Varierande problemlösningslektioner

I veckan besökte jag Matematikbiennalen i Karlstad, en stor händelse för mattelärare, där ett par tusen besökare fick vara med om föreläsningar, workshops och utställningar. Allt handlade om matematikundervisning.

Jag höll i en föreläsning där jag delade med mig om mina erfarenhet kring problemlösningslektioner. Följande poänger försökte jag få fram:

– Lektioner i matte följer nödvändigtvis en struktur pga förutsättningar och omständigheter, men man kan variera undervisningen genom att erbjuda eleverna helt olika sorters problem.

– Poängen med problemlösning är att man ställs inför problem man aldrig tidigare mött förut och vänjer sig vid att vara bekväm med det.

– Man kan ha ett problem som inslag i en lektion (där passar kluringar) eller ha en problemserie, där det också finns olika sätt att lägga upp det på.

– Det finns allmängiltiga ledtrådar man kan ge, men ledtrådarna kan även vara anpassade till varje elev om man ser vart hen är på väg.

– Elever som är svaga i problemlösning tjänar på att bli inkluderade via lek eller se att alla kan ha fel, även de bästa eleverna och läraren.

– Matematikens historia ska tas upp för att ge perspektiv på att eleven redan har lärt sig minst 1000 års visdom.

– I mattetävlingar som sker på lektionstid ska man kunna lämna in svar flera gånger för att bli uppmuntrad att försöka på nytt.

– Ge helst problem där man vill ta reda på svaret, eftersom att man KAN ta reda på svaret är inte uppbart från formuleringen.

– Problemlösnings finns till för att fostra matematiska färdigheter (sanningssökande, kreativitet, etc.) men också för att stärka matematiskt självförtroende, upptäckarglädje och njutning av vackra lösningar.

För konkreta exempel på problem och lektioner kan du ladda ner och bläddra igenom föreläsningen:

Föreläsningen

Ljug när du föreläser

Bra fysikföreläsare på Uppsala universitet lyser med sin frånvaro, men nyligen hörde jag talas om ett undantag. Jag vet inte vem det är och kommer inte ihåg varför han var bra, men ett undervisningsknep tänker jag någon gång låna från honom.

Innan varje föreläsning försäkrar han om att någon gång under föreläsningen kommer han att ljuga. Det kan vara allt från ett litet faktafel och felräkning på tavlan till dåligt resonemang gällande någon komplicerad förklaring. Poängen är att studenterna då skall reagera och säga åt läraren eller ställa en fråga om det som känns felaktigt.

Tänk er en morgontidning den 1:a april. De flesta stora tidningarna har garanterat någon skämtartikel den dagen och det gäller att komma på vilken. Men det är inte så lätt att komma på!

Jag brukar snabbt bli misstänksam över någon nyhet och tänker “näää, det där kunde väl aldrig ha hänt”, men sedan vänder jag sidan och har en exakt samma tanke för nästa nyhet. Nästa dag visar det sig att båda nyheterna var riktiga och det var en helt annan grej som var på skämt. Detta visar på att min förmåga att kritisk tänka över nyheter är näst intill obefintlig.

Men samma princip om kritiskt tänkande kan tillämpas på matematiken. Om man inte riktigt kan skilja på sanning och lögn under en föreläsning så accepterar man istället allting godtroget. Även om läraren gör något uppenbart räknefel är det många som inte vågar påpeka det. De litar inte på sin förmåga att urskilja matematiskt sanning från lögn och det kan bero på flera saker. Kanske tränar man inte förmågan särskilt ofta eller så kan man inte tillräckligt om ämnet, som i fallet med mig och nyheter.

“Ljuga på varje föreläsning”-strategin skulle passa utmärkt på matematikföreläsningar. Frågan är ifall den lämpar sig bäst för “äldre” studenter, som har fått lite kött på benen när det gäller matte, men jag anser inte det. På samma sätt som att man lär ett barn att simma genom att kasta det i vattnet så lär man nya studenter att orientera sig i matte genom att tvinga dem till att göra det.

Den här strategin får elever att lyssna nogrannt, ställa frågor så fort det finns någonting oklart och hindrar dem från att fastna i ett transliknande tillstånd “skriv av allt från tavlan” (för något kan ju vara fel och då får man skriva om). Varje föreläsning får de en ny intellektuell utmaning, varje gång kommer de “läsa tidningen” lika noggrant som 1 april!

Så du som har undervisning, prova att ljuga för dina studenter (berätta om det först för dem såklart) och skriv hur det gick!

Hur man håller ett bra föredrag

Förra veckan befann jag mig på en mattekonferens i Glasgow. Temat var kategorifikationer, så ni kan gissa att de flesta av föredragen var ganska svåra. Det hände mer än sällan att jag bara förstod en liten del eller inte något alls.

Det lustiga är dock att det till en väldigt stor del beror på hur föreläsaren lägger upp presentationen och till en inte så stor del på innehållet. Själv har jag hållit i färre föredrag än det finns fingrar på min vänstra hand, men lyssnare har jag varit på många fler än vad jag kan minnas.

Så jag tänkte ge en lyssnares perspektiv på det hela. Eventuella föredragshållare som läser detta får betrakta listan som tips för eventuell förbättring.

Låt oss dock enas om att föredragen i fråga är inte för allmän publik, det vill säga snarare om något expertområde. Det kan vara en specialföreläsning för studenter, något för temadagen på högstadieskolan, men absolut inte något politiskt tal till exempel. Föredraget hålls för större publik, säg 15 personer eller fler, som kan ha mycket olika bakgrund men är intresserade av föredragets ämne (alternativ finner titeln spännande). På förhand känner föredragshållaren inte till alla i publiken.

På vilket sätt undviker man att göra det för lätt, för svårt eller med för hög sömnfaktor?

1. Förebered innehållet. Förhoppningsvis vet du på förhand vad du vill säga. Det märks tydligt om talaren kan sin sak väl och föredraget flyter smidigare om så är fallet. Skriv ner precis allt du ska säga tydligt på stödpapper, om du skall använda tavlan, i annat fall är det fördelaktigt att skippa anteckningar.

2. Planera tiden. Det är mycket vanligt att tiden tar slut innan du hunnit berätta allting. Ett sätt att undvika detta är att repetera föredraget högt själv eller framför testpublik och se hur lång tid det tar. Sedan lägg på en tredjedel av den tiden för eventuella frågor. Om det ändå blir tidsbrist när du väl gör det på riktigt, var inte rädd att avsluta tidigare än du tänkt. Visst vill man kanske förmedla något väldigt viktigt, men det kan göra mer skada än nytta när publiken ändå är för trötta för att lyssna. Tycker de att föredragets början var spännande, kommer de kanske själva komma fram och fråga det som intresserar dem efteråt. Kom ihåg att föredraget är till för publiken.

3. Presentera idén. Det finns något viktigt i det du har att säga. I matematiken är det ofta någon idé som tillämpas under föredraget. Börja gärna med att säga några ord om vad du vill förmedla och vad som är största poängen i det som kommer. Nämner man inte det alls är det stor risk att många förlorar sig i de tekniska detaljerna och då inte tar till sig idén.

4. Använd illustrationer. Säg att du använder tavlan. Kom ihåg att “en bild säger mer än 1000 ord” och försök att vid varje tillfälle ha åtminstone en bild eller ett diagram någonstans på tavlan. Annars tilltalar inte föredraget människor med visuell förståelse. Samma sak om du använder overhead (eller powerpoint) – ha sliden liggande och synlig i åtminstone 3 minuter. Rita gärna på overheadslides eller ha stegvis uppbyggande av powerpointsidor, då ser åskådaren hur bilden skapas och mycket lättare kan följa talarens tankegång. Notera också att inte bara bilder kan vara bra illustrationer, även exempelvis vardagsberättelser kan illustrera en poäng.

5. Tala till publiken. Som sagt, du föreläser inte för tavlan, golvet eller väggen, utan för publiken. Vanan att titta på lyssnarna när man talar kommer naturligt med erfarenheten. Ögonkontakten inbjuder åskådarna till mer interaktion, som till exempel att ställa frågor.

6. Undvik sidospår. Det händer att man kommer på något extra att säga eller upptäcker ett sätt att förklara något extra noga. Inget fel i sig, men lyssnarna har (förhoppningsvis) mycket ny information att ta till sig redan. Kräver något i ditt föredrag mycket förkunskaper, är det ingen idé att försöka gå igenom dem “lite snabbt”. Antingen kan personen som lyssnar det eller inte och på kort tid går det inte att få full förståelse. Förklara det svåra i ett par meningar och i stora drag, unvik exakta definitioner och formuleringar.

7. Ha en röd tråd. Påminn om idén från punkt 3 genom hela föredraget. Återknyt det du har berättat till din början, på så sätt blir poängen tydliga. Berättelsen blir också mer växlande: från fördjupande till övergripande. Sammanfatta gärna i slutet vad det är du egentligen har berättat om, tyvärr blir detta sällan gjort på grund av brister i tidsplaneringen,

8. Använd humor, men inte för mycket. Humor kan användas för att väcka upp folk som börjat tänka på annat. Föredrag brukar ha stort kunskapsvärde men inte så högt underhållningsdito. Å andra sidan kommer du inte uppfattas som seriös föredragare om du skämtar för mycket. Ungefär tre roliga meningar eller illustrationer per timme rekommenderas. Som i alla andra sammanhang, var positiv, du har då större chans att nå ut till dina lyssnare.

Inlärning

För länge sedan läste jag att man lär sig bäst när det nya i materialet utgör 30% . Med andra ord, 70% av det man läser, hör och ser ska helst redan vara bekant. Det tycker jag är en ganska rimlig siffra, dock går inte det ihop med begreppet traditionell föreläsning.

En vanlig matteföreläsning innehåller i princip bara nya begrepp,  satser och metoder. Föreläsarna ånstränger sig mycket för att hinna med åtminstone det som står i kursplanen, just för att eleverna ska ha sett “allt” innan de går och studerar på egen hand. De blir ju förstås upprörda om det kommer upp någonting på examinationen som de aldrig har sett förut.

Det är svårt att hitta något alternativ för att optimera inlärning under en föreläsning. Det bästa är att ta upp gamla exempel i lysa upp dem i det nya sammanhanget. Exemplet är någonting studenterna (förhoppningsvis) har sett förut och har någon slags relation till. Berättar man någonting nytt om det kommer det att utgöra ungefär 30% av hela exemplet.

På grund av samma princip lär jag mig bäst innehållet i en kurs tidigast kursen efter. När man ska lära sig flerdimensionell analys är det absolut viktigt att kunna endimensionell analys och då lär man sig det. Och när kursen i endimensionell analys går lär man sig vad man egentligen sysslade med på gymnasiet :)

I matematiken gäller alltså påbyggnadskunskap hela tiden. För att ta ett exempel, tänk på en rektangel. Alla lär sig det begreppet förr eller senare i livet, antingen från verkligheten eller abstrakta bilder. När det är dags att förstå begreppet “area” ritar läraren upp kvadrater eller rektanglar på tavlan och vi får genast en relation till det här nya mattebegreppet. Det första människor tänker på när någon säger “area” är en rektangel. Vi fortsätter vidare, förbi funktioner till envariabelanalys. Säg att vi behöver lära oss hur funktioner maximeras. Absolut bästa exemplet då är det som går ut på att hitta största arean för en rektangel med given omkrets. Väldigt verklighetsanknutet och högst praktiskt problem. Svaret är då att en kvadrat är den formen som ger störst area. Om inte mer, lär man sig åtminstone att maximera funktionen x(1-x) från detta exempel.

Här syns min förkärlek till exempel och jag kan aldrig själv föredra att gå en kurs med endast nytt teoretiskt material. Det är ingen som tycker att någonting är intressant om ingen kan förstå det.