Mattebloggen

Världens mest matematiska flagga

Fråga: Vilket land har längsta matematiska texten i sin konstitution?

Svar: Nepal, som har inkluderat den geometriska konstruktionen av sin flagga i konstitutionen. Landet är dessutom den enda i världen vars flagga inte är rektangulär.

Aladdin och grottan

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

Aladdin vill komma in i grottan, men dörren än stängd. Innanför grottan finns en tunna med fyra hål (hålen är likadana och är placerade som hörnen på en kvadrat). I varje hål finns en karaff med en fisk inuti. Varje fisk kan antingen ligga med huvudet eller stjärten upp. Aladdin kan stoppa in händerna i två av hålen, känna efter hur fiskarna ligger där och vända på ingen fisk eller en fisk eller båda om han vill. Efter det snurrar tunnan och när den stannat kan han inte avgöra vilka hål han stoppade händerna i förra gången. Dörren till grottan öppnas när alla 4 fiskar ligger likadant. Aladdin har 5 försök på sig. Kommer han att kunna komma in?

Visa lösningen

Calkin Wilf-träd, del 3

Matematiken är full av vackra oväntade kopplingar, som mellan ett träd av bråk och ett gammalt taluppdelningsproblem.

Hittills har vi konstaterat att antalet sätt att dela upp ett tal i en summa av tvåpotenser, där ingen potens förekommer fler än två gånger verkar sammanfalla med täljarna i bråken från Calkin Wilf-trädet, om vi skriver dem på rad. Vi såg också att antalet uppdelningar för ett udda tal är lika med antalet uppdelningar för dess mindre hälft:

#sätt(2n+1) = #sätt(n).

Låt oss hitta något samband för jämna tal. Man kan dela upp ett jämnt tal i tvåpotenser utan att använda några 1:or. Men om man använder 1:or, måste man nödävndigtvis använda exakt 2. Annars skulle inte den totala summan bli jämn.

I det första fallet får vi en summa av typen 2x. I så fall är x en uppdelning för hälften av vårt ursprungliga tal. Exempel: 12 = 2 + 2 + 4 + 4 = 2*(1 + 1 + 2 + 2). En uppdelning för 6 är just 6 = 1 + 1 + 2 + 2.

I det andra fallet får vi 1+1+2x. Då är x uppdelningen för hälften av vårt tal minus ett.
Exempel: 12 = 1 + 1 + 2 + 8 = 1 + 1 + 2*(1 + 4). En uppdelning för 5 är just 5 = 1 + 4.

Vi ser att antalet sätt att dela upp ett jämnt tal motsvarar antalet sätt att dela upp dess hälft samt sätt att dela upp talet ett mindre än dess hälft. Matematiskt sagt får vi

#sätt(2n) = #sätt(n) + #sätt(n – 1).

Så varför följer bråkraden samma mönster?

Låt oss numrera varje tal i trädet, motsvarande dess position i raden. Det översta bråket får numret 0, och sedan numrerar vi rad för rad i trädet:

Ett av sambandet vi ser är att varje bråk med udda nummer 2n + 1 är ett vänsterbarn till bråket med nummer n (detta går att visa med induktion). Enligt trädregeln har vänsterbarn exakt samma täljare som sin förälder, därmed följer trädet samma lag som antalet sätt i tvåpotensuppdelningen för udda tal.

Notera också att varje bråk med jämnt nummer 2n (utom 0) är ett högerbarn till bråket med numret n-1. Men vi har i del 1 visat att att bråket med nästa nummer n kommer att ha samma täljare som bråket innan hade nämnare. Därmed får vi att täljarna a och b tillsammans bildar täljaren a + b, precis som uppdelningssambandet för jämna tal säger.

Likheten mellan de två strukturerna är därmed visad. Men det finns fortfarande egenskaper hos Calkin-Wilf trädet som vi inte har pratat om. Till exempel ser vi att inga två bråk upprepar sig. Inget bråk går heller att förkorta. Består trädet rentav av alla icke-förkortningsbara bråk, där varje sådant bråk förekommer exakt en gång?

Om ja, kan du hjälpa mig att bevisa det?

Calkin Wilf-träd, del 2

År 1858 ställde tyska matematiker Stern och Moritz en fråga: På hur många sätt kan man skriva talet n som en summa av tvåpotenser, där var tvåpotens får förekomma högst två gånger? (Ordningen på termerna i summan spelar inte någon roll).

Till exempel kan talet 7 skrivas på ett enda sätt:
7 = 4+2+1

Talet 8 kan däremot skrivas som:
8 = 1+1+2+4
8 = 2+2+4
8 = 4+4
8 = 8,
det vill säga på 4 olika sätt!

Vi kan göra en lite tabell, där talen n står i översta raden, medan i understa raden står antalet sätt som n kan skrivas så som beskrivet ovan. Sätten för n = 7 respektiva n = 8 var angivna, kan du komma på alla sätten för alla de andra talen?

En lite intressant fråga att ställa sig är hur många sätt talet 0 kan skrivas på som en summa av tvåpotenser. Alla tvåpotenser är ju positiva, så man skulle kunna säga att svaret är inget sätt, det vill säga noll sätt.

Men matematiskt brukar man räkna med att summan utav inga termer alls är lika med 0 (medan produkten av inga termer är lika med 1). Det vill säga, finns det exakt ett sätt att skriva 0 på enligt våra regler: det tomma sättet.

Verkar följden 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5… bekant? Om inte, jämför med den i del 1.

Vad kommer det här sambandet mellan ett gammal problem och en ny trädkonstruktion ifrån?

Låt oss tänka på hur vi kan konstruera nya sätt att framställa tal från summor från de gamla.

Säg att talet n är udda. Då måste en 1:a ingå i summaframställningen, dessutom måste det vara exakt en 1:a, då tre stycker eller fler 1:or är föbjudet. Resten av talen i summan är jämna och alltså kan alla delas med 2. Vi kan skriva framställningen av n som 1+2x, där x då blir framställningen för talet (n-1)/2.

Till exempel 11 = 1 + 2 + 4 + 4 = 1 + 2*(1 + 2 + 2).

Därmed har vi förklarat varför antalet sätt för 5 och 11 är samma. Samma gäller för paren 1 och 3, 2 och 5, 3 och 7, 4 och 9, och så vidare (se tabellen).

Men hur man om n är jämnt?

Calkin Wilf-träd, del 3

Calkin Wilf-träd, del 1

Det är sällan som nya matematiska upptäckter handlar om någonting enkelt. All matematik som lärs ut i grundskolan upptäcktes för länge sedan av gamla greker, araber, kineser och indier. Gymnasiematematiken baserar sig på upptäckter som är minst 300 år gamla. Den nyaste forskningen är även för svår för universitetsmatten: algebrakurser har exempelvis varit ungefär likadana sedan 1920-talet.

Just därför är det så imponerande när nya enkla samband hittas. Calkin och Wilf publicerade en artikel om följande struktur så sent som 2000. Likt Pascals oändliga triangel, introducerar de ett oändligt träd, med nu är noderna bråktal.

Börja med att skriva 1/1 högst upp.
Sedan upprepa samma process om och om igen: om ett tal a/b är med i trädet, rita ut två grenar från det och skriv bråket a/(a+b) i den vänstra grenen och (a+b)/b i den högra. Till exempel, så kommer 1/1 att förgrenas i 1/2 samt 2/1.
1/2 kommer att förgrenas i 1/3 samt 3/2, och så vidare. Vi får följande struktur, som bär namnet Calkin Wilf-trädet:

Låt oss skriva ner bråken genom att läsa av en rad i trädet i taget. Vi får listan:

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{4}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{2}, \frac{2}{5}, \frac{5}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{1}, \frac{1}{5}, \frac{5}{4}, \frac{4}{7}, \frac{7}{3}, \frac{3}{8}, \frac{8}{5}, \frac{5}{7}, \frac{7}{2}, \frac{2}{7}, \frac{7}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{3}, \frac{3}{7}, \frac{7}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{1}, \ldots$

Notera att varje bråks nämnare sammanfaller med nästa bråks täljare. Varför är det alltid så?

För två grannar i trädet är egenskapen inte alls konstig, eftersom båda talen sammanfaller med a+b. Men om två tal är bredvid varandra i trädet utan att vara omedelbara grannar, så är det ena någons högergranne, medan det andra någons vänstergranne. Notera att högergrannar alltid ärver nämnaren, medan vänstergrannar ärver täljaren. Om vi följer arvet upp i trädet från våra två tal, kommer vi till slut fram till två tal, som faktiskt är omedelbara grannar, och därför är det första talets nämnare lika med andra talet täljare.

I den allra sista situationen är två tal grannar i raden, men i trädet skedde en radbrytningen mellan det första och det andra talet. Men vi ser att alla tal i slutet av raderna har nämnare 1, medan alla i början av raderna har täljare 1, så egenskapen bevaras här också.

Bråkraden har även andra egenskaper. Kan du komma på några?

Calkin Wilf-träd, Del 2

Öva på geometri inför SMT-kval

Kvalomgången i Skolornas matematiktävling sker imorgon. Om du vill fräscha upp era geometrikunskaper inför tävlingen
här står det korfattat vad du behöver plugga på. Notera att minst ett av problemen på tävlingen är ett klassiskt geometriproblem.

Tyvärr har de flesta deltagare nackdelen att inte ha gått igenom så mycket geometri i skolan. Har man övat på geometriproblem åtminstone några gånger, har man en stor fördel där, eftersom geometriproblemen är inte särskilt svåra (de algebraiska problemen på SMT kräver oftast fler icke-triviala insikter).

Några användbara geometrisatser har jag samlat i en cirkellektion i geometri. Vi pratade om följder av randvinkelsatsen och användningen utav dessa följder i problem om figurer som kan skrivas in i cirklar.

Kan du göra rätt på övningarna samt på de första fem problemen så har du fått hum om hur geometriproblem skall bevisas. Då kan du gå över till de svårare problem, som jag har hämtat från riktiga SMT-kvalomgångar. Notera dock att lektionen inte täcker geometriska tekniker som likformighet, areor, samt sinus- och cosinussatsen. Det finns så pass mycket användbar geometri, så att det inte får plats i enda lektion.

Lycka till på tävlingen! Skriv gärna i kommentarerna hur det har gått för dig och om tipsen har hjälpt :)

Öva på delbarhet och ekvationer inför SMT-kval

Skolornas matematiktävling närmar sig med stormsteg, nu är det bara en vecka kvar! Jag har skrivit tips inför tävlingen förut, men om du träna på verkliga problem, rekommenderar jag att kolla på vår cirkellektion, som handlade just om delbarhet, ekvationer och olikheter.

Under lektionen bevisade vi alla de viktiga fakta man använder inom de områden när man löser tävlingsproblem och diskuterade kontrollfrågor. För att lyckas bra i tävlingen bör du kunna svara på i princip alla kontrollfrågor!

Försök sedan att lösa problem 1-4. De första tre problemen kommer från riktiga SMT-tävlingar, men jag skulle rekommendera att börja med problem 2 eller 4, eftersom de är lättast att lösa. Sedan ta dig an 1:an och till sist 3:an.

Tvåpotenser

Talen på formen $2^n$ dyker upp på många ställen. Finns det en cell som fördubblar sig varje minut, så finns det efter en minut 2 celler. Efter ytterligare en minut finns det 4 celler, sedan 8, sedan 16, 32, 64, 128…

Väldigt ofta dyker även talen på formen $2^n-1$ upp vid problemlösning. $2^{243112609}-1$ är det största hittills kända primtalet till exempel. Men inte alla tal på formen $2^n-1$ är primtal (kan du komma på ett motexempel?).

Försöker du lösa problemet nedan, kommer du upptäcka att de två formerna har mycket med varandra att göra. Fler problem och beskrivningen om hur du vinner oändligt med pengar finns under fliken Cirkel.

Rekommenderad från: 12 år

[kkratings]

Du har 127 enkronorsmynt och 7 tomma plånböcker, och du måste lägga in alla mynten i plånböckerna. Om någon ber dig om
en summa pengar, skall du kunna ge dem några plånböcker, så att det tillsammans i dem finns precis så många kronor som det frågades efter. Hur skall du fördela mynten mellan plånböckerna på så sätt att du kan ge ut vilken summa under 128 kronor som helst utan att öppna dem, om någon ber om det?

Visa lösningen

Eftersom vi kommer att behöva kunna dela ut exakt 1 krona, måste vi även ha en plånbok med exakt 1 krona i, det går ju inte att dela upp beloppet på flera plånböcker.

För att kunna dela ut 2 kronor, lägger vi i 2 kronor i den andra plånboken. Nu kan vi dela ut både 1, 2 och 3 kronor (3 kronor delas ut genom att man ge bort båda plånböckerna).

I den tredje plånboken lägger vi 4 kronor. Nu kan vi dela ut 1,2,3 kronor som förut, samt dela ut plånböcker som förut, men tillsammans med 4 kronor-plånboken: detta ger summor på 1+4,2+4 och 3+4 kronor. Vi kan också dela ut plåboken ensam, vilket ger beloppet 4 kronor. Totalt kan vi dela ut 1,2,3,4,5,6 eller 7 kronor.

Fortsätt på samma sätt: fjärde plånboken får 8 kronor, femte får 16 kronor, sjätte får 32 kronor och sjunde får 64 kronor i sig (antalet kronor i nästa plånbok är alltid lika med nästa tvåpotens). Varför går det att dela ut alla belopp under 128 kronor?

Ett sätt att motivera det är att vårt belopp antingen är större än eller lika med 64 kronor, eller mindre. I det första fallet kommer vi att ge bort plånboken med 64 kronor, i det andra lägger vi undan den för den kommer inte att användas.

Resten av beloppen som ska delas ut är antingen större än eller lika med 32 eller mindre än 32. Dessutom är vi säkra på att det är mindre än 64 kronor (ty sammanlagt var det från början mindre än 128). I det första fallet kommer vi att ge bort plånboken med 32 kronor och i det andra lägga undan den plånboken, för den kommer inte att användas.

Fortsätt på samma sätt att avgöra huruvida vi skall använda nästa (mindre) plånbok eller inte. I det sista steget kommer vi antingen att ha 1 krona eller 0 kronor kvar att dela ut. Antingen ger vi bort plånboken med 1 krona i då, eller så låter vi bli det.

Det strikta beviset för varför detta fungerar är följande:

Från början hade vi mindre än $2^7$ mynt. Vid varje steg har vi mindre än $2^n$ mynt att passa ihop med plånböcker och vi har plånböckerna med värden $1$ , $2^1$ , $2^2$ , … $2^{n-1}$ .

Om antalet mynt vi har kvar att dela ut är mindre än $2^{n-1}$ , så går vi till nästa steg: nu betraktar vi plånböcker med värden $1$ , $2^1$ , $2^2$ , … $2^{n-2}$ och mindre än $2^{n-1}$ kronor att dela ut.

Om antalet mynt vi har kvar att dela ut är större än $2^{n-1}$ , så ger vi bort plånboken med $2^{n-1}$ mynt i. Då har vi kvar mindre än $2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$ kronor att dela ut. Och vi har plånböckerna med värden $1$ , $2^1$ , $2^2$ , … $2^{n-2}$ återigen.

I båda fallen reducerade vi n med 1 och kom till en motsvarande situation. Då n=0 blir vi klara, för då har vi kvar mindre än 1 krona att dela ut, det vill säga 0.

Vad är ett fullständigt bevis?

När man löser ett riktigt matematiskt problem räcker det inte att presentera svaret. Du måste presentera lösningen också, det vill säga hur du kom fram till svaret. Ibland har inte problemet något svar, utan du skall bevisa att något påstående är sant. Hur vet man att beviset är fullständigt? Ett sätt är att berätta beviset för en kompis. Om du övertygar denne om att du har bevisat det du skulle, så är ditt resonemang antagligen korrekt. Ett annat sätt är att själv försäkra sig om att man inte glömt att undersöka några möjligheter.

På vår mattecirkel får vi träna båda sätten! På en vanlig träff får man berätta lösningen för läraren och sedan få eventuella förtydligande frågor. På den första matteträffen denna termin körde vi dessutom tävlingen där deltagarna fick berätta lösningar för varandra. Denna tävling kallas mattedrabbning och man lär sig otroligt mycket på att både försöka övertyga motståndaren om att man har löst problemet rätt och, när man spelar opponentens roll, försöka fälla motståndaren med kluriga frågor.

Ta en titt på vår första lektion under fliken Cirkel.

Har du någon att diskutera problemen med, försöka att uttnyttja det. Du och den personen kommer lära er mycket om att resonera. Om du vill ha fler att prata matte med, och går eller tänker gå på Katedralskolan i Uppsala, välkommen på vår cirkel!

Ett osannolikt möte

Tack till Lisa Lokteva för att hon tipsade mig om nedanstående problem:

Rekommenderad från: 15 år

[kkratings]

Två personer anländer oberoende av varandra till en bestämd plats mellan 9.30 och 10.00. De stannar på platsen i exakt tre minuter. Hur stor är sannolikheten att de möts?

Källa: Fibonaccitävlingen

Visa lösningen