Rektangel
Rektangel
Du har tillgång till 12 sträckor som är 2cm långa, 12 sträckor som är 3cm och 11 sträckor med längden 5cm. Går det att bygga en rektangel av alla sträckorna med sidlängderna lika med ett helt antal centimeter?
Posts tagged ‘rektangel’
Lösningen till problemet för de äldre vecka 45
Mattegåta
Ett biljardbord har en långsida som är dubbelt så lång som kortsidan. I varje hörn finns det ett hål, samt två hål till finns på varje långsidas mitt.
Vilket är det minsta antalet bollar som man kan placerat ut på bordet så att varje hål befinner sig på samma linje som ett visst par av bollar? (Bordet är rektangulärt, hål och bollar antas vara lika stora som punkter.)
Diskussion
Eftersom det frågas efter det minsta antalet i uppgiften är det underförstått att resultat skall bevisas. Det vill säga det måste finnas ett exempel med x bollar (om x är svaret), samt bevis för att det inte går med färre än x bollar.
Ett sätt att jobba på är att börja underifrån (till exempel med 1 eller 2 bollar) och för varje antal antingen visa att det inte går eller att det går. Fallen är oftast svårare närmast svaret. Lite som i fyrfärgsproblemet!
Fyrfärgsteoremet
Sats. För en platt ”karta” räcker det alltid med fyra färger för att måla ”länderna” på kartan så att inga två länder med gemensam gräns har samma färg (gränser utgörs av raka eller krokiga linjesegment).
Det var länge känt att det räckte med fem färger och att det finns kartor som inte går att färga med tre färger. Men fallet fyra tog lång tid tills den äntligen bevisades med hjälp av datorberäkningar.
Lösning (av Erik Svensson)
Till att börja med kan vi uppenbart utesluta att det går med bara en boll (och förstås även med noll bollar).
Det finns ej heller någon lösning för två bollar, ty vi vet att två bollar (punkter) entydigt bestämmer en linje, så om samtliga hål ska ligga i linje med två bollar, då måste alla hålen ligga på samma linje. Men hålen på biljardbordet ligger inte på en linje.
Det är inte heller möjligt med tre bollar, vilket vi ser om vi försöker konstruera en. Om vi har tre bollar, då finns det två möjligheter: Att de ligger på en linje eller att de inte gör det.
Ifall de ligger på en linje, då får vi en motsägelse med samma resonemang som för två bollar, och ifall de inte ligger på en linje så bildar de en triangel. I så fall utgör varje linje med två bollar en sida i denna triangel, och bollarna är hörnen.
Vi börjar med att konstatera att ingen sida i denna triangel kan täcka tre hål, ty de enda linjerna på bordet som täcker tre hål är långsidorna. Ens om vi antar att frågeformuleringen tillåter bollar längs med sidorna innebär detta att två bollar måste ligga på en av långsidorna, vilket innebär att den tredje bollen måste ge upphov till två linjer som täcker samtliga tre resterande hål, vilket medför att någon av dessa två linjer måste täcka två hål på den andra långsidan och ändå korsa den första långsidan, vilket är omöjligt.
Att täcka fyra eller fler hål med en linje är förstås också omöjligt som biljardbordet är uppbyggt.
En linje kan ej heller passera genom bara ett hål, eftersom detta lämnar fem hål att täckas med de resterande två linjerna, och alltså måste någon av dessa linjer täcka minst tre hål, vilket motsäger det vi just kom fram till. Även en linje som inte täcker några hål kan vi utesluta, eftersom denna linje i så fall kan tas bort och därmed ge en lösning för två hål, vilket vi visat inte existerar.
Således måste vi ha tre linjer som täcker exakt två hål, och de måste täcka två bollar vardera. Eftersom varje boll är ett hörn i den triangel som bildas ligger varje boll på två sådana linjer.
På bilden ser vi alla möjliga linjer som täcker två hål, samt alla skärningspunkter mellan dem. Dessa punkter är de enda kandidaterna till var en boll kan ligga. Vi ser emellertid att det inte finns någon triangel av sådana punkter (med de utmarkerade linjerna som sidor), och den minsta slutna figur vi kan bilda är en fyrhörning. Alltså finns det ingen lösning för tre bollar, men det finns en för fyra, till exempel genom att välja fyra punkter som bildar en fyrhörning i bilden och lägga bollarna där.
Lösningen till problemet för de äldre vecka 44
Mattegåta
Martin samlar på ovanliga mynt. Mynten i hans samling alla har en diameter på högst 10 cm. Samlingen förvarar han i en låda som har storlek 30 cm x 70 cm (i ett lager, inga mynt ligger ens delvis ovanpå varandra).
Men nyss fick Martin ett nytt mynt med en diameter så stor som 25 cm. Visa att den nya samlingen får plats i en låda som är 55 cm x 55 cm stor (också nu i ett lager).
Diskussion
Uppgiften handlar lite om att optimera. Om vi har eventuell platsbrist i den nya lådan, så är det nog lite dumt att lägga det stora 25 cm x 25 cm-myntet i mitten utav den. Mycket smartare är det att lägga det i ett hörn.
Mynt kan även ligga på krångliga sätt, de är ju cirklar av olika storlekar. I varje mellanrum går det att stoppa in ett pyttelitet mynt till. Därför är det omöjligt att uppskatta antalet mynt och även hopplöst att försöka omplacera mynten för mycket.
Så gissningsvis ska mynten ligga ungefär som de gjorde i första lådan. Och det stora myntet ska ligga i ett hörn. Dessa två antaganden leder fram till lösningen nedan.
Lösning (av Benjamin Fayyazuddin-Ljungberg)
Rita ett rött streck 15 cm in på Martins ursprungliga låda, så att den delas in i två delar av storlek 30cm*55cm och 30cm*15 cm. Rita ett parallellt blått streck, 10 cm längre in än det röda, så att vi får två delar av storlek 30cm*45cm och 30cm*25cm.
Dela in lådan två (överlappande) rutor, ett som begränsas uppifrån av överkanten på lådan och nedifrån av det blåa strecket (storlek 30cm*25cm), och ett som begränsas uppifrån av det röda strecket och nedifrån av nederkanten på lådan (storlek 30cm*55cm).
Eftersom mynten högst har diameter 10 cm kan det inte finnas något mynt sådant att det röda strecket och det blåa strecket båda passerar genom det. Därför kan vi säga att varje mynt tillhör den rutan som helt innefattar det myntet. Alla mynt tillhör då någon ruta, och får plats i den. Det kan finnas mynt som hamnar i båda rutorna, då kan man godtyckligt välja vilken ruta de ska tillhöra.
Nu flyttar vi runt rutorna, med alla tillhörande mynt, och placerar dem i Martins nya låda. Vi ser då att vi får plats med en gul ruta i hörnet med storlek 25cm*25 cm. Alltså får det nya myntet plats också.
Matteproblem för de äldre vecka 45
Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast måndagen den 22 november får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!
Mattegåta
Ett biljardbord har en långsida som är dubbelt så lång som kortsidan. I varje hörn finns det ett hål, samt två hål till finns på varje långsidas mitt.
Vilket är det minsta antalet bollar som man kan placerat ut på bordet så att varje hål befinner sig på samma linje som ett visst par av bollar? (Bordet är rektangulärt, hål och bollar antas vara lika stora som punkter.)
Lösningen till problemet för de yngre vecka 42
Mattegåta
Till ditt förfogande har du jättemånga figurer som på bilden:
Sätt ihop
a) En kvadrat av storlek 9×9 med ett hål i mitten som är 3×3 stort.
b) En rektangel med storlek 9×12
av sådana figurer (du får vända och vrida på dem, men figurerna får inte överlappa).
Diskussion
För att förenkla arbetet med byggandet, ritar vi först upp alla möjliga utseenden på figuren när man vrider och vänder på den:
Det blev åtta möjligheter, eftersom man kan vända upp och ner på figuren och för varje vändningsläge (rättvänt eller upp-och-ner) går att det att vrida figuren på 4 olika sätt.
Konstruktionen kan påbörjas i ett hörn för både punkt a) och b). Till exempel ser vi att bara den röda och den gröna figuren passar i nedre högra hörnet.
Lösning
Nedan är lösningar för både a) och b):
Matteproblem för de äldre vecka 44
Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast måndagen den 15 november får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!
Mattegåta
Martin samlar på ovanliga mynt. Mynten i hans samling alla har en diameter på högst 10 cm. Samlingen förvarar han i en låda som har storlek 30 cm x 70 cm (i ett lager, inga mynt ligger ens delvis ovanpå varandra).
Men nyss fick Martin ett nytt mynt med en diameter så stor som 25 cm. Visa att den nya samlingen får plats i en låda som är 55 cm x 55 cm stor (också nu i ett lager).
Matteproblem för de yngre vecka 42
Skickar gärna lösningar eller frågor om detta problem till valentina.chapovalova@gmail.com. Om din lösning kommer in senast onsdagen den 3 november får du vara med i bloggens tävling och då har du chansen att vinna priser!
Mattegåta
Till ditt förfogande har du jättemånga figurer som på bilden:
Sätt ihop
a) En kvadrat av storlek 9×9 med ett hål i mitten som är 3×3 stort.
b) En rektangel med storlek 9×12
av sådana figurer (du får vända och vrida på dem, men figurerna får inte överlappa).
Lösning till problem vecka 11
Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.
Lösning:
Det bästa resultatet kommer från Erik T., han lyckades trycka in 35 rektanglar:
Matteproblem vecka 11
Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!
Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.
Mattegåta vecka 41
Det finns ett rutigt papper. På det finns rektanglar som har sin gräns gående längs med rutorna. Varje rektangel består av ett udda antal rutor och inga två rektanglar har gemensamma inre rutor. Visa att det går att måla rektanglarna i fyra färger på så sätt att två rektanglar med samma färg aldrig har gemensam gränspunkt.