Fjärde träffen med Matteklubben, åk 5-6

Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen, andra träffen och tredje träffen innan du läser vidare.

Besök av Uppsalas Nya Tidning

Den fjärde gången fick vi lite halvt oväntat ett besök från Uppsalas Nya Tidning. De kom för att skriva en artikel om Matteklubben i och med att det hade blivit klart att satsningen skulle fortsätta under 2015. Tyvärr innebar det att jag behövde vara ifrån lektionen lite för att svara på journalisternas frågor. Men trots en hastig intervju blev artikeln ganska bra i alla fall! Enda felet de gjorde var att formulera läxan på ett oförståeligt sätt.

UNT: Matteklubben på Ånström gör succé

Det stod “Uppgiften handlar om att räkna ut om det går att förflytta sig mellan våning ett och två med hiss i ett 100 våningshus om bara knapparna för våning sju och nio fungerar.” Just det där sista med knapparna vore ganska konstigt, utan uppgiften ska formuleras så som det står i läxan.

Hemuppgifterna

I den första hemuppgiften fick eleverna använda sig av knapparna +7 och -9 för att röra sig mellan våningarna. Många hade hunnit tänka på uppgiften redan på den föregående lektionen så att det fanns flera olika idéer. Den mest intressanta diskussionen uppstod när vi skulle förklara varför det går att ta sig från vilken våning som helst till vilken annan våning som helst med hjälp av dessa knappar.

Någon hade en lösning som använde sig av modulo 7 (förstås utan att dessa ord yttrades), det vill säga att först ta sig till en våning som ger samma rest modulo 7 som målvåningen och sedan åka uppåt sju steg i taget (det här gäller för stora målvåningsnummer). En annan hade förklaringen om att strategin för att ta oss upp en våning egentligen kan varieras genom att man byter på knappordningen. Vi kan alltid trycka på knapparna på så sätt att vi slipper åka utanför våningarna och till slut tar oss en våning upp eller ner, vad vi nu behöver.

Det var härligt att se att några elever hade intuion för dessa ganska så abstrakta idéer som moduloräkning och kommutativitet och deras användbarhet.

Den andra uppgiften handlade om hästarna på schackbrädet. Medelst en dialog med eleverna visade jag hur uppgiften kunde lösas med hjälp av en graf. Uppgiften är typisk på det sättet att det är lätt att förstå varför det inte går men svårt att förklara varför. Med en graf av möjliga hästförflyttningar blir det mycket lättare att se och förklara varför det inte kan gå.

Blandat

Den största delen av lektionen togs upp av blandade uppgifter som eleverna löste själva eller i par. De börjar bli väldigt bekanta vid sådana problemlösningssessioner, vilket betyder att vi lärare knappt behöver lägga någon tid på organisation eller disciplin. Vi kan istället snabbt besöka alla eleverna, lyssna på dem och ställa ledande frågor om det behövs.

Under varje uppgift skriver jag ner diskussionerna som jag hann ha med några av eleverna.

1. Shrek hade en stor bit tvål i form av ett rätblock. Efter att han hade duschat 7 gånger blev biten hälften så lång, hälften så bred samt hälften så hög som den var i början. För hur många duschar till räcker den tvålbiten som är kvar?

Elever: Det är svårt att veta hur det ser ut. (De har svårt för att rita 3D-bilder.)
Lärare: Försök att rita vad som skulle hända med en rektangel först. Sedan försök att rita rätblocket.

Elever: Den minskar fyra gånger (visar upp hur de har gjort för en rektangel och säger att det är samma för rätblocket). Sedan vet vi inte hur vi ska räkna.
Lärare: Det här stämmer om tvålen hade varit platt. Men den har en volym. Minskar den inte ännu mer om den också blir mindre på bredden?

2. Hur många tresiffriga tal finns, där alla siffror är olika?

Elever: Vi skrev upp alla sådana tal som börjar med siffran 1. Eller snarare, vi skrev de som börjar med 10.. och det blev åtta stycken. Det blir åtta sådana rader för tal som börjar med 1, så 8*8 = 64 tal. Men första siffran kan väljas som vilken som helst utav 9, så totalt 64*9 = 576 sätt.
Lärare: Ja, det verkar rätt. (Märker felet sedan vid genomgången.) Varför blir det förresten åtta rader?
Elever: (Räknar…) 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 (får “åtta” ett par gånger, men till slut får “nio”).

3. Hur stor area har den ifyllda rektangeln på bilden? Ange arean i antalet rutor.
area_rektangel

Elev: Jag delade upp figuren i halvrutor och räknade alla de inuti bilden. Det blev 24.
Lärare: Ja, precis, så kan man göra!

Elever: På ett sätt fick vi 24, men när vi tittar på den som en rektangel så kan man dela upp den i 3*4 = 12 rutor (visar uppdelningen). Varför blir det annat svar?
Lärare: Det stämmer att man delar upp den i 12 rutor, men är det verkligen lika stora rutor som de ursprungliga? Hur var det nu man räknade ut arean på en “stor” ruta? (Syftar på diskussion av hemuppgiften på den tredje träffen.)
Elever: Ah, de är större ja. De är två rutor stora, alltså är arean 12*2 = 24!

4. Emil plockar svarta och röda kort från en låda och lägger dem i två prydliga högar. Det är förbjudet att lägga kort av samma färg på varandra. Det tionde och det elfte kortet som Emil lägger ut är röda, det tjugofemte är svart. Vilken färg har det tjugosjätte kortet?

Elever: Om han lägger röd-svart-röd-svart och så vidare (på samma hög) från och med det tolfte kortet, så kommer det tjugofemte kortet vara svart och det tjugosjätte vara rött.
Lärare: Men om man skulle lägga korten på något annat sätt, kommer det tjugosjätte kortet fortfarande garanterat vara rött?
Elever: Ahaa, det är det som är frågan…

5. I Sifferlandet finns 9 städer som heter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. En turist upptäckte att det finns flyg mellan två städer bara om det tvåsiffriga talet som bildas av stadsnamnen är delbart med 3. Lista alla städer som man kan komma till från staden 1.

Här hann jag inte ha dialog med någon, men i efterhand fick jag se att både vissa lärare och elever var osäkra på om man fick mellanlanda. I gemensamma klassdiskussionen förtydligade vi det och gjorde klart uppgiften.

 

Olika lärare leder diskussionen

Efter den rätt så långa problemlösningssessionen hade vi en paus och sedan drog vi igång genomgången.

Redan i planeringsfasen bestämde vi att olika lärare skulle ta genomgången av varje uppgift. Så fem personer fick var sin uppgift. Det var roligt att se hur alla lärare på ett sätt var lika (frågade eleverna ungefär lika mycket som jag, ställde ledande frågor etc.), men på ett annat sätt också olika. Ingen lärare skulle ju leda redovisningen exakt likadant eller säga exakt samma ord. Jag tror att det är väldigt nyttigt, då mitt sätt att redovisa kanske tilltalar vissa elever, men inte alla. Andra lärare är helt enkelt andra bra förebilder och ju fler olika man får se desto bättre.

Samtidigt kunde jag sätta mig längst bak i klassrummet och se hur det hela såg ut från elevernas sida. Jag försökte också föregå med gott exempel och ställa frågor (som kunde verka dumma) om redovisningen tills jag förstod. Det vill säga, jag spelade inte med, utan jag förstod verkligen inte vissa saker och ställde frågor tills en av lärarna gjorde sakerna klara för mig. Det går inte trycka för mycket på att vi är på Matteklubben för att förstå och inte för att visa oss smarta inför varandra. Det finns inget skam i att inte förstå! Det hjälper ju den som förklarar att bli bättre i just konsten att förklara.

Symmetri

Genomgången tog rätt så lång tid, så den tematiska problemlösningsdelen blev rätt så kort. Några av eleverna påstod att de hade löst allting och fick därför extrauppgifter eller fyllde i utvärderingen tidigare. Vid närmare anblick såg jag att eleverna hade förhastat sig genom uppgifterna, missförstått några och bara trott att de hade löst det.

Nedan skriver jag några sätt som jag kunde syna lösningarna på.

1. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma. Hitta ett annat sätt.

samma_satt

Lärare: Man får endast skära längs med rutgränserna.

2. Observera att i samtliga fall är skärningslinjen symmetrisk kring kvadratens medelpunkt.
Således lönar det sig att rita länkarna två och två i motsatt läge. Börja vid kanten.

borjan

Bestäm vilka punkter som kan vara ändpunkter till en skärningslinje.
Försök att bestämma alla möjliga svar till uppgift 1.

Här var texten lite förvirrande (många svåra ord!), det var svårt för många att se att frågan egentligen kom efter bilden. Det var också svårt att tolka hjälpen för hur man skulle rita skärningslinjen. Jag tog en genomgång med några av eleverna hur man kan rita en sådan rotationssymmetrisk linje för att få en uppdelning.

Lärare: Kan man starta linjen på något annat ställe? Kan man “gå” med linjen på olika sätt?

3. En kamomill-blomma har 12 kronblad. Under ett drag får man plocka antingen ett eller två intilliggande kronblad. Den som plockar det sista kronbladet vinner. Vem av spelarna, den som börjar eller den andra, kan vinna oavsett hur skicklig motståndaren är?

Lärare: Ni tror att ni vet vem som vinner? Låt oss spela! (Eleven får vara den spelaren, ettan eller tvåan, som de tror vinner.)

Då eleverna ibland trodde att man fick ta bort två blad, även om de inte satt bredvid varandra, gick deras strategi ut på det. Oftast vann jag, då de inte hade tänkt igenom sin strategi ordentligt, även om de hade fattat reglerna.

4. En turist måste promenera från ett tält till en lägereld samt hämta en hink vatten från en flod under promenaden (se bild).
Exakt vilken väg skall turisten välja för att den ska bli så kort som möjligt?

flod_biljard

Den här uppgiften hann jag inte diskutera med någon. Den är svår att formulera på ett bra sätt. Vad menas med “exakt”? Som matematiker vet man vad som man underförstått kan konstruera (linjer genom givna och erhållna punkter till exempel). Men som barn räcker det kanske bara att rita för hand. Den ungefärliga lösningen blir ju “bra nog”.

 

Utvärdering

Vi avslutade lektionen och terminen genom att fylla i en liten utvärdering. Följande frågor fick de svara på:

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):

1 2 3 4 5

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):

Ja Nej Kanske

Föräldrarna fick fylla i en utvärdering på nätet, men där har jag inte fått se svaren än.

Resultatet av utvärderingarna

Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så.

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

– Tävling 14

– Lyckas med att lösa svårare uppgifter och ha rätt

– Att lära mig nya sätt att lösa uppgifter 2

– Bra blandning av olika delar i matten (symmetri, schema mm)

– Samarbetsuppgifter 2

– När man löste ett problem genom att samarbeta med gruppen. Då blev vi stolta

– Problemlösning 4

– Att äta (3) och att göra uppgifter i små grupper 2

– Att vara med kompisar och räkna roliga uppgifter 2

– Lösa kluriga uppgifter 3

– Svår matte 2

– Läxorna/”förhören”

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

– Jobba i större grupper 2

– Långa tråkiga genomgångar och för komplicerade uppgifter

– Väldigt långa genomgångar 4

– Svåra uppgifter/uppgifter man inte förstod 3

– Lätta uppgifter 2

– Att det har varit så långt. Det kunde varit lite kortare

– Att inte få redovisa varje gång

– Inget/vet inte 9

– Att vissa fjantar sig under lektionerna

– Tävlingen – jag blir stressad …

– Göra tråkiga uppgifter

– Läxorna

– Kort rast

– Att ha fel 2

– Tävla och jobba

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 1
Betyg 3: 10
Betyg 4: 19
Betyg 5: 3

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 20
Nej: 0
Kanske: 13

Tankar efter terminen

Spontana tankar jag har efter de här fyra träffarna och efter att ha sett utvärderingarna är att det blev en väldigt lyckad start!

Såklart har inte allting varit perfekt, till exempel har de långa genomgångarna kanske inte gett så mycket som vi trodde. En idé jag får är att ha genomgångarna i små grupper, att man turas om att presentera uppgifterna inför 4-5 andra. Något att experimentera med nästa termin!

En annan tydlig sak är att eleverna älskade att tävla. Jag har tidigare skrivit om varför tävlingar engagerar så och får elever att prestera på topp. Nästa termin planerar jag att ha små tävlingar kanske var tredje träff. Om möjligt hoppas jag att vi kan få besök av en mattegrupp från en annan kommun, så att våra elever kan tävla mot varandra.

Kanske behöver nivån på uppgifterna sänkas något, jag har lätt för att dra upp svårighetsgraden onödigt mycket. Jag hoppas att andra lärare kommer kunna hjälpa mig med det, de har nu fått erfarenhet och uppfattning om vad som är lagom för högpresterande elever i den här åldern.

Jag vill tacka eleverna, föräldrarna, de andra lärarna, kommunen och matteinstitutionen för jätteroliga fyra träffar, och ser fram emot att fortsätta nästa termin!

Kvadrat i kvadrat i kvadrat

Kvadrat i kvadrat i kvadrat

I en kvadrat med sidan 1 m placerade man en annan kvadrat, vars hörn hamnade precis på mittpunkterna av den första kvadratens sidor. Likadant placerade man den tredje kvadraten inuti den andra. Vilken area har den tredje kvadraten?

kvadrat_i_kvadrat

Visa lösningen

Andra hemuppgiften från Matteklubben, åk 5-6

Här i kommentarerna kan du diskutera hemuppgiften. Skriv om du har frågor eller förslag på lösning/svar.

• En viss figur hade arean 12 cm2. Om den figuren förminskas så att alla dess sidor bli hälften så stora, vad kommer dess area att bli då?

• Rita figur som har 2 gånger så stor area som figuren på bilden, men har samma form.

rutat_papper04

Ladda ner för utskrift

Andra träffen med Matteklubben, åk 5-6

Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen innan du läser vidare.

36 elever och 6 lärare

Denna gång var det 36 elever som var närvarande, vilket är närmare ett lagom antal än förra gångens 41. Vi var sex stycken lärare och jag tror att vi räckte till det mesta av tiden. Om uppgifterna hade varit för lätta, så skulle vi inte ha så mycket att diskutera med barnen, förutom att de skulle berätta hur de tänkte (och vi skulle förmodligen inte hinna lyssna på allas lösningar). Och om uppgifterna hade varit för svåra så skulle vi inte lärarna ha så mycket att göra annat än att tipsa eleverna om hur de kan tänka. Det är lagom nivå på uppgifter om eleverna löser några, tänker fel på några andra (så att de lär sig något nytt!) och kanske har svårt för att lösa de allra svåraste problemen på egen hand, så att de börjar utbyta idéer med varandra. Vi kunde även lyssna på några elever som inte hittade någon att samarbeta med (eller inte ville samarbeta, vi tvingande ingen att vara i grupp, bara uppmanade). Jag hann i alla fall själv att prata med nästan alla grupper åtminstone en gång, vilket borde betyda att de flesta grupper har hunnit bolla var och en av sin idéer med åtminstone någon av lärarna.

Hemuppgiften

Vi började träffen genom att gå igenom (den frivilliga) läxan. Några av eleverna kom ihåg den och hade jobbat med den hemma, de flesta hade säkert glömt bort den (eller inte jobbat på den). Därför försökte jag föra diskussionen på ett sådant sätt att även de som var helt nya för Matteklubben kunde hänga med lite grann. Vi diskuterade i bara 10 minuter för att de som inte hade fördjupat sig i uppgiften inte skulle bli uttråkade.

Uppgiften som handlar om konkreta tal (5 pärlor, si och så många av varje färg) kunde alla lösa om de försökte. Det handlar om att rita upp och inte glömma något fall. Det fanns ändå flera tolkningar på uppgiften där det fick vara alla möjliga antal svarta pärlor av fem. Några tolkade uppgiften som att armbanden inte fick vara helt svarta eller helt vita. Det gjorde inte så mycket, eftersom man bara behöver lägga till 2 till svaret om dessa armband skulle räknas.

En annan oväntad kuriosa uppstod när jag ritade upp de olika armbanden på den svarta tavlan med en vit krita. Jag tyckte att de pärlorna jag fyllde i var “svarta”, men många barnen tyckte att dessa var “vita” (eftersom det verkligen var den färgen de fick). Detta resulterade i ett par intressanta matematiska poänger. Dels att man själv får välja (definiera) vad man kallar för “svart” och “vitt”. Och dels att man kan se att det finns lika många armband med 3 svarta och 2 vita pärlor som armband med 2 svarta och 3 vita pärlor, eftersom man kan välja vilken färg man ser som “svart”.

Vi gick igenom de andra fallen tillsammans: alla svarta, alla vita, 4 svarta + en vit, 4 vita + en svart. Totalt blev det 8 olika armband, om man räknar armband som fås via vridning som samma. Som jag sett av hur eleverna löste läxan, så betraktade de även spegelvända armband som samma (vilket inte var tanken med uppgiften), men detta spelar ingen roll förrän man börjar räkna armband med 7 pärlor.

Sista delen av uppgiften var en öppen fråga. Det vara bara 2-3 elever som hade jobbat på det hemma och berättat det för mig. Sambandet för ett godtyckligt antal pärlor är väldigt svårt. Så det var inte tanken att eleverna skulle lösa det, men de kanske kunde upptäcka vissa mönster. Om man inte räknar spegelvända armband som samma, så går uppgiften att lösa med Burnsides Lemma i det generella fallet (vilket är universitetsmatte), och i fall då antalet pärlor i armbandet är ett primtal (p) så är antalet armband lika med

\frac{2^p-2}{p}+2

Så till exempel för talet 5 blir svaret:

\frac{2^5-2}{5}+2 = \frac{32-2}{5}+2 = \frac{30}{5}+2 = 6+2 = 8

Försök att lista ut var svaret kommer ifrån (tips: 2:an står för antalet färger). Obs! Uppgiften är bara till för de elever som tycker allting annat är jättelätt.

I varianten där spegelvända armband räknas som samma vet jag inte hur man löser uppgiften generellt.

Blandade uppgifter

Sedan löste eleverna blandade uppgiften i ungefär 40 minuter. Vissa satt själva och vissa jobbade i grupper om 2-3. Individuellt arbete är mycket givande, men vi hinner inte jobba med var och en så mycket då antalet elever är så stort. De som räcker upp handen fick dock hjälp snabbt och om de som var villiga att diskutera kunde de få en givande dialog. Exempel på några typiska dialoger skriver jag under varje uppgift.

Om du undrar över lösningen på någon uppgift, så är det bara att fråga i kommentarerna.

Första uppgiften tog längst tid så den diskuterade jag absolut mest med eleverna.

1. a) Matilda har två leksakskuber med bokstäver på sidorna. Totalt finns det 12 olika bokstäver. Hur många ord på två bokstäver kan Matilda bilda?


Lärare: Obs! Låtsasord är också ord i den här uppgiften.
Elever: Får ett ord bestå av två likadana bokstäver?
Lärare: Javisst!

Elever: Det är 6 bokstäver på första kuben och 6 bokstäver på andra. Totalt blir det 6 x 6 = 36 ord.
Lärare: Men måste alltid den första kuben (till exempel den med bokstäverna ABCDEF) alltid stå först? Kan inte den stå på andra platsen?
Elever: Just det, då blir svaret dubbelt så stort!

Elever: Den första bokstaven kan man välja på 12 sätt. Den andra på 11 sätt. Totalt blir det 12 x 11 = 132 ord.
Lärare: Men det är bara en sida man kan välja per kub. Två bokstäver på samma kub bildar inte ett ord.
Elever: Aha, då är det 12 x 6.

Elev: Blir svaret 66?
Lärare: Kanske, hur fick du svaret?
Eleven berättar hur hen tänkte och det visar sig att hen hade tänkt rätt, men räknat fel.
Lärare: Du tänkte rätt!

Det var en del elever som inte noterade att alla de 12 bokstäverna var olika, och därmed snarare löste b)-uppgiften.

1. b) David fick däremot två likadana kuber. Hur många ord på två bokstäver kan han bilda?


Elever: Samma svar som i a), 72 sätt.
Lärare: Låtsas som att vi bara har två bokstäver per kub, A och B på första kuben och likadant på den andra. Vilka ord kan man bygga? T.ex. AA är ett ord.
Elever: Man kan också bygga BB, AB och BA.
Lärare: Så svaret blir…?
Elever: 4 ord.
Lärare: Men om vi skulle tänka som i första uppgiften skulle svaret bli 8 ord. Vad är felet?

2. Det är mörkt i rummet och du vet var det finns en låda med 7 röda och 5 blå pennor. Hur många pennor måste du dra på måfå för att vara säker på att ha minst 2 röda och 3 blå pennor när du sedan kommer ut ur rummet?


Elev: Om man drar 10 pennor, så kan man få 7 röda, men då får man ändå 3 blå.
Lärare: Varför räcker det inte med 9 pennor?
Elev: Man skulle kunna få 7 röda och 2 blå.

3. Vilja räknade fingrarna på sin högra hand: första var tummen, andra – pekfingret, tredje – långfingret, fjärde – ringfingret, femte – lillfingret, sjätte – ringfingret igen, sjunde – långfingret, åttonde – pekfingret, nionde – tummen, tionde – pekfingret och så vidare. Vilket finger blir nummer 2014?


Elever: Vi räknade att pekfingret blir nummer 10, ringfingret nummer 20, ringfingret nummer 30, pekfingret nummer 40, pekfingret nummer 50 och så vidare. Vi räknade ut vad finger nummer 2000 blir och sedan var det bara räkna 14 till. Och det blev ringfingret.
Lärare: Ok, coolt sätt att lösa uppgiften på!

Elev: Nummer 2010 blir pekfingret och sedan spelar det faktiskt ingen roll åt vilket håll man går, om 4 fingrar är det ändå ringfingret.
Lärare: Ja, intressant att man inte behöver bry sig om håll.

4. Siffrorna 1 till 9 fyller kvadraten som det syns på den vänstra bilden. Man får gå på kvadratens rutor, men aldrig tillbaka till en ruta man varit på förut, och man måste alltid gå till en angränsande ruta.

Emilia gick längs med pilen som syns på den högra bilden. Hon skrev ner siffrorna som hon gick på i ordning och fick talet 84937561. Rita en annan väg, som ger ett större tal (ju större tal, desto bättre).

pil_uppgift


Elev: Man måste börja på ett hörn, annars kan man inte gå igenom alla rutor…
Lärare: Kan man inte börja i mitten?
Elev: Men det är ändå lägre!
Lärare: Ja, förvisso.
Elev: Då börjar man med största siffran i hörnet, 5, och sedan går till 7, för 7 är större än 6. Sen går man till 2, för om man går till 3, så kan man inte komma till 2 senare.
Lärare: Kan inte man sluta i 2?
Elev: Jo, kanske, vänta nu lite!…

5. Gustav tänkte på tre tal, men berättade inte vilka tal det var. Däremot sade han vilka olika summor som två av talen kunde bilda: Det var 23, 25 och 28. Vilka tal tänkte Gustav på?


Elev: Jag testade och hittade talet 10, 13 och 15.
Lärare: Kan det ha varit några andra tal han tänkte på som också passar?
Elev: Jag vet inte, jag provade mig fram bara.

 

Redovisning

Eleverna fick komma fram till tavlan och redovisa sina lösningar, om de ville. Jag försökte att inte lägga ner så mycket tid på det, för då skulle det bli för lite tid kvar till temat. Det vill säga, vi lyssnade på bara en elevlösning per problem.

Intressanta frågor som dök upp (och som jag själv delvis svarade på för att ge exempel på fullständigt resonemang) var:

Problem 2.
– Varför är man säker på att 10 pennor är tillräckligt?
– Man vet att man får 5 röda och 5 blå, eller 6 röda och 4 blå, eller 7 röda och 3 blå. Det är tillräckligt i varje fall.

Problem 4.
– Hur vet man att man måste börja i ett hörn eller mitten med pilen?
– Om man målar kvadraten schackrutigt, så att 5 rutor blir målade (och 4 omålade), så kan man inte starta i en omålad ruta, eftersom man måste hela tiden växla för varje steg:
omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad, vilket gör att man inte kommer att kunna gå på alla 9 rutor.

Problem 5.
(Det har var egentligen ett förtydligande av en annan elevs resonemang).
– Hur vet man att det inte finns något annat svar än 10, 13, 15?
– Om man ökar något tal till exempel, så måste man sänka båda andra och då skulle inte den tredje summan stämma.

Det här resonemanget är inte vattentät kom jag på i efterhand. Om man ökar ett visst tal, så kanske är man inte säker på att det ingår exakt i samma två summor som förut. Till exempel, om vi ökar 15 till 16, så är det inte säkert att 16 ingår i summan 28, utan kanske i de andra två summorna. Det gör att vi inte lika säkert kan förutspå hur de andra två talen måste förändras.

Forskning om area och omkrets

Med dagens tema fick eleverna jobba i grupper om ungefär 4. Det tog inte så lång tid, då frågorna var lite lättare och öppnare än de blandade problemen. De som blev klara fort fick pappret med individuella uppgifter.

Efter ungefär 20 minuter (tror jag) diskuterade vi elevernas förslag på tavlan. Jag skriver under varje uppgift vad vi tog upp i klassdiskussionen.

Figurerna i de här tre uppgifterna får bara ritas längs med rutornas gränser. Inga halva rutor tillåtna det vill säga.

1. Rita så många figurer som möjligt med omkretsen 8 (rutlängder). Vad har de olika figurerna för areor?

Eleverna ritade de två figurerna som består av tre rutor (“pinnen” och “vinkelhaken”) och en som består av fyra rutor (“fyrkanten” eller “kvadraten”). En grupp tänkte utanför lådan och hittade på en figur med area 0 (sträckan med längd 4) och med area 2 (två rutor som hänger ihop ett hörn). Jag berättade att figurer som den med arean 0 kallas för “degenererade figurer” och man bestämmer själv ifall de ska räknas som figurer eller inte (därefter hade vi en omröstning i klassen och majoriteten tyckte inte att de räknades som figurer).

2. Rita så många figurer som möjligt med arean 8 (rutor). Vad har de olika figurerna för omkrets?

Eleverna fick jättemånga olika figurer här, så att de inte ens orkade rita upp alla (jag frågade sedan vilken grupp som hade ritat flest figurer). Omkretsarna var 16, 14, 9, 18.

En av lärarna frågade hur en elev hade fått omkretsen 9. Då ritade eleven upp en kvadrat med ett hål i (också nytänkande!). Omkretsen tyckte eleven var det som var utanpå (hålets omkrets räknades inte med). Men då blev det inte 9, utan 12.

Jag frågade klassen hur läraren kunde misstänka att omkrets nio inte var rätt. En elev svarade att omkrets var tvungen att vara ett jämnt tal. För att det är 4 i början (en ruta) och sedan läggs det liksom på 2 när man bygger ut.

Det blev en liten avvikelse i diskussionen och vi pratade om att omkrets förändras som +2, -2 eller +0 när man bygger ut figuren. Och eftersom det börjar med 4, så förblir det alltid jämnt. Detta är ett mycket djupt resonemang som involverar begrepp som invariant och stegvis konstruktion (början till induktion), som traditionellt är tematik för begåvade elever i högstadiet/gymnasiet. Imponerande att vissa elever i åk 5-6 redan har lite känsla för det!

3. Omkretsen för en viss figur är 20.
a) Vilken är den största arean som figuren kan ha?
b) Vilken är den minsta arean som figuren kan ha?

Kom på så många exempel som möjligt på figurer med störst respektive minst area.

Många av elevgrupperna kom fram till att figuren med störst area var kvadraten med arean 25 och med minst area en avlång rektangel (bredd 1) med arean 9. Jag frågade om de hade fler exempel på figurer med area 9 och det hade de, “teddybjörn med stort huvud” och “plusplus” tror jag vi kallade dem:
area_9

Egentligen funkade många olika lösningar på arean 9 (“böjd pinne” etc.), men med störst area fanns bara kvadraten (som eleverna sade: “Om det inte får vara en cirkel eller nåt”). Jag sade att man kunde visa det men att det är en för svår uppgift för tillfället.

 

Förstoring

Precis i slutet pratade vi om vad som hände med arean och omkretsen om en kvadrat får dubbelt så stora sidor. Arean blev 4 gånger så stor! Först tyckte eleverna att omkrets blev 8 gånger så stor (förmodligen för att jag ritade ut de fyra små kvadraterna som den stora består av. Men sedan insåg de att omkretsen blev 2 gånger så stor bara.

Detta gjorde vi för att förstoring och förminskning var vad de individuella uppgifterna handlade om. Dem hann eleverna knappt hålla på med under lektionen, så det blev en (frivillig) läxa.

Tankar efter lektionen

Om möjligt gick lektionen ännu bättre än förra gången. De eleverna som kom för andra gången var de som undervisningen verkligen passade för. Alla gillade aktiviteterna och ingen verkade känna sig så som om denne inte hade där att göra. Mot slutet blev några elever trötta (och började busa lite), så det behövs förmodligen en längre och aktivare rast nästa gång.

Det är roligt att många vågar räcka upp handen och vågar ha fel (även om det är för det mesta samma personer som räcker upp handen om och om igen). Jag har lärt mig 7 av elevnamnen och hoppas att jag ska kunna fånga upp de allra flesta namn vid terminens slut.

Vill du få extrainfo om problemlösning via e-post från Mattebloggen?

Det kan vara allt från problemlösningstips till info om olika tävlingar. Din e-postadress kommer att hanteras varsamt.

Namn

E-post

Att räkna utan tal och bokstäver

När någon ställer frågan “Vad är matematik för dig?” svarar jag ibland “Att tänka.” Det kan tolkas som ett luddigt svar eller att jag kanske tror att matematik är viktigare än allt annat. Men så är inte riktigt fallet och jag ska försöka visa vad jag menar med hjälp av ett exempel.

Problem

Framför dig är en rektangel. Du sätter ut två punkter inuti rektangeln och förbinder alla de med alla hörnen, till exempel så som bilden visar. Vilken area är störst: den svarta eller den grå?

flackar1

Försök att tänka ut svaret utan att använda dig av några som helst variabler eller uträkningar. Svårt, eller hur?

Låt mig presentera ett tankesätt som gör den här uppgiften väldigt lätt istället.

Fläckar

Föreställ dig ett vitt A4-papper och ett litet barn som målar med blått och gult akvarellfärg. Hon målar abstrakt konst, det vill säga det gula blir någon slags oregelbunden fläck, det blå likaså. Barnet målar inte så noggrant, på vissa ställen täcker fläckarna över varandra och på så sätt bildas det gröna områden.

flackar2
När bilden blev färdig visade det sig att den sammanlagda arean av de två fläckarna är lika stor som arean av hela pappret. Visa att den gröna arean är lika stor som den vita arean.

Beviset får vi genom att ställa den enkla frågan: “Hur mycket area behövs för att komplettera den blå, den gula arean och den gröna arean till arean av hela pappret?” Visuellt behövs bara den vita arean, för att det är den som är kvar. Men om vi tänker på att fläckarna tillsammans skulle utgöra arean av hela pappret så ser vi att det saknas en till grön area för det. Det gula och det gröna är nämligen en hel fläck, men det blåa saknar just det gröna för att bli en hel fläck (eller tvärtom). Eftersom det saknas precis lika mycket när vi tänker på två olika sätt så måste den gröna arean och den vita arean vara lika stora.

Vi löste uppgiften utan att använda oss av X eller någon annan variabel. Egentligen resonerade vi precis som men gör med ekvationer, men med ord istället. Ibland kan det vara lättare, ibland svårare, men här är det mer intuitivt tycker jag, speciellt om man ska förklara lösningen för någon annan!

Tänka geometri

Vad har uppgiften med abstrakta fläckar med riktig geometri att göra? Låt oss bevisa att den svarta och den grå arean är lika i följande figur:

flackar3

Vi kan även tänka att regelbundna former utgör fläckar. I följande figur kan vi göra om färgerna till gult, blått, grönt och vitt. Ser du de två fläckarna? Och att det gröna är precis skärningen de emellan och det vita är precis den delen de inte täcker?

flackar4

För att visa att den gröna arean är lika stor som den vita behöver vi bara förklara varför trianglarna tillsammans utgör arean av hela rektangeln. Varje sådan triangelarea utgör hälften av rektangelns area (för detta kan vi t.ex. använda areaformlerna, för rektangeln är det basen gånger höjden, men för triangeln är det precis hälften av det). Alltså utgör summan av areorna på trianglar exakt hela rektangelns area. Klart!

Kan du identifiera fläckarna i den ursprungliga uppgiften och lösa den utan att räkna alls? Kom ihåg att fläckarna kan ha godtycklig form och behöver inte ens vara sammanhängande!

Uppgifter utan räkning

Detta är vad jag menar med att “tänka matte” istället för att “räkna matte”, vilket är det uttrycket de flesta använder (eftersom de oftast gör just det senare, men inte det första).

Siffror och variabler är bra att införa när de behövs, men det finns fördelar med att försöka klara sig utan dem. Det kan vara tillräckligt för att lösa ganska komplicerade problem, som till exempel uppgiften i början. När vi presenterar idéer, uppgifter och lösningar av den typen för barn blir de oftast inte rädda, då det bara finns ord och bilder. Barn har inte fördomar mot resonemang med ord, till skillnad mot variabelräkning. Där har fördomarna oftast utvecklas efter att barnet tvingats jobba på ett visst sätt med ekvationer (dock kan de tyvärr ha fördomar mot geometri också). Så passa på och sätt dina elever (och dig själv) i situationer, där du inte har någon aning om hur man löser problemet. Du får då vara kreativ och kommer förmodligen att komma på ett lättare sätt att hantera uppgiften än vad någon annan skulle ha berättat för dig.

Pi-dagen 2014

Grattis på Pi-dagen!

Talet pi är förstås relaterat till cirklarnas area och radie, men följande uppgift kan du lösa utan att kunna några formler.

Vilken kvadrat har störst orange area?

cirklar

(Även om du kan använda dig av formler, prova att lösa uppgiften utan dem!)

Uppgiften och bilden är från donsteward.blogspot.com

Triangellandet

Triangellandet

Triangellandet har formen av en liksidig triangel. En inre gräns delar landet i två stater, som har lika stor area. Beskriv hur gränsen ser ut (formen och positionen) om den har den minsta möjliga längden.

Visa lösningen

Lösningen till problemet för de yngre vecka 35


Mattegåta

Cissi fyllde år så hon bakade en tårta till sin födelsedag. Tårtan var dock inte rund, utan formad som en regelbunden sexhörning ABCDEF. Cissi markerade K och L, som var mittpunkterna på sidorna EF och FA respektive. Sedan skar hon längs med BK och sedan längs med LC. Hanna fick den triangulära biten BOC, medan Sofie fick den fyrkantiga biten KOLF. Vilken tjej fick mer tårta?

Diskussion

När två figurer har så olika form som Hannas och Sofies bitar, är det svårt att jämföra dem. En idé är att ge dem mer tårta, men exakt lika mycket var. Sedan jämför vi de större bitarna.

Lösning

Se hur mycket tjejerna får om de också fördelas var sin bit OKEDC:

Men om vi roterar ena hexagonen, så ser vi att det egentligen är lika mycket tårta! Därför fick Hanna och Sofie lika mycket tårta även i början.

Matteproblem för de yngre vecka 35

Mattegåta

Cissi fyllde år så hon bakade en tårta till sin födelsedag. Tårtan var dock inte rund, utan formad som en regelbunden sexhörning ABCDEF. Cissi markerade K och L, som var mittpunkterna på sidorna EF och FA respektive. Sedan skar hon längs med BK och sedan längs med LC. Hanna fick den triangulära biten BOC, medan Sofie fick den fyrkantiga biten KOLF. Vilken tjej fick mer tårta?