Mattebloggen

Låt F₁ vara en godtycklig konvex fyrhörning. För k>1, F_k konstrueras genom att man skär F_k-1 i två delar längs en av dess diagonaler, vänder på en av delarna och sedan klistrar delarna samman längs samma diagonal. Bestäm det största möjliga antalet icke-kongruenta fyrhörningar i följden {F_k}.

Exempel:

För att förtydliga, en tillåten operation är följande:

Lösning:

Notera att om sidlängderna hos fyrhörningen är a, b, c, d, så finns exempel, där följden av fyrhörningar innehåller 6 icke-kongruenta: de med olika ordning på sidorna. Tag nämligenen fyrhörning med alla sidor olika, men som ändå påminner om en kvadrat (detta för att fyrhörningarna som bildas inte ska bli icke-konvexa). Men tillåtna operationer byt sedan plats på sidorna på alla möjliga sätt (trianglar med den gråa symbolen flippas):

Ritningen är inte exakt, men vi kan se att alla olika sidordningar verkligen förekommer. Eftersom fyrhörningar kan roteras, valde vi fixera sidan med längden a, den kommer ändå alltid finnas.

Så nu är frågan varför det inte går att konstruera fler fyrhörningar? Notera att det finns en sak som aldrig förändras och det är summan av två motsatta vinklar i fyrhörningen. Vid varje flipp är det ett par av motsatta vinklar som inte ändras, således kommer vinkelsumman i det andra paret inte heller förändras.

Men notera också att sidlängderna kvarstår. Tag nu någon ordning på sidorna, vi skall nu bevisa att det går att bygga exakt en fyrhörning med den ordningen ur den ursprungliga. Utan inskränkning kan vi anta att sidordning är (medurs) a, b, c, d och a är den vänstra sidan.

Kalla vinkeln mellan a och d för x. Då är vinkeln mellan b och c också bestämd, nämligen S-x, där S var vinkelsumman av den ”nedre vänstra” och den ”övre högra” vinkeln. Men då har vi två trianglar, beståndsdelarna i fyrhörningen, som kan sättas ihop endast på ett sätt och det endast när de okända sidorna är lika (de ska bli en diagonal).

De okända sidorna är lika endast för en vinkel x (den som det går att konstruera bilden för).  Det beror på att om vinkeln minskas, så minskas också den motstående sidan. Men då ökar S-x och dess motstående sida, och då kan de sidorna inte längre vara lika. Samma sak händer om vinkeln x ökas.

På så sätt har vi uttömt alla fallen och visat att antalet olika fyrhörningar är 6, en för varje sidordning.

Låt F₁ vara en godtycklig konvex fyrhörning. För k>1, F_k konstrueras genom att man skär F_k-1 i två delar längs en av dess diagonaler, vänder på en av delarna och sedan klistrar delarna samman längs samma diagonal. Bestäm det största möjliga antalet icke-kongruenta fyrhörningar i följden {F_k}.

Rita två fyrkanter, som tillsammans kan läggas ihop till

(i) En triangel, men också en femkant

(ii) Både en triangel, en fyrkant och en femkant.

Med ”läggas ihop” menar jag förstås att fyrkanterna inte får överlappa varandra, inte heller får det bildas hål.

Lösning:

Löser man (ii), löser man förstås och (i). Hur tänker man då?

Det är ganska naturligt att utgå från en triangel, för att bitarna ska ändå kunna läggas ihop till en triangel och olika trianglar finns det färst av. Det vill säga, vi bör i princip pröva att skära itu spetsiga trianglar (såna som har alla vinklar mindre än 90°), trubbiga trianglar (såna som har en vinkel större än 90°) och också pröva med rätvinkliga trianglar.

Här nedan är Oves lösning (jag borde ha någon sorts topplista för att beröma honom). Han poängterade för mig att han löste det hela i stort sett med ”trial & error”-metoden. Och det är så konstruktionsproblem oftast löses.

Udda vecka innebär lite svårare uppgift, men jag har ändå valt ut någonting som alla kan klura på:

Gåta:

Rita två fyrkanter, som tillsammans kan läggas ihop till

(i) En triangel, men också en femkant

(ii) Både en triangel, en fyrkant och en femkant.

Med ”läggas ihop” menar jag förstås att fyrkanterna inte får överlappa varandra, inte heller får det bildas hål.