Mattebloggen

Som vanligt åker jag till Ryssland där jag kommer att vara hela juli. Mitt uppdrag är att lära ryska barn matematik på ett mattekollo.

Bloggen är tillbaka i början av augusti, håll utkik efter den nya tävlingen i att lösa mattegåtor! Jag har funderat på att göra två olika tävlingar, en för grundskolan och en för de andra deltagarna, så kommer det nog att bli i höst.

Vi hörs! Ha en kanonsommar!

En tärning låg på bordet. Den flyttades ett steg i taget genom att rullas över på en ny sida (som gränsade till sidan som nyss var i kontakt med bordet). Till slut hamnade tärningen på samma plats som i början med samma sida uppåt. Kunde den översta sidan vrida sig 90 grader i förhållande till startläget?

Svar:

Nej, det kunde den inte.

Lösning:

Låt oss beteckna kubens hörn med (sidan ligger precis under sidan ). Föreställ er att finns en liten tetraeder som är gjord av ett annat material. Vi kommer att följa den tetraederns position allt eftersom tärningen rör sig.

Om tärningen rullas över en gång, kommer tetraedern befinna sig i samma läge som hade från början, fast parallellfärflyttad. Och vice versa, avbildas på en parallellförflyttning av tetraedern .

För att tärningen ska komma tillbaka tillsamma ruta, måste den rullas ett jämnt antal gånger (föreställ er ett schackbräde på bordet, då byter rutan färg efter varje steg). Det innebär att den annorlunda tetraedern kommer att avbildas på sig själv.

Men om den översta sidan vrids 90 grader, så avbildas sidan på sidan , men den sistnämnda ligger utanför tetraedern av annorlunda material. Motsägelse.

Det finns två potatisar med godtycklig form och storlek. Visa att man kan lägga på var sin bit koppartråd på deras ytor så att det bildas två böjda ringar (inte nödvändigtvis platta), som har samma form och storlek.

Erik T. förser oss med lösningen nedan. De andra lösningarna var iofs precis likadana, kanske med något annorlunda formuleringar.

Jag ångrar dock lite att folk ibland kan lite för mycket topologi, eftersom jag fick följande kommentar från Johan B. när jag publicerade problemet:

”Jag tror du måste göra något antagande om potatisarna.
Låt ena potatisen vara en fylld torus, men istället för att tvärsnitten är cirklar så är de kochkurvor. En eventuell koppartråd som inte vill vara fraktal måste följa med torusen runt och bilda cirklar. Deras radie kan begränsas underifrån genom att göra innerdiametern på torusen stor. Låt den andra potatisen vara en epsilonsfär, det finns inga cirklar av stor radie på dess yta.”

Man ska anta att potatisar ser ut som potatisar Det vill säga är släta 3-dimensionella mångfalder, för de som inte äter potatis.

Lösning:

Placera potatisarna så att de överlappar varandra (om man tänker sig att de inte består av solitt material utan kan ”gå in i varandra”). De skär då varandra i någon slags kurva. Men denna kurvan ligger på båda potatisarnas yta. Alltså kan man lägga två kopparbitar med samma form och storlek (ge dem samma utseende som kurvan) på två valfria potatisars ytor.

Många har hört talas om den beryktade randvinkelsatsen. Eventuellt har du träffat på den på gymnasiet. Men få har egentligen koll på hur man bevisar satsen.

Om du vill komma fram till beviset själv med hjälp av några ledande uppgifter, se Cirklar och randvinklar. Annars läs vidare här.

Sats (Randvinkelsatsen)

Markera tre olika punkter A, B och C på en cirkel. Markera även cirkelns mittpunkt O. Då är vinkeln AOC dubblet så stor som vinkeln ABC.

Bevis

Man ska vara väldigt försiktig och rigorös med geometriska bevis. Med det menas att alla möjligheter för bildens utseende ska undersökas, om man nu ska rita någon bild överhuvudtaget.

Så till exempel, kan det se ut så här:

Så hur ska man täcka alla möjligheterna på ett bra sätt? Det beror förstås på vad man tänker baser beviset på.

Oftast betraktas bilderna som väsentligen olika om olika skärningar mellan linjerna äger rum. I bevisen grundar vi ofta resonemang på hur olika objekt ligger i förhållande till varandra och inte så mycket på storlekarna på vinklar, cirkelbågarna etc.

Med detta sagt väljer vi således att betrakta tre fall (som täcker alla möjliga situationer):

Fall I	Fall II	Fall III

Fall I: Vinkel AOC ligger helt inuti vinkeln ABC.
Fall II: Detta är specialfallet då vinkeln AOC delar sida med vinkeln ABC.
Fall III: Två av vinklarnas sidor skär varandra.

Fall II

Detta fall verkar vara enklast, så vi börjar med det. OB=BC för att de är radier, så är likbent. Alltså gäller .

men också .
Då måste . Vilket skulle bevisas.

Fall I

Första fallet då? Vi ”fuskar lite” och drar en hjälplinje. Men nu får vi egentligen Fall II igen! Tillämpa det på varje halva av bilden och addera.

Fall III

Fall III måste väl vara svårare? Inte då! Vi ”fuskar” och drar en hjälplinje igen. Vi får återigen på grund av Fall II att och att . Subtrahera det andra resultatet från det första och vi är klara!

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Det här är sista problemet för den här terminen, om två veckor är således vårens tävling slut!

En tärning låg på bordet. Den flyttades ett steg i taget genom att rullas över på en ny sida (som gränsade till sidan som nyss var i kontakt med bordet). Till slut hamnade tärningen på samma plats som i början med samma sida uppåt. Kunde den översta sidan vrida sig 90 grader i förhållande till startläget?

På dataskärmen står ett tal, som varje minut ökar med 102. Från början står det 123. Programmeraren Daniel kan när som helst ändra ordningen på siffrorna i talet på dataskärmen. Kan han garantera att talet aldrig blir fyrsiffrigt?

Lösning:

Jadå, det kan han, till och med på flera olika sätt. Det här är Jonnes sätt, varje pil betyder att Daniel byter plats på siffror i talet:
123 -> 132
234 -> 243
345 -> 354
456 -> 465
567 -> 576
678 -> 687
789 -> 798
900 -> 009
111
213 -> 123

Följden är periodisk, det vill säga vi kan varje gång komma tillbaka till startsituationen. Därför kommer talet aldrig bli fyrsiffrigt.

Jag är stolt över att få presentera låten, som redan är känd för många matematikstuderande vid Uppsala Universitet.

Texten är baserad på innehållet i kursen Algebra II, där mycket ringteori ingår.

Låten heter just Ringteori och stilen är trallpunk.

Text och musik: Erik Svensson

En ring är en mängd och två funktioner,
och som krav ställs på dessa därvid
att det är en abelsk grupp med additionen,
och med gånger en monoid

En ring är en mängd…

Och distributiv ska den vara
men ej tvunget kommutativ, nej!
Exempelvis kvaternioner
och matriser kommuterar ju ej (generellt)

Men antag att den kommuterar,
och att för alla nollskiljda a
finns ett b så att a gånger detta
blir ett, då kallas ringen en kropp, hipp hurra!

En ring är en mängd…

Från Transformationsmatrisen – del 4 fick vi följande resultat:

För att bestämma transformationsmatrisen från bas till bas , uttryck basvektorerna i basen och skriv in resultaten som kolonner i en matris.

Hur gör man då det essentiella steget, det vill säga hur uttrycker man vektorerna i i basen ?

Jo, precis som på det sista sättet i Transformationsmatrisen – del 3.

Allmänt, ansätt:

vilket är precis samma sak som

(Varför det är så? Se Transformationsmatrisen – del 2.)

Det är alltså de här talen och så vidare som vi skall bestämma. De är ju precis talen i transformationsmatrisen från basen till basen .

Hur bestämmer man dessa tal?

Notera att varje ekvation i det stora ekvationssystemet är ett ekvationssystem i sig, om man skriver ut alla vektorernas koordinater:

och

(Alla små a:n och b:n är för oss kända tal.)

Då blir den första ekvationen ett ekvationssystem:

Och sådana där vet vi löses med Gauss-elimination.

Det här löses som vanligt. Matrisen till vänster (allt utom det sista kolonnen) ska göras om till en identitetsmatris och när man gjort det blir den högraste kolonnen det man söker, det vill säga .

Vad gör vi med den andra ekvationen, , vilket ekvationssystem blir det?
Jo, om , så är det

alltså med samma vänstra del till matris som förut. Det blir exakt samma Gauss-operationer som ska utföras, vilket betyder att jobb kan sparas.

Och på exakt samma sätt löser vi ut alla andra små x med hjälp av resten av ekvationerna:

Tada! Skrivet på ett annat sätt:

där och är kolonnvektor skrivna i standardbasen, är identitsmatrisen och är transformationsmatrisen, det vi sökte!

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Det finns två potatisar med godtycklig form och storlek. Visa att man kan lägga på var sin bit koppartråd på deras ytor så att det bildas två böjda ringar (inte nödvändigtvis platta), som har samma form och storlek.

På ett lager fanns likadana ostar. En natt kom sluga råttor dit och åt upp 10 av ostarna. Varje råtta åt lika mycket. Några råttor klarade dock inte av måltiden och fick ont i magen. Nästa natt kom de 7 råttorna som inte fick ont i magen och åt upp resten av osten. Dock fick varje råtta hälften så mycket som natten innan. Hur många ostar fanns det från början?

Alla lösningar jag har fått in går ut på att ställa upp ett ekvationssystem. Lösningen nedan är kopierad från Erik R.

Lösning:

Man kan definiera tre okända storheter: O för antalet ostar, R för antalet råttor och Ä för hur många ostar varje råtta åt under den första natten. Man får då förstås det enkla sambandet

R*Ä = 10 => Ä = 10/R

Man kan då räkna på O

O = 10 + 7*Ä/2

O = 10 + 35/R

Man tänker sig att O skall vara ett heltal, så om det inte finns några bråkdelsråttor som springer omkring måste R vara 1, 5, 7 eller 35. Det framgår dock att R>7, vilket ger R=35. Då blir förstås antalet ostar O=11.