Roligare matematik
Delbarhetsprincipen med 11 är inte enkelt att komma fram till, men enkel att använda. Om du vill försöka forska som matematiker, låt bli att googla på vad det är. Försök att svara på följande frågor istället. Skriv i kommentarerna om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• Vilken rest ger talet 100…0 (n nollor) vid divisionen med 11 om • n är jämnt? • n är udda?
• Försök att formulera en delbarhetsprincip med talet 11.
Matteklubben har haft lektioner för grupperna åk 2-4, åk 5-6 och sist ut var högstadieeleverna, åk 7-9.
Denna gång kom en hanterbar mängd elever, 25 stycken. Det är ganska lagom för den åldern, nackdelen med för många elever är att någon som är blyg inte törs föra fram sin talan. Jag tror att det kommer bli bättre med det när eleverna har lärt känna varandra lite. I framtiden kanske vi kommer blanda om dem och få dem att jobba lag, men under lektionerna jobbade de antingen själva eller grupper om 2-3, så som det föreföll naturligt för dem.
Vi var fem lärare och de flesta stunderna fanns det någon som inte var upptagen och som eleverna kunde fråga om det var något de undrade.
Vi började med en timme med blandade kluringar (precis som i åk 5-6). Eleverna fick lösa dem i par och sedan berätta lösningar för oss när de var redo. Problemet var att nästan ingen räckte upp handen. Men när en lärare väl kom fram till en godtyckligt grupp elever så hade de nästan säkerligen löst en eller två stycken kluringar. Stor skillnad där mot yngre årskurser, kanske för att äldre barn redan har vant sig att de inte får uppmärksammad lärartid när de har presterat.
Kluringarna var inte helt självklara för alla, även om de flesta kunde klara av många av dem. Några var inte vana vid den typen av problem och då kunde man lätt missuppfatta villkoren. När vi kommunicerade med eleverna försökte vi fostra matematiskt tänkande hos dem med hjälp av följande frågor.
1. Går det att sätta in en av symbolerna +, -, *, / i varje mellanrum och sedan sätta ut
parenteser så att resultatet av uträkningen blir exakt 100?
Missuppfattningar/funderingar: Några förstod tvetydigheten som att man bara kunde använda sig av samma symbol (det vill säga välja en av symbolerna +, -, *, / och sedan bara sätta ut den). Någon glömde bort att man kan sätta ut parenteser. Vissa misstänkte att det inte gick att göra, men visste inte hur de skulle kunna förklara det.
Frågor/ledtrådar till eleverna: Försök att dela upp 100 i faktorer. Om du har fått en fyra, vad måste du få av resten av tvåorna (eleverna svarar korrekt att det är 25, men sedan måste man inse att det inte går med 25).
2. Piraterna A, B och C hade följande samtal.
A: ”B har 2 ögon.”
B: ”C har 2 ögon.”
C: ”A har 2 ögon.”
A: ”Vi tre har 2 ögon tillsammans.”
B: ”Vi tre har 3 ögon tillsammans.”
C: ”Vi tre har 4 ögon tillsammans.”
Det visade sig att var och en av piraterna ljög lika många gånger som han hade ögon. Hur många ögon hade var och en?
Missuppfattningar/funderingar: Eleverna förstod det som att ett svar räckte. Men för en fullständig lösning behövs att man redovisar alla svar eller förklarar varför fler svar, än de angivna, inte finns.
Frågor/ledtrådar till eleverna: När eleverna förklarade hur de tänkte, utgick de från antaganden, t.ex. ”Piraterna har 4 ögon tillsammans”, men sedan inte betraktade fallet då piraterna inte hade det. Då bad vi dem att gå igenom de missade fallen. Det var ganska omfattande och säkerligen missade vi några fall i diskussionen (det är inte helt lätt för läraren att följa), men eleverna fick en övning i logiskt resonerande och falluppdelning.
3. I ett tomt akvarium lade man ner några glaskulor och fyllde upp med vatten. När man sedan plockade ut hälften av kulorna, sänktes vattennivån i akvariet med en tredjedel. Hur mycket kommer vattennivån sjunka om man plockar ut hälften av de kvarvarande kulorna?
Missuppfattningar/funderingar: Många elever räknade ut andelen som vatten kommer sjunka i andra omgången relaterat till hur mycket vatten det fanns från början (d v s en sjättedel). Men det man undrar över är hur mycket vattnet kommer sjunka i förhållande till sitt dåvarande mängd. (Om man skulle säga ”Vattennivån sjönk med en sjättedel”, då skulle man mena något annat än det som händer i uppgiften.) När de räknade och jämförde bråk hade de oftast ”enheterna” i huvudet (det vill säga att 1/6 och 1/2 kunde beteckna andelar av helt olika saker), men då blev man lätt osäker vad ”enheten” för det slutgiltiga svaret blir.
Frågor/ledtrådar till eleverna: Räknar du med andelen av vattennivån i början eller efter första steget? Det man undrar över är det senare, det vill säga, hur stor andel av vatten i mitten av handlingen försvinner?
Om det är svårt att hålla reda på mängderna så kan du rita en bild.
4. En man har ett litet hål i väggen (lika stor som en punkt). Han har också ett märke som han kan hänga upp (se bilden). Markera alla punkter, där han kan sätta spiken, så att hålet täcks av märket.
Missuppfattningar/funderingar: Var ligger hålet? Hur stort är det? Här behövdes förklaringen att hålet är lika stort som en punkt och att svaret frågas i förhållande till det utsatta hålet.
Frågor/ledtrådar till eleverna: Markera en punkt. Skulle vi kunna sätta spiken där (markerar en punkt ett steg uppåt från hålet), kommer flaggan täcka hålet då? Vi frågar om några positioner till och eleverna svarar antingen ”ja” eller ”nej”. Vi förklarar att det som frågas efter är helt enkelt figuren som bildas av punkter där man kan sätta spiken. (Eleverna kommer då oftast fram till rätt svar själva.)
Vi lade ner åtminstone 15 minuter på att gå igenom de blandade problemen ordentligt. Eleverna fick presentera olika lösningar på tavlan. Längst tid tog uppgifterna 2 och 3.
På uppgiften om piraterna kom vi tillsammans fram till en uttömmande lösning. Eleverna kom med bra idéer om att utesluta vissa fall av total mängd ögon (t.ex. att piraterna måste ha ljugit minst två gånger på grund av de sista tre utsagorna). De såg också symmetrin i de första tre utsagorna, vilket gjorde att vi inte behövde betrakta tre olika fall hela tiden utan kunde sammanfatta dem (en av de första tre utsagorna är falsk, två av de första tre utsagorna är falska, etc.)
Uppgiften om akvariet var det många som ville förklara hur de tänkte på. Det var bra att öva för eleverna att redovisa inför grupp, eftersom då anstränger man sig extra för att förklara korrekt och tydligt (vilket är en av sakerna man kommer lära sig av att gå på Matteklubbens träffar). Många höll med om att rita en bild på akvariet underlättade lösningen. Några av eleverna satte i konkreta värden (höjd eller volym på akvariet) för att räkna ut svaret, men vi lade inte så mycket vikt vid huruvida det var rätt eller fel att göra. Däremot konstaterade vi (kanske något otydligt just då) att det blir på samma sätt oavsett vilka värden man antar. Det hela handlar om att gå från konkreta och bekanta enheter (cm eller l) till skummare enheter (andelar av totala volymen), vilket är ett svårt steg att ta om man går i sjuan t.ex. Vi kommer att så småningom vänja eleverna vid det generella tanksättet (om de inte redan är vana vid det).
Eftersom det inte fanns så mycket kvar tid till andra halvan av lektionen, ritade vi bara upp svaret på uppgiften om flaggan, men förklarade inte särskilt noga varför det var just svaret. Ska man vara matematiskt petig borde vi ha gjort det, det vill säga visat exakt varför punkterna innanför figuren fungerar som spikplatser och punkterna utanför figuren inte gör det. Däremot förstod eleverna det rätta svaret på ett intuitivt sätt (efter att ha experimenterat).
Dagens tema var delbarhetsprinciper, det vill säga principer och regler för hur man snabbt kan se om ett tal är delbart med något givet annat tal eller inte. Det klassiska exemplet är att man kan se att ett tal är delbart med 2 (d v s jämnt) om den sista siffran är 0, 2, 4, 6 eller 8 (d v s sista siffran är jämn). Detta skrev jag upp som
Jag använde symbolen 
Eleverna kände till fler delbarhetsprinciper och vi skrev upp dem för 5, 3 (och 9) och 4:
Egentligen gäller påståendet åt andra håller också, och det använde vi under lektionen. Men för att inte förvirra eleverna för mycket med ny notation, använde jag implikationspil (som man ändå fattar som ”pil”) istället för en ekvivalenspil (dubbelpil).
Vi förklarade tillsammans varför delbarhetsprincipen med 4 gäller. Vi delade upp ett konkret stort tal i hundratal och det som blir över (talet som bildas av de två sista siffrorna). Sedan insåg vi att 100 ligger i fyrans tabell och därmed hänger det bara på det sista talet, huruvida det stora talet är delbart med 4. Eleverna förstod beviset.
Många hade tydligen hört några av delbarhetsprinciperna förut, men de flesta kunde inte förklara varför de gällde. De som inte hade bevisat det förut hade även svårare för att komma ihåg dem också under problemlösningsdelen. Så jag tror att det var väldigt nytt och nyttigt med bevis.
Eleverna fick lösa följande kluringar på temat delbarhetsprinciper. Ofta utnyttjade de inte principerna utan kom fram till svar på annat sätt. Men de fick ledtrådar när de hade kört fast och då förstod de hur delbarhetsprinciperna kunde komma till nytta. Följande dialoger kunde ske under diskussionen av respektive uppgift.
1. Skriv en siffra till vänster och en siffra till höger om 10 så att det nya talet blir delbart med 12 (det vill säga blir ett tal där divisionen med 12 går jämnt upp).
Elever: Vi kommer inte fram till något svar.
Lärare: Tänkt på att talet är med 12:ans tabell. Vilka andra tabeller måste talet vara med i?
Elever: Fyrans, sexans, treans…
Lärare: Var vet om tal som är med i fyrans tabell?
Elever citerar delbarhetsprincipen med 4.
Lärare: Och vad vet om tal som är med i treans tabell? Skulle vi kunna kombinera det vi vet för att hitta ett svar?
Elever: Ahaa, smart.
2. Skriv 2014 efter sig själv några gånger så att talet som bildas blir delbart med 9.
Elever: Vi skrev upp 2014 efter varandra och dividerade (vi kunde fortsätta divisionen genom att skriva till några fler 2014) tills det gick jämnt ut.
Lärare: Är det en slump att det blev just 9 stycken?
Elever: Vi skrev upp 2014 efter varandra så att siffersumman blev delbart med 9.
Lärare: Är det en slump att det blev just 9 stycken?
Elever: Nej, siffersumman blir ju 9 gånger siffersumman av 2014.
3. Kan ett tal som bara består av fyror vara delbart med ett tal som bara består av treor? Och tvärtom?
Elever: Vi tror att svaret är ”nej”.
Lärare: Varför det?
Eleverna börjar resonera och kommer fram till att svaret är ”ja” på den första frågan.
Lärare: Och på andra frågan?
Elever: Kanske är svaret ”ja” här också…
4. I rutorna på en 5×5 står siffror som inte är lika med 0. Av alla raderna och kolonnerna bildas 10 femsiffriga tal. Kan det hända att alla tal utom ett är delbara med 3?
Elever: Kollar man på alla talen?
Lärare: Nej, de som bildas av de 10 raderna (vågräta och lodräta).
Elever: Ja, man kan ha siffror som är delbara med 3 och ändra en av dem.
Lärare: Men då ändrar man två av talen, inte ett.
Elever: Justja…
5. Ett kvadrattal slutar med siffran 6. Visa att den näst sista siffran är udda.
6. Från ett tal subtraherade man talet skrivet baklänges. Visa att resultatet måste vara delbart med 9.
De sista frågorna hann vi knappt, eftersom tiden höll på att ta slut.
Som exempel tog vi ett större tal och framme på tavlan kom tillsammans fram till att man får siffersumman av talet genom att dra bort tal som är delbara med 3 (för varje tiotal, hundratal, tusental etc. drar man bort ett visst antal 9:or, 99:or, 999:or etc.). Det blev lite oorganiserat på tavlan, så jag vet inte om majoriteten hann förstå beviset. Möjligen borde vi ha gått igenom beviset för talet 9, vilket i stort sett sammanfaller med bevist för 3, men kanske är något självklarare.
Det var kul att träffa intressanta och intresserade högstadieelever! Till vi ses nästa gång, fundera på och diskutera gärna hemmakluringen.
Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om första lektionen i åk 5-6.
Även om eleverna var små, fyllde de salen så att det nästan blev lite trångt! Totalt var de 40 stycken och denna gång var vi 5 lärare (vi skulle ha varit ett par till, men de var sjuka). Första av allt presenterade vi oss, körde ut föräldrarna ur salen och delade ut fika. Sedan kunde lektionen börja (trots ljudnivån av 40 låg- och mellanstadiebarn).
Vi började lektionen med att spela ett matematiskt spel. Var och en fick ett papper som hen skrev ett tal mellan 1 och 100 på. Sedan avslöjade alla sitt tal. Det gäller att ha skrivit det minsta talet som ingen annan har skrivit. Det lättaste sättet att kolla, vem som vunnit är att ropa upp talen ett i taget:
– Vem skrev talet 1? (Flera händer räcks upp)
– Vem skrev talet 2? (Ett par händer räcks upp)
– Vem skrev talet 3? (Ingen)
– Vem skrev talet 4? o s v.
Vi körde i tre omgångar och talen 6, 13 och (jag tror) 8 vann de olika gångerna. Ett utmärkt spel att spela i alla åldrar när man är i ett stor gäng (åtminstone 25 personer).
Dagens tema var ”kalender”. Jag uppmanade klassen att svara på följande frågor utan att räcka upp handen:
– Vilken veckodag är det idag?
– Vilken veckodag är det om 5 dagar?
– Vilken veckodag är det om 25 dagar?
På den sista frågan räknade barnen på två olika sätt: 7+7+7+4 (man måste gå 4 dagar framåt från dagens tisdag, vilket betyder att man hamnar på en lördag) eller 14+14-3 (man måste gå 3 dagar bakåt från dagens tisdag, vilket blir en lördag). De flesta av eleverna verkade förstå att om man går 7 dagar framåt så hamnar man på samma veckodag, vilket var den grundläggande idén för lektionen.
Sedan fick barnen jobba i grupper om 4-5 och lösa några uppgifter som handlade om kalendern. Under varje uppgift skriver jag ner ungefärliga dialoger jag har haft med de olika eleverna.
Utan att använda mobiltelefonen, lista ut svaren på följande frågor. Skriv direkt på pappret!
1. Vilken veckodag är det om exakt fem månader?
Elev: Är alla månader här 30 dagar?
Lärare: Nej, månaderna kan vara olika långa. Om exakt en månad är det den 23:e oktober och om en månad till är den 23:e november. Vilken månad är det om 5 månader?
Elev: Jag räknade att månaderna innehåll 28 dagar och ”extradagar”. Sedan räknade jag ihop extradagarna och gick så många veckodagar framåt.
Lärare: Rätt tänkt! Men du kanske glömde bort att januari har 31 dagar och inte 30 och det är därför det blev fel.
Elev: Jag räknade ut hur många dagar det blev: 30*3+31*2 = 152. Sedan tog jag bort 140 dagar (140/7=20 veckor). Och sedan är det 12-7 = 5 dagar framåt. Alltså är svaret en söndag.
Lärare: Rätt tänkt! Men det är tvärtom: 3 av månaderna har 31 dagar och 2 har 30 dagar.
Värt att notera är att vissa elever förstod att man inte behövde räkna 7 dagar i september för sig och de 23 dagarna i februari för sig (även om många gjorde det förstås). Man behöver bara hålla reda på hur många dagar det är vid månadsskiftet (t.ex. att från september till oktober kommer det gå 30 dagar) och i så fall räkna som i den sista dialogen.
2. Vilken veckodag är den 20:e september 2015?
Några kom fram till rätt svar, men för de flesta var det en för svår uppgift.
3. Vilket datum har tisdagen om 100 veckor?
Den här uppgiften var också svår, men eleverna kunde få följande hjälp:
Lärare: Hur många dagar har det gått när det har gått 100 veckor?
Elever: 700 dagar!
Lärare: Hur många år är det?
Elever: 1 år / 2 år
Lärare: Räcker de här dagarna verkligen till för 2 år? Hur många dagar är det på ett år?
Elever: 365
Lärare: Hur många dagar är det på två år?
Elever: 600-nånting / 700-nånting
Lärare: Vad blir 365+365
Elever: 700 dagar räcker inte till för 2 år!
Lärare: Nej, kolla hur många dagar man måste backa i så fall…
4. Matteklubben har träffar på tisdagar. (Tänk om man skulle kunna träffas varje tisdag!) Hur många tisdagar kan det som mest bli på ett år?
Elever: 52 (nästan alla svarade det första, vissa sade 51)
Lärare: Varför är det inte fler?
Elever: För att det är 52 veckor på ett år.
Lärare: Är ett år exakt 52 veckor? Hur många dagar skulle det vara.
Elever: Nej, det är inte exakt.
Lärare: Så varför skulle det inte kunna bli fler tisdagar på ett år?
5. Kan en och samma månad innehålla 5 måndagar och 5 torsdagar?
Ett par elever klarade den här uppgiften med följande resonemang:
Elev: Nej, det kan det inte. Det kan antingen bli 5 måndagar och 4 torsdagar eller 4 måndagar och 5 torsdagar. Om man har t.ex. 4 veckor så behövs det fyra dagar till för en till måndag och torsdag, men man har bara tre.
Lärare: Vad händer om månaden börjar på en torsdag?
Elev: Då räcker det inte heller till.
Alla som gjorde ett ärligt försök på uppgiften hade kommit fram till svaret ”Nej”.
6. Vilken veckodag är det idag om jag vet att när övermorgon kommer att bli igår, så kommer det idag var lika långt till en söndag, som från den dagen som var idag, när igår
var imorgon?
Elever: Räknas det som att idag är tisdag?
Lärare: Nej, här vet man inte vilket veckodag det är. Vi testar t.ex. att det är tisdag. Då kommer övermorgon (torsdag) bli igår på en fredag. Då är det 2 dagar kvar till söndagen. Och igår (måndag) var imorgon på en söndag, dvs 0 dagar till söndag. Det är olika antal dagar, alltså passar inte svaret ”tisdag”.
Elev: Räknar man till söndagen framåt eller bakåt?
Lärare: Den som är närmast.
Här fick två grupper med elever fel svar, men var säkra på att de hade gjort rätt, dels på grund av att en av lärarna godkände svaret (även lärare kan ha fel!). En grupp hade dock rätt svar!
Mitt i lektionen gick vi igenom några fakta om kalendern. Många var inte säkra på hur många dagar alla månader innehöll, så det skrev vi upp (och några fick lära sig knogtricket). Vi diskuterade hur många dagar ett år har och att det kan bli skottår. När jag frågade eleverna när det senaste skottåret var, så sa vissa 2013 och vissa sade 2012. Efter ett tag tyckte de flesta att det var 2012.
Vi skrev upp några skottår i framtiden och noterade att det hände vart fjärde år. Sedan fick de veta att det inte är precis vart fjärde år som är skottår, utan vissa år, som är delbara med 100, är inte det. Jag förklarade även varför man gjorde så och det tyckte eleverna var ganska spännande.
På tavlan stod alltså åren 2100, 2200, 2300, 2500, 2600, 2700, o s v. överstrukna, eftersom de inte är skottår. Det är de år som är delbara med 100, men inte 400. Efter det gav jag eleverna en extrauppgift:
Hur många skottår är det mellan 2014 och 3000?
En del av eleverna räknade ut skillnaden och delade med 4, men vissa gjorde fel i divisionen, och vissa trodde att de var färdiga då. Men man ska akta sig för att inte få ett svar som är 1 mindre (vilket man får om man delar med 4 och avrundar neråt), samt att man måste ta bort de 7 förbjudna åren. En elev kom nära med sitt svar 232, men det är inte exakt rätt. Kan du lista ut svaret?
Många elever var engagerade under lektionen, men många andra såg man var ganska vilsna. Uppgifterna var för svåra för dem eller så var de ointresserade av den typen av matte. Det kan vara för tidigt att börja med problemlösning redan i tvåan eller trean (och till med fyran), då man inte fått baskunskaperna på plats. Med andra ord, man har möjligen inte fått en känsla för matematik än och därför inte kan hantera abstraktionsnivån på materialet som presenteras på Matteklubben.
Det var också svårt för vissa barn att arbeta när ljudnivån var så hög och ventilationen inte så jättebra (40 barn och flera vuxna i en sal som är tänkt för färre!) Det var skönt att vissa barn kunde sätta sig utanför stora salen och arbeta. Förhoppningsvis har vi omkring 30 elever nästa lektion, så att det blir hanterbart för alla.
Ändå var det jätteroligt att många barn försökte och gjorde sitt bästa på uppgifterna. Man märker att det är intresset som skiljer barnen åt. Tycker man att det är intressant att sitta och klura, kommer man att göra det oavsett hur lite man kan. Såklart kan jag göra så att uppgifterna passar bättre barnens förkunskaper nästa gång, så att det inte blir en avgörande faktor för någon. Men nivån kommer inte att bli särskilt mycket lättare, då vi i Matteklubben har som syfte att utmana alla!
Här i kommentarerna kan du diskutera hemuppgiften. Skriv om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• Hur många olika armband kan man tillverka av 3 svarta och 2 vita pärlor? På bilden har du ett exempel.
• Hur många svart-vita armband med 5 pärlor kan man tillverka överhuvudtaget?
• Hur ändras svaret om antalet pärlor får vara större?
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Här på bloggen tänkte jag lägga ut materialet som vi tar upp på träffarna, samt skriva lite om hur lektionen har gått.
Träffen började med att eleverna tog fika och satte sig ner i ett stort klassrum. Nästan alla de ordinarie platserna blev upptagna (41 stycken). Vi var sju lärare och jag presenterade vad alla hette. Nästan direkt satte vi igång med de blandade uppgifterna. Det enda eleverna behövde var penna och kladdpapper, som de fick låna.
Eleverna fick dela upp sig i grupper om två-tre och i ungefär i 45 minuter försöka lösa fem uppgifter. När de hade löst en uppgift fick de räcka upp handen och berätta lösningen för en av lärarna. Läraren kunde då ställa följdfrågor, som att t.ex. be om att förklara svaret eller fråga om varför det är det enda möjliga svaret.
Under varje uppgift skriver jag några typiska dialoger jag hade med de små grupperna om just den uppgiften.
1. En pojke har lika många systrar som bröder, men hans syster har hälften så många systrar som bröder. Hur många pojkar och flickor finns det i familjen?
Elev: Hur kan man lösa den här uppgiften när det inte finns några siffror?
Lärare: Försök att pröva dig fram!
Elev: Vi fick att det var 4 pojkar och 3 flickor. Det uppfyller villkoren.
Lärare: Varför kan det inte finnas något annat svar?
2. I tre högar finns 22, 14 respektive 12 nötter. Du får göra tre förflyttningar. Ditt mål är att få högarna att innehålla lika många nötter.
Under en förflyttning får du flytta ett antal nötter från en hög till en annan, men antalet nötter man flyttar måste vara lika med antalet nötter i högen man flyttar till.
Vilka förflyttningar ska du göra?
Elever: Går det här verkligen att göra?
Lärare: Ja :D
Elev: Vi försöker med olika varianter men lyckas inte. (Förklarar hur de tänker.)
Lärare: Vad händer om du tänker baklänges? Vad skulle det sista draget kunna vara?
3. Skriv en siffra till vänster och en siffra till höger om 15 så att det nya talet blir delbart med 15 (det vill säga blir ett tal där divisionen med 15 går jämnt upp).
Elev: 0150, gills det?
Lärare: Försök att hitta på fler svar. (Alternativ: Nej, tal kan inte börja med 0.)
4. På den största ön i Sagolandet finns 4 kungadömen. Varje kungadöme gränsar till de tre andra. Rita karta över ön så som den kan se ut.
Elev: Till exempel så här (visar en cirkel uppdelad i fjärdedelar.)
Lärare: Vi räknar det inte som en gräns om de bara nuddar varandra på hörn, eftersom man inte kan gå över från ett land till ett annat. (Alternativt: Försök att hitta på fler svar.)
5. I en sjö har man placerat en väldig ovanlig vattenlilja. Varje dag så fördubblar liljan sin storlek.
Det visade sig att liljan tog upp precis hela sjön efter 20 dagar. Efter hur många dagar skulle sjön ha blivit full om man hade placerat ut 4 magiska vattenliljor från början?
Elev: Om det tog 20 dagar för 1 lilja, så borde det ta 20/4 = 5 dagar för 4 liljor.
Lärare: Låt oss undersöka om din logik fungerar i andra situationer. Om det hade tagit 4 dagar för en lilja att fylla sjön, så borde fyra liljor göra det på 1 dag, eller hur? (Undersöker lite och kommer fram till att det är 2 dagar i det fallet.)
Det fungerade väldigt bra att kommunicera med eleverna, vi var lagom många lärare (i snitt 5-6 elever per lärare) och ett par grupper hann precis klara av alla 5 uppgifterna när 45 minuter hade gått.
Därefter gick vi igenom varje uppgift på tavlan. En elev fick komma fram och förklara sin lösning och vi försökte alltid att diskutera alternativa lösningar. På uppgift nummer fyra fick alla gå fram och rita sina karta, vi fick väldigt många snygga exempel.
Därefter var det en liten-liten rast och vi skulle komma igång med temat, vilket var kombinatorik. Eleverna fick sitta i grupper om 4-6 och tänka och experimentera med hjälp av färgpennor. Denna gång försökte vi kommunicera med hela gruppen på en gång. Eleverna jobbade i grupp i ca 45 minuter, därefter var det 15 minuter gruppdiskussion.
Innan eleverna satte igång gick vi igenom färgerna som OS-ringarna har och att det har att göra med att alla länder i världen har någon av dessa färger i sin flagga. Därför skulle vi rita olika flaggor med de fem färgerna, men flaggorna behövde inte existera på riktigt.
1. Hur många olika flaggor av följande form kan man skapa om man har tillgång till fem färger?
Här förtydliga vi på tavlan att alla de fyra rektanglarna måste ha samma färg. Det dök upp en intressant fråga om korset fick ha samma färg som bakgrunden. Då bestämde vi att man kunde lösa två olika problem, ett där de fick ha samma färg och ett där de inte fick.
Eleverna löste det här på flera olika sätt som genomgången visade (när vi tänker på varianten då de inte fick ha samma färg).
Om korset får vara en av de fem färgerna, så kan bakgrunden ha fyra varianter för färg. Det är likadant för alla fem färgerna på korset. Alltså är svaret 5*4 = 20.
Om man tar två färger, till exempel blå och svart, så kan man göra två flaggor: En med svart kors på blått bakgrund och en med blått kort på svart bakgrund. Det finns 10 olika par av färger (man skriver upp alla möjligheter och kollade att man inte missade något.) Alltså är svaret 10*2 = 20.
Om man får ha samma färg på korset som på bakgrunden, så är svaret 25 (= 5*5). Men man måste räkna bort de enfärgade flaggorna, som det finns precis 5 av, lika många som färger. Alltså är svaret 25 – 5 = 20.
2. Hur många olika flaggor av följande form kan man skapa om man har tillgång till fem färger?
Här dök det också upp frågor om olika varianter: var alla räderna tvungna att vara olika? Fick översta och nedersta vara samma? Fick alla ha samma färg? Vi bestämde oss för att lösa tre olika varianter.
Variant 1: Alla ränderna måste ha olika färger. Några grupper listade ut hur man skulle räkna ut det och tillsammans på tavlan kom vi fram till att svaret blir 5*4*3 = 60.
Variant 2: Översta och understa ränderna får ha samma färg. Någon enstaka grupp listade ut svaret här också. Vi kom fram till att man skulle lägga till något antal till svaret i Variant 1. Man kunde tänka att när understa och översta randen är likadana så är det precis samma situation som med svenska flaggan (mittersta randen är korset, resten är bakgrunden). (Det var en elev som kom på det). Alltså är det 20 varianter vi måste lägga till, så att svaret blir 60 + 20 = 80. En annan elev kom på att vi från början kunde räkna 5*4*4 = 80.
Variant 3: Ränderna får ha vilka färger som helst. Ett par grupper räknade ut att det var 5*5*5 = 125.
Tillsammans på tavlan kom vi fram till att vi behövde lägga till 20 + 20 + 5 till Variant 2 (flaggor där översta och mellersta randen är lika, flaggor där understa och mellersta är lika och flaggor där alla ränder är lika). 80 + 45 = 125 – ett annat sätt att få svaret! Men då tog tiden slut!
3. a) På hur många sätt kan ni i er grupp ställa er på en rad?
b) På hur många sätt kan ni bilda en ring?
Några av eleverna hann testa på den här uppgiften. En del kom fram till rätt svar på a)-uppgiften. Svaren var olika beroende på hur många de var (4,5 eller 6). Men många fick samma svar på b) som på a). Då kom jag med följande invändning:
Lärare: På hur många kan två personer ställa sig på en rad?
Eleverna: Två!
Lärare: På hur många sätt kan två personer ställa sig i en ring?
Eleverna: Ett! Hmmmm…
Lärare: Varför skulle det då vara samma svar för fyra/fem/sex personer?
Uppgiften hann vi tyvärr inte diskutera i helklass, så den tar vi upp nästa gång.
Allt som allt gick lektionen bra för att vara i en så enorm klass. Eleverna blev trötta mot slutet, så nästa gång kommer vi ta en lite längre rast. Det vore också kul om eleverna interagerade mer mellan olika skolor och då kan det vara bra med slumpvis fördelade grupper, som vi kör en mattetävling emellan.
Jag ser fram emot att träffa alla eleverna om fyra veckor! Det är väldigt kul att hålla på med matte med elever som har väldigt god förståelseförmåga. Elever som är inte rädda för att försöka och därför lyckas väldigt bra med att lösa problem som jag är säker på att inte så många vuxna skulle klara.
Fler och fler människor lär sig att programmera, vilket är bra, för fler och fler bra programmerare behövs. Än så länge finns ingen obligatorisk programmering i grundskolan i Sverige, men vem vet, det kanske är på gång?
Jag har undervisat inte bara i matte, utan även i algoritmik, det vill säga ”programmeringstänk”. Istället för att direkt lära sig ett programmeringsspråk kan man lära sig hur man överhuvudtaget formulerar sig och tänker när man skriver program. Några lärare blev intresserade av att testa mitt material på sina elever (ungefär åk 4-7), vilket inspirerade mig till att starta kursen ”Programmering på papper”.
Jag kommer att skapa färdiga lektionsplaneringar som du gärna får testa på dig själv, dina barn eller dina elever. Alla synpunkter och erfarenheter vill jag gärna höra här eller på mail: valentina.chapovalova@gmail.com
Kursen kommer innehålla ungefär följande:
– Instruktioner och felaktiga anrop
– Skapa egna instruktioner utifrån givna (funktioner)
– Upprepning (for-loopar)
– Om-så-annars (if-then-else)
– Så länge som (while)
– Logiska utsagor (och/eller)
– Lite om komplexitet
– Lite om rekursion
– Lite om parallellprogrammering
– Mycket problemlösning!
Uppskattningsvis kommer det vara 20 lektioner och jag kommer producera circa en lektion i veckan. Första lektionen är tillgänglig för alla här:
Lektion 1. Programmering på papper för elever
Lektion 1, Programmering på papper för lärare
Om du tycker det här verkar skoj och vill hjälpa mig att skapa så bra undervisningsmaterial som möjligt, testa då gärna lektionen och maila mig din feedback. Då ser jag till att du får alla lektionerna framöver också.
En avhandling startade det hela. Det handlade om situationen för barnen, som har det lätt i skolan. I matematik! Ja, just det, lätt i matematik, inte dem vi brukar betrakta som barn med problem i skolan (och inte heller dem man brukar forska på). Men det är just det de har, problem med skolan. Alla barn som inte får undervisningen anpassad till sin nivå är på ett eller annat sätt missnöjda med skolan. Anpassningen sker inte för att lärarna ofta inte hinner eller vet hur man gör. En möjlig lösning är att ge eleven en bok från en högre årskurs att räkna i. Men eleven behöver en helt ny typ av matte och handledning, det som inte kommer finnas med i en högre mattebok om det inte funnits med hittills. Så problemet med den mattebegåvade eleven kvarstår.
Det finns dock några utmärkta lärare som hinner ge sådana barn utmaningar de förtjänar. Kanske letar de upp material på nätet, kanske i Nämnaren eller någon intressant mattebok. Och det skulle kunna räcka … men! De här barnen har potential att bli några riktigt bra forskare, ingenjörer, programmerare eller allmänt kreativa tänkare och problemlösare i framtiden. Och att lära sig problemlösning är riktigt svårt och kräver tid och tålamod från både lärarens och elevens sida. Ett sätt att spara tid och dessutom göra det många gånger roligare är att träffas i grupp! Vi har redan fotbollsklubbar, simklubbar, teaterföreningar … Varför inte ha Matteklubbar?
Äntligen ställer sig politikerna bakom idén att satsa på begåvade elever (då vi inser att inte bara de sämsta utan även de bästa resultaten i PISA har sjunkit). I höst är Uppsala med i den här provsatsningen och jag är glad över att få vara en av lärarna! Vi ska tillsammans driva Matteklubben, träffar för matteintresserade elever i åk 2-9. Vi har fått lov att ha fyra träffar i höst på Ångströmslaboratoriet. (Obs! Det går inte att anmäla sig längre. Förhoppningsvis kan du vara med nästa termin. Under tiden följ oss på Matteklubbens sida.)
Men innan du anmäler dig, tänk på om det verkligen är något för dig eller ditt barn. För att se vad vid ungefär kommer att hålla på med, är du välkommen att träffa oss torsdagen den 11:e september klockan 18.00 i aulan och mässen på Polacksbacken (hus 6). Förutom en föreläsning kommer det finns prova på-stationer med aktiviteter för alla årskurser! Välkomna!
När någon ställer frågan ”Vad är matematik för dig?” svarar jag ibland ”Att tänka.” Det kan tolkas som ett luddigt svar eller att jag kanske tror att matematik är viktigare än allt annat. Men så är inte riktigt fallet och jag ska försöka visa vad jag menar med hjälp av ett exempel.
Framför dig är en rektangel. Du sätter ut två punkter inuti rektangeln och förbinder alla de med alla hörnen, till exempel så som bilden visar. Vilken area är störst: den svarta eller den grå?
Försök att tänka ut svaret utan att använda dig av några som helst variabler eller uträkningar. Svårt, eller hur?
Låt mig presentera ett tankesätt som gör den här uppgiften väldigt lätt istället.
Föreställ dig ett vitt A4-papper och ett litet barn som målar med blått och gult akvarellfärg. Hon målar abstrakt konst, det vill säga det gula blir någon slags oregelbunden fläck, det blå likaså. Barnet målar inte så noggrant, på vissa ställen täcker fläckarna över varandra och på så sätt bildas det gröna områden.
När bilden blev färdig visade det sig att den sammanlagda arean av de två fläckarna är lika stor som arean av hela pappret. Visa att den gröna arean är lika stor som den vita arean.
Beviset får vi genom att ställa den enkla frågan: ”Hur mycket area behövs för att komplettera den blå, den gula arean och den gröna arean till arean av hela pappret?” Visuellt behövs bara den vita arean, för att det är den som är kvar. Men om vi tänker på att fläckarna tillsammans skulle utgöra arean av hela pappret så ser vi att det saknas en till grön area för det. Det gula och det gröna är nämligen en hel fläck, men det blåa saknar just det gröna för att bli en hel fläck (eller tvärtom). Eftersom det saknas precis lika mycket när vi tänker på två olika sätt så måste den gröna arean och den vita arean vara lika stora.
Vi löste uppgiften utan att använda oss av X eller någon annan variabel. Egentligen resonerade vi precis som men gör med ekvationer, men med ord istället. Ibland kan det vara lättare, ibland svårare, men här är det mer intuitivt tycker jag, speciellt om man ska förklara lösningen för någon annan!
Vad har uppgiften med abstrakta fläckar med riktig geometri att göra? Låt oss bevisa att den svarta och den grå arean är lika i följande figur:
Vi kan även tänka att regelbundna former utgör fläckar. I följande figur kan vi göra om färgerna till gult, blått, grönt och vitt. Ser du de två fläckarna? Och att det gröna är precis skärningen de emellan och det vita är precis den delen de inte täcker?
För att visa att den gröna arean är lika stor som den vita behöver vi bara förklara varför trianglarna tillsammans utgör arean av hela rektangeln. Varje sådan triangelarea utgör hälften av rektangelns area (för detta kan vi t.ex. använda areaformlerna, för rektangeln är det basen gånger höjden, men för triangeln är det precis hälften av det). Alltså utgör summan av areorna på trianglar exakt hela rektangelns area. Klart!
Kan du identifiera fläckarna i den ursprungliga uppgiften och lösa den utan att räkna alls? Kom ihåg att fläckarna kan ha godtycklig form och behöver inte ens vara sammanhängande!
Detta är vad jag menar med att ”tänka matte” istället för att ”räkna matte”, vilket är det uttrycket de flesta använder (eftersom de oftast gör just det senare, men inte det första).
Siffror och variabler är bra att införa när de behövs, men det finns fördelar med att försöka klara sig utan dem. Det kan vara tillräckligt för att lösa ganska komplicerade problem, som till exempel uppgiften i början. När vi presenterar idéer, uppgifter och lösningar av den typen för barn blir de oftast inte rädda, då det bara finns ord och bilder. Barn har inte fördomar mot resonemang med ord, till skillnad mot variabelräkning. Där har fördomarna oftast utvecklas efter att barnet tvingats jobba på ett visst sätt med ekvationer (dock kan de tyvärr ha fördomar mot geometri också). Så passa på och sätt dina elever (och dig själv) i situationer, där du inte har någon aning om hur man löser problemet. Du får då vara kreativ och kommer förmodligen att komma på ett lättare sätt att hantera uppgiften än vad någon annan skulle ha berättat för dig.
Nyligen fyllde jag 28 år vilket är en ”perfekt” ålder på flera sätt :)
Nämligen är 28 det andra perfekta talet, matematiskt sett. Det vill säga, 28 är lika med summan av alla dess delare, exklusive talet självt:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Det första perfekta talet är 6, det tredje, 496, kommer jag nog inte att fylla…
På antiken kände man till bara fyra perfekta tal, i nuläget har man hittat totalt 48 (senaste talet hittades 2013). Man vet inte om perfekta tal någonsin tar slut. Man vet inte heller om det finns några udda perfekta tal, för alla man hittat hittills är jämna.
Det lustiga är att man inte hittat mönstret med vilket de perfekta tal förekommer. Men om man skriver perfekta tal i det binära talsystemet så ser det väldigt regelbundet ut:
| Perfekt tal i bas 10 | I bas 2 |
| 6 | 110 |
| 28 | 11100 |
| 496 | 111110000 |
| 8128 | 1111111000000 |
| 33550336 | 1111111111111000000000000 |
| 8589869056 | 111111111111111110000000000000000 |
| 137438691328 | 1111111111111111111000000000000000000 |
| 2305843008139952128 | 1111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000 |
| … | … |
Det här verkar rätt kusligt. Varför beter sig perfekta tal binär regelbundet på det här sättet? Alltid med ett primt antal ettor och precis en mindre nolla efter!
Jag tyckte det här var lite alienaktigt och gick in på Wikipedia för att läsa på om perfekta tal. Svaret låg i resultaten om vilka perfekta tal vi hittat fram tills nu.
För det första har vi ju inte hittat några udda perfekta tal. För det andra har redan Euklides visat att om 
Det betyder att så fort ett nytt Mersenneprimtal beräknas, så får vi ett perfekt tal på köpet. Det finns faktiskt exakt 48 hittills kända Mersenneprimtal, precis samma antal som perfekta tal. Detta visar sig inte vara någon slump. Euler visade att alla jämna perfekta tal faktiskt har den här formen, det vill säga motsvarar ett Mersenneprimtal.
Till exempel, 3 är det första Mersenneprimtalet (
Nu är det inte så svårt att bevisa det binära sambandet. 
Multiplicerat med varandra blir det såklart 
Förklaringen på mönstret är klar, men det intressanta är egentligen Euklides och Eulers bevis, som båda lämnas åt läsaren :)
[kkratings]
Man gjorde tre snitt och delade upp ett träblock i åtta mindre rätblock. På bilden anges ytarean för de sju synliga bitarna. Hur stor är ytan på den biten som inte syns?
© 2009-2024 Mattebloggen
![\text{Siffersumman f\](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Ctext%7BSiffersumman%20f%5C%22%7Bo%7Dr%20talet%20%7D%20%5Cvdots%203%5Ctext%7B%28resp.%209%29%7D%5CRightarrow%20%5Ctext%7B%20talet%20%7D%20%5Cvdots%203%20%5Ctext%7B%28resp.%209%29%7D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "\text{Siffersumman f\")
