Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Här på bloggen tänkte jag lägga ut materialet som vi tar upp på träffarna, samt skriva lite om hur lektionen har gått.
Träffen började med att eleverna tog fika och satte sig ner i ett stort klassrum. Nästan alla de ordinarie platserna blev upptagna (41 stycken). Vi var sju lärare och jag presenterade vad alla hette. Nästan direkt satte vi igång med de blandade uppgifterna. Det enda eleverna behövde var penna och kladdpapper, som de fick låna.
Eleverna fick dela upp sig i grupper om två-tre och i ungefär i 45 minuter försöka lösa fem uppgifter. När de hade löst en uppgift fick de räcka upp handen och berätta lösningen för en av lärarna. Läraren kunde då ställa följdfrågor, som att t.ex. be om att förklara svaret eller fråga om varför det är det enda möjliga svaret.
Under varje uppgift skriver jag några typiska dialoger jag hade med de små grupperna om just den uppgiften.
Blandade uppgifter
1. En pojke har lika många systrar som bröder, men hans syster har hälften så många systrar som bröder. Hur många pojkar och flickor finns det i familjen?
Elev: Hur kan man lösa den här uppgiften när det inte finns några siffror?
Lärare: Försök att pröva dig fram!
Elev: Vi fick att det var 4 pojkar och 3 flickor. Det uppfyller villkoren.
Lärare: Varför kan det inte finnas något annat svar?
2. I tre högar finns 22, 14 respektive 12 nötter. Du får göra tre förflyttningar. Ditt mål är att få högarna att innehålla lika många nötter.
Under en förflyttning får du flytta ett antal nötter från en hög till en annan, men antalet nötter man flyttar måste vara lika med antalet nötter i högen man flyttar till.
Vilka förflyttningar ska du göra?
Elever: Går det här verkligen att göra?
Lärare: Ja :D
Elev: Vi försöker med olika varianter men lyckas inte. (Förklarar hur de tänker.)
Lärare: Vad händer om du tänker baklänges? Vad skulle det sista draget kunna vara?
3. Skriv en siffra till vänster och en siffra till höger om 15 så att det nya talet blir delbart med 15 (det vill säga blir ett tal där divisionen med 15 går jämnt upp).
Elev: 0150, gills det?
Lärare: Försök att hitta på fler svar. (Alternativ: Nej, tal kan inte börja med 0.)
4. På den största ön i Sagolandet finns 4 kungadömen. Varje kungadöme gränsar till de tre andra. Rita karta över ön så som den kan se ut.
Elev: Till exempel så här (visar en cirkel uppdelad i fjärdedelar.)
Lärare: Vi räknar det inte som en gräns om de bara nuddar varandra på hörn, eftersom man inte kan gå över från ett land till ett annat. (Alternativt: Försök att hitta på fler svar.)
5. I en sjö har man placerat en väldig ovanlig vattenlilja. Varje dag så fördubblar liljan sin storlek.
Det visade sig att liljan tog upp precis hela sjön efter 20 dagar. Efter hur många dagar skulle sjön ha blivit full om man hade placerat ut 4 magiska vattenliljor från början?
Elev: Om det tog 20 dagar för 1 lilja, så borde det ta 20/4 = 5 dagar för 4 liljor.
Lärare: Låt oss undersöka om din logik fungerar i andra situationer. Om det hade tagit 4 dagar för en lilja att fylla sjön, så borde fyra liljor göra det på 1 dag, eller hur? (Undersöker lite och kommer fram till att det är 2 dagar i det fallet.)
Det fungerade väldigt bra att kommunicera med eleverna, vi var lagom många lärare (i snitt 5-6 elever per lärare) och ett par grupper hann precis klara av alla 5 uppgifterna när 45 minuter hade gått.
Därefter gick vi igenom varje uppgift på tavlan. En elev fick komma fram och förklara sin lösning och vi försökte alltid att diskutera alternativa lösningar. På uppgift nummer fyra fick alla gå fram och rita sina karta, vi fick väldigt många snygga exempel.
Därefter var det en liten-liten rast och vi skulle komma igång med temat, vilket var kombinatorik. Eleverna fick sitta i grupper om 4-6 och tänka och experimentera med hjälp av färgpennor. Denna gång försökte vi kommunicera med hela gruppen på en gång. Eleverna jobbade i grupp i ca 45 minuter, därefter var det 15 minuter gruppdiskussion.
Innan eleverna satte igång gick vi igenom färgerna som OS-ringarna har och att det har att göra med att alla länder i världen har någon av dessa färger i sin flagga. Därför skulle vi rita olika flaggor med de fem färgerna, men flaggorna behövde inte existera på riktigt.
Flaggor
1. Hur många olika flaggor av följande form kan man skapa om man har tillgång till fem färger?
Här förtydliga vi på tavlan att alla de fyra rektanglarna måste ha samma färg. Det dök upp en intressant fråga om korset fick ha samma färg som bakgrunden. Då bestämde vi att man kunde lösa två olika problem, ett där de fick ha samma färg och ett där de inte fick.
Eleverna löste det här på flera olika sätt som genomgången visade (när vi tänker på varianten då de inte fick ha samma färg).
Om korset får vara en av de fem färgerna, så kan bakgrunden ha fyra varianter för färg. Det är likadant för alla fem färgerna på korset. Alltså är svaret 5*4 = 20.
Om man tar två färger, till exempel blå och svart, så kan man göra två flaggor: En med svart kors på blått bakgrund och en med blått kort på svart bakgrund. Det finns 10 olika par av färger (man skriver upp alla möjligheter och kollade att man inte missade något.) Alltså är svaret 10*2 = 20.
Om man får ha samma färg på korset som på bakgrunden, så är svaret 25 (= 5*5). Men man måste räkna bort de enfärgade flaggorna, som det finns precis 5 av, lika många som färger. Alltså är svaret 25 – 5 = 20.
2. Hur många olika flaggor av följande form kan man skapa om man har tillgång till fem färger?
Här dök det också upp frågor om olika varianter: var alla räderna tvungna att vara olika? Fick översta och nedersta vara samma? Fick alla ha samma färg? Vi bestämde oss för att lösa tre olika varianter.
Variant 1: Alla ränderna måste ha olika färger. Några grupper listade ut hur man skulle räkna ut det och tillsammans på tavlan kom vi fram till att svaret blir 5*4*3 = 60.
Variant 2: Översta och understa ränderna får ha samma färg. Någon enstaka grupp listade ut svaret här också. Vi kom fram till att man skulle lägga till något antal till svaret i Variant 1. Man kunde tänka att när understa och översta randen är likadana så är det precis samma situation som med svenska flaggan (mittersta randen är korset, resten är bakgrunden). (Det var en elev som kom på det). Alltså är det 20 varianter vi måste lägga till, så att svaret blir 60 + 20 = 80. En annan elev kom på att vi från början kunde räkna 5*4*4 = 80.
Variant 3: Ränderna får ha vilka färger som helst. Ett par grupper räknade ut att det var 5*5*5 = 125.
Tillsammans på tavlan kom vi fram till att vi behövde lägga till 20 + 20 + 5 till Variant 2 (flaggor där översta och mellersta randen är lika, flaggor där understa och mellersta är lika och flaggor där alla ränder är lika). 80 + 45 = 125 – ett annat sätt att få svaret! Men då tog tiden slut!
3. a) På hur många sätt kan ni i er grupp ställa er på en rad?
b) På hur många sätt kan ni bilda en ring?
Några av eleverna hann testa på den här uppgiften. En del kom fram till rätt svar på a)-uppgiften. Svaren var olika beroende på hur många de var (4,5 eller 6). Men många fick samma svar på b) som på a). Då kom jag med följande invändning:
Lärare: På hur många kan två personer ställa sig på en rad?
Eleverna: Två!
Lärare: På hur många sätt kan två personer ställa sig i en ring?
Eleverna: Ett! Hmmmm…
Lärare: Varför skulle det då vara samma svar för fyra/fem/sex personer?
Uppgiften hann vi tyvärr inte diskutera i helklass, så den tar vi upp nästa gång.
Allt som allt gick lektionen bra för att vara i en så enorm klass. Eleverna blev trötta mot slutet, så nästa gång kommer vi ta en lite längre rast. Det vore också kul om eleverna interagerade mer mellan olika skolor och då kan det vara bra med slumpvis fördelade grupper, som vi kör en mattetävling emellan.
Jag ser fram emot att träffa alla eleverna om fyra veckor! Det är väldigt kul att hålla på med matte med elever som har väldigt god förståelseförmåga. Elever som är inte rädda för att försöka och därför lyckas väldigt bra med att lösa problem som jag är säker på att inte så många vuxna skulle klara.