I Sverige finns en tradion av tävlingar för högstadier (HMT, Pythagoras Quest, Sigma8) och gymnasiet (SMT) men nästa inga tävlingar finns för mellanstadiet!
Vissa skolor anordnar förstås Känguru, men det är en individuell tävling, lagtävlingar saknas. Därför bestämde jag mig för att starta upp en sådan tävling som fick heta ”Borromeiska trianglar”.
Tre deltagare i laget symboliseras av tre trianglar
Jag har märkt på mina lektioner då det är tävling att barnen blir eld & lågor. På en lektion löser de 20 uppgifter då de vanligtvis skulle kanske löst 5. Ännu mer spännande blir det om man får se resultatet under tävlingens gång (ganska osvenskt) och man väljer då naturligt en konkurrent som ligger en närmast i poäng. Man får dessutom veta sitt resultat direkt!
Alla tävlar samtidigt
Ju fler lag desto lättare är det att hitta ett lag man är jämnbra med. Vi lever dessutom i ”snabbt internet”-eran, så varför inte kan flera städer vara med samtidigt och alla får se alla resultaten i molnet? Sagt och gjort, i år anordnas tävlingen för första gången den 27 maj kl. 10-12 i Göteborg, Karlstad, Stockholm och Lund.
Jag har fått kontakt med skolor i Paris och Munchen som var intresserade av att vara med, så kanske blir tävlingen till och med internationell!
Alla åk 4-6 välkomna
Alla elever är åk 4-6 är välkomna att delta, oavsett om man redan har ett lag eller inte. Enda kravet är att man är pepp på att lösa lite kluriga matteuppgifter ihop med andra.
På en rad utan mellanrum skrev man upp alla udda tal: 13579111315… På vilken plats, räknat från vänster, står den femte nollan?
Svar: Plats 109.
Förklaring: De udda talen 1-99 innehåller inte noll. Det finns 5 udda tal med en siffra och 45 udda tal med två siffror, så detta är redan 5+90=95 siffror.
De första udda talen som har 0 i sig är 101, 103, 105, 107, och 109, så den femte nollan kommer vara inuti talet 109. För att komma dit måste vi alltså passera 3+3+3+3+2 = 14 siffror till. Den femte nollan står alltså på plats 95+14=109.
Mattekoll 2015 är ett dagsläger för elever i åk 6-7. Lägret kommer att hållas 3-13 augusti på Ångströmlaboratoriet i Uppsala, och elever från hela Sverige är välkomna att delta! Mattekollo riktar sig till elever som är intresserade av matte och vill lära sig mer matte än den som ingår i skolan, på ett djupare plan och dessutom tillsammans med andra! År 2015 kommer vi att fokusera på programmeringstänk (algoritmik) och matematiken som är nyttig för att kunna tänka algoritmiskt.
Vad är poängen med Mattekollo?
Under Mattekollo-tiden tränas deltagarna att tänka på ett sätt som är karakteristiskt för verksamma matematiker och programmerare. Vi ämnar att kultivera vetenskapligt tänkande och träna eleverna att arbeta självständigt, genom att ge dem chansen att lösa intressanta matematiska problem.
Mattestudier från morgon till kväll?
Inte riktigt. Vi kommer att fokusera på matematiklektioner på förmiddagen, medan vi på eftermiddagen har andra sorts sociala aktiviteter (sport, lekar, brädspel, utflykter). Under kvällen låter vi de nya matematiska ideerna “sjunka in” och man uppmuntras till att självständigt arbeta med materialet som inte hanns med under förmiddagen. En av dagarna kommer vi istället för lektioner bara köra “matematiklekar”.
Är Mattekollo bara för extra begåvade barn?
Nej, så länge du är intresserad och är redo att studera är Mattekollo för dig. Platserna är dock begränsade och vi kommer att ta in 25 elever som vi bedömer kommer att kunna klara av det ganska avancerade programmet.
Hur kan man komma in?
Du som vill vara deltagare på Mattekollo 2015 måste senast den 2:a juni formellt registrera dig (ditt barn) via formuläret , samt skicka in dina lösningsförslag till det skriftliga provet till mattekollo@gmail.com (se instruktionerna i provfilen). Du som har avslutat åk 6 eller åk 7 kan komma till Mattekollo 2015, men i exceptionella fall (vid mycket bra lösningar på provet) kan elever från åk 5 bjudas in.
Vad kostar det?
Ordinarie deltagaravgift är 1500 kronor. Om du kan husera en deltagare från en annan kommun hemma hos dig under hela perioden är avgiften istället 750 kronor. Om du kommer från annan kommun än Uppsala och söker någonstans att bo under kolloperioden är avgiften 2250 kronor. I priset ingår luncher från och med den 4:e till och med 13:e augusti, t-shirt, häfte med lektionsmaterialet, samt alla aktiviteter (från cirka 9:00 på morgonen till cirka 17:30 på kvällen).
Vilka anordnar Mattekollo?
Bakom Mattekollo står den ideella föreningen Matematiksällskapet vars syfte är att anorda sociala aktiviteter för barn med matematikintresse. Gruppen som anordnar kollot består av matematiker, föräldrar och studenter som alla delar en passion för matematik och bra undervisning. Som sökande kan du välja att gå med i föreningen oavsett om du kommer att vara med på kollot eller inte.
Du kan bli medlem i Matematiksällskapet redan nu på http://www.matematiksallskapet.se/bli-medlem/
En hemlig byggnad består av många rum som ser exakt likadana ut och som är kopplade i en stor ring med små korridorer. I varje rum finns en lampa och en lampknapp. En spion hamnade i ett av rummen. Hur ska han bestämma antalet rum i byggnaden om han bara kan gå runt och tända och släcka ljuset? Från början lyser det i vissa rum, men spionen vet inte på förhand i vilka.
Spionen släcker ljuset i rummet han befinner sig i. Sedan går han framåt (han väljer en riktning) tills han kommer till ett rum som har ljuset släckt (då är det ju möjligen startrummet). Då tänder han ljuset i det rummet och går lika många steg tillbaka för att se om ljuset i startrummet fortfarande är släckt. Om det är det, så går han framåt igen tills nästa rum som har ljuset släckt, sedan tänder och går tillbaka och kollar av startrummet.
Han fortsätter och så småningom kommer han att komma runt och han märker det på att rummet han startar i nu har ljuset tänt! Då vet han hur många rumt det är totalt eftersom han alltid räknar antal steg från startrummet (för att kunna komma tillbaka).
Nästan varje vecka får jag träffa elever som blir glada av mina lektioner. Många av dem går på Matteklubben i Uppsala – kommunens satsning på begåvade elever i matematik. Senast igår fick jag en kommentar om att det ”lyser om barnen” som går från träffarna och att ”barnen diskuterar matte även när lektionen är slut”.
Detta är ju roligt för mig, men flertal av eleverna upplever en negativ sak med lektionerna – att de sker för sällan! Tänk om du gillar någon fritidsaktivitet, säg sjunga i kör, men bara får göra det var tredje vecka! Låter tråkigt att det är så sällan, eller hur?
Jag vill göra någonting åt de mest intresserade barnen, att de verkligen får leva ut sitt intresse för matte. Det bästa jag själv visste som barn var mattekollo (i Ryssland), ett tillfälle att träffa andra likasinnade under en längre period, lära känna dem och hålla på med massa spännande matte! Det finns ingen runtomkring som håller ner tempot eller tvingar en att lämna in läxor som är för lätta. En sådan djupdykning lämnar spår för en högpresterande elev vill jag hävda!
Lekar på Mattekollots första dag
Därför har jag länge haft en vision om att genomföra ett sådan kollo i Sverige. Då detta inte har genomförts förut (vad jag vet) vill jag starta rätt litet. Jag tänker mig omkring 20-40 deltagare i två veckor i juni (mellan skolavslutningen och midsommar, eller någon annan gång under sommaren för den delen), som håller på med spännande matte på Uppsala Universitet varje dag (vissa dagar tar vi paus från matten). Om det vore möjligt att åka ut på landet, så skulle det vara perfekt att vara någonstans i Uppsala-Stockholm-området. Vad gäller årskurs tänker jag mig åk 6-7, högre årskurser är iofs också välkomna, men där vet jag inte om jag kan få ihop ett tillräckligt antal deltagare för att ha en grupp.
Jag kan dock inte göra det här själv, utan behöver ett team. Skulle du vara intresserad av att vara med på projektet? Det är bara höra av dig till valentina.chapovalova@gmail.com (eller kommentera här på bloggen) om du tycker det här är en bra idé. Det som kommer att behövas är lärare som jobbar på kollot, personer som hjälper till organisatoriskt och har koll på administrationen/logistiken, personer som kan komma som gäster till kollot och berätta om något de brinner för (hobby eller vad du arbetar med). Hör av dig helt enkelt om du vill vara med så hittar vi nog på arbetsuppgifter till dig :)
Det är inte tanken att det ska vara ideellt, utan jag räknar med att vi tar en avgift för deltagande samt försöker få sponsorer för lokaler (t.ex. kan vi förmodligen vara på Uppsala Universitet kostnadsfritt). Detta ska ge någon slags ersättning till dem som jobbar med det här.
Men jag vill framför allt se om det går att genomföra, det vill säga om det finns tillräckligt med personer ser till att kollot blir av! Hör av dig om du vill veta mer :)
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen, andra träffen och tredje träffen innan du läser vidare.
Besök av Uppsalas Nya Tidning
Den fjärde gången fick vi lite halvt oväntat ett besök från Uppsalas Nya Tidning. De kom för att skriva en artikel om Matteklubben i och med att det hade blivit klart att satsningen skulle fortsätta under 2015. Tyvärr innebar det att jag behövde vara ifrån lektionen lite för att svara på journalisternas frågor. Men trots en hastig intervju blev artikeln ganska bra i alla fall! Enda felet de gjorde var att formulera läxan på ett oförståeligt sätt.
Det stod ”Uppgiften handlar om att räkna ut om det går att förflytta sig mellan våning ett och två med hiss i ett 100 våningshus om bara knapparna för våning sju och nio fungerar.” Just det där sista med knapparna vore ganska konstigt, utan uppgiften ska formuleras så som det står i läxan.
Hemuppgifterna
I den första hemuppgiften fick eleverna använda sig av knapparna +7 och -9 för att röra sig mellan våningarna. Många hade hunnit tänka på uppgiften redan på den föregående lektionen så att det fanns flera olika idéer. Den mest intressanta diskussionen uppstod när vi skulle förklara varför det går att ta sig från vilken våning som helst till vilken annan våning som helst med hjälp av dessa knappar.
Någon hade en lösning som använde sig av modulo 7 (förstås utan att dessa ord yttrades), det vill säga att först ta sig till en våning som ger samma rest modulo 7 som målvåningen och sedan åka uppåt sju steg i taget (det här gäller för stora målvåningsnummer). En annan hade förklaringen om att strategin för att ta oss upp en våning egentligen kan varieras genom att man byter på knappordningen. Vi kan alltid trycka på knapparna på så sätt att vi slipper åka utanför våningarna och till slut tar oss en våning upp eller ner, vad vi nu behöver.
Det var härligt att se att några elever hade intuion för dessa ganska så abstrakta idéer som moduloräkning och kommutativitet och deras användbarhet.
Den andra uppgiften handlade om hästarna på schackbrädet. Medelst en dialog med eleverna visade jag hur uppgiften kunde lösas med hjälp av en graf. Uppgiften är typisk på det sättet att det är lätt att förstå varför det inte går men svårt att förklara varför. Med en graf av möjliga hästförflyttningar blir det mycket lättare att se och förklara varför det inte kan gå.
Blandat
Den största delen av lektionen togs upp av blandade uppgifter som eleverna löste själva eller i par. De börjar bli väldigt bekanta vid sådana problemlösningssessioner, vilket betyder att vi lärare knappt behöver lägga någon tid på organisation eller disciplin. Vi kan istället snabbt besöka alla eleverna, lyssna på dem och ställa ledande frågor om det behövs.
Under varje uppgift skriver jag ner diskussionerna som jag hann ha med några av eleverna.
1. Shrek hade en stor bit tvål i form av ett rätblock. Efter att han hade duschat 7 gånger blev biten hälften så lång, hälften så bred samt hälften så hög som den var i början. För hur många duschar till räcker den tvålbiten som är kvar?
Elever: Det är svårt att veta hur det ser ut. (De har svårt för att rita 3D-bilder.)
Lärare: Försök att rita vad som skulle hända med en rektangel först. Sedan försök att rita rätblocket.
Elever: Den minskar fyra gånger (visar upp hur de har gjort för en rektangel och säger att det är samma för rätblocket). Sedan vet vi inte hur vi ska räkna.
Lärare: Det här stämmer om tvålen hade varit platt. Men den har en volym. Minskar den inte ännu mer om den också blir mindre på bredden?
2. Hur många tresiffriga tal finns, där alla siffror är olika?
Elever: Vi skrev upp alla sådana tal som börjar med siffran 1. Eller snarare, vi skrev de som börjar med 10.. och det blev åtta stycken. Det blir åtta sådana rader för tal som börjar med 1, så 8*8 = 64 tal. Men första siffran kan väljas som vilken som helst utav 9, så totalt 64*9 = 576 sätt.
Lärare: Ja, det verkar rätt. (Märker felet sedan vid genomgången.) Varför blir det förresten åtta rader?
Elever: (Räknar…) 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 (får ”åtta” ett par gånger, men till slut får ”nio”).
3. Hur stor area har den ifyllda rektangeln på bilden? Ange arean i antalet rutor.
Elev: Jag delade upp figuren i halvrutor och räknade alla de inuti bilden. Det blev 24.
Lärare: Ja, precis, så kan man göra!
Elever: På ett sätt fick vi 24, men när vi tittar på den som en rektangel så kan man dela upp den i 3*4 = 12 rutor (visar uppdelningen). Varför blir det annat svar?
Lärare: Det stämmer att man delar upp den i 12 rutor, men är det verkligen lika stora rutor som de ursprungliga? Hur var det nu man räknade ut arean på en ”stor” ruta? (Syftar på diskussion av hemuppgiften på den tredje träffen.)
Elever: Ah, de är större ja. De är två rutor stora, alltså är arean 12*2 = 24!
4. Emil plockar svarta och röda kort från en låda och lägger dem i två prydliga högar. Det är förbjudet att lägga kort av samma färg på varandra. Det tionde och det elfte kortet som Emil lägger ut är röda, det tjugofemte är svart. Vilken färg har det tjugosjätte kortet?
Elever: Om han lägger röd-svart-röd-svart och så vidare (på samma hög) från och med det tolfte kortet, så kommer det tjugofemte kortet vara svart och det tjugosjätte vara rött.
Lärare: Men om man skulle lägga korten på något annat sätt, kommer det tjugosjätte kortet fortfarande garanterat vara rött?
Elever: Ahaa, det är det som är frågan…
5. I Sifferlandet finns 9 städer som heter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. En turist upptäckte att det finns flyg mellan två städer bara om det tvåsiffriga talet som bildas av stadsnamnen är delbart med 3. Lista alla städer som man kan komma till från staden 1.
Här hann jag inte ha dialog med någon, men i efterhand fick jag se att både vissa lärare och elever var osäkra på om man fick mellanlanda. I gemensamma klassdiskussionen förtydligade vi det och gjorde klart uppgiften.
Efter den rätt så långa problemlösningssessionen hade vi en paus och sedan drog vi igång genomgången.
Redan i planeringsfasen bestämde vi att olika lärare skulle ta genomgången av varje uppgift. Så fem personer fick var sin uppgift. Det var roligt att se hur alla lärare på ett sätt var lika (frågade eleverna ungefär lika mycket som jag, ställde ledande frågor etc.), men på ett annat sätt också olika. Ingen lärare skulle ju leda redovisningen exakt likadant eller säga exakt samma ord. Jag tror att det är väldigt nyttigt, då mitt sätt att redovisa kanske tilltalar vissa elever, men inte alla. Andra lärare är helt enkelt andra bra förebilder och ju fler olika man får se desto bättre.
Samtidigt kunde jag sätta mig längst bak i klassrummet och se hur det hela såg ut från elevernas sida. Jag försökte också föregå med gott exempel och ställa frågor (som kunde verka dumma) om redovisningen tills jag förstod. Det vill säga, jag spelade inte med, utan jag förstod verkligen inte vissa saker och ställde frågor tills en av lärarna gjorde sakerna klara för mig. Det går inte trycka för mycket på att vi är på Matteklubben för att förstå och inte för att visa oss smarta inför varandra. Det finns inget skam i att inte förstå! Det hjälper ju den som förklarar att bli bättre i just konsten att förklara.
Symmetri
Genomgången tog rätt så lång tid, så den tematiska problemlösningsdelen blev rätt så kort. Några av eleverna påstod att de hade löst allting och fick därför extrauppgifter eller fyllde i utvärderingen tidigare. Vid närmare anblick såg jag att eleverna hade förhastat sig genom uppgifterna, missförstått några och bara trott att de hade löst det.
Nedan skriver jag några sätt som jag kunde syna lösningarna på.
1. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma. Hitta ett annat sätt.
Lärare: Man får endast skära längs med rutgränserna.
2. Observera att i samtliga fall är skärningslinjen symmetrisk kring kvadratens medelpunkt.
Således lönar det sig att rita länkarna två och två i motsatt läge. Börja vid kanten.
Bestäm vilka punkter som kan vara ändpunkter till en skärningslinje.
Försök att bestämma alla möjliga svar till uppgift 1.
Här var texten lite förvirrande (många svåra ord!), det var svårt för många att se att frågan egentligen kom efter bilden. Det var också svårt att tolka hjälpen för hur man skulle rita skärningslinjen. Jag tog en genomgång med några av eleverna hur man kan rita en sådan rotationssymmetrisk linje för att få en uppdelning.
Lärare: Kan man starta linjen på något annat ställe? Kan man ”gå” med linjen på olika sätt?
3. En kamomill-blomma har 12 kronblad. Under ett drag får man plocka antingen ett eller två intilliggande kronblad. Den som plockar det sista kronbladet vinner. Vem av spelarna, den som börjar eller den andra, kan vinna oavsett hur skicklig motståndaren är?
Lärare: Ni tror att ni vet vem som vinner? Låt oss spela! (Eleven får vara den spelaren, ettan eller tvåan, som de tror vinner.)
Då eleverna ibland trodde att man fick ta bort två blad, även om de inte satt bredvid varandra, gick deras strategi ut på det. Oftast vann jag, då de inte hade tänkt igenom sin strategi ordentligt, även om de hade fattat reglerna.
4. En turist måste promenera från ett tält till en lägereld samt hämta en hink vatten från en flod under promenaden (se bild).
Exakt vilken väg skall turisten välja för att den ska bli så kort som möjligt?
Den här uppgiften hann jag inte diskutera med någon. Den är svår att formulera på ett bra sätt. Vad menas med ”exakt”? Som matematiker vet man vad som man underförstått kan konstruera (linjer genom givna och erhållna punkter till exempel). Men som barn räcker det kanske bara att rita för hand. Den ungefärliga lösningen blir ju ”bra nog”.
Vi avslutade lektionen och terminen genom att fylla i en liten utvärdering. Följande frågor fick de svara på:
Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?
Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?
Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
1 2 3 4 5
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):
Ja Nej Kanske
Föräldrarna fick fylla i en utvärdering på nätet, men där har jag inte fått se svaren än.
Resultatet av utvärderingarna
Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så.
Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?
– Tävling 14
– Lyckas med att lösa svårare uppgifter och ha rätt
– Att lära mig nya sätt att lösa uppgifter 2
– Bra blandning av olika delar i matten (symmetri, schema mm)
– Samarbetsuppgifter 2
– När man löste ett problem genom att samarbeta med gruppen. Då blev vi stolta
– Problemlösning 4
– Att äta (3) och att göra uppgifter i små grupper 2
– Att vara med kompisar och räkna roliga uppgifter 2
– Lösa kluriga uppgifter 3
– Svår matte 2
– Läxorna/”förhören”
Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?
– Jobba i större grupper 2
– Långa tråkiga genomgångar och för komplicerade uppgifter
– Väldigt långa genomgångar 4
– Svåra uppgifter/uppgifter man inte förstod 3
– Lätta uppgifter 2
– Att det har varit så långt. Det kunde varit lite kortare
– Att inte få redovisa varje gång
– Inget/vet inte 9
– Att vissa fjantar sig under lektionerna
– Tävlingen – jag blir stressad …
– Göra tråkiga uppgifter
– Läxorna
– Kort rast
– Att ha fel 2
– Tävla och jobba
Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 1
Betyg 3: 10
Betyg 4: 19
Betyg 5: 3
Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 20
Nej: 0
Kanske: 13
Tankar efter terminen
Spontana tankar jag har efter de här fyra träffarna och efter att ha sett utvärderingarna är att det blev en väldigt lyckad start!
Såklart har inte allting varit perfekt, till exempel har de långa genomgångarna kanske inte gett så mycket som vi trodde. En idé jag får är att ha genomgångarna i små grupper, att man turas om att presentera uppgifterna inför 4-5 andra. Något att experimentera med nästa termin!
En annan tydlig sak är att eleverna älskade att tävla. Jag har tidigare skrivit om varför tävlingar engagerar så och får elever att prestera på topp. Nästa termin planerar jag att ha små tävlingar kanske var tredje träff. Om möjligt hoppas jag att vi kan få besök av en mattegrupp från en annan kommun, så att våra elever kan tävla mot varandra.
Kanske behöver nivån på uppgifterna sänkas något, jag har lätt för att dra upp svårighetsgraden onödigt mycket. Jag hoppas att andra lärare kommer kunna hjälpa mig med det, de har nu fått erfarenhet och uppfattning om vad som är lagom för högpresterande elever i den här åldern.
Jag vill tacka eleverna, föräldrarna, de andra lärarna, kommunen och matteinstitutionen för jätteroliga fyra träffar, och ser fram emot att fortsätta nästa termin!
Här i kommentarerna kan du diskutera hemuppgiften. Skriv om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• I ett höghus med 100 våningar finns en hiss, som bara har två knappar: ”+7” och ”-9”. Den första knappen får hissen att gå upp sju våningar, den andra får den att flytta sig 9 våningar ner. Går det att åka från vilken våning som helst till vilken annan våning som helst?
• Hästar står på ett litet schackbräde så som det syns på den vänstra bilden. Hästarna följer schackreglerna när de gör drag. Kan de efter några drag ställa sig så som den högra bilden visar?
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen och andra träffen innan du läser vidare.
Många lärare
Till Matteklubbens träffar kommer cirka 30 elever och antalet lärare brukar bli ungefär en på 5 elever. Några frågar mig vad alla lärare utom mig gör och jag brukar svara att de verkligen behövs! Det finns alltid saker att göra: Allt från att dela ut pennor och fika till att delta i matematiska diskussioner med de mest envisa eleverna. Det är väldigt bra att vara fler än en lärare, är man ensam så kan man göra något grovt matematiskt fel och det är inte säkert att någon upptäcker det. Det gör ingenting om en lärare har fel, men det är viktigt att reda ut felen. Eleverna måste se att det är sanningen i matematiken som gäller, och inte lärarnas subjektiva (och möjligen något auktoritära) åsikter.
Hemuppgiften
Lektionen började med läxan, precis som förra gången. Den hade ingen gjort så det blev en klassdiskussion.
Först undersökte vi vad som hände med en figur vars sidor blir hälften så stora. Hur många gånger mindre blir arean? En elev förklarade att om man tänkte på en kvadrat, så såg man att den gick från att vara fyra rutor till att bara vara en. Därmed kunde man se att arean blev fyra gånger så liten.
Den andra uppgiften var (är och förblir) riktigt svår, så jag ställde en ledande fråga till klassen. Det var en uppgift vi hade förra gången, om hur man kan rita en kvadrat med dubbel så stor area som en given. Det vill säga, rita en kvadrat på ett rutat papper med arean lika med exakt två rutor.
Många elever föreslog att man skulle förstora varje sida 1,5 gånger. En elev hade kollat upp med sin pappa att sidan i målkvadraten är roten ur 2, det vill säga ungefär 1,4. Båda förslagen vände jag mig emot med argumentet att det då inte blir en exakt bild (och arean blir inte heller exakt 2). Och om sidorna förstoras 1,5 gånger visade min kollega på tavlan att arean faktiskt blir större än 2. Det visade sig i diskussionen med kollegan senare att de gamla grekerna tänkte på precis samma felaktiga sätt som barnen på Matteklubben, de ville också förstora sidorna med 1,5.
Jag gav ledtråden om att en ruta består av två trianglar. Hur kan man rita en figur som består av dubbelt så många trianglar? En eller två av eleverna kunde då rita en korrekt bild på tavlan, det vill säga en vriden kvadrat, där sidorna utgörs av rutdiagonaler. Jag poängterade att denna figur har exakt dubbelt så stor area som en ruta.
För att lösa läxans andra uppgift tipsade jag om att kombinera svaren på uppgifterna vi har diskuterat hittills. Man ska egentligen tänka på samma sätt som i problemet där en kvadrat ska få dubbelt så stor area.
Grafteori
När man är nybörjade på matematisk problemlösning, vet man inte alltid hur uppgifter kan börja lösas. Det gäller då att visa upp många olika verktyg för barnen, för att de ska kunna välja det som passar vid varje tillfälle. Tillsammans med eleverna skapar vi en schweizisk armékniv med problemlösningstekniker. Men det är viktigt att inte behöva övertala dem (vilket ofta sker på vanliga mattelektioner) om att en viss teknik är viktig och kommer troligen att användas ”senare”. Istället väljer jag uppgifter där en viss teknik uppstår naturligt, och man ser direkt hur det underlättar problemlösandet.
En sådan teknik går utt på att rita scheman över objekt som finns i problemet, det som på högnivå-mattespråk kallas ”att rita en graf”.
Uppgifterna
Vi hade bara tre uppgifter på temat, men det var ganska mastiga alla tre. Många hann lösa ettan och börja på tvåan, men trean hann jag knappt diskutera med någon grupp.
Under uppgifterna står vanliga dialoger som skedde på lektionen.
1. I vår solsystem finns 8 planeter och Pluto, som en gång i tiden räknades som planet. Man utvecklade rymdturismen genom att erbjuda följande rutter (både fram och tillbaka): Jorden-Merkurius, Pluto-Venus, Jorden-Pluto, Pluto-Merkurius, Merkurius-Venus, Uranus-Neptunus, Neptunus-Saturnus, Saturnus-Jupiter, Jupiter-Mars, Jupiter-Neptunus, Mars-Uranus.
(a) Går att ta sig från Jorden till Mars?
Vissa elever missade ”fram och tillbaka” och vissa var lite osäkra på vilka planeter man fick åka emellan (det vill säga om man fick ”mellanlanda”). När vi redde ut dessa saker kunde de fortsätta med problemet.
Elever: Svaret är ”ja”….eller ”nej”… kanske… vi vet inte riktigt.
Lärare: Om det går, hur skulle man gå tillväga då? Hur skulle man exakt åka, mellan vilka planeter?
Elever: Svaret är ”nej”, för om man tar sig till Mars måste man komma från Uranus eller Jupiter, och om man ska ta sig till Jupiter så är det från Saturnus eller Neptunus, och till Neptunus kommer man från Jupiter så det går inte.
Lärare: Men ni har inte missat några utvägar då? Har vi verkligen kollat alla möjligheter? För att vara säkra så kan ni rita ett schema lite som scheman nedan.
(b) Vilka av scheman nedan kan representera ruttsystemet?
(c) Finns någon planet på schemat som du med säkerhet kan ange namnet på?
Uppgifterna (b) och (c) diskuterade jag med hela klassen ståendes framme vid tavlan. Några elever fick komma fram och rita egna scheman, samt säga vilka av scheman på bilden som fungerade för uppgiften. Eleverna kunde även korrekt förklara att man kunde bestämma Saturnus, men inga andra planeter. Rättare sagt, tillsammans kunde de exakt bestämma vilka villkor gällde för Saturnus (kopplad till två planeter, som båda är kopplade till tre planeter). Många kunde även förklara varför det inte gick att bestämma andra planeter med säkerhet.
2. Några barn i klassen kan spela olika musikinstrument: Pia kan spela gitarr och piano, Ville kan spela gitarr och dragspel, Tommy – fiol och cello, Daniel – bas och trumpet, Lena – piano och dragspel, Sara – fiol och trumpet, Solveig – cello och bas. På hur många sätt kan man ge var och en av dem ett instrument (alla instrument måste vara olika) så att alla kan spela samtidigt?
Elever: Vi ritade ett schema och såg att varje barn var kopplad till två instrument och varje instrument spelas av två barn.
Lärare: Kan man rita schemat på något annat sätt så att det ska bli lättare att bestämma svaret i uppgiften?
Elever: Vi gjorde en tabell och skrev upp alla möjligheter. Det blev fyra.
Lärare: Är ni säkra på att ni inte missade några möjligheter?
Även denna uppgift gick jag igenom på tavlan för att visa exempel på hur man ”snyggar till” scheman. Tricket är att inte bara rada upp instrumenten på ena raden och barnen på andra raden och sedan börja koppla ihop dem. Istället kan man börja med ”gitarr-Pia-piano” och sedan fortsätta med nästa person som ska spela piano och vidare göra så tills cirkeln är sluten. Då får man ett mycket tydligare schema. Jag visade att det då var självklart att ena cirkeln kunde fördela instrumenten på två sätt och andra också på två.
Vad blev svaret då? ”Fyra”, svarade barnen. ”Två plus två eller två gånger två?” undrade jag. Många av barnen förstod inte riktigt hur jag menade (”Det är ju samma sak!”). Men när jag förklarade att om det hade varit 2 och 3 sätt i respektive cirkel, skulle jag då addera eller multiplicera dem, så förstod många att det var multiplikation jag var ute efter. Kul att visa att 2+2 och 2*2 inte ”betyder” samma sak. Återigen, att det är hur man tänker, och inte svaret, som räknas.
3. I ett höghus med 100 våningar finns en hiss, som bara har två knappar: ”+7” och ”-9”. Den första knappen får hissen att gå upp sju våningar, den andra får den att flytta sig 9 våningar ner. Går det att åka:
(a) Från första våningen till den andra?
(b) Från den andra våningen till den första?
En del elever hann nosa in på den här uppgiften och lösa (a) och möjligen (b) också. De som var klara fick kika på hemuppgifterna, där de ofta fortsatte med hissuppgiften. Se nästa inlägg för fler detaljer.
Andra delen av lektionen genomförde vi en liten tävling, matteregatta. Regattan var planerad i tre omgångar, men vi hann bara med två, och dessutom fick vi korta ner den andra omgången till 10 minuter.
Elevernas delade sig själva upp i par och sedan sattes paren ihop till lag om fyra. Vissa lag fick vara tre personer. Alla lag fick heta någon frukt som till exempel lag Ananas (för att inte slösa bort tid på att hitta på lagnamn gav jag alltså ut lagnamnen). Sedan fick de för första gången öva på att skriva ner lösningar på Matteklubben (och inte bara berätta dem). Juryn, vilket var de andra lärarna, satte poäng på lösningar som de hade fått in.
Efter att eleverna var klara med första omgången, gick jag igenom lösningarna, medan juryn rättade. Därför kan jag inte säkert säga varför poängen blev som det blev, annat än att juryn bedömde fullständighet och korrekthet. När omgången var rättad, fick alla höra poängen samtidigt som att de fick möjligheten att protestera över sin poäng. Då är tanken att juryn går igenom lösningen en gång till och kollar efter om lösningen eventuellt är värd mer poäng.
Tanken med den demokratiska aspekten är återigen att minska auktoritetens betydelse och ta bort eventuell objektiv bedömning från matematiken. Det är som till slut är värt poäng är resonemanget som finns nedskrivet på pappret, och inför det står alla lagen lika.
Vi fick dra över tiden lite grann för att på samma sätt hinna gå igenom andra omgången. Om du är intresserad av riktlinjerna som juryn hade vid rättningen, så kan du ladda ner dem här nedan.
Här är regattans fullständiga slutgiltiga resultat. Grattis återigen till lag Mango som vann i en jämn kamp!
Tankar efter lektionen
Efter lektionen samlades vi alla lektionsledarna för att diskutera vad som har gått bra och dåligt. Vi var som vanligt imponerade av elevernas förmåga att ta åt sig nya idéer. Det kändes också att lektionens uppgifter blev bra (lagom svåra och roliga).
Det som man hade kunnat göra bättre var att ha ett tydligare schema, som eleverna och lärarna skulle försöka hålla sig till. Det hade varit bra bland annat för att hinna med den inplanerade tävlingen. Lektionen kändes också något stökigare än vanligt och där skulle fasta tider ha hjälpt. Det var bra med rast tyckte alla lärare!
Det ska bli spännande att träffa eleverna en sista gång innan Jullovet. Då blir det också dags för utvärdering!
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen innan du läser vidare.
36 elever och 6 lärare
Denna gång var det 36 elever som var närvarande, vilket är närmare ett lagom antal än förra gångens 41. Vi var sex stycken lärare och jag tror att vi räckte till det mesta av tiden. Om uppgifterna hade varit för lätta, så skulle vi inte ha så mycket att diskutera med barnen, förutom att de skulle berätta hur de tänkte (och vi skulle förmodligen inte hinna lyssna på allas lösningar). Och om uppgifterna hade varit för svåra så skulle vi inte lärarna ha så mycket att göra annat än att tipsa eleverna om hur de kan tänka. Det är lagom nivå på uppgifter om eleverna löser några, tänker fel på några andra (så att de lär sig något nytt!) och kanske har svårt för att lösa de allra svåraste problemen på egen hand, så att de börjar utbyta idéer med varandra. Vi kunde även lyssna på några elever som inte hittade någon att samarbeta med (eller inte ville samarbeta, vi tvingande ingen att vara i grupp, bara uppmanade). Jag hann i alla fall själv att prata med nästan alla grupper åtminstone en gång, vilket borde betyda att de flesta grupper har hunnit bolla var och en av sin idéer med åtminstone någon av lärarna.
Hemuppgiften
Vi började träffen genom att gå igenom (den frivilliga) läxan. Några av eleverna kom ihåg den och hade jobbat med den hemma, de flesta hade säkert glömt bort den (eller inte jobbat på den). Därför försökte jag föra diskussionen på ett sådant sätt att även de som var helt nya för Matteklubben kunde hänga med lite grann. Vi diskuterade i bara 10 minuter för att de som inte hade fördjupat sig i uppgiften inte skulle bli uttråkade.
Uppgiften som handlar om konkreta tal (5 pärlor, si och så många av varje färg) kunde alla lösa om de försökte. Det handlar om att rita upp och inte glömma något fall. Det fanns ändå flera tolkningar på uppgiften där det fick vara alla möjliga antal svarta pärlor av fem. Några tolkade uppgiften som att armbanden inte fick vara helt svarta eller helt vita. Det gjorde inte så mycket, eftersom man bara behöver lägga till 2 till svaret om dessa armband skulle räknas.
En annan oväntad kuriosa uppstod när jag ritade upp de olika armbanden på den svarta tavlan med en vit krita. Jag tyckte att de pärlorna jag fyllde i var ”svarta”, men många barnen tyckte att dessa var ”vita” (eftersom det verkligen var den färgen de fick). Detta resulterade i ett par intressanta matematiska poänger. Dels att man själv får välja (definiera) vad man kallar för ”svart” och ”vitt”. Och dels att man kan se att det finns lika många armband med 3 svarta och 2 vita pärlor som armband med 2 svarta och 3 vita pärlor, eftersom man kan välja vilken färg man ser som ”svart”.
Vi gick igenom de andra fallen tillsammans: alla svarta, alla vita, 4 svarta + en vit, 4 vita + en svart. Totalt blev det 8 olika armband, om man räknar armband som fås via vridning som samma. Som jag sett av hur eleverna löste läxan, så betraktade de även spegelvända armband som samma (vilket inte var tanken med uppgiften), men detta spelar ingen roll förrän man börjar räkna armband med 7 pärlor.
Sista delen av uppgiften var en öppen fråga. Det vara bara 2-3 elever som hade jobbat på det hemma och berättat det för mig. Sambandet för ett godtyckligt antal pärlor är väldigt svårt. Så det var inte tanken att eleverna skulle lösa det, men de kanske kunde upptäcka vissa mönster. Om man inte räknar spegelvända armband som samma, så går uppgiften att lösa med Burnsides Lemma i det generella fallet (vilket är universitetsmatte), och i fall då antalet pärlor i armbandet är ett primtal (p) så är antalet armband lika med
Så till exempel för talet 5 blir svaret:
Försök att lista ut var svaret kommer ifrån (tips: 2:an står för antalet färger). Obs! Uppgiften är bara till för de elever som tycker allting annat är jättelätt.
I varianten där spegelvända armband räknas som samma vet jag inte hur man löser uppgiften generellt.
Blandade uppgifter
Sedan löste eleverna blandade uppgiften i ungefär 40 minuter. Vissa satt själva och vissa jobbade i grupper om 2-3. Individuellt arbete är mycket givande, men vi hinner inte jobba med var och en så mycket då antalet elever är så stort. De som räcker upp handen fick dock hjälp snabbt och om de som var villiga att diskutera kunde de få en givande dialog. Exempel på några typiska dialoger skriver jag under varje uppgift.
Om du undrar över lösningen på någon uppgift, så är det bara att fråga i kommentarerna.
Första uppgiften tog längst tid så den diskuterade jag absolut mest med eleverna.
1. a) Matilda har två leksakskuber med bokstäver på sidorna. Totalt finns det 12 olika bokstäver. Hur många ord på två bokstäver kan Matilda bilda?
Lärare: Obs! Låtsasord är också ord i den här uppgiften.
Elever: Får ett ord bestå av två likadana bokstäver?
Lärare: Javisst!
Elever: Det är 6 bokstäver på första kuben och 6 bokstäver på andra. Totalt blir det 6 x 6 = 36 ord.
Lärare: Men måste alltid den första kuben (till exempel den med bokstäverna ABCDEF) alltid stå först? Kan inte den stå på andra platsen?
Elever: Just det, då blir svaret dubbelt så stort!
Elever: Den första bokstaven kan man välja på 12 sätt. Den andra på 11 sätt. Totalt blir det 12 x 11 = 132 ord.
Lärare: Men det är bara en sida man kan välja per kub. Två bokstäver på samma kub bildar inte ett ord.
Elever: Aha, då är det 12 x 6.
Elev: Blir svaret 66?
Lärare: Kanske, hur fick du svaret?
Eleven berättar hur hen tänkte och det visar sig att hen hade tänkt rätt, men räknat fel.
Lärare: Du tänkte rätt!
Det var en del elever som inte noterade att alla de 12 bokstäverna var olika, och därmed snarare löste b)-uppgiften.
1. b) David fick däremot två likadana kuber. Hur många ord på två bokstäver kan han bilda?
Elever: Samma svar som i a), 72 sätt.
Lärare: Låtsas som att vi bara har två bokstäver per kub, A och B på första kuben och likadant på den andra. Vilka ord kan man bygga? T.ex. AA är ett ord.
Elever: Man kan också bygga BB, AB och BA.
Lärare: Så svaret blir…?
Elever: 4 ord.
Lärare: Men om vi skulle tänka som i första uppgiften skulle svaret bli 8 ord. Vad är felet?
2. Det är mörkt i rummet och du vet var det finns en låda med 7 röda och 5 blå pennor. Hur många pennor måste du dra på måfå för att vara säker på att ha minst 2 röda och 3 blå pennor när du sedan kommer ut ur rummet?
Elev: Om man drar 10 pennor, så kan man få 7 röda, men då får man ändå 3 blå.
Lärare: Varför räcker det inte med 9 pennor?
Elev: Man skulle kunna få 7 röda och 2 blå.
3. Vilja räknade fingrarna på sin högra hand: första var tummen, andra – pekfingret, tredje – långfingret, fjärde – ringfingret, femte – lillfingret, sjätte – ringfingret igen, sjunde – långfingret, åttonde – pekfingret, nionde – tummen, tionde – pekfingret och så vidare. Vilket finger blir nummer 2014?
Elever: Vi räknade att pekfingret blir nummer 10, ringfingret nummer 20, ringfingret nummer 30, pekfingret nummer 40, pekfingret nummer 50 och så vidare. Vi räknade ut vad finger nummer 2000 blir och sedan var det bara räkna 14 till. Och det blev ringfingret.
Lärare: Ok, coolt sätt att lösa uppgiften på!
Elev: Nummer 2010 blir pekfingret och sedan spelar det faktiskt ingen roll åt vilket håll man går, om 4 fingrar är det ändå ringfingret.
Lärare: Ja, intressant att man inte behöver bry sig om håll.
4. Siffrorna 1 till 9 fyller kvadraten som det syns på den vänstra bilden. Man får gå på kvadratens rutor, men aldrig tillbaka till en ruta man varit på förut, och man måste alltid gå till en angränsande ruta.
Emilia gick längs med pilen som syns på den högra bilden. Hon skrev ner siffrorna som hon gick på i ordning och fick talet 84937561. Rita en annan väg, som ger ett större tal (ju större tal, desto bättre).
Elev: Man måste börja på ett hörn, annars kan man inte gå igenom alla rutor…
Lärare: Kan man inte börja i mitten?
Elev: Men det är ändå lägre!
Lärare: Ja, förvisso.
Elev: Då börjar man med största siffran i hörnet, 5, och sedan går till 7, för 7 är större än 6. Sen går man till 2, för om man går till 3, så kan man inte komma till 2 senare.
Lärare: Kan inte man sluta i 2?
Elev: Jo, kanske, vänta nu lite!…
5. Gustav tänkte på tre tal, men berättade inte vilka tal det var. Däremot sade han vilka olika summor som två av talen kunde bilda: Det var 23, 25 och 28. Vilka tal tänkte Gustav på?
Elev: Jag testade och hittade talet 10, 13 och 15.
Lärare: Kan det ha varit några andra tal han tänkte på som också passar?
Elev: Jag vet inte, jag provade mig fram bara.
Eleverna fick komma fram till tavlan och redovisa sina lösningar, om de ville. Jag försökte att inte lägga ner så mycket tid på det, för då skulle det bli för lite tid kvar till temat. Det vill säga, vi lyssnade på bara en elevlösning per problem.
Intressanta frågor som dök upp (och som jag själv delvis svarade på för att ge exempel på fullständigt resonemang) var:
Problem 2.
– Varför är man säker på att 10 pennor är tillräckligt?
– Man vet att man får 5 röda och 5 blå, eller 6 röda och 4 blå, eller 7 röda och 3 blå. Det är tillräckligt i varje fall.
Problem 4.
– Hur vet man att man måste börja i ett hörn eller mitten med pilen?
– Om man målar kvadraten schackrutigt, så att 5 rutor blir målade (och 4 omålade), så kan man inte starta i en omålad ruta, eftersom man måste hela tiden växla för varje steg:
omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad, vilket gör att man inte kommer att kunna gå på alla 9 rutor.
Problem 5.
(Det har var egentligen ett förtydligande av en annan elevs resonemang).
– Hur vet man att det inte finns något annat svar än 10, 13, 15?
– Om man ökar något tal till exempel, så måste man sänka båda andra och då skulle inte den tredje summan stämma.
Det här resonemanget är inte vattentät kom jag på i efterhand. Om man ökar ett visst tal, så kanske är man inte säker på att det ingår exakt i samma två summor som förut. Till exempel, om vi ökar 15 till 16, så är det inte säkert att 16 ingår i summan 28, utan kanske i de andra två summorna. Det gör att vi inte lika säkert kan förutspå hur de andra två talen måste förändras.
Forskning om area och omkrets
Med dagens tema fick eleverna jobba i grupper om ungefär 4. Det tog inte så lång tid, då frågorna var lite lättare och öppnare än de blandade problemen. De som blev klara fort fick pappret med individuella uppgifter.
Efter ungefär 20 minuter (tror jag) diskuterade vi elevernas förslag på tavlan. Jag skriver under varje uppgift vad vi tog upp i klassdiskussionen.
Figurerna i de här tre uppgifterna får bara ritas längs med rutornas gränser. Inga halva rutor tillåtna det vill säga.
1. Rita så många figurer som möjligt med omkretsen 8 (rutlängder). Vad har de olika figurerna för areor?
Eleverna ritade de två figurerna som består av tre rutor (”pinnen” och ”vinkelhaken”) och en som består av fyra rutor (”fyrkanten” eller ”kvadraten”). En grupp tänkte utanför lådan och hittade på en figur med area 0 (sträckan med längd 4) och med area 2 (två rutor som hänger ihop ett hörn). Jag berättade att figurer som den med arean 0 kallas för ”degenererade figurer” och man bestämmer själv ifall de ska räknas som figurer eller inte (därefter hade vi en omröstning i klassen och majoriteten tyckte inte att de räknades som figurer).
2. Rita så många figurer som möjligt med arean 8 (rutor). Vad har de olika figurerna för omkrets?
Eleverna fick jättemånga olika figurer här, så att de inte ens orkade rita upp alla (jag frågade sedan vilken grupp som hade ritat flest figurer). Omkretsarna var 16, 14, 9, 18.
En av lärarna frågade hur en elev hade fått omkretsen 9. Då ritade eleven upp en kvadrat med ett hål i (också nytänkande!). Omkretsen tyckte eleven var det som var utanpå (hålets omkrets räknades inte med). Men då blev det inte 9, utan 12.
Jag frågade klassen hur läraren kunde misstänka att omkrets nio inte var rätt. En elev svarade att omkrets var tvungen att vara ett jämnt tal. För att det är 4 i början (en ruta) och sedan läggs det liksom på 2 när man bygger ut.
Det blev en liten avvikelse i diskussionen och vi pratade om att omkrets förändras som +2, -2 eller +0 när man bygger ut figuren. Och eftersom det börjar med 4, så förblir det alltid jämnt. Detta är ett mycket djupt resonemang som involverar begrepp som invariant och stegvis konstruktion (början till induktion), som traditionellt är tematik för begåvade elever i högstadiet/gymnasiet. Imponerande att vissa elever i åk 5-6 redan har lite känsla för det!
3. Omkretsen för en viss figur är 20.
a) Vilken är den största arean som figuren kan ha?
b) Vilken är den minsta arean som figuren kan ha?
Kom på så många exempel som möjligt på figurer med störst respektive minst area.
Många av elevgrupperna kom fram till att figuren med störst area var kvadraten med arean 25 och med minst area en avlång rektangel (bredd 1) med arean 9. Jag frågade om de hade fler exempel på figurer med area 9 och det hade de, ”teddybjörn med stort huvud” och ”plusplus” tror jag vi kallade dem:
Egentligen funkade många olika lösningar på arean 9 (”böjd pinne” etc.), men med störst area fanns bara kvadraten (som eleverna sade: ”Om det inte får vara en cirkel eller nåt”). Jag sade att man kunde visa det men att det är en för svår uppgift för tillfället.
Precis i slutet pratade vi om vad som hände med arean och omkretsen om en kvadrat får dubbelt så stora sidor. Arean blev 4 gånger så stor! Först tyckte eleverna att omkrets blev 8 gånger så stor (förmodligen för att jag ritade ut de fyra små kvadraterna som den stora består av. Men sedan insåg de att omkretsen blev 2 gånger så stor bara.
Detta gjorde vi för att förstoring och förminskning var vad de individuella uppgifterna handlade om. Dem hann eleverna knappt hålla på med under lektionen, så det blev en (frivillig) läxa.
Tankar efter lektionen
Om möjligt gick lektionen ännu bättre än förra gången. De eleverna som kom för andra gången var de som undervisningen verkligen passade för. Alla gillade aktiviteterna och ingen verkade känna sig så som om denne inte hade där att göra. Mot slutet blev några elever trötta (och började busa lite), så det behövs förmodligen en längre och aktivare rast nästa gång.
Det är roligt att många vågar räcka upp handen och vågar ha fel (även om det är för det mesta samma personer som räcker upp handen om och om igen). Jag har lärt mig 7 av elevnamnen och hoppas att jag ska kunna fånga upp de allra flesta namn vid terminens slut.
