Låt oss lösa en andragradsekvation. Vi gör det inte med hjälp av pq-formeln utan på ett annat sätt:
Hoppa till innehåll
Roligare matematik
Fancy!
Ja det går verkligen troll i ekvationen.
Lösningen som man skapar och får ut stämmer inte.
Lösningen är direkt felaktig.
Det kan man kontrollera direkt genom att verifiera sin lösning i ursprungsekvationerna.
Om nu lösningen på ekvationen är x=1, så sätt in det i ekvationerna.
1.
x*( x + 1 ) = -1
1*( 1 + 1 ) = -1
1* 2 = -1
2 = -1 Detta stämmer inte, detta ger ett FELAKTIGT resultat.
2.
x + 1 = -(x^2)
1 + 1 = -(1^2)
2 = -1 Detta stämmer inte, detta ger ett FELAKTIGT resultat.
Ursprungsekvationen.
x^2 + x + 1 = 0
1^2 + 1 + 1 = 0
1 + 1 + 1 = 0
3 = 0 Detta stämmer inte, detta ger ett FELAKTIGT resultat.
Var ligger då felet?
För att kunna förstå lösningen beräknar vi först den riktiga lösningen till x^2+x+1=0 vilken är
x = 0,5*( -1 +- Rot(3)i )
Felet är att man kan inte göra steg 1. och 2.
Detta räknas som en variabelsubstitution och detta måste utföras av en separat variabel som vi kan kalla y.
Om vi vill byta ut x+1 måste vi skriva y = x + 1 och då får vi också att x = y – 1
1.
x * ( x + 1 ) = -1
(y – 1) * y = -1
y^2 – y + 1 = 0
Denna ekvation har lösningen
y = 0,5( 1 +- Rot(3)i )
och vi använder detta tillsammans med vår variabelsubstitution x = y -1 för att få tillbaka vår x-lösning
x = y – 1 = 0,5( 1 +- Rot(3)i ) – 1 = 0,5*( -1 +- Rot(3)i )
2.
Samma sak gäller för andra steget.
y = x + 1 x = y – 1
x + 1 = -(x^2)
y = -(y-1)^2
y = -(y^2 – 2y + 1)
y = -y^2 + 2y -1
y^2 + y -2y + 1 = 0
y^2 – y + 1 = 0
och vi har samma sambands som i rad 1.
Däremot kan man kvadratkomplettera uttrycket och lösa det utan pq-formlen.
( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2
x^2 + x + 1 = 0
( ( x + 0,5 )^2 = x^2 + x + 0,25 )
( x + 0,5 )^2 – 0,25 + 1 [= x^2 + x + 1] = 0
( x + 0,5 )^2 + 0,75 = ( x + 0,5 )^2 + (3/4) = 0
( x + 0,5 )^2 = -(3/4)
Rot( ( x + 0,5 )^2 ) = Rot( -(3/4) )
x + 0,5 = +- Rot(3)i / 2
x = -0,5 +- Rot(3)i / 2 = 0.5*( -1 +- Rot(3)i )