Tre vinklar


Det här roliga problemet har jag fått av min kompis Fredrik från Genikampen-2015!

Rekommenderad från: 15 år

Tre kvadrater är ritade bredvid varandra. Tre linjer dras från ett hörn som bilden visar. Bestäm summan av de tre utsatta vinklarna (i exakt antal grader eller radianer):

tre_kvadrater

Visa lösningen

15 reaktioner till “Tre vinklar”

  1. Summan av de tre vinklarna är 90 grader. tan ( =1, tan (( = 1/2 och tan ((( = 1/3. Fördubblar man figuren och ritar lämpliga trianglar kan man visa att (( + ((( = 45 grader.

  2. Jag tror inte att alla dessa vinklar kan uttryckas i ett rationellt antal grader. Men i uppgiften behöver ni hitta summan och då behöver man inte hitta de enskilda vinklarna.

  3. Hej Val! A=45 grader, tan B = 1/2 och tan C = 1/3 .Tan(B+C)=(5/6)/(1-1/6)=1 så (B+C) = 45 grader och därför får man att (A+B+C) = 90 grader. En annan lösning/bevis som du kan lägga ut har jag skickat som mail till dig och några kända problemlösare. Tyvärr får detta problem inte många kommentarer i gruppen Matematikundervisning på Facebook.

  4. Ah, coolt, Sture! Jag kunde inte formeln för tangens summa. Själv löste jag med likformighet, men den snygga lösningen är via en likbent triangel, som jag kommer lägga upp senare. Såg att du startade en diskussion på Matematikundervisningsgruppen, kul att det fanns en hel video om problemet!

  5. Man kan också använda Diofantos metod för att med hjälp av två rätvinkliga trianglar ta fram en större rätvinklig triangel. Han gjorde precis som vi gör när vi multiplicerar ihop komplexa tal. Här har vi binomem
    (2+i) och (3+i) och multiplicerar ihop dem. i*i=-1. (2+i)*(3+i)=6+3i+2i + i*i=6+5i-1=5+5i som kan ses som en rätvinklig triangel där kateterna är 5 och hypotenusan är sqrt(50) , dvs en halv kvadrat

  6. If we number the squares (starting from the left) whose corners the straight lines extend to (the ones to build angles from), we can define this problem as 1,2,3

    Extending the idea of adding more than three squares in a row and drawing lines from the upper left corner, we can get new problems with the same solution with more lines.

    For example with four angles:
    1,2,5,8
    1,2,4,13

  7. There are a lot of good ways to find tan(45/2)

    One easy way would be to use the half angle formulas for sine and cosine and go back to the definition of tan as sin/cos. Then you have a formula with sin(45) and cos(45) to simplify.

    There are other methods as well.

Kommentera