Öriken
Det Stora och det Lilla Riket är båda rektangulära öar och uppdelade i rektangulära landskap. I varje landskap finns en väg som går längs med en av diagonalerna. På varje ö bildar vägarna en sluten rutt, som inte går igenom någon punkt flera gånger. På bilden ser du det Lilla Riket, som har 6 landskap:
Det Stora Riket har däremot ett udda antal landskap. Hur många landskap kan det Stora Riket som minst ha?
Fyrhörningens diagonal
Fyrhörningens diagonal
I fyrhörningen ABCD är AB = 5 cm, BC = 17 cm, CD = 5 cm, DA = 9 cm och sträckan BD är ett helt antal cm. Hur lång är sträckan BD?
Klurig fyrhörning
Rekommenderad från: 17 år
[kkratings]
En konvex fyrhörning ABCD har kända sidlängder: AB = 5, BC = 10, CD = 14, DA = 11. Fyrhörningens diagonaler skär varandra med en viss vinkel. Hur stor är den vinkeln?
, men också 
. Så första och tredje vänsterledet tillsammans är alltså lika med andra och fjärde vänsterledet tillsammans:
.
.Adventspyssel 20
Möbelfabriken
Tre kandidater till jobbet på en möbelfabrik fick en uppgift på intervjun. De fick beskriva hur man avgör huruvida en bordskiva är formad som en kvadrat eller inte.
Den första kandidaten föreslog att man skulle jämföra bordskivans sidor med varandra, den andra tyckte att man skulle mäta diagonalerna och se ifall de var lika, den tredje tyckte däremot att man skulle jämföra de fyra strecken som bildas då diagonalerna skär varandra.
Vem av kandidaterna har störst chans att få jobbet?
Lösning till problem vecka 15
På ett 10×10-bräde finns en pjäs i varje ruta. En tillåten operation är att välja en diagonal som innehåller ett jämnt antal pjäser och ta bort en valfri pjäs från den diagonalen. Hur många pjäser kan man som mest ta bort med hjälp av sådana operationer?
Lösning:
Först och främst uppskattar vi hur många (eller snarare hur få) pjäser måste verkligen vara kvar på brädet.
Från början har vi 18 diagonaler med ett jämnt antal pjäser, och 20 med ett udda antal pjäser, totalt 38 stycken diagonaler. Vi kallar framöver diagonalerna för ”jämna” och ”udda” beroende på vilket antal pjäser som står på dem för tillfället.
Hur förändras detta antal när vi utför operationer? Jo, vi tar ju bort en pjäs från en jämn diagonal, så den diagonalen kommer att bli udda. Men varje pjäs står på två stycken diagonaler. Så den andra diagonalen kommer också att förändra sort.
Så antingen blir det jämn->udda och udda->jämn, vilket totalt sett inte förändrar antalet udda respektive jämna diagonaler eller så blir det jämn->udda och jämn->udda, vilket minskar antalet jämna diagonaler med 2 och ökar antalet udda diagonaler med 2.
På slutet, när vi inte längre kan utföra några tillåtna operationer, kommer antalet udda diagonaler alltså vara minst 20. Men en udda diagonal kan inte vara tom (för att 0 är ett jämnt antal). Så 20 är det minsta antalet icke-tomma diagonaler på slutet.
Varje pjäs kan bidra till max 2 diagonalers ”icke-tomhet”, vilket betyder att det måste finnas åtminstone 10 pjäser kvar på slutet.
Och det finns ett exempel på hur man kan ta bort pjäser på ett sådant sätt att det blir precis 10 kvar. Notera att om brädet målas schackrutigt, så kommer de vita diagonalerna inte ha något att göra med dem svarta (precis som en löpare alltid måste gå på samma färg under ett schackspel).
Därför om vi ta bort pjäserna från de vita rutorna så att det blir 5 kvar, så kan vi göra detsamma med de svarta rutorna (genom symmetrisk borttagning). Så här kan man ta bort från de vita rutorna, siffrorna nedan anger ordningen:
