenta parallella sidor vad jag vet). Tävlingen gick i omgångar; varje omgång bestod av en planeringsfas och en resultatfas. Under planeringen fick man mäta på banan, ställa om och flytta på speglar, göra eventuella beräkningar. Sedan fick man se laserstrålen tändas och en person fick springa fram och göra högst en markering på banan.

Detta syns inte i tv men tävlingen tog hela 14 (!) omgångar. Första omgången träffade gula laget sin första spegel, medan blå laget gjorde inte ens det. Till andra omgången flyttade vi i andra laget andra spegeln lite för att strålen skulle träffa den, men tydligen flyttade vi den lite för mycket! Det var bara på tredje omgången som andra spegeln blev träffad. Och detta var bara speglarna i början, som sattes ut på samma höjd allihopa och med enklar vinklar på 45 grader. Om det var så små marginaler på dem skulle spegelinställningarna i tre dimensioner bli exponentiellt mycket svårare!

Vilket de också blev. Beräkningarna kunde man kasta i papperskorgen och vårt lags strategi var att köra på empiri, det vill säga testa och sedan göra små ändringar. Sedan kan man göra empiri olika bra ocskå. Säg att du ska gissa ett tal mellan 1 och 100 och får veta om din gissning är mindre eller större än det korrekta talet. Då är det bäst att fråga om talet 50 (eller 51). Om det tänkta talet är större, frågar du om 75 och så vidare. På liknande sätt var det för oss när vi ställde in spegelvinklar (både plattformens vinklar och spegelns vinkling): Börja med en gissning, gå sedan ganska långt åt andra hållet (för att definiera en gissningsintervall), sedan någonstans i mitten om man ser att den korrekta vinkeln är mellan de två gissningar, sedan fokusera på rätt halva av intervallet för att få rätt fjärdedel och så vidare.

Detta funkar bra med småvinkeländringar, eftersom, som jag säger i programmet, ”sinus är linjär vid 0”. Det kommer från att
\lim_{x\to 0} \dfrac{sin x}{x} = 1 .

Och då även
\lim_{x\to 0} \dfrac{tan x}{x} = 1 .

Om markavståndet (dvs avståndet projicerat ovanifrån) från spegelns mittpunkt till nästa spegel är given, så kommer alltså vinkeln bero linjärt på avståndet i den andra ledden (just det vi försöker gissa). Dubblas vinkeln, så dubblas avståndet alltså.

Så för små vinklar funkar det då med samma genomsökningsstrategi som med talen från 1 till 100. T.ex. testar vi med 5-graders vinkeln, sedan med 7 och om strålen ska vara däremellan testar vi med 6 grader (istället för att vara smarta och försöka beräkna att vi ”borde” testa 6,5 eller nåt sånt). Sånt kan ”inte ens jag” beräkna snabbt utan miniräknare och dessutom är det massa felmarginaler på mätningar, så det hade varit meningslöst ändå.

Vi fick instruktioner om att skriva lite smarta saker på tavlan, speciellt under första omgången. Det finns inte jättemycket att skriva när man kör på empiri annat än små anteckningar, så vi roade oss lite istället:

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Så klart fanns det annat att tänka på än att bara höfta och ändra inställningar. En viktig sak är hur många speglar man bestämde sig för att använda (man behövde inte använda alla). Ju färre speglar, desto färre lyckade steg man behövde göra. Men å andra sidan skulle varje steg vara något svårare om man skulle försöka ställa in speglarna i 3D (vi kunde ju inte ställa de var som helst, utan bara på några av hindren). Vi körde på strategin ”better be safe than sorry” och jag blå laget gjorde det också, det vill säga använda många speglar med mindre avstånd/svårighetsgrad mellan varje intilliggande par.

En annan sak som jag kom på och var ganska stolt över var att använda flera av de lediga speglarna att ställa på rad för att chansa på att strålen skulle råka träffa nästa spegel också. Lasern bana var mycket värdefull att se och får man se ett steg till ”gratis” var det mycket värt.

Blå laget körde på att titta i speglarna och försöka se prisman i första spegeln. I programmet är jag skeptisk till hur de kunde låta ögat vara så stabilt, men det funkade ju hyfsat bra för dem. Så kanske är det en hållbar strategi ändå! Problemet är att med många speglar multipliceras felet för varje steg. Tänk på när du är i ett rum med massa speglar. Om du flyttar ögat, flyttar de mer avlägsna spegelbilderna mycket snabbare!

Svår tävling var det och krävde mycket tid och energi. Men det var nog min favorittävling i hela Genikampen. Jag gillar att lösa problem när man har ganska god tid på sig. För varje steg fram man kommer får man en kick och vill fortsätta. Dessutom kan man komma på fler och fler strategier som kan testa och föra en fram bättre och snabbare!

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Pentago

Duellen gick ut på att spela några omgångar av spelet Pentago, bäst av tre. Duellanterna fick veta reglerna lite innan och provspela ett par gånger. Det finns ju stor risk för missuppfattning, även när man kommunicerar med oss genier ;) Det vore tråkigt om någon gjorde ett olagligt drag i tv eller nåt, även om det såklart svårt att göra det i just det här spelet.

Som i många spel med ett litet spelplan finns det redan beräknat hur man ska spela optimalt. I det här fallet har första spelaren en vinnande strategi, detta behövde dock beräknas med hjälp av en superdator! I massa andra sådana spel är det bevisat att första spelaren har i alla fall en icke-förlorande strategi, som t.ex. i schack (vit kan aldrig förlora om hen gör rätt!) i ”fem i rad” på ett oändligt bräde, men i många sådana spel finns det så många möjligheter att man inte har räknat ut den konkreta strategin. Pentago är rätt litet så det går att beräkna.

Testa att spela och vinna Pentago

Frågan är om man kan lära sig den vinnande strategin utantill, det har jag ju inte försökt mig på. Även om datorn kan göra det på några sekunder, kanske kan det ta en människa veckor för att ”plugga öppningar”. Det hade inte duellanterna. De hade kunnat fokusera på att plugga hur man ”inte gör fel”, t.ex. att man inte ska lägga i hörnen som första spelare och hur man i så fall ska svara som andra spelare. Men jag tror inte det skulle ha hjälpt för att garanterat vinna. Jag tror man kan jämföra Pentago med Othello: Det tar ett tag att bemästra och att lära sig se mönster, men när man väl gjort det så kan man spöa vilken nybörjare som helst. Det var skönt att duellanterna inte hade spelat spelet förut, så att de tävlade på samma villkor.

Jag och Axel fick senare låna spelet och vi försökte komma fram till en vinnande strategi ”för hand” genom att testa olika möjligheter, men jag tror inte vi hann göra det på en halvtimme :)

Matematik i Genikampen – första avsnittet

I höst är jag en av deltagarna i SVT:s program Genikampen. Programmet går i åtta avsnitt och jag tänkte beskriva händelserna i avsnitten ur ett matematiskt perspektiv.

Själv är jag matteintresserad och har övat mycket i problemlösning. Jag tror att detta har gjort mig smart på flera sätt, inte bara bra i huvudräkning. Matte för mig är så mycket mer än att räkna och därför vill jag visa nedan hur man kan tänka på ett matematiskt sätt även när man inte ”räknar”. Matte för mig handlar om att tänka.

Foto: Knut Koivisto /SVT
Foto: Knut Koivisto /SVT

Orientering på sträcka

Tävling ett börjar med att vi blir uppdelade i lag med 6 personer i varje. Uppgiften är att orientera i skogen, det vill säga passera 4 kontrollpunkter innan man kommer fram till målet. Laget får en karta, men ingen kompass. Det gäller att göra detta inte på kortast tid, utan på kortast sträcka! Två personer i laget har GPS-sändare, som sträckan mäts på, men även de andra 4 personerna i laget ska hålla ihop med personerna med GPS, ingen får ”scouta” framme. (Överlag fick deltagarna veta reglerna i detalj och även fick ställa förtydligande frågor, vilket inte visas i tv.)

Jag antar att man tar medelvärdet av de två GPS-positionerna för att få fram banan för att sedan mäta avståndet. Vi fick veta att om avståndet skiljde sig med mindre än 50 m, så var det tiden som gällde. 50 m var så pass lite i sammanhanget (man gick kanske i 35 minuter), så det rätta valet var att strunta totalt i tiden och fokusera på att gå precis kortast.

Hur hjälper matten här då? Jo, man bestämmer att personerna med GPS-sändarna måste gå så rakt som möjlig (DUH!). Detta löser man genom att de inte går först, utan i mitten eller sist. Då kan de personerna som går först gå lite fel (och på så vis ”scouta”). Om personerna som går först går längs med kateterna i en rätvinklig likbent triangel med kateterna 3 m, så kommer personen med GPS:en gå ”bara”

\sqrt{2}*3 \approx 4,24 m

4,24 m istället för 6 m alltså! En vinst på 1,76 m! Sker detta 100 ggr, vilket var rimligt för banan, så vinner man redan 176 m på att gå så. Pythagoras sats ftw!

Givetvis är detta egentligen en försumbar optimering i jämförelse med att ”gå rätt”, vilket sätter orienteringsskills över matten i det här fallet. Så är det ibland, men lite bidrag från olika sätt att tänka här och var är sånt som avgör tävlingarna.

Foto: SVT /SVT
Foto: SVT /SVT

Orientering på tid

Andra delen av första tävlingen gick ut på att orientera på ett fabriksområde och hitta halvgömda kontoller. I kontrollerna fanns ledtrådar, mer om dem senare. Här hade gula laget 3 minuters försprång, vilket visade sig inte bara hjälpa, utan stjälpa.

Det fanns nämligen i princip två optimala sätt att ta kontroller (med kortast sträcka): medurs eller moturs (ordningen för kontrollerna blev ganska naturlig), eftersom man skulle tillbaka till samma ställe. Gula laget började, men eftersom blåa laget följde samma riktning, kunde de spara tid på att inte leta efter kontroller, utan observera det gula laget när de var precis ikapp, men lite efter. Det hade blivit annorlunda ifall det blåa laget hade valt motsatt riktning, då skulle förmodligen inget lag få fördel (eller i alla fall är den förväntade fördelen lika) av att vara ”efter”. Banorna skulle korsa varandra i ungefär mitten och då skulle det blivit mer ”rättvisst”. Lite kul ändå att slumpen påverkar!

Uträkningar

Sista delen av första tävlingen gick ut på att göra uträkningar (Genikampen kallar det ”lösa ekvationer”, men jag håller inte med om den termen, eftersom ”ekvationer” för mig förutsätter ett närvaro av ett ”lika med”-tecken och någonting okänt.) Om uppgifterna görs i fel ordning (det vill säga, man försöker få ett resultat utan att veta att KATT = 2 och HARE = 5), så kan man inte få ett svar, men man kan förenkla uttrycken. Gula laget öppnade just ett uttryck med okända först (och visste ju inte vad som väntade), så det enda som fanns i början var att förenkla, vilket gjorde att man kunde räkna ut resultatet av det uttrycket snabbare efteråt.

lapp123

lapp456

Som sagt, beräkningar är inte allt som matte är. Nu råkar jag vara snabb på att göra aritmetiska beräkningar, men kanske hälften av de verksamma matematiker jag träffar är inte bra på snabba beräkningar alls. Det är lite som att vara bra på Rubiks kub: Man har antingen lärt sig det eller inte. Man kan vara smart på knep & knåp utan att vara bra på Rubiks kub. Jag skulle inte heller säga att de som är bra på huvudräkning är automatiskt bra på matte, även om man förmodligen är bra på att se mönster, vilket hjälper en att räkna snabbare. Överlag, de som är bra på räkning är personer som är så pass lata att de vill göra det snabbt :)

Testa dig själv på tid om du tycker att det är kul att räkna.

Paintball-quiz

Andra tävlingen gick ut på att ha paintball-dueller med frågesport. Inte jättemycket matte, men man kan fundera över taktiken matematiskt. Det gäller att bedöma sina chanser att träffa vid skjutningen samt chanser att svara rätt på frågan. Om du inte är säker alls på att träffa (t.ex. Valentina som aldrig har sjutit/träffat i sitt liv) bör du skjuta snabbt om det är liten sannolikhet om din motståndare träffar. Med stor sannolikhet missar båda och då har du i alla fall första tjing på frågan. Men det kan också vara dumt att svara först om du t.ex. funderar mellan två alternativ: Då kan det vara bra att motståndaren eventuellt kan utesluta ett av alternativen genom att svara fel. Men den situationen händer typ aldrig.

Om man däremot är bra på att träffa bör man förmodligen börja med att undvika skottet från motståndaren och sedan skjuta själv i lugn och ro. Detta kan ge en säkra poäng, samt chansen att svara först!

Givetvis kan motståndare av liknande ”typ” träffar varandra, vilket resulterar i symmetrisk strategi och en Nash-jämvikt, men det är inget man hinner tänka på när man står där framme :) Då blir det lite kaotiskt och återigen slumpen som avgör.

Ordbygge

Duellen gick ut på att forma ord. Ser man inte färdiga ord så är det brute force som gäller (dvs testa alla möjligheter: Vilken kub är först, vilken är tvåa, hur ska tvåan vara vriden, etc.). Under antagandet att alla bokstäver är unika får vi

3!\cdot 4^2 = 96

uppställningar av tre kuber, eftersom kuberna kan ordnas på 6! = 3 sätt och roteras på 4^3 sätt. Men sedan kan varje uppställning ”visas upp” på 4 sätt (genom att ha ett av de fyra orden framme), så därför delar man med 4. Tycker du sånt här med att räkna sätt är skoj, kolla upp en lektion i kombinatorik som jag har lett.

På samma sätt kan man räkna ut att fyra kuber kan ordnas på

4!\cdot 4^3 = 1536

sätt och fem kuber på

5!\cdot 4^4 = 30720

sätt (under förutsättningen att alla bokstäverna är unika). Antalet sätt halveras ungefär för varje par av likadana bokstäver, men den storleksordningen blir det i alla fall.

Såklart är det mänsikligt omöjligt att testa alla sätt på begränsad tid, men lyckligtvis behöver man det inte, eftersom man kan utesluta massa fall, för att det ska ju bildas ord. Till exempel, om ordet börjar på ett ”T”, så kan inte andra bokstaven vara ”N” och den insikten sparar en 3!*4^3 = 384 fall. Så det var ju mänskligt att lösa det sista pusslet, även om det tog lång tid. Tricket är ändå att se ett ord som är med och anpassa kubuppställningen efter det. För mig var det att se början ”AO” som fick mig att tänka på ”AORTA”, som då senare gav två möjliga uppställningar av kuben, vara den ena var rätt (gav ord även på de andra sidorna: ”LIVET”, ”KENYA” och ”TITAN”).

Tre vinklar

Det här roliga problemet har jag fått av min kompis Fredrik från Genikampen-2015!

Rekommenderad från: 15 år

Tre kvadrater är ritade bredvid varandra. Tre linjer dras från ett hörn som bilden visar. Bestäm summan av de tre utsatta vinklarna (i exakt antal grader eller radianer):

tre_kvadrater

Visa lösningen

Mattekollo 2015

Vad är Mattekollo?

Mattekoll 2015 är ett dagsläger för elever i åk 6-7. Lägret kommer att hållas 3-13 augusti på Ångströmlaboratoriet i Uppsala, och elever från hela Sverige är välkomna att delta! Mattekollo riktar sig till elever som är intresserade av matte och vill lära sig mer matte än den som ingår i skolan, på ett djupare plan och dessutom tillsammans med andra! År 2015 kommer vi att fokusera på programmeringstänk (algoritmik) och matematiken som är nyttig för att kunna tänka algoritmiskt.

Vad är poängen med Mattekollo?

Under Mattekollo-tiden tränas deltagarna att tänka på ett sätt som är karakteristiskt för verksamma matematiker och programmerare. Vi ämnar att kultivera vetenskapligt tänkande och träna eleverna att arbeta självständigt, genom att ge dem chansen att lösa intressanta matematiska problem.

Mattestudier från morgon till kväll?

Inte riktigt. Vi kommer att fokusera på matematiklektioner på förmiddagen, medan vi på eftermiddagen har andra sorts sociala aktiviteter (sport, lekar, brädspel, utflykter). Under kvällen låter vi de nya matematiska ideerna “sjunka in” och man uppmuntras till att självständigt arbeta med materialet som inte hanns med under förmiddagen. En av dagarna kommer vi istället för lektioner bara köra “matematiklekar”.

Är Mattekollo bara för extra begåvade barn?

Nej, så länge du är intresserad och är redo att studera är Mattekollo för dig. Platserna är dock begränsade och vi kommer att ta in 25 elever som vi bedömer kommer att kunna klara av det ganska avancerade programmet.

Hur kan man komma in?

Du som vill vara deltagare på Mattekollo 2015 måste senast den 2:a juni formellt registrera dig (ditt barn) via formuläret , samt skicka in dina lösningsförslag till det skriftliga provet till mattekollo@gmail.com (se instruktionerna i provfilen). Du som har avslutat åk 6 eller åk 7 kan komma till Mattekollo 2015, men i exceptionella fall (vid mycket bra lösningar på provet) kan elever från åk 5 bjudas in.

Vad kostar det?

Ordinarie deltagaravgift är 1500 kronor. Om du kan husera en deltagare från en annan kommun hemma hos dig under hela perioden är avgiften istället 750 kronor. Om du kommer från annan kommun än Uppsala och söker någonstans att bo under kolloperioden är avgiften 2250 kronor. I priset ingår luncher från och med den 4:e till och med 13:e augusti, t-shirt, häfte med lektionsmaterialet, samt alla aktiviteter (från cirka 9:00 på morgonen till cirka 17:30 på kvällen).

Vilka anordnar Mattekollo?

Bakom Mattekollo står den ideella föreningen Matematiksällskapet vars syfte är att anorda sociala aktiviteter för barn med matematikintresse. Gruppen som anordnar kollot består av matematiker, föräldrar och studenter som alla delar en passion för matematik och bra undervisning. Som sökande kan du välja att gå med i föreningen oavsett om du kommer att vara med på kollot eller inte.

Du kan bli medlem i Matematiksällskapet redan nu på http://www.matematiksallskapet.se/bli-medlem/

Mynten på schackbrädet

Rekommenderad från: 15 år

Du sitter i en fängelsehåla och en vakt kommer till dig med ett erbjudande. Han säger att han kommer lägga upp mynt (totalt 64 st.) på ett schackbräde, ett mynt i varje ruta och det kommer vara slumpat för varje mynt huruvida det ligger med krona eller klave uppåt. Därefter kommer vakten peka på en ruta. Du får sedan en möjlighet att vända upp-och-ner på exakt ett av mynten, vilket du vill.

Därefter kommer en kompis in i rummet, som får se schackbrädet och får gissa vilken ruta vakten pekade på. Gissar han rätt, får ni båda gå fria. Hur kan du och kompisen komma överens om en strategi som garanterar er frihet, oavsett hur vakten gör?

The_Chess_Board

Visa lösningen

Spionuppdrag

Rekommenderad från: 12 år

En hemlig byggnad består av många rum som ser exakt likadana ut och som är kopplade i en stor ring med små korridorer. I varje rum finns en lampa och en lampknapp. En spion hamnade i ett av rummen. Hur ska han bestämma antalet rum i byggnaden om han bara kan gå runt och tända och släcka ljuset? Från början lyser det i vissa rum, men spionen vet inte på förhand i vilka.

lampor

Visa lösningen

Min vision av Mattekollo 2015

Det är riktigt kul att höra att så många är positiva till idén att ha Mattekollo nu i sommar! Här tänkte jag skriva lite mer detaljerat om vad jag har för vision.

Var ska det vara?

SFmyMOIQrw8

Då jag själv åkt på kollo som barn vet jag att jag inte bara njöt av matten och människorna, men också naturen. Därför skulle det vara idealiskt att vara ute på en gård någonstans, där det finns möjligheter till skogsutflykter och bad. Det viktiga med den miljön är inte bara att det är lugnande men också att det är isolerande, dvs man kan fokusera på matten, kamraterna och lärarna och inte ha en massa stadsliv runtomkring. Går det inte att vara på någon sådant ställe i sommar, funkar det givetvis med någon skola eller universitet. Kanske någon internatskola?

Perfekt vore det om eleverna bodde i rum för 2-4 personer, i samma hus som lärare som också bor 1-4 personer per rum. Det skulle behövas 2-3 klassrum, en matsal, samt ett lite större umgängesrum (se nedan). Finns det här i närheten av Stockholm/Uppsala vore det perfekt, men jag är öppen för de flesta platserna i Sverige. Tanken är att kollot ska vara rikstäckande.

När och hur länge?

Jag ser gärna till att kollot håller på i två veckor. Är man där en vecka eller mindre hinner man inte riktigt komma in i kollolivet (och inte i mattelivet riktigt heller). Jag vill att eleverna ska lära känna varandra (och oss lärarna) mycket bra. Hade jag haft möjlighet skulle jag ordnat det här i tre veckor, men det är kanske för länge för att hålla det första gången.

Just nu försöker vi bestämma om det ska vara i juni eller augusti. Om du (eller ditt barn) vill delta skulle det vara till hjälp för oss om du fyllde i preliminäranmälan, speciellt om du vill påverka tiden då kollot hålls.

Hur ser en dag på kollot ut?

gtX8Y0KSqfw

Förutom vanliga saker som frukost, lunch och middag har vi obligatoriska mattepass. Jag tänker mig cirka 4 timmar mellan frukost och lunch (9-13 typ). Efter lunch finns det tid för att vila eller lösa ikapp matteproblemen eller hålla på med någon sport. Ungefär tredje-fjärde dag är det en matematisk lek/tävling efter lunch.

På lektionerna lär vi oss matteavsnitt som inte ingår i skolprogrammet (förutom möjligen i någon gymnasiemattekurs som t.ex. ”diskret matte”) samt tränar problemlösningsförmåga. Eleverna berättar lösningar muntligt för oss lärare. Jag siktar på att ha i snitt 1 lärare på 6 elever. Grupperna kommer vara 12-20 elever stora.

Senare på eftermiddagen hålls intresseklubbar för dem som vill: kanske lektioner i jonglering, diskussioner om minnestekniker, brädspelsmöten etc., allt beroende på vad vi lärare hittar på och vad eleverna vill göra. Efter middagen är det någon slags gemensam aktivitet för alla: teaterlekar, frågesport, disko, föreläsning, rollspel, sitta vid brasan etc., också det beroende på vad eleverna och lärarna vill göra.

Vad händer vilka dagar?

Om kollot hålls i 14 dagar, så tänker jag mig något sådant:
Dag 1: Ankomst
Dag 2-5: Första fyra mattedagarna
Dag 6: Helg
Dag 7-10 Andra fyra mattedagarna
Dag 11: Helg
Dag 12: Repetition inför det muntliga examen
Dag 13: Muntligt examensprov
Dag 14: Åka hem

Muntligt examensprov

För att avsluta kolloutbildningen på ett formellt sätt kommer varje elev att få lösa några matteproblem och berätta lösningar till dem. Det blir ett sätt att mäta hur bra man har blivit på problemlösning efter utbildningen. Men det viktigaste är att det blir något slags mål att jobba mot under kollotiden. Om det är tydligt att eleven inte klarar av att lösa grundläggande problem så blir man rekommenderad att inte åka på kollo nästa år. Vårt mål som lärare är att göra att alla antagna till kollot blir godkända och får åka nästa år.

Antagning

Min tanke är att hålla högsta möjliga nivå för matte och problemlösning i åk 6-7. Jag vill att mattestudierna ska vara intressanta och utmanande för alla deltagare, men alla som kommer ska ha chansen att klara av dem.
Därför vore det bra att anordna en uttagningsprocess, som t.ex. skulle kunna vara ett skriftligt hemmaprov. Eleverna löser en lista med svåra uppgifter under säg en månads tid och sedan skickar in lösningar till oss. Det kommer att ge oss möjligheten att välja de eleverna som både är de mest dedikerade (skriver och skickar in lösningar) och som redan är ganska bra på problemlösning. Matematikkunskaperna ska inte spela någon roll, utan förväntas vara normala för åk 6-7. Jag kan förstås tänka mig att anta elever på annat sätt också. T.ex. om man har dyslexi så ska det gå bra att berätta lösningar muntligt för oss, t.ex. via Skype.

Kostnad

Jag har svårt att säga för tillfället vad kostnaden för en elev hamnar på. Det beror väldigt mycket på var vi kommer hålla hus, samt huruvida vi kommer få sponsorer. För att ge ett hum så kostar de bästa mattekollon i Ryssland ungefär en månadslön för fyra veckor. Så om vi inte skulle få sponsorer gissar jag att kostnaden blir 10-15 tusen kronor, men då ska boende och mat ingå (inte resa). Dock tror jag att om eleven kommer känna sig hemma, kommer resan att vara ovärderlig för henom.

Mina erfarenheter

Det är svårt att beskriva i ord hur det känns att förstå gången bara vara bland likasinnade, men det känns helt enkelt fantastiskt. När jag var typ 13 och precis hade kommit till Sverige, så hade jag svårt att definiera vad ”hem” var för något, men att åka på Mattekollo varje sommar var en stabil punkt, det var som att komma hem. De somrarna har gett mig några av barndomens starkaste minnen. I princip alla från Ryssland som jag har håller kontakt med idag har varit elever eller lärare på något mattekollo. Jag har besökt matematikskolor många fler gånger än min hemstad sedan jag flyttade till Sverige. Så fäst är jag vid det! :)

Jag lär mig att göra pärlarmband på mitt första mattekollo (juli 1997)
Jag lär mig att göra pärlarmband på mitt första mattekollo.

Jobba som lärare

Att vara lärare på kollo är utmanande och underbart! Räkna med fullt sysselsatta dagar med planering av lektioner och fritidsaktiviteter. Förbereder man inte saker, så spenderar man tid med barnen. Men det är jätteroligt! Varje sak man jobbar på får man feedback på direkt! Du jobbar i lag med lika engagerade personer som du och vi är där för att göra en så bra upplevelse för barnen som möjligt.

Men egentligen räcker det nästan bara att du är där och är som du är. Det viktiga här är att eleverna får se att det finns vuxna som precis som de gillar matte och att man (precis som de) värdesätter intelligens och kreativitet. Givetvis har lärarna det yttersta ansvaret för barnen, men på sätt och vis är man deras kompis. Är man likasinnad spelar inte ålder någon roll!

Känner du dig manad att bli lärare eller hjälpa till med organisationen av Mattekollot? Fyll då i enkäten, helst innan 23 februari. Det verkar som att det finns en hel del som är intresserade av att vara med! :)

Team till Mattekollo sökes

Nästan varje vecka får jag träffa elever som blir glada av mina lektioner. Många av dem går på Matteklubben i Uppsala – kommunens satsning på begåvade elever i matematik. Senast igår fick jag en kommentar om att det ”lyser om barnen” som går från träffarna och att ”barnen diskuterar matte även när lektionen är slut”.

Detta är ju roligt för mig, men flertal av eleverna upplever en negativ sak med lektionerna – att de sker för sällan! Tänk om du gillar någon fritidsaktivitet, säg sjunga i kör, men bara får göra det var tredje vecka! Låter tråkigt att det är så sällan, eller hur?

Jag vill göra någonting åt de mest intresserade barnen, att de verkligen får leva ut sitt intresse för matte. Det bästa jag själv visste som barn var mattekollo (i Ryssland), ett tillfälle att träffa andra likasinnade under en längre period, lära känna dem och hålla på med massa spännande matte! Det finns ingen runtomkring som håller ner tempot eller tvingar en att lämna in läxor som är för lätta. En sådan djupdykning lämnar spår för en högpresterande elev vill jag hävda!

Lekar på Mattekollots första dag
Lekar på Mattekollots första dag

Därför har jag länge haft en vision om att genomföra ett sådan kollo i Sverige. Då detta inte har genomförts förut (vad jag vet) vill jag starta rätt litet. Jag tänker mig omkring 20-40 deltagare i två veckor i juni (mellan skolavslutningen och midsommar, eller någon annan gång under sommaren för den delen), som håller på med spännande matte på Uppsala Universitet varje dag (vissa dagar tar vi paus från matten). Om det vore möjligt att åka ut på landet, så skulle det vara perfekt att vara någonstans i Uppsala-Stockholm-området. Vad gäller årskurs tänker jag mig åk 6-7, högre årskurser är iofs också välkomna, men där vet jag inte om jag kan få ihop ett tillräckligt antal deltagare för att ha en grupp.

Jag kan dock inte göra det här själv, utan behöver ett team. Skulle du vara intresserad av att vara med på projektet? Det är bara höra av dig till valentina.chapovalova@gmail.com (eller kommentera här på bloggen) om du tycker det här är en bra idé. Det som kommer att behövas är lärare som jobbar på kollot, personer som hjälper till organisatoriskt och har koll på administrationen/logistiken, personer som kan komma som gäster till kollot och berätta om något de brinner för (hobby eller vad du arbetar med). Hör av dig helt enkelt om du vill vara med så hittar vi nog på arbetsuppgifter till dig :)

Det är inte tanken att det ska vara ideellt, utan jag räknar med att vi tar en avgift för deltagande samt försöker få sponsorer för lokaler (t.ex. kan vi förmodligen vara på Uppsala Universitet kostnadsfritt). Detta ska ge någon slags ersättning till dem som jobbar med det här.

Men jag vill framför allt se om det går att genomföra, det vill säga om det finns tillräckligt med personer ser till att kollot blir av! Hör av dig om du vill veta mer :)

Tändsticksproblem med twist

Det finns många tändsticksproblem som går ut på att flytta tändstickor för att få kvar någon särskild figur eller för att en viss likhet ska uppfyllas. Ett exempel på ett sådant problem kan du hitta i tidningen Forskning och Framsteg.

Här är dock tändsticksproblem som till en början verkar skumma eller omöjliga. Hur många kan du lösa?

1. Ta bort sju tändstickor så att det bara bli sju kvar.
tändstickor_1

2. Flytta så lite tändstickor som möjligt så att likheten gäller. Tändstickorna får brytas.
tändstickor_2

3. Flytta en tändsticka så att likheten gäller.
tändstickor_3

Visa lösningen

© 2009-2024 Mattebloggen