En lektion för små barn om kvadrater (och andra fyrhörningar)

10 mars 2012, 14:04

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Här kan du se vad vi tidigare har gått igenom.

Fyrhörningar

Vad är en fyrhörning? Hur många sidor har den och hur många hörn? Kan alla rita en fyrhörning?

Vad är en rektangel? Varför heter den så (på ryska heter det något i stil med ”rätvinkling”)? Om du ska bygga en rektangel av pinnar, vad väljer du då för längder på pinnarna?

Vad är en kvadrat? Är en kvadrat en rektangel? Är en kvadrat en fyrhörning?

Vad kallas en fyrhörning där alla sidor är lika långa? Är en romb alltid en kvadrat? Är en kvadrat alltid en romb?

Rita en romb

Alla får ett rutat papper. Börja med att sätta ut en punkt någonstans (helst i korsningen mellan två linjer). Sedan sätt ut två punkter, en till höger och en till vänster, på samma avstånd från startpunkten. Det vill säga, räkna samma antal rutor till vänster respektive till höger och sätt ut nya punkter. Gör samma sak uppåt och neråt från startpunkten, men nu kan det vara ett annat avstånd. Rita sidorna i den fyrhörningen som alla nya punkterna bildar. Du får en romb!

Fråga: kan man rita en kvadrat på det här sättet?

Bevisa vilken form det är

Barnen får titta på olika figurer: godtyckliga fyrhörningar som är konvexa eller konkava, rektanglar, romber, kvadrater. De måste säga alla namn som figuren kan kallas och bevisa det också, men hjälp av linjal och ett bord (med linjalen kan de mäta ifall sidorna är lika långa och medelelst bordet kan de visa att en speciell vinkel är rät).

Till exempel denna figur än en fyrhörning och en romb:

Varför fyrhörning?
- Den har fyra sidor och fyra vinklar.

Varför romb?
- Alla sidorna är lika långa (verifieras mha linjal, eller så viker man den och sätter sidorna mot varandra)

Denna figur än en fyrhörning:

Varför fyrhörning?
- Fyra sidor, fyra hörn

Varför inte rektangel?
- Två av vinklarna är räta, men inte alla fyra (rät vinkel ”bevisas” genom att sätta figuren mot bordshörnet). Eller, en annan motivering: de två motstående sidorna är inte lika långa.

Ett närmare titt på kvadrater

Alla aktiviteterna nedan handlar om kvadrater, men de är egentligen väldigt olika. En del går ut på kombinatoriskt tänkande, en del på geometriskt. Det är viktigt att tänka antal, storlek, symmetri, mönster. Och det viktigaste av allt är att vara kreativ!

Kvadratuppdelning

Hur kan man dela upp en kvadrat i fyra likadana figurer? Nedan ser ni några exempel, men egentligen finns det oändligt många sätt.



Tändsticksproblem

Tändstickorna är en klassiker!

På bilden nedan finns fem kvadrater.
Hur ska man kunna ta bort två tänkstickor, så att det blir tre kvadrater kvar? Och två kvadrater?

Kvadrattal

Med de äldre barnen kan vi undersöka kvadrattal. Av små kvadratiska leksakstorn får de bygga de olika stora kvadraterna en i taget. Hur mycket bygger man på i varje steg (svar: de udda talen 1,3,5,7 och så vidare).

Vika transitivt

De flesta vuxna kan få en kvadrat utav ett rektangulärt papper: man viker ihop ena hörnet så att det bildas en rätvinklig triangel (som är två lager av papper). Sedan är det bara att klippa bort/vika in den överflödiga lilla rektangeln.

Men hur gör man för att få en kvadrat av en rätvinklig triangel med inga hjälpmedel?

Och hur får man en kvadrat ut en godtycklig triangel?

Det här problemet löses i flera steg och bygga på transitivetetsprincipen. Om vi kan göra om en rektangel till en kvadrat och sedan lär oss att göra om en rätvinklig triangel till en rektangel, kan vi alltså alltid göra om en rätvinklig triangel till en kvadrat.

Godtycklig triangel -> rätvinklig triangel
Hitta en höjd inuti triangeln. Vik längs med den (det vill säga, vik ihop hörnet så att den motsatta sidans delar läggs på varandra). Voila! En rätvinklig triangel.

Rätvinklig triangel -> rektangel
Vik båda kateterna på mitten, det vill säga vik in de spetsiga hörnen. Vi har en rektangel (pga topptriangelsatsen).

Rektangel -> kvadrat
Om ena av rektangeln sidor inte är dubbel så lång eller längre som den andra, gör som ovan. Annars, vik som ovan flera gånger, tills ”restrektangeln” är tillräckligt liten. Eller klipp bort efter första steget, om sax är tillåtet.

Vika boxar

Nu när vi kan göra kvadrater av lite vad som helst, kan vi lära oss att vika ihop boxar. Fördelen med de här boxarna är att man inte behöver vara supernoggrann, för att det ska bli ett hyfsat resultat. Problemet med de små barnen och origami är att de oftast inte har precision nog att vika en vinkel exakt på hälften. Äsch, inte ens alla vuxna har den precisionen!

Etiketter:, , , , , ,
Category: Spel och pyssel  |  Kommentar

So you think you can derive?

08 mars 2012, 12:29

Jag hjälper en person med att förbereda sig inför en tenta i endimensionell analys och vi träffar på följande tentauppgift:

\text{Derivera} \ \ x^{\sin x}

Tror du att du kan derivera rätt på första försöket? Prova och se om du lyckas!

Visa svaret

Etiketter:, ,
Category: Universitetsmatte  |  1 kommentar

Annorlunda tideräkning

29 februari 2012, 8:13

Rekommenderad från: 12 år

Invånarna på Matteön delar in dygnet i timmar, timmar i några minuter och minuter i några sekunder. Men deras dygn består av 77 minuter och deras timme innehåller 91 sekunder. Hur många sekunder ingår i ett dygn på Matteön?

Källa: Математический праздник

Visa lösningen

Etiketter:, , , ,
Category: Roliga mattegåtor  |  2 kommentarer

En lektion för små barn i kombinatorik

24 februari 2012, 22:49

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Här kan du se vad vi tidigare har gått igenom.

Kombinatorik

Kombinatorik är läran om kombinationer och permutationer, men för mig är det helt enkelt ett grundläggande tankesätt när man håller på med problemlösning. När du till exempel väljer vad du ska ha på dig på en festkväll är det kombinatoriken som säger om du har testat alla … kombinationer.

Samma teori hjälper dig när du lägger pussel. Kombinatoriken hjälper dig att testa de likadana ljusblå bitarna till himlen systematiskt istället för att bara slumptesta. Problemet löses snabbare och du är säkrare på att du har löst det!

Vissa av mina matematiker älskar kombinatorik, vissa ser det bara som ett oundvikligt redskap. Själv är jag väldigt tacksam för att min pappa lärde mig kombinatorik tidigt, redan vid 11 års åldern ungefär.

Om du är osäker på vad ämnet innebär rent praktiskt, kolla aktiviteterna nedan. Lekarna skall tjäna som en slags introduktion till ämnet.

Uppdrag med gubbar och hus

För att leka uppställning i olika rader och ringar är det bra att ha likadana objekt i olika färger. Så varför inte spelgubbar?

Jag plockade fram spelet Arkadia ut hyllan och upptäckte massa potential i spelkomponenterna:

På bilden ser ni gubbar i fem olika färger (jag kommer använda 11 i varje färg), torn som går att stapla på varandra, olika slags pengarbrickor, tetrisliknande brickor och kort. Längst bak till vänster ser ni ”tält” som det går att hänga upp små flaggor på.

Vi ska leka ”Köpmännens stad”, där barnen får svara på olika svåra frågor eller utföra olika svåra uppgifter (beroende på vad det är för ålder). För varje klarat uppdrag hängs en flagga upp. Målet är att ha så många flaggor som möjligt uppe.

5 år

För de minsta barnen handlar kombinatorik om att räkna, gruppera och jämföra. Följande uppgifter kan vara lämpliga:
- Gubbarna står i olika grupper. Hitta en siffra som motsvarar antalet gubbar i gruppen (1,2,3,4 etc.) och lägg den bredvid gruppen. Vilken grupp är störst? Vilken är minst?
- Vilka är fler: de gröna eller de gula gubbarna (lösningen är att para ihop dem, en gul med en grön och se om någon sort blir över)?
- Arrangera alla gubbarna (det är 55 stycken) i trianglar, så att hörnen ugörs av var sin gubbe. Arrangera gubbarna i cirklar. Arrangera gubbarna i en jättestor rektangel, om det går.
- Varje gubbe ska få var sitt mynt. Plocka fram så mycket mynt, som gubbarna skall ha tillsammans (5- och 10-myntbrickor får användas).
- Nu går gubbarna hem. Kan ni placera dem i grupper så som de var i början? (Siffrorna 1,2,3,4 etc. ligger kvar och hjälper till).

6 år

Några frågor kan vara samma som för femåringarna. Dessutom är det dags att börja med riktiga kombinationer.
- Gubbarna bestämde sig för att prata med några nya människor (köpmän av annan färg). Kan man dela upp gubbarna i par så att alla är med någon annan färg (Svar: alla utom en gubbe går att dela in i par)?
- Nu skulle gubbarna bilda lag, där tre olikafärgade köpmän skulle ingå. Hur många olika sortes lag kan bildas (Svar: 10 stycken)?
- Kan de tio lagen ställas ihop i en stor ring, så att inga två gubbar av samma färg står bredvid varandra?
- Efter att barnen ställer tillbaka gubbarna så som de stod i början, plockar jag bort några stycken under tiden som barnen blundar. Sedan skall barnen titta på bordet och försöka lista ut hur många jag tog bort.

Efter uppdragen kan vi röra på oss lite. Barnen, uppdelade i två grupper, ställer sig i en ring. Sedan skall de byta plats inom sin grupp så att det inte blir samma ring som förut. Hur många olika ringar kan bildas? (Svar: är de 3 stycken, finns det 2 olika ringar, är de 4 stycken, finns det 6 olika ringar.)

7 år

En del uppdrag lånar jag från sexåringarna, speciellt det sista om ringar. Med med sjuåringarna anteckngar vi de olika ringarna mha gubbarna i olika färger. Andra uppgifter kan vara:
- Hur många gubbar är det totalt? Gubbarna/siffrorna får grupperas om för att det skall vara enklare att räkna.
- Nu står det rätt antal gubbar i varje rum, men inte alla har rätt färg. Går det att återställa situationen i början, genom att man får gå en gubbe i taget? Om en gubbe går in i en grupp och det blir för många gubbar i gruppen, måste en ny går ur gruppen och fortsätta vidare på samma sätt. Matematiskt handlar det om att faktorisera en permutation i en produkt av cykler. Vilket alltid går.
- Vilket antal små torn går att bygga ihop till en stor triangel? (Svar: 1,3,6,10 osv. Dessa tal kallas just ”triangeltal”.)Är totala antalet gubbar ett triangeltal? (Svar: ja)
- På hur många sätt kan ni ställa er på en rad? Kan ni hitta på en egenskap för varje sätt? (T.ex.: länggordning, bokstavsordning etc.)

10 år

Frågorna om triangeltal, rader och ringar är som för sjuåringarna. Förutom det får tioåringarna problem i stil med:
- Kan 6 gubbar ställas ut på planet, så att det är 2 stycken vid varje kant?
- Kan gubbarna arrangeras om, så att antalet är detsamma (1,2,…,11), men färgerna är så olika som möjligt. Kan det vara så att det högst är 2 gubbar av varje färg i en och samma grupp? (Svar: nej, enligt lådprincipen måste gruppen med 11 personer innehålla minst 3 av samma färg.)

Pussel

Efter väl avklarade uppdrag skall vi göra gamla hederliga pussel. Förutom att det inte finns någon bild och formen på bitarna är oregelbunden!

Ett inte så lätt sjubitarspussel

Minne

Ett välkänt spel som tränar minne är att en person säger ett ord. Till exempel, om kategorin är ”saker i rummet” kan första personen säga ”bord”. Den andra personen måste då säger det förra ordet, samt ett ord till: ”bord, tavla”. Nästa säger ”bord, tavla, dator”. Och så fortsätter man tills någon gör fel: glömmer bort ordningen eller orden, eller säger ett ord som redan har sagts. Då kan man byta kategori.

Den här leken passar stora som små och tränar både språk, minne och kategorisering.

Einsteins pussel

De äldre barnen är mogna för ett logikpussel. Sjuåringarna får klura på ett 3×3-pussel, de äldre kan ta sig an något i stil med 5×4.

Etiketter:, , , , ,
Category: Spel och pyssel  |  3 kommentarer

Spänd tråd

15 februari 2012, 23:54

I en vägg sitter tjugo spikar (se bilden). Avståndet mellan två spikar som sitter precis bredvid varandra är 1 cm.

Din uppgift är att spänna en 19 cm lång tråd mellan spik 1 och spik 2, så att den går igenom alla spikarna. Hur gör du?

Visa lösningen

Etiketter:, ,
Category: Roliga mattegåtor  |  Kommentar

En lektion för små barn om trianglar

10 februari 2012, 10:45

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Notera att barnen redan har haft två lektioner om vinklar och olika vinkeltyper.

Trianglar

Det är dags att sätta ihop punkter, sträckor och vinklar till trianglar!

Sammanbinda punkter

Uppgiften är att kopiera av punkter på bilden till sitt eget papper och sedan sammanbinda dem till en triangel. De yngre barnen får ett lika stort papper som originalet, men de äldre får en annan storlek och därmed implicit får träna skala.

Exempelvis en sådan bild skall kopieras

Hur många hörn har en triangel? Hur många sidor?
Hur många spetsiga vinklar kan du hitta i din triangel? Hur många trubbiga? Är det någon som har en triangel med en rät vinkel?

Efter att alla är klara med övningen kan barnen få extraövning (eller så blir det läxa): sammanbinda alla tripplar av punkter, som är av samma färg.
Den här bilden:

Blir till en tolvuddig stjärna:

Rita och klipp ut en egen triangel

Barnen får välja färg på pappret och ett uppdrag av mig: rita en spetsvinklig, trubbvinklig eller en rätvinklig triangel. Sedan skall trianglar klippas ut och vi ordnar dem efter storleken på den största vinkeln (först den mest trubbvinkliga triangeln, sedan andra trubbvinklig, sedan rätvinkliga etc.).

Efter det får barnen låna varandras pappersrester för att klippa ut andra trianglar och bygga ihop ett torn (som bara består av trianglar). Tillsammans tillverkar vi ”triangellandet”:

Triangellandet från geometriboken

Kanske lägger jag ihop Sergels Torg – mönstret under tiden. Eller så klipper jag ut svarta och vita trianglar och barnen får arrangera dem till ”Sergels Torg”.

Triangelolikheten

Nu skall trianglar byggas av pinnar. Men det är inte alltid det går! Får man tre pinnar med längder 2cm, 3cm respektive 6cm, så går de inte sätta ihop till en triangel. Anledningen är triangelolikheten.

Barnen får en massa pinnar och skall hitta tre stycken som de kan sätta ihop till en triangel (med häftmassa till exempel). De äldre barnen ska försöka förklara när det går att bygga en triangel och när det inte går.

Vägar

Apropå triangelolikheten kan vi prata om den kortaste vägen och det kortaste avståndet med 7- och 10-åringarna. Hur kan man t.ex. avgöra om ens handled eller fotled är smalare (t.ex. med snöre)? Med samma hjälpmedel kan man avgöra vilket har större omkrets: en cirkel eller en liksidig triangel, inskriven i cirkeln?
Vilken väg från dörren till fönstret är kortast (notera att bord kan vara i vägen för den raka sträckan)?

Också att fundera på: vilken av dödsrelikerna har störst omkrets?

Bygga med en magnetisk struktur

Vi avslutar med att pyssla med en magnetisk byggsats, där bitarna är magnetiska pinnar och kulor, som binds ihop väldigt starkt med varandra. Vilka former på trianglar går att bygga med hjälp av byggsatsen? Går det att bygga 3D-strukturer som består av trianglar och i så fall vilka? (T.ex. en tetraeder eller en ikosaeder går att bygga.) För de äldsta barnen berättar jag om de platonska kropparna som finns och vi försöker bygga dem alla.

Notera att jag antagligen inte hinner med allt ovanstående på alla lektioner. Ibland fastnar barnen på en sak, ibland blir uppgiften för svår. Men det mesta kommer ändå med på lektionerna.

Etiketter:, , ,
Category: Geometri, Spel och pyssel  |  3 kommentarer

Språkkunskaper

08 februari 2012, 20:41

På en gymnasieskola tillfrågade man alla elever om vilka språk de kunde. Det visade sig att fler än 90% kunde både engelska och tyska, samt att fler än 90% kunde både engelska och franska.

Visa att bland de elever som kan franska och tyska, kan fler än 90% också engelska.

english deutsch français

Källa: Tournament of Towns

Visa lösningen

Etiketter:,
Category: Roliga mattegåtor  |  Kommentar

Introducera x tidigt i skolan?

06 februari 2012, 23:24

Nyligen pratade jag med en kollega om ekvationer. Att så pass måna barn och ungdomar i Sverige har svårt att förstå hur ekvationer funkar.

En möjlig förklaring till detta är att det blir för stort hopp i abstrakt tänkande när ekvationer först introduceras. Många elever tycker inte om x eftersom de förknippar den nya symbolen med svår matematik.

Egentligen är ju ekvationer ganska enkelt! (Som all matematik, när man väl fattar.) Ett sätt att få elever att inte bli rädda för det nya skrivsättet är att introducera x tidigare i grunskolan, föreslog min kollega.

Ni har säkert sett något liknande i matteboken på lågstadiet:

12 - 7 = \Box

Eller ett streck eller till och med en glad gubbe istället för rutan.

Varför inte skriva x istället? Det gör man redan tydligen i vissa länder, till exempel i Ungern (löst rykte, jag har ingen referens, någon som vet?)

Barnen får skriva en siffra på platsen där x är:

12 - 7 = x

vilket antagligen gör de mindre rädda för variabler så småningom. (Naturligvis bör olika bokstäver användas, inte uteslutande x.)

Det är en intressant idé, men jag ser omedelbart en nackdel för elever som senare börjar läsa på gymnasienivå och träffar på ekvationer och formler av typen

f(x) = 2^x

där x inte står för någon speciell siffra. Men x står alltid för ett speciellt tal innan man börjar prata om funktionsbegreppet. Men förhoppningsvis är eleverna mogna nog på gymnasiet för att ta till sig den abstraktionsnivån.

Etiketter:
Category: Funderingar  |  4 kommentarer

En lektion för små barn om vinklar på klockan och delbarhet

04 februari 2012, 15:29

Detta är en kortfattad planering av en del av en lektion med barn på 5, 6, 7 respektive 10 år. Där det inte står något är aktiviteterna riktade åt de yngre barnen.

Notera att barnen redan har haft en introduktion till vinklar och olika vinkeltyper.

Klockan

Vinklar på klockan

Var hittar vi vinklar i rummet? Det är svårt att hitta spetsiga och trubbiga vinklar, men klockans visare bildar oftast en spetsig eller trubbig vinkel. Vi tar fram en modell av en klocka med två visare och snurrar ena visaren. Barnen säger under tiden vilken vinkel det är mellan visarna (”trubbig, trubbig, trubbig, trubbig, RÄT, spetsig, spetsig, spetsig, jättespetsig…”).

Vad är klockan om visarna bildar en rät vinkel (om minutvisaren är på tolv)? De yngre barnen får experimentera med en klockmodell, medan de äldre får föreställa själva. Hur ofta sammanfaller visarna, kan man fråga de äldre barnen.

Branta backar

Ställer man en spetsig vinkelns ena ben på marken blir det en backe. Vilken backe åker man snabbast nedför? Vilken backe är jobbigast att klättra upp på?

Vika papper

Tänk om vi har varken linjal, gradskiva eller sax med oss! Det enda vi har är ett papper. Hur kan vi få fram en rät vinkel? Vad ska vi göra om pappersbiten är rund och inte triangulär från början?

De äldre barnen får i uppgift att vika ihop vinklar på 180, 90, 45 samt 60 grader.

Färga klockans siffror

Vi ska göra den tråkiga klockan lite snygg och färglägga cirklarna med siffror. Går det att måla cirklarna i två färger, så att varannan cirkel har en färg? Kommer det att gå ihop på slutet? Går det med 3 färger? 4 färger? 5 färger?

Tio- och kanske sjuåringarna får hitta tal upp till 100 som går att färga i både 2,3,4,5 och 6-färgsmönster.
I samband med det får de kort där de snabbt ska gissa hur många cirklar det finns av en viss färg.

Till exempel, hur många röda cirklar är det på bilden? Svara utan att räkna dem en efter en!

Bygga ihop 360^\circ

Vi fortsätter på uppgiften från förra gången. Nu gäller det att inte bygga en cirkel utav vilka bitar som helst, utan av exakt två typer av bitar. Det finns inte så många lösningar till den här uppgiften om man lägger på begränsningar på att varannan bit ska ha samma färg (ett exempel är 90^\circ+30^\circ+90^\circ+30^\circ+90^\circ+30^\circ). De äldre barnen får försöka bevisa att de har hittat alla lösningar.

Etiketter:, , , , , ,
Category: Spel och pyssel  |  Kommentar

Centauren

29 januari 2012, 16:14

Två spelare spelar på ett oregelbundet rutigt bräde. De turas om att flytta pjäsen Centauren, som kan flyttas antingen en ruta åt vänster, en ruta uppåt eller en ruta uppåt-höger på ett drag.

Spelaren som inte kan flytta pjäsen på sitt drag förlorar spelet. Vem har en optimal strategi: första spelaren (som börjar) eller andra spelaren?

Visa lösningen

Etiketter:, ,
Category: Roliga mattegåtor  |  2 kommentarer
« Previous Entries
Next Entries »