Klassiska bevis: Cevas sats, del 1


Cevas sats är ett av de vackraste geometriska faktum för trianglar. Men för att kunna formulera satsen lättare, ska vi först definiera vad en cevian är för något.

Cevianer

Medianen är ju en ganska känd sträcka, det är den som går ut från ett hörn på en triangel och slutar på motstående sidan på så sätt, att den delas mitt itu. Notera att en triangel har tre olika medianer.

Bisektrisen är också en kändis. Den är den sträckan i triangeln som delar vinkel mitt itu. Även bisektriserna är tre i en triangel.

median
median

bisektris
bisektris

Även om vi drar en sträcka från hörn till sida, som inte alls är speciell, så vill vi kalla det för något. Vi säger att det är en cevian. Cevianer är alltså ett samlingsnamn för medianer, bisektriser, höjder osv. Notera att mittpunktsnormaler inte är cevianer.

cevian
cevian

Cevas sats

Given är en triangel ABC. Tre cevianer AM, BL och CK skär varandra i samma punkt om och endast om \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

“Om och endast om”:

Detta är en väldigt vanlig förkortning i matematiken. Istället för att skriva att man ska bevisa två saker (“om” och “endast om”), sätter man ihop dem i en och samma mening. I detta fall är de två sakerna man ska visa:

1. Om AM, BL och CK skär varandra i samma punkt , så gäller \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1

2. Om \frac{AL}{LC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BK}{KA}=1, så skär cevianerna AM, BL och CK varandra i samma punkt.

Tankegång:

Som vanligt finns det många sätt att bevisa satsen. Ett av de mest kända använder areabegreppet. Det enda vi behöver är areaformeln för en triangel: arean är lika med basen gånger höjden delat på två. Vi betecknar i fortsättningen arean av triangeln ABC med S_{ABC}.

areanaventriangel

För att använda detta i vårt problem gäller att komma på att beteckna (den eventuella) skärningspunkten med O och dela upp triangeln i tre mindre: AOB, BOC och AOC.

cevaareor

Det är förstås omöjligt att veta de exakta areorna hos de olikafärgade trianglarna. Men vi kan uttrycka hur areorna förhåller sig med hjälp av sträckorna, som förekommer i uttrycket.

Nu finns det nog med tips för att bevisa satsen på egen hand. Försök själv eller vänta på nästa inlägg!

1 reaktion till “Klassiska bevis: Cevas sats, del 1”

Kommentera