Klassiska bevis: Cevas sats, del 2

Detta inlägg är fortsättning på del 1 om Cevas sats. Första delen förklarar satsens formulering och ger tips för hur man skulle kunna bevisa den. Den här delen innehåller själva beviset.

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AMBL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

Bevis:

Antag först att cevianerna skär varandra i en och samma punkt O. Vi skall visa att värdet av uttrycket verkligen är 1.

Notera till exempel att trianglarna COM och MOB har lika stora höjder utgående från punkten O, eftersom deras baser ligger på samma linje. Låt höjderna ha längden h. Därför kan vi enkelt uttrycka förhållandet mellan dessa två areor:

\frac{S_{COM}}{S_{MOB}}=\frac{\frac{CM\cdot  h}{2}}{\frac{MB\cdot h}{2}} = \frac{CM}{MB}

Eftersom trianglarna CAM och MAB också har lika långa höjder, utgående från A, så kommer deras areor också att förhålla sig som  \frac{CM}{MB}.

COM_MOB CAM_MAB

Låt  \frac{CM}{MB} = k (något reellt tal). Men om S_{CAM} är k gånger större än S_{MAB} och S_{COM} är k gånger större än S_{MOB}, så är differensen, S_{COA}, också k gånger större än S_{AOB}

Det vill säga \frac{S_{COA}}{S_{AOB}}=\frac{CM}{MB}

Med analogiska resonemang får vi förhållanden mellan de andra par av de färgade trianglarna:

\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{AL}{LC}
\frac{S_{BOC}}{S_{COA}}=\frac{BK}{KA}

Därför kan vi skriva om uttrycket:

\frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=\frac{S_{AO B}}{S_{BOC}}\cdot\frac{S_{COA}}{S_{AOB}}\cdot\frac{S_{BOC}}{S_{COA }}=1

eftersom allt förkortas i det omskrivna uttrycket.

Nu har vi kvar att bevisa att värdet på uttrycket inte kan vara 1 utan att cevianerna skär varandra. Vi antar motsatsen, det vill säga att värdet är 1, men cevianerna råkade inte skära varandra i samma punkt:

trefulacevianerNu är vi så smarta som möjligt och använder oss av del 1, som vi redan har bevisat. Precis som i följande berättelse:

En matematiker och en fysiker löser praktiska uppgifter. De blev tillsagda att koka upp 1 liter vatten med hjälp av en vattenkran och en vattenkokare. Båda fyller förstås sin vattenkokare med vatten och sätter på den.

Nästa uppgift är annorlunda: de får en vattenkokare full med vatten och ska nu igen koka upp 1 liter vatten.

Vad gör en fysiker? Han ställer vattenkokaren på plattan och sätter på den förstås.

Vad gör en matematiker? Han häller ut vattnet och därmed ska han lösa praktisk uppgift nummer ett, vilket han redan kan.

I detta fall är det förstås inga onödigheter vi sysslar med. Men på samma sätt som i berättelsen ska vi göra någonting, för att kunna använda oss av tidigare kunskaper. Vi drar en ny linje, för att få samma situation som förut. Dra linjen CK’, som går igenom skärningspunkten för cevianerna AM och BL.

fyracevianer

Från del 1 vet vi att följande måste gälla:

\frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK'}{K'A}=1

Men enligt antagandet har vi också

\frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

Bland annat är uttrycken lika med varandra och på så sätt får vi  \frac{BK'}{K'A}=\frac{BK}{KA}, vilket i sin tur implicerar att BK'\cdot KA=K'A\cdot BK, vilket är omöjligt, eftersom BK<BK’ och K’A<KA. Motsägelse, alltså var situationen omöjlig!

Således så fort uttrycket är lika med 1, så måste cevianerna skära varandra i en punkt.

Användningar för satsen

På så sätt har vi i princip bevisat flera satser på en gång, till exempel att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. Samma sak gäller för bisektriserna, samma för linjer som förbinder hörn och tangeringspunkter för den inskrivna cirkeln. Det lämnas åt läsaren att komma på hur man ska använda Cevas sats för att visa de egenskaperna.

Klassiska bevis: Cevas sats, del 1

Cevas sats är ett av de vackraste geometriska faktum för trianglar. Men för att kunna formulera satsen lättare, ska vi först definiera vad en cevian är för något.

Cevianer

Medianen är ju en ganska känd sträcka, det är den som går ut från ett hörn på en triangel och slutar på motstående sidan på så sätt, att den delas mitt itu. Notera att en triangel har tre olika medianer.

Bisektrisen är också en kändis. Den är den sträckan i triangeln som delar vinkel mitt itu. Även bisektriserna är tre i en triangel.

median
median

bisektris
bisektris

Även om vi drar en sträcka från hörn till sida, som inte alls är speciell, så vill vi kalla det för något. Vi säger att det är en cevian. Cevianer är alltså ett samlingsnamn för medianer, bisektriser, höjder osv. Notera att mittpunktsnormaler inte är cevianer.

cevian
cevian

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AM, BL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

“Om och endast om”:

Detta är en väldigt vanlig förkortning i matematiken. Istället för att skriva att man ska bevisa två saker (“om” och “endast om”), sätter man ihop dem i en och samma mening. I detta fall är de två sakerna man ska visa:

1. Om AM, BL och CK skär varandra i samma punkt , så gäller \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

2. Om \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1, så skär cevianerna AM, BL och CK varandra i samma punkt.

Tankegång:

Som vanligt finns det många sätt att bevisa satsen. Ett av de mest kända använder areabegreppet. Det enda vi behöver är areaformeln för en triangel: arean är lika med basen gånger höjden delat på två. Vi betecknar i fortsättningen arean av triangeln ABC med S_{ABC}.

areanaventriangel

För att använda detta i vårt problem gäller att komma på att beteckna (den eventuella) skärningspunkten med O och dela upp triangeln i tre mindre: AOB, BOC och AOC.

cevaareor

Det är förstås omöjligt att veta de exakta areorna hos de olikafärgade trianglarna. Men vi kan uttrycka hur areorna förhåller sig med hjälp av sträckorna, som förekommer i uttrycket.

Nu finns det nog med tips för att bevisa satsen på egen hand. Försök själv eller vänta på nästa inlägg!