Klassiska bevis: Cevas sats, del 2

Rolig matte?

Detta inlägg är fortsättning på del 1 om Cevas sats. Första delen förklarar satsens formulering och ger tips för hur man skulle kunna bevisa den. Den här delen innehåller själva beviset.

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AMBL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

Bevis:

Antag först att cevianerna skär varandra i en och samma punkt O. Vi skall visa att värdet av uttrycket verkligen är 1.

Notera till exempel att trianglarna COM och MOB har lika stora höjder utgående från punkten O, eftersom deras baser ligger på samma linje. Låt höjderna ha längden h. Därför kan vi enkelt uttrycka förhållandet mellan dessa två areor:

\frac{S_{COM}}{S_{MOB}}=\frac{\frac{CM\cdot  h}{2}}{\frac{MB\cdot h}{2}} = \frac{CM}{MB}

Eftersom trianglarna CAM och MAB också har lika långa höjder, utgående från A, så kommer deras areor också att förhålla sig som  \frac{CM}{MB}.

COM_MOB CAM_MAB

Låt  \frac{CM}{MB} = k (något reellt tal). Men om S_{CAM} är k gånger större än S_{MAB} och S_{COM} är k gånger större än S_{MOB}, så är differensen, S_{COA}, också k gånger större än S_{AOB}

Det vill säga \frac{S_{COA}}{S_{AOB}}=\frac{CM}{MB}

Med analogiska resonemang får vi förhållanden mellan de andra par av de färgade trianglarna:

\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{AL}{LC}
\frac{S_{BOC}}{S_{COA}}=\frac{BK}{KA}

Därför kan vi skriva om uttrycket:

\frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=\frac{S_{AO B}}{S_{BOC}}\cdot\frac{S_{COA}}{S_{AOB}}\cdot\frac{S_{BOC}}{S_{COA }}=1

eftersom allt förkortas i det omskrivna uttrycket.

Nu har vi kvar att bevisa att värdet på uttrycket inte kan vara 1 utan att cevianerna skär varandra. Vi antar motsatsen, det vill säga att värdet är 1, men cevianerna råkade inte skära varandra i samma punkt:

trefulacevianerNu är vi så smarta som möjligt och använder oss av del 1, som vi redan har bevisat. Precis som i följande berättelse:

En matematiker och en fysiker löser praktiska uppgifter. De blev tillsagda att koka upp 1 liter vatten med hjälp av en vattenkran och en vattenkokare. Båda fyller förstås sin vattenkokare med vatten och sätter på den.

Nästa uppgift är annorlunda: de får en vattenkokare full med vatten och ska nu igen koka upp 1 liter vatten.

Vad gör en fysiker? Han ställer vattenkokaren på plattan och sätter på den förstås.

Vad gör en matematiker? Han häller ut vattnet och därmed ska han lösa praktisk uppgift nummer ett, vilket han redan kan.

I detta fall är det förstås inga onödigheter vi sysslar med. Men på samma sätt som i berättelsen ska vi göra någonting, för att kunna använda oss av tidigare kunskaper. Vi drar en ny linje, för att få samma situation som förut. Dra linjen CK’, som går igenom skärningspunkten för cevianerna AM och BL.

fyracevianer

Från del 1 vet vi att följande måste gälla:

\frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK'}{K'A}=1

Men enligt antagandet har vi också

\frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

Bland annat är uttrycken lika med varandra och på så sätt får vi  \frac{BK'}{K'A}=\frac{BK}{KA}, vilket i sin tur implicerar att BK'\cdot KA=K'A\cdot BK, vilket är omöjligt, eftersom BK<BK’ och K’A<KA. Motsägelse, alltså var situationen omöjlig!

Således så fort uttrycket är lika med 1, så måste cevianerna skära varandra i en punkt.

Användningar för satsen

På så sätt har vi i princip bevisat flera satser på en gång, till exempel att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. Samma sak gäller för bisektriserna, samma för linjer som förbinder hörn och tangeringspunkter för den inskrivna cirkeln. Det lämnas åt läsaren att komma på hur man ska använda Cevas sats för att visa de egenskaperna.

1 reaktion till “Klassiska bevis: Cevas sats, del 2”

Kommentera