Mattebloggen

Diskussion

När två figurer har så olika form som Hannas och Sofies bitar, är det svårt att jämföra dem. En idé är att ge dem mer tårta, men exakt lika mycket var. Sedan jämför vi de större bitarna.

Hösterminen 2010 är tävlingen på bloggen uppdelad i två kategorier: matteproblem för de äldre (personer som har avslutat en gymnasieutbildning) och för de yngre (personer som går i grundskolan eller på gymnasiet). Givetvis får alla skicka in lösningar på problem från den andra kategorin, men de äldre får inte poäng för de yngres problem.

Skicka alltså in lösningsförslag till problemet nedan till valentina.chapovalova@gmail.com senast onsdagen den 15 september. Missa inte chansen att få priser!

Detta inlägg är fortsättning på del 1 om Cevas sats. Första delen förklarar satsens formulering och ger tips för hur man skulle kunna bevisa den. Den här delen innehåller själva beviset.

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AM, BL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om 

Bevis:

Antag först att cevianerna skär varandra i en och samma punkt O. Vi skall visa att värdet av uttrycket verkligen är 1.

Notera till exempel att trianglarna COM och MOB har lika stora höjder utgående från punkten O, eftersom deras baser ligger på samma linje. Låt höjderna ha längden h. Därför kan vi enkelt uttrycka förhållandet mellan dessa två areor:

Eftersom trianglarna CAM och MAB också har lika långa höjder, utgående från A, så kommer deras areor också att förhålla sig som  

Låt  k (något reellt tal). Men om är k gånger större än och är k gånger större än , så är differensen, , också k gånger större än

Det vill säga

Med analogiska resonemang får vi förhållanden mellan de andra par av de färgade trianglarna:

Därför kan vi skriva om uttrycket:

eftersom allt förkortas i det omskrivna uttrycket.

Nu har vi kvar att bevisa att värdet på uttrycket inte kan vara 1 utan att cevianerna skär varandra. Vi antar motsatsen, det vill säga att värdet är 1, men cevianerna råkade inte skära varandra i samma punkt:

Nu är vi så smarta som möjligt och använder oss av del 1, som vi redan har bevisat. Precis som i följande berättelse:

En matematiker och en fysiker löser praktiska uppgifter. De blev tillsagda att koka upp 1 liter vatten med hjälp av en vattenkran och en vattenkokare. Båda fyller förstås sin vattenkokare med vatten och sätter på den.

Nästa uppgift är annorlunda: de får en vattenkokare full med vatten och ska nu igen koka upp 1 liter vatten.

Vad gör en fysiker? Han ställer vattenkokaren på plattan och sätter på den förstås.

Vad gör en matematiker? Han häller ut vattnet och därmed ska han lösa praktisk uppgift nummer ett, vilket han redan kan.

I detta fall är det förstås inga onödigheter vi sysslar med. Men på samma sätt som i berättelsen ska vi göra någonting, för att kunna använda oss av tidigare kunskaper. Vi drar en ny linje, för att få samma situation som förut. Dra linjen CK’, som går igenom skärningspunkten för cevianerna AM och BL.

Från del 1 vet vi att följande måste gälla:

Men enligt antagandet har vi också

Bland annat är uttrycken lika med varandra och på så sätt får vi  , vilket i sin tur implicerar att , vilket är omöjligt, eftersom BK<BK’ och K’A<KA. Motsägelse, alltså var situationen omöjlig!

Således så fort uttrycket är lika med 1, så måste cevianerna skära varandra i en punkt.

Användningar för satsen

På så sätt har vi i princip bevisat flera satser på en gång, till exempel att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. Samma sak gäller för bisektriserna, samma för linjer som förbinder hörn och tangeringspunkter för den inskrivna cirkeln. Det lämnas åt läsaren att komma på hur man ska använda Cevas sats för att visa de egenskaperna.

Cevas sats är ett av de vackraste geometriska faktum för trianglar. Men för att kunna formulera satsen lättare, ska vi först definiera vad en cevian är för något.

Cevianer

Medianen är ju en ganska känd sträcka, det är den som går ut från ett hörn på en triangel och slutar på motstående sidan på så sätt, att den delas mitt itu. Notera att en triangel har tre olika medianer.

Bisektrisen är också en kändis. Den är den sträckan i triangeln som delar vinkel mitt itu. Även bisektriserna är tre i en triangel.

median

bisektris

Även om vi drar en sträcka från hörn till sida, som inte alls är speciell, så vill vi kalla det för något. Vi säger att det är en cevian. Cevianer är alltså ett samlingsnamn för medianer, bisektriser, höjder osv. Notera att mittpunktsnormaler inte är cevianer.

cevian

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AM, BL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om 

”Om och endast om”:

Detta är en väldigt vanlig förkortning i matematiken. Istället för att skriva att man ska bevisa två saker (”om” och ”endast om”), sätter man ihop dem i en och samma mening. I detta fall är de två sakerna man ska visa:

1. Om AM, BL och CK skär varandra i samma punkt , så gäller

2. Om , så skär cevianerna AM, BL och CK varandra i samma punkt.

Tankegång:

Som vanligt finns det många sätt att bevisa satsen. Ett av de mest kända använder areabegreppet. Det enda vi behöver är areaformeln för en triangel: arean är lika med basen gånger höjden delat på två. Vi betecknar i fortsättningen arean av triangeln ABC med .

För att använda detta i vårt problem gäller att komma på att beteckna (den eventuella) skärningspunkten med O och dela upp triangeln i tre mindre: AOB, BOC och AOC.

Det är förstås omöjligt att veta de exakta areorna hos de olikafärgade trianglarna. Men vi kan uttrycka hur areorna förhåller sig med hjälp av sträckorna, som förekommer i uttrycket.

Nu finns det nog med tips för att bevisa satsen på egen hand. Försök själv eller vänta på nästa inlägg!

En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika areor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får bo på samma area (fast antalet rum kan vara olika). Bestäm det minsta möjliga antalet rum i en sådan lägenhet.

Lösning:

Här gäller det att bestämma det minsta antalet rum så att uppdelningarna är möjliga. Det betyder två saker:

1. Att bestämma något antal rum så att uppdelningarna är möjliga.

2. Visa att för alla mindre antal åtminstone någon uppdelning skulle misslyckas.

Ett sätt att lösa de två punkterna är att gå nerifrån och uppåt, det vill säga starta med så få rum som möjligt (säg 1 rum) och sedan gå vidare till nästa antal, när uppdelningarna inte funkar. Vi testar:

1 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer

2 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer

3 rum: går inte att dela upp mellan 4 personer

4 rum: om det ska gå att dela upp rummen mellan 4 personer, måste alla ha lika stor area, säg x. Om vi ska dela upp rummen mellan 3 personer, måste en av dem få 2 rum och de andra få 1 rum var. Areorna blir 2x, x, x, det vill säga olika.

5 rum: om det ska gå att dela upp rummen mellan 4 personer, måste en av dem få 2 rum och alla de andra få 1 rum var. Så de senare tre rummen har alla lika stor area, säg x. Då har de första två rummen tillsammans arean x.  Notera att det går då att dela upp lägenheten mellan 2 personer rättvisst. Men går det att dela upp mellan 3 personer? Då skulle de antingen ha föredelningen 2 rum- 2rum-1 rum eller 3 rum-1 rum-1 rum. Notera att sammanlagda arean är 4x, så varje person måste få arean 4x/3. Så de som har enrummare har arean på den lika med 4x/3. Det kan inte finnas två sådana, för att 4x/3+4x/3 är inte lika med x (som ju summan av de två ”icke-x”-rummen måste vara). Så fördelningen måste alltså vara 2 rum-2 rum-1 rum. Då är rumsareorna x, x, x, 4x/3 och 2x/3. Men x, x, x och 2x/3 går inte att fördela jämnt mellan 2 resterande personer. Så det går inte med 5 rum.

6 rum: Försöker vi som förut att bevisa att det inte går, kommer vi fram till att det faktiskt går. Så fort vi har ett exempel, är vi klara. Låt rummen har areorna 1, 1, 1, 3, 3, 3 (m²). Uppdelning mellan 4 personer: 1+1+1, 3, 3, 3, uppdelning mellan 3 personer: 1+3, 1+3, 1+3, uppdelning mellan 2 personer: 1+1+1+3, 3+3.

Jag hoppas att ni fortsätter att klura på förra veckans gåta. Än har ingen hittat lösningen på b). Skicka in frågor och svar på mailet som ni hittar här.

Veckans gåta fortsätter på samma tema som min mattecirkel gjorde i helgen:

En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika areor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får bo på samma area (fast antalet rum kan vara olika). Bestäm det minsta möjliga antalet rum i en sådan lägenhet.

För länge sedan läste jag att man lär sig bäst när det nya i materialet utgör 30% . Med andra ord, 70% av det man läser, hör och ser ska helst redan vara bekant. Det tycker jag är en ganska rimlig siffra, dock går inte det ihop med begreppet traditionell föreläsning.

En vanlig matteföreläsning innehåller i princip bara nya begrepp,  satser och metoder. Föreläsarna ånstränger sig mycket för att hinna med åtminstone det som står i kursplanen, just för att eleverna ska ha sett ”allt” innan de går och studerar på egen hand. De blir ju förstås upprörda om det kommer upp någonting på examinationen som de aldrig har sett förut.

Det är svårt att hitta något alternativ för att optimera inlärning under en föreläsning. Det bästa är att ta upp gamla exempel i lysa upp dem i det nya sammanhanget. Exemplet är någonting studenterna (förhoppningsvis) har sett förut och har någon slags relation till. Berättar man någonting nytt om det kommer det att utgöra ungefär 30% av hela exemplet.

På grund av samma princip lär jag mig bäst innehållet i en kurs tidigast kursen efter. När man ska lära sig flerdimensionell analys är det absolut viktigt att kunna endimensionell analys och då lär man sig det. Och när kursen i endimensionell analys går lär man sig vad man egentligen sysslade med på gymnasiet :)

I matematiken gäller alltså påbyggnadskunskap hela tiden. För att ta ett exempel, tänk på en rektangel. Alla lär sig det begreppet förr eller senare i livet, antingen från verkligheten eller abstrakta bilder. När det är dags att förstå begreppet ”area” ritar läraren upp kvadrater eller rektanglar på tavlan och vi får genast en relation till det här nya mattebegreppet. Det första människor tänker på när någon säger ”area” är en rektangel. Vi fortsätter vidare, förbi funktioner till envariabelanalys. Säg att vi behöver lära oss hur funktioner maximeras. Absolut bästa exemplet då är det som går ut på att hitta största arean för en rektangel med given omkrets. Väldigt verklighetsanknutet och högst praktiskt problem. Svaret är då att en kvadrat är den formen som ger störst area. Om inte mer, lär man sig åtminstone att maximera funktionen x(1-x) från detta exempel.

Här syns min förkärlek till exempel och jag kan aldrig själv föredra att gå en kurs med endast nytt teoretiskt material. Det är ingen som tycker att någonting är intressant om ingen kan förstå det.

Detta problem kommer från min arbetskamrat Albin. Eller, rättare sagt, punkten i) kommer från en gymnasiebok, men uppgiften missuppfattades och punkt ii) blev till, som är svårare.

Från början har vi en kvartscirkel med radie 1 (cm om man så vill). Gränserna för kvartscirkeln utgör diametrar för två mindre cirklar, deras halvor syns på bilden.
 

 i) Hur förhåller sig areorna A och B?

 ii) Vad är areorna A och B lika med?