Lösning till problem vecka 21

Rolig matte?

På dataskärmen står ett tal, som varje minut ökar med 102. Från början står det 123. Programmeraren Daniel kan när som helst ändra ordningen på siffrorna i talet på dataskärmen. Kan han garantera att talet aldrig blir fyrsiffrigt?

Lösning:

Jadå, det kan han, till och med på flera olika sätt. Det här är Jonnes sätt, varje pil betyder att Daniel byter plats på siffror i talet:
123 -> 132
234 -> 243
345 -> 354
456 -> 465
567 -> 576
678 -> 687
789 -> 798
900 -> 009
111
213 -> 123

Följden är periodisk, det vill säga vi kan varje gång komma tillbaka till startsituationen. Därför kommer talet aldrig bli fyrsiffrigt.

2 reaktioner till “Lösning till problem vecka 21”

  1. Som matematiker vill man givetvis generalisera alla problem man stöter på, varför jag föreslår en annan lösning:

    Antag motsatsen, att Daniel inte kan hindra talet från att bli fyrsiffrigt. Låt oss då söker efter det sista tresiffriga talet innan han tvingas överstiga 1000, det vill säga det sista talet i hans ändliga sekvens. Det måste vara större eller eller lika med 898, av uppenbara skäl. Vi kan även se att om talet innehåller någon siffra lägre än 8, då kommer Daniel kunna undvika att komma över 1000 genom att sätta denna siffra först, och därigenom få ett tal som är mindre än 898. Så det sista talet i vår hypotetiska ändliga sekvens måste bestå av 8:or och 9:or endast. Om vi har bara åttor, då kommer talet inte vara större än 898, och således inte vara det sista talet. Om vi har endast en 9:a, då kan Daniel lägga den sist och få 889, vilket är mindre än 898, och är således inte det sista talet.

    Om talet innehåller två 9:or och en 8:a, eller tre 9:or, då finner vi att det nödvändigtvis är större än 898, och skulle således nödvändigtvis vara det sista talet i sekvensen.

    De enda kandidaterna till sista tal är således 899, 989, 998 och 999. Vi granskar var för sig:

    Föregångaren av 899 är 899 – 102 = 797. Men det betyder att Daniel hade möjligheten att bilda 779 innan han kom till 899, och därifrån hade han kunna gå till 881, där han är säker, emedan detta inte är någon av de fyra tal som kan vara det sista. Därför kommer Daniel aldrig bli tvungen att hamna på 899.

    På samma sätt föregås 989 nödvändigtvis av 887, varifrån Daniel kan bilda 788 istället och hamna på 890 och vara säker.

    998 föregås av 896, varifrån 698 kan bildas, och Daniel hamnar på 800, där han är säker.

    Slutligen föregås 999 av 897, som kan skrivas om till 798 som leder till 900, som är säkert.

    Alltså kan Daniel vara säker på att talet aldrig blir fyrsiffrigt om och endast om startsiffran inte är någon av följande: 899, 989, 998, 999.

Kommentera