Fjärde träffen med Matteklubben, åk 2-4

Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan läsa om första, andra och tredje träffen med gruppen.

Nytt sätt att sitta

Den sista gången för terminen testade vi en ny bordsuppställning. Vanligtvis brukar vi behålla lektionssalen som den är, det vill säga ha 4 långa rader med bord och stolar, uppdelade i tre sektioner (den mittersta sektionen är störst). Det finns egentligen plats för cirka 40 personer, men vår grupp är inte lika stor längre (det brukar nu komma mellan 20 och 30 barn). Dels för att skapa naturlig “gruppkänsla” och dels för att ha mer utrymme för att gå runt mellan grupperna gjorde vi några “öar” med bord, med 4-6 sittplatser runt dem.

Några av barnen kom tidigt och hjälpte oss att flytta borden och stolarna. Det känns som att barnen gillade den här uppställningen, det är ju så det brukar vara i grundskolan och jag tycker att det ger en mer avslappnad känsla. Dessutom kunde vi snabbt skapa stort tomt utrymme i mitten av rummet för en aktivitet i slutet av lektionen.

Introduktion till scheman

Målet med lektionen var att introducera schemaritande i problemlösning. Den idén har vi gått igenom med årskurs 5-6, men nu behövde vi ta ner nivån något för att även de minsta barnen skulle förstå vitsen med tekniken.

Jag tycker om att börja lektionerna med en lekövning, så att alla kan komma igång och få en känsla för dagens tema. Denna gång var det dock svårt att göra övningar i form av spel, det vill säga, det fanns inget uppenbart mål för eleverna. Men de gjorde uppgifterna så som de blivit ombedda att göra och fick hum om dagens tema ändå. Följande fick de göra:

Varje grupp fick två papper. Första pappret skulle de riva sönder i några bitar (så många som de var i gruppen, det vill säga 3-6). Varje person skulle ta en lapp och skriva sitt namn på lappen. Sedan skulle de skrynkla lappen, lägga den i en hög och sedan dra en slumpvis annan lapp. På så sätt skulle varje barn få någon annans namn. På det andra pappret skulle de rita ett schema över vem som fick vems namn.

I den andra övningen skulle de sitta i grupper om 5-6 personer. Barnen skulle blunda och sträcka ut båda sina händer mot mitten. Sedan skulle de ta tag i någon annans hand med vänsterhanden, samt med högerhanden. När alla är klara får man titta igen. Sitter alla ihop nu? Om inte, vilka sitter ihop, vilka sitter inte ihop? Här behövde inte barnen rita, utan bara säga svaren högt.

Det blev lite förvirring över en andra uppgiften, då jag först bad dem att gissa ifall alla satt ihop eller inte när de fortfarande blundade. Vissa grupper kunde ge en gissning, vissa inte. Jag tror att de behöver ha lekt leken några gånger och känna igen situationen för att börja komma på strategier för att testa om de utgör en sammanhängande graf eller inte. Men denna lek var ny för dem och målet med leken var som sagt ganska diffus.

Efter att alla grupper hade testat att göra scheman på sig själva gick vi igenom allas ritningar från första övningen på tavlan. Vissa fick en triangel, vissa fick cirkel och vissa mer avancerade figurer. Vi kom överens om att en cirkel med tre personer är egentligen samma schema som en triangel. Barnen kunde då förstå att en cirkel med fyra personer är samma som en kvadrat. Och att en kvadrat kan ritas på ett annat sätt (som en “åtta”/”timglas”). Jag försökte poängtera att det inte formen som räknas, utan vem som faktiskt fick vems namn. Detta motsvarar grafisomorfismer i matematiken och det är roligt att introducera isomorfismer till barnen i så tidig ålder och att de verkar förstå.

Grafer

Som vanligt fick eleverna försöka lösa uppgifter i grupper, men denna gång var det naturligt att grupperna blev lite större (på grund av hur gruppen satt i en ring runt ett par bord). Det gjorde troligen så att klassen löste uppgifterna lite fortare än vad de annars skulle ha gjort. Vissa grupper fick en extrauppgift när de var helt klara (en extra svår bild att rita enligt reglerna i uppgift 3).

Under varje uppgift skriver jag några diskussioner jag haft med grupperna.

1. Några barn gick på en picknick. En vuxen ritade av dem på en bild där varje barn blev en liten cirkel. Sedan ritade han ut pilar, som om varje pojke skulle peka på sina systrar. Så här så det ut:

syskon

(a) Vilka barn är säkerligen flickor? Markera dem med ett kryss.
(b) Är det några pilar som den vuxna säkerligen glömde bort att rita ut?

Lärare (ser hur eleverna har ritat): Hur vet ni av de överkryssade är flickor?
Elever: Det är de som man pekade på.
Lärare (ser att inga nya pilar är utsatta): Kan man inte veta något mer, någon som skulle ha pekat på sin syster? Vilka vet man är syskon?
Elever visar på en större grupp, men ibland visar (gissar?) helt fel också.
Lärare (när elever visar fel): Det här kan man inte veta säkert. De kan ha varit syskon, men också är det möjligt att de inte är det. Markera bara det som är helt säkert.

2. Harry Potter vet hur man omvandlar en padda till en prinsessa, en svamp till en
padda och ett päron, ett päron till ett äpple, en äppelskrutt till en kattunge och en
igelkott, en kattunge till ett päron eller ett äpple, en igelkott till ett päron, ett äpple
kan han dock bara omvandla till en äppelskrutt. Just nu har han bara ett äpple. Kan
han omvandla det till en prinsessa?

Elever: Det är svårt att se. Vi lyckas inte..
Lärare: Rita ett schema över vad Harry Potter kan göra. Då kan ni lättare se om svaret är “ja” eller “nej”.
Elever: Ahaa, kan svaret alltså vara “nej”!?

3. Vilken av följande bilder går att rita utan att släppa pennan från pappret? Vilken går inte att rita på det sättet? Det är inte tillåtet att dra samma sträcka flera gånger.

tavlor

Elever: Så här gjorde vi på den första. På den andra går det bara om man ritar “ett tak”.
Lärare: Nu finns det inget “tak” på den andra. Varför är det så att det inte går att rita? Man kanske kan börja i mitten?
Elever: Kanske… (prövar)… nä, det går inte att börja i mitten heller.

4. Går att rita följande figur utan att lyfta pennan från pappret med samma regler som innan?

kvadrater

Elev: Jag lyckades! Men jag kommer inte ihåg hur jag gjorde… Vänta så ska jag visa hur man gör (ritar igen).
Lärare: Japp!

5. Hitta på en figur som består av 8 linjer som inte går att rita enligt reglerna ovan.

Elever: Den här går inte.
Lärare: Består den verkligen av 8 linjer?
Elever: Ah, justja…

 

Genomgång

När de flesta av eleverna var klara med uppgifterna gick vi igenom dem på tavlan.

1. På den första uppgiften ritade jag upp situationen och pekade på cirklarna en i taget samtidigt som jag frågade “ska det vara ett kryss där?” Då svarade eleverna unisont “ja” eller “nej”, förutom i fallen då cirklarna stod ensamma. Där är man faktiskt inte säker. Det skulle kunna vara ett ensambarn och man vet inte huruvida det är en pojke eller en flicka.

Sedan fick några elever komma fram och rita ut pilarna som saknades. Jag sade att halvsyskon inte förekommer i den här uppgiften, fast jag tror egentligen det inte var någon som frågade det heller.

2. Uppgiften om Harry Potter löste eleverna på lite olika sätt. Någon utgick från slutet och kunde motivera svaret “nej” genom att säga att det inte går att få svamp på något sätt och man måste ha en svamp för att senare få en prinsessa.

Jag ritade ändå upp schemat med pilar över vad man kunde få ur vad, så att det blev klart att det fanns två åtskilda system och man kunde se direkt att det inte gick att gå med pilar mellan dem. Fördelen med den lösningen är att man kan svara på fler frågor än just den som ställs i uppgiften, t.ex. att man inte kan omvandla ett päron till en padda heller.

3. Vi ritade upp den första figuren på tavlan och kom fram till att den andra inte gick (utan att egentligen bevisa det). Jag frågade eleverna var det gick att börja (i vilken punkt) för att rita den första figuren. Efter lite testning kom vi fram till att bara två punkter gick att starta i för att få en korrekt väg.

4. Efter att en elev ritade upp vägen i tre kvadrater-uppgiften ställde jag samma fråga. Vilka punkter gick att starta på eller snarare, vilka punkter går det inte att starta på? Dock när någon elev pekade ut en “omöjlig” punkt, så visade jag hur man kunde starta i den och rita upp figuren enligt reglerna. Till slut avslöjade jag att det faktiskt gick att starta i vilken punkt som helst.

Vi gick inte igenom teorin om Eulerstigar och hörn med udda/jämn grad, men eleverna är nu mottagliga för den idén efter att ha fått känna på sådana uppgifter.

5. Många grupper fick komma fram till tavlan samtidigt och rita upp sina grafer. Jag ringade in de som var korrekta (bestod av 8 linjer och var omöjliga att rita enligt reglerna), vilket de flesta var.

Efter genomgången tog vi en välbehövd rast. Enligt schemat skulle vi ha lekt knutleken, men jag senarelade den.

Julnötter

Många barn frågade vad “julnötter” vad för något, eftersom de inte hade träffat på ordet “nötter” i betydelsen “kluringar”. Jag tror att vi fick den frågan från alla grupper :)

1. Erik var ute och julhandlade. 1/10 av alla sina pengar spenderade han på nötter, 2/5 på kakor och 1/2 på praliner. Hur mycket pengar hade Erik kvar efter att han hade handlat?

Elever: Hur ska man tänka här?
Lärare: Till att börja med, testa vad som skulle ha hänt om Erik hade 10 kronor från början.
Elever (efter att ha räknat): Då skulle han få 0 kronor kvar.
Lärare: Vad skulle hända om han hade 100 kronor från början? 150?
Elever räknar…
Lärare: Ni kan testa att rita upp delarna om det är svårt att räkna.

2. Det finns två timglas som kan mäta 7 respektive 11 minuter. Julgröten måste kokas i exakt 15 minuter. Hur kan man mäta denna tid med hjälp av endast timglasen? Försök att vända timglasen så få gånger som möjligt.

Elever: Hur funkar det här? Vi kommer inte på hur man ska göra.
Lärare: Vi har timglas så att vi kan mäta 7 minuter och vi kan mäta 11 minuter. Kan ni komma på hur man skulle mäta 18 minuter?
Eleverna kommer på hur man gör.
Lärare: 14 minuter då?
Eleverna berättar hur man gör.
Lärare: Försök att komma på ett sätt att mäta 4 minuter.
Efter ett tag kommer en av eleverna i gruppen på hur man gör. Då ber jag att förklara lösningen till de andra gruppen. Efter det brukar någon i gruppen eller samma elev komma på hur man gör för att mäta upp 15 minuter.

3. Har du någonsin gjort girlanger utav gubbar till julgranen? Nedan ser du hur du kan göra en girlang av snögubbar (eller ljus), men hur gör man för att klippa ut en girlang med varannan snögubbe, vartannat ljus?

snogubbe

Jag såg endast 1-2 grupper börja på den här uppgiften, eftersom vi hade så lite tid till julnötterna (och de var svåra). Men åtminstone en grupp lyckades göra girlangen.

 

Knutleken

I slutet av lektionen plockade vi bort borden och stolarna i mitten för att göra ett stort tomt utrymme för knutleken. Alla, både eleverna och lärarna, ställde sig i en ring. Vi gjorde samma sak som i början av lektionen, fast i helklass: Alla blundade, sträckte fram två händer och gick mot mitten. Jag hjälpte till när händerna skulle ta tag i varandra, så att alla händer fick en annan och så att inga tre händer möttes. Sedan fick alla titta igen och nu var det meningen att man skulle trassla upp “knuten” utan att släppa händerna från varandra. Såklart kunde det bli så att flera separata ringar bildades, vilket några av eleverna förutspådde och vilket också hände. Också kunde det hända att några deltagare stod bak-och-fram i slutet, bara för att slutresultatet skulle bli en ring.

Det är faktiskt inte givet att knuten går upp, men oftast gör den det. I vårt fall hade vi en liten ring på två personer som lösgjorde sig i början, samt två större ringar som var fästa i varandra.

Efter att vi var klara skulle eleverna fylla i en liten utvärdering, men så fort de hade gjort det ville de leka knutleken igen. Det gjorde de även efter att lektionen var slut. Jag håller med dem om att det är en kul lek :)

Utvärdering

Precis som i mellanstadiet fick eleverna svara på följande frågor:

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):

1 2 3 4 5

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin (ringa in):

Ja Nej Kanske

Resultatet av utvärderingarna

Efter varje svarsalternativ står det hur många elever hade svarat så. Det märks vilken aktivitet föregick utvärderingen :)

Vad har varit roligast att göra på Matteklubben?

– Lösa uppgifter tillsammans

– Mattekluringar 2 – det borde vara lite svårare och lättare beroende på vilka frågor det är.

– Knutleken 3

– Att man fick vara i grupper och räkna tillsammans 4

– Vet ej

– Allt! Bäst i världen!

– Mattelekarna 4

– Mera matte, mindre raster

– Att klippa rubiks kub

– Att alla uppgifter är lagom svåra

– Goda mackor

Vad har varit minst roligt att göra på Matteklubben?

– Sallad på mackorna

– Vet inte 4

– Vissa uppgifter är svåra!

– Genomgångarna fast de var också roliga

– Att sitta och vänta

– Bara mattelekarna var roliga – minst roligt var allting annat 2

– Kortare genomgångar 3

– För korta raster 2

– Inget 3

– Julnötter

Ge dig själv betyg 1-5 (5 är högst) beroende på hur flitig du har varit med att lösa problemen (ringa in):
Betyg 1: 0
Betyg 2: 0
Betyg 3: 9
Betyg 4: 5
Betyg 5: 5

Vill du fortsätta gå på Matteklubben nästa termin?
Ja: 11
Nej: 1
Kanske: 7

Tankar efter terminen

Det märks att de minsta barnen tyckte att det var roligt att gå på Matteklubben, men kanske var det roligast just att “leka” med matte. Vi har försökt att blanda lek och allvar, speciellt på de senaste två gångerna och det ämnar vi att göra även nästa termin. Möjligen blir det lättare att göra lektionen tillräckligt varierande för att de yngsta barnen ska orka med, då vi kommer att ha 1,5h-lektioner i vår, något kortare än i höstas. Kanske finns det en poäng i att ha någon speciell aktivitet på rasten. På så vis förlorar vi inte så mycket på att göra rasten längre, och barnen får samtidigt samarbeta på ett mer avslappnat sätt och lära känna varandra.

Då matteklubben fortsätter hela 2015 kan jag nu planera ett löpande program istället för att ta enskilda teman. Nu när jag har bättre koll på barnen (och med mindre grupper) vore det kanske möjligt att följa enstaka barnens utveckling.

Har du tips på rastaktiviteter/lekar med matematisk vinkel som passar bra att göra i den här gruppen, kommentera gärna här nedan!

HMT-kval 2013

För circa en månad sedan hölls kvalomgången i Högstadiets Matematiktävling. Det är en tävling i problemlösning som riktar sig till årskurs 6-9, men självfallet lyckas eleverna i årskurs 8-9 få bäst resultat. Därför är det mest elever från dessa årskurser som går vidare till finalomgången.

Därmed inte sagt att de inte kan gå bra för elever i åk 6-7! Det de eventuellt saknar är några kunskaper om geometri samt delbarhet, vilket ett par av årets kvaluppgifter gick ut på. Däremot kunde man klara sig riktigt bra även om man “bara” hade löst fyra uppgifter av sex. 10 poäng räckte nämligen för att gå till final (3 poäng tilldelas för varje korrekt löst uppgift). Du kan läsa mer om årets omgång på HMT:s hemsida, medan vi tittar närmare på själva uppgifterna.

Problem 1

Det går att skriva tal i rutorna i figur 1 så att om man följer pilen från en ruta och
använder räkneoperationen som står vid pilen så får man talet i nästa ruta.

hmt_kval13_1

Vilket tal är då X? Ange även en möjlig räkneoperation att ersätta frågetecknet med.

Lösning

Strategin är att gå baklänges från 13 till X på vägen gjord av pilarna till vänster. Till 13 kommer vi genom att dela med 2, så talet innan måste vara 26. Till 26 kommer vi genom att subtrahera 1, så talet innan är 27. Innan dess multiplicerade vi talet med 3, så talet innan måste ha varit 9. Och från X kom vi till 9 genom att subtrahera 11, så X måste ha varit 20.

På samma sätt kan vi bestämma talen på högra pilvägen. Till 13 måste vi ha kommit från 18, till 18 från 12, till 12 från 6. Om vi ska komma från 20 till 6 så kan operationen under frågetecknet vara -14 till exempel.

Kommetarer

Det här en typiskt uppgift nästan alla tävlande klarar av. Man hoppas ju innerligt att ALLA elever i åk 9 ska kunna klara av en sådan uppgift. Men så är tyvärr inte fallet, vilket bara beror på att dessa elever antagligen skulle missförstå uppgiften.

En grej man inte tänker på när man är van vid ekvationer är att “x2” och “x3” skulle kunna misstolkas att handla om “X”. Bokstaven “X” står i mitten för att göra uppgiftsformuleringen tydligare, men kan tvärtom skrämma elever som inte gillar ekvationer. Man skulle kunna ställa upp lösningen på första halvan av uppgiften såhär:

((X – 11)*3 – 1)/2 = 13

Men hur kul formulering är det? Vilken av formuleringarna uppmanar till någorlunda kreativt tänkande och vilken till att “komma ihåg och tillämpa inlärd metod”? Just det, olika formuleringar på samma uppgift blir pedagogiskt sett helt olika uppgifter! De flesta elever tror jag skulle lyckas lättare på den första formuleringen. Något att tänka på när man introducerar ekvationer i skolan.

Problem 2

Om talet A vet vi följande:
- Talet A ger resten 5 när det delas med 11.
- Talet A ger resten 4 när det delas med 9.
- Talet A ger resten 5 när det delas med 7.
- Talet A ger resten 4 när det delas med 5.
Vilken rest får man när man delar A med 3?

Lösning

Svaret kan vara antingen 0, 1 eller 2, eftersom inga andra rester förekommer när man dividerar med 3. Talet A kan vara hur stort som helst, men vi försöker “få plats” med så många 3:or i talet som det bara går.

För det kan vi använda att talet A har rest 4 när det delas med 9. Det betyder att man får plats med ett antal 9:or och det blir 4 över. Men en 9:a är ju tre 3:or, därför vet vi att talet A innehåller ett ännu större antal 3:or, men det viktigaste är att det blir 4 över. Där får det plats en 3:a till och det blir 1 över. Därför är resten lika med 1.

Kommetarer

Svårigheterna med att lösa den här uppgiften består av att man inte vet vad division med rest innebär, eftersom man inte fokuserar så mycket på just rester i skolan. Och även om man vet vad resten är, så kanske man försöker bestämma talet A, vilket inte ger ett heltäckande resultat (det finns flera tal A som har de nämnda egenskaper, till och med oändligt många sådana tal finns det). Och så är det förstås vilseledande att det bara villkor två som är viktigt.

Tar man sig igenom de hindren, så är inte uppgiften svår.

Problem 3

På Skänkvägen står elva hus på rad, numrerade från 1 till 11. Eftersom sämjan bland
grannarna är god, så bjuds det ofta på middag. När man bjuder på middag bjuder man
in de två närmaste grannhusen på båda sidor. Om man inte har två grannar på någon
sida bjuder man alltså in färre grannar, till exempel bjuder hus 2 in grannarna i hus 1, 3
och 4.

En dag ärver familjen i hus 2 en riktigt, riktigt ful tavla. När familjen nästa gång blir
bjuden på middag bestämmer man sig därför att ge bort tavlan till kvällens värd. Men
tavlan är så ful att ingen på gatan vill behålla den, så vid första möjlighet ger man därför
bort den till den middagens värd. Av artighetsskäl kan man såklart inte ge tillbaka tavlan
till någon man själv fått den av, och inte heller till någon man själv redan en gång givit
bort den till.

Vem kommer till slut att vara tvungen att behålla tavlan?

Lösning

Vi hoppar vilt i svårighetsnivån! Vi “finkammar” uppgiften lite först, för att senare lättare kunna formulera lösningen.

Man kan bara ge bort/ta emot tavlan av hus som ligger 1 eller 2 steg bort ifrån ens eget. Om hus A gav bort tavlan till hus B så är den förbindelsen A-B “förbrukad” eftersom tavlan inte får ges på samma sätt och inte heller ges tillbaka från hus B till hus A. Således kan vi rita ut alla förbindelser och tänka oss att tavlan vandrar längs med dem och “förbrukar” dem (husen ligger på rad, men att vi ritar dem på en cirkel spelar ingen roll, det är förbindelseschemat som är det viktiga):

tavlan

Låt oss för en stund strunta i var tavlan börjar sin väg (hus 2). Vi tänker istället på var tavlan kan sluta (någon annanstans i hus 2?). Kanske slutar tavlan i hus 4, så vi tittar på förbindelser som har med hus 4 att göra:

tavlan_hus

Om hus 4 är huset som inte kan skicka tavlan vidare, så betyder det att tavlan kom till dem och i och med det var alla förbindelser förbrukade. Hur förbrukades förbindelserna? Varje gång hus 4 fick tavlan så förbrukades nästa förbindelse genom att de gav bort den, och tvärtom. Så eftersom tavlan inte började där, måste förbindelserna förbrukats i ordningen: fick – gav bort – fick – gav bort. Därför kunde inte hus 4 fått tavlan på sin sista förbindelse.

Husen 3, 5, 6, 7, 8, och 9 befinner sig i samma situation. De har fyra förbindelser var och därför följer samma schema, om nu alla fyra förbindelserna skulle förbrukas: fick – gav bort – fick – gav bort.

Samma sak är det egentligen för husen 1 och 11 som har två förbindelser var. Får de tavlan, så har de ju möjlighet att ge bort den.

Därmed är det bara hus 2 och 10 kvar. Hus 2 har tavlan från början och därför följer schemat “gav bort – fick – gav bort”, OM vi är säkra på att alla förbindelser förbrukas. Därför är hus 10 det enda huset som kan ha kvar tavlan utan att kunna ge bort den.

En möjlig väg för tavlan kan vara 2 -> 4 -> 6 -> 8 -> 10 -> 11 -> 9 -> 10. Nu kan hus 10 inte ge bort tavlan.

Kommetarer

Läsaren som är bekant med grafteori förstår att så fort vi har “kammat” problemet så handlar det om i princip Eulerstigar. Men enkel formulering kan man säga att en figur, som man ritar utan att lyfta pennan från pappret, har som mest två punkter, varifrån det utgår ett udda antal linjer. En av punkterna kommer då vara startpunkten och den andra slutpunkten.

Problem 4

I parallelltrapetset ABCD är sidan AB 50% längre än sidan CD. Punkten P
är diagonalernas skärningspunkt. Arean av triangeln ADP är 12. Bestäm arean av hela
parallelltrapetset.

parallelltrapets

Lösning

Parallelltraps är en figur med två parallella sidor (det syns på bilden att det är AB och CD som är parallella). Om man ritar ut diagonalerna bildas det flera alternatvinklar, varav två par är inbördes lika. Det följer då att trianglarna APB och CPD är likformiga.

alternatvinklar

Vi färgkodar de fyra små trianglarna som syns på bilden:

parallelltrapets_slutsatser

Vi kom fram till att brun och röd var likformiga. De är dessutom likformiga med koefficienten 1,5 (eftersom röds motsvarande sida var 50% länge än bruns).

Vi vet även att blå+brun har samma area som grön+brun, eftersom båda dessa stora trianglar har samma bas DC och lika lång höjd (avståndet mellan de parallella linjerna). Därför har blå och grön samma area och vi vet från uppgiften att det är 12.

Blå och röd har samma höjd om vi tar DP pch PB som baser. Med DP och PB är motsvarande sidor hos den bruna och den röda triangeln. PB är alltså 1,5 gång större och då han även röd 1,5 gånger större area än blå, 12*1,5 = 18.

Blå och brun delar höjd om man nu väljer AP och PC som baser. Även här är PC 1,5 gånger mindre än AP. Så arean för brun är även den 1,5 mindre än arean för blå, det vill säga 12/1,5 = 8.

Därmed har vi bestämt alla de små trianglarnas areor. Arean för hela parallelltrapetser är
röd + brun + grön + blå = 18 + 8 + 12 + 12 = 50 (areaenheter)

Kommetarer

Måste erkänna att jag försökte lösa den här uppgift snabbt och misslyckades! Hade en alldeles för avancerad lösning och räknade fel någonstans på vägen. Så här ska man kunna “lagom” mycket geometri :)

“Lagom” mycket geometri innebär bland annat: parallellitet, alternatvinklar, vertikalvinklar, likformiga trianglar, likformighetskoefficient, arean för en triangel, val av bas/höjd i en triangel. Inte så lite man ska kunna!

Framför allt ska man vara skolad för att genomföra bevis för att redovisa uppgiften på ett korrekt sätt. Geometriundervisningen som bygger på axiom/bevisföring har i princip försvunnit från svenska skolor, därför lyckades nästan ingen av deltagarna lösa (eller ens få poäng) på den här uppgiften. Jag tvivlar på att särskilt många gymnasister skulle kunna lösa den här uppgiften heller.

Problem 5

Genom att flytta om siffrorna i talet 2013 kan man få 18 olika fyrsiffriga tal. På hur många
sätt kan man välja två olika av dessa 18 tal så att deras summa är precis lika med ett av
de återstående 16 talen?

Lösning

Provar man lite så ser man att det här aldrig går. Hur förklarar vi det här på ett allmängiltigt sätt?

Om två tal som bara består av siffrorna 0, 1, 2 och 3 adderas, så kommer entalen, tiotalen, hundratalen samt tusentalen adderas var för sig, eftersom siffrorna är så pass små. Men det betyder att siffersumman för resultatet av additionen kommer vara lika med siffersumman för det första talen adderat med siffersumman för det andra talet.

Detta kan ju inte hända, eftersom siffersummorna för alla talen är 6. Därför kommer siffersumman för resultatet att bli 12 och det kan inget av talen i uppgiften ha.

Kommetarer

Den här uppgiften kan lösas på mängder av olika sätt, jag angav det kortaste jag kunde komma på. Sätter eleven in sig i uppgiftens formulering, så är resultatet mer eller mindre uppenbart. Hur man ska förklara resultatet är däremot inte lika uppenbart.

Jag tror att många elever känner intuitivt att det har med siffersumman att göra, men de är inte vana vid att formulera lösningar på det sätt, med bevarande av siffersumma och dylika termer. Därför gissar på att de använde mer krångliga förklaringar. Det kan vara frustrerande att försöka förklara något som är så pass uppenbart, men en bra övning om man vill bli bättre på att förstå och formulera egna bevis.

Problem 6

Rutnätet i figuren skall fyllas med tal. I varje ruta (utom i understa raden) står summan
av de två talen i rutorna direkt under den. Vilket tal skall stå i den översta rutan?
talpyramid

Lösning

Den här uppgiften kan både lösas baklänges (nerifrån och upp) och framlänges (uppifrån och ner). Istället för att bara införa två variabler inför vi jättemånga, det vill säga betecknar varje okänt tal med en bokstav.
talpyramid_variabler

Talet A består av talen B och C.

Talen B och C består av talen D och 503 och 503 och E.

Talen D och 1006 och E består av talen 253 och F och 1006 och G och 251. Totalt alltså 1510 och F och G.

Inte har vi kommit fram till svaret än, men vet att pyramidegenskapen även gäller talet 503: att det består av talen F och G.

Så vi vet att talet A består av 1510 och F och G, med andra ord av 1510 och 503, det vill säga lika med 2013. Klart!

Kommetarer

Även här tror man kanske att hela pyramiden måste bestämmas för att avgöra det översta talet, men så är inte fallet. Det finns flera olika pyramider som ser ut på det sättet och alla måste då ha 2013 i toppen. Notera att det är på samma sätt som i uppgift 2 och uppgift 4 – flera olika konstruktioner uppfyller uppgiftsvillkoren, men ger ändå ett och samma svar i slutändan.

Ibland (eller kanske alltid) går matematik ut på att dra korrekta och allmängiltiga slutsatser i situationer där vi inte har tillgång till fullständig information.

Vill du få extrainfo om problemlösning via e-post från Mattebloggen?

Det kan vara allt från problemlösningstips till info om olika tävlingar. Din e-postadress kommer att hanteras varsamt.

Namn

E-post