Multiplikationer i en tabell

Multiplikationer i en tabell

På hur många sätt kan man fylla en 6×6-tabell med 1:or och -1:or så att produkten av talen i varje rad och i varje kolumn blir lika med 1? (Det är alltså tolv stycken produkter som ska bli lika med 1.)

Visa lösningen

Problem vecka 20

Cthulhu (1 poäng).
“Ni alledels för små för att se detta”, sade Cthulhu till sina 33 barn och skrek ut “Blunda!”. Alla pojkarna blundade med högerögat, likaså en tredjedel av flickorna. Alla flickorna blundade med vänsterögat, likaså en tredjedel av pojkarna. Hur många barn såg ändå det som de var för små för att se?

Tabellen (3 poäng).
En 4×4-tabell är fylld med talen från 1 till 16. I varje rad, varje kolonn och varje diagonal (inklusive diagonalerna som består av en ruta) är det största talet markerat. Ett och samma tal kan alltså bli markerat flera gånger. Kunde det bli så att
a) alla tal utom två blev markerade?
b) alla tal utom ett blev markerade?
c) alla tal blev markerade?

Stenhögarna (5 poäng).
Det finns tre stenhögar. Sisyfos rullar en sten i taget från en hög till en annan. För varje sten han överför får han ett antal guldmynt från Zeus, som är lika med skillnaden mellan antalet stenar i målhögen och antalet stenar i starthögen (stenen, som rullas mellan högarna, räknas inte in). Om skillnaden är negativ, lämnar Sisyfos tillbaka en respektive summa till Zeus. Om Sisyfos inte kan betala, låter den välvillige Zeus honom att vara skyldig pengarna.

En gång blev det så att alla stenarna hamnade i samma högar, som de fanns i från början. Hur mycket kunde Sisyfos som mest ha tjänat då?

Visa lösningar

Lösningen till problemet för de yngre vecka 44


Mattegåta

Fem fotbollslag spelade en turnering, där alla lag mötte alla en gång. För en vinst tilldelades 3 poäng, för oavgjort 1 poäng och för förlust gavs inga poäng.

Fyra av lagen fick 1, 2, 5 och 7 poäng respektive. Hur många poäng fick det femte laget?

Diskussion

I alla för mig blir det lättare att lösa turneringsproblem, om man ritar en graf eller en tabell över resultaten.

Till exempel vet vi att ett av lagen fick 1 poäng, då kan man utan inskränkning anta att det är Lag 1. Då ser deras rad i tabellen ut som nedan.

Kolonnen är på sätt och vis motsatsen, alla förluster byts mot vinster (Lag 3, 4 och 5 vann ju mot Lag 1). Problemet går ut på att ta reda på sista radens poängsumma!

Lösning (av Nicklas Yttergren, kompletterad)

Observera hur många matcher har förlorats och hur många vunnits, de måste ha varit lika många. Totalt var det 7 förluster och 3 vinster utan att man räknat med med det femte laget (det ser man på poängen 1=1+0+0+0, 2=1+1+0+0, 5=3+1+1+0, 7=3+3+1+0).

Då måste det femte laget vunnit alla sina matcher, eftersom de spelade fyra och det är precis så många vinster som saknas. Därför fick de 12 poäng.

tabellresultat
Så kan det se ut