Lösningen till problemet för de äldre vecka 41

Rolig matte?


Mattegåta

Mattias satt på ett kafé i Göteborg och väntade ut det berömda horisontella regnet. Utanför kaféet fanns en hållplats.

Under tiden som Mattias fikade, passerade en buss och två spårvagnar hållplatsen. Ett tag efter det kom en spion och satte sig på kaféet.

Under tiden som spionen satt och väntade hann 10 bussar passera hållplatsen. Vilket är det minsta antalet spårvagnar som kunde åkt förbi under den tiden?

Både spårvagnarna och bussarna kommer med jämna mellanrum, för bussarna är mellanrummen en timme långa. Trafiken utanför kaféet är enkelriktad.

Diskussion (delvis av Benjamin Fayyazuddin-Ljungberg)

I ett problem där man ska bestämma maximum eller minimum finns det ofta risk för resonemangsfällor. När du i din lösning påstår att något fall är “bäst” eller “optimalt” är det inte alltid självklart hur man egentligen borde motivera det.

Lyckligtvis är det inte så svårt att motivera hur vi ska komma fram till det optimala (minsta) fallet i den här uppfiten (se faktorerna nedan).

Vi vill konstruera situationen sådan att spionen såg så få spårvagnar som möjligt.

Det finns tre faktorer som påverkar detta: hur länge han satt där, mellanrummen mellan spårvagnarnas ankomst, och när han satte sig i förhållande till spårvagnens schema.

Om vi provar att rita ett schema över hur bussarna och spårvagnarna gick kommer vi så småningom fram till att det inte går att få mindre än fyra spårvagnar på spionens tid. Låt oss bevisa detta.

Lösning

Först måste vi ge ett exempel på hur spårvagnarna gick för att spionen skulle se just fyra stycken.

Låt bussarna gå klockan 9.00, 10.00, 11.00 och så vidare, medan spårvagnarnas intervall får vara 1 timme 58 minuter långa. Låt säga att de gick klockan 10.01, 11.59, 13.57, 15.55, 17.53, 19.51, 21.49 och så vidare.

Då kunde Mattias vara på kaféet från klockan 10.01 till 11.59, medan spionen var där från 12.00 till 21.00:

Nu ska vi bevisa att antalet spårvagnar inte kunde bli mindre än fyra.

Observera att spårvagnarnas intervall inte kunde vara två timmar eller mer. Om mellanrummen mellan spårvagnarnas ankomster hade varit åtminstone två timmar långa, skulle Mattias varit tvungen att sitta på kaféet i minst två timmar, vilket skulle innebära att han hade sett minst två bussar komma (vilket inte var fallet).

Å andra sidan under tiden som spionen väntade, så passerade 10 bussar. Mellan den första och den tredje bussen han såg gick två timmar, så under tiden måste en spårvagn (minst) åkt förbi. Likaså måste någon spårvagn ha åkt förbi mellan den tredje och den femte bussen, mellan den femte och den sjunde, samt mellan den sjunde och den nionde. Totalt såg spionen alltså minst fyra spårvagnar.

Kommentera