Bussar på vägen

Bussar på vägen

Lars går längs med en väg med konstant hastighet. Var 6:e minut ser han en buss som åker förbi honom och var 3:e minut möter han en buss som åker åt andra hållet. Bussarna åker med samma fart åt båda håll och startar från ändhållplatserna med jämna mellanrum. Hur långa är dessa mellanrum?

Visa lösningen

Matematik i Genikampen – fjärde och femte avsnittet

Första, andra och tredje avsnittet av Genikampen innehöll en hel del matte, medan avsnitt fyra och fem var mycker mer fysikinriktade. Jag har inte så bra förståelse för fysik, så jag ska försöka framlägga hur jag försökte göra mitt bästa genom att tänka logiskt och matematiskt i tävlingarna. Samt hur man skulle kunna gjort för att prestera ännu bättre!

Avsnitt 4: Robottävlingen

Tävlingen handlade om att sätta sig in i ett drag-and-drop programmeringsspråk för att skriva program som fick en Lego-robot att utföra uppdrag. Man kunde bygga ut roboten med några Lego-bitar för att underlätta uppdragsutförandet.

Det fanns många saker man kunde göra på banan, men lite tid. Det mest tricksiga var att programmet är kopplat till en verklig fysisk händelse, till skillnad från många “vanliga” datorprogram. Till exempel innebär det att svänging på 90 grader i programmet inte innebar svängning på 90 grader i verkligheten, utan lite mer om roboten precis hade varit i rörelse. Jag antar att det beror på att den har lite rörelseenergi/intertia/eller vad det heter. Vi fick exempel på hur dessa värden kunde motsvara de verkliga, men inte riktigt någon formel, så det handlade om att prova sig fram helt enkelt, som i många andra tävlingar. Tyvärr fick man bara två försök på själva banan.

Om det inte var trivialt att anpassa speglar från avsnitt 2, där vinklarna faktiskt var mer eller mindre exakta, så var det otroligt mycket svårare här; oexaktheterna ställde till det.

Därför lyckades båda lagen bäst med det enklaste programmet, som körde roboten fram och sedan tillbaka. Jag tror att tävlingen hade blivit roligare, ifall man inte hade fått dubbla poäng för att köra tillbaka roboten. Då skulle man ha vågat sig på någon svårare bana tror jag, och det laget som hade kommit längst i sina eskapader skulle ha vunnit.

Men alla snitsiga planer och programmeringskunskaper hjälper inte, när man inte ens kan stoppa in USB:n på rätt sätt för att det nya programmet ska laddas över till roboten :)

Hur som helst hade det gula laget kommit längre med sitt projekt, så det var en välförtjänt vinst. Men det hade varit spännande att se hur det skulle ha gått till ifall vi “genier” hade fått öva på Lego-programmering innan. Annars var det lite som att vi skulle ha slängts i vatten i våtdräkter och behövt dyka utan att ha provat på det först!

Avsnitt 4: Bron

I den här tävlingen gällde det att vara stabil! De vinnande taktikerna gick ut dels på att två personer på bron samtidigt stabiliserar varandra och dels på att två plankor under en person stabiliserar personen bättre.

Så hur ska man såga i plankorna? För rakar rep är svaret självklart: såga skårorna på samma avstånd som repen är! För korsade rep är det lite svårare, det beror på var man fick ha plankan! Jag tror att Johan vill ha en kort planka en tredje del in (dvs förhållandet mellan avståndet bryggkant-planka skulle vara dubbelt så stort som planka-kryss). Då skulle avståndet mellan skårorna på grund av likformighet vara en tredje del av avståndet mellan repen. Vi hade ingen linjal eller måttband, men vi visste dessa avstånd. Därför kunde vi på ett ungefär räkna ut (med halveringsmetoden) var man skulle göra skårorna. Vinkeln gissade vi på :) Och det funkade!

Foto: SVT/Genikampen
Foto: SVT/Genikampen

Avsnitt 4: Pusselduellen

Svårt att skriva om en tävling som man inte fick testa på! Den första pyramidpusslet hade jag sett förut, den är icke-trivial! Ett sätt att lösa det på är att få till en bit att ligga med ”rätt” vinkel, dvs en vinkel som känns vettig med tanke på slutresultatet. Då blir det tämligen rätt att fylla i slutresultatet, med tanke på att pusslet dessutom är spegelsymmetriskt.

Angående andra pusslet säger Theres att det är fyra likadana bitar. Det är lite svårt att se på videon, men jag tycker att de bara nästan är likadana. Det underlättar enormt om bitar är exakt likadana: Då vet man att en sådan bit måste innhålla översta kulan t.ex. och så börjar man testa sätt som den biten kan ligga på. Man ser också att Theresa behövde bygga ihop bitarna “alla samtidigt”, det gick inte att sätta in dem en i taget. Detta är något av det svåraste att komma i pussel. Lättare pussel, liksom matteproblem, löses ett steg i taget (och man förstår vilka steg det är som ska tas). I de svårare måste man däremot komma på en följd av steg som löser det, vilket i mitt tycke är exponentiellt mycket svårare!

theresa

Avsnitt 5: Flygplansbomben

I flygplanstävlingen skulle vi räkna ut tiden att släppa en kalkbomb på för att den skulle åka ett visst avstånde. Så som Axel säger är det en vanlig uppgift från fysikböcker. Vad händer då när “genier” ska räkna på det på riktigt?

Msn sätter upp en modell, som tar hänsyn till hastighet och acceleration och sätter in de kända värden. Varför blir det så fel? Dels är luftmotståndet tydligen svår att beräkna exakt, men dels tror jag det skedde missförstånd. Vi fick planets hastighet relativt marken trodde vi, men det var nog relativt luften. Det borde vi kanske ha insett när det blev så mycket fel, men jag hade ingen intuition för fysik, så tyckte inte det var så värst dåligt resultat att hamna 65 m bakom. Hade jag gjort det själv skulle det inte gått lika bra tror jag! Jag skulle iofs använt en enklare modell.

Poängen är att om modellen inte fungerar perfekt handlar inte om att hitta en bättre modell snabbt, utan att modifiera svaren utefter hur fel de var. Detta är precis vad gula laget gjorde och de vann på det! Fredrik lade fram ett hypotetiskt värde genom att ställa upp ett linjärt samband “x sekunder = y meter”. Det var lite tur att det fungerade, men det var ju helt rätt tänkt tänkt. Det berodde på att hastigheterna på planet ökade linjärt (170 km/h – 150 km/h – 130 km/h) och samma sak gällde höjden (och vikten). Allt som allt tror jag det borde blir ett linjärt samband för tid-avstånd också, i alla fall för små förändringar. Kul att det fungerade!

Bild: SVT/Genikampen
Bild: SVT/Genikampen

Avsnitt 5: Tryckluftkanoner

Jag kunde i stort sett ingenting om tryck när jag gick in i tävlingen, men efteråt berättade Axel om hur man modellerar skottkurvan utefter tryck och storlek och sådär. Vi räknade ut lite vinklar efteråt i lugn och ro, det var roligt!

När det gällde att komma på vinklar snabbt och bygga finns det ingen tid för räkning tyvärr. Det handlar mer om praktiska erfarenheter och tänk (hur fixar man läckande kanon). Där är en matematisk hjärna till ingen nytta!

Övningen med vattenmelonerna kunde man däremot tänka lite på. Fredrik har återigen rätt i att om uppgiften ska lösas med empiri så är det bara en parameter i taget som man tjänar på att ändra på.

Hur kunde man räkna ut den ungefärliga vinkeln? Jag gjorde det genom att rita en triangel på tavlan som var likformig med vår skjutbana (vi antog att kanonen skulle skjuta rakt uppåt om vi hade maximalt lufttryck) och sedan lägga på likadana vinklar (egentligen fördubbla dem) tills det skulle bli 90. Sedan kan man gå baklänges och räkna ut den ursprungliga vinkeln. Då fick vi 10.

I verkligheten beter sig inte saker perfekt, alltså inte som i modellen. Kanonen skjuter inte rakt uppåt och inte rakt framåt heller för den delen (som man ser blev det fler skott till vänster om målet än till höger). Återigen löser man uppgiften bäst genom att titta på det som faktiskt hände (här var referensskottet jätteviktigt att tänka på) och sedan anpassa sina värden därefter. Modeller är bra när man inte har någon aning, men har man något att utgå ifrån så borde man göra just det. Ännu än vinst för empiri!

Avsnitt 5: Stavningsduell

Inte särskilt mycket matte här, men bra att hålla reda på en regel för att skilja på enkelbokstav och dubbelbokstav. Överensstämma = överens + stämma (haha, lite matte blev det ändå), så det ska vara två “s”. Kom dock ihåg att det kan aldrig bli tre “s” (eller någon annan bokstav för den delen), utan de förkortast alltid till två i svenskan. Exempel: tuggummi = tugg + gummi.

Fram och tillbaka igen

Fram och tillbaka igen

Från by A till by B leder en enda väg som är 15 km lång. Klockan 9:30 började en hob promenera med hastigheten 4 km/h från A till B. Nästa dag startade han klockan 11:00 från byn B och gick tillbaka till A med hastigheten 5 km/h. Båda dagarna gick hoben över en bäck som korsar vägen vid exakt samma klockslag.

Vilket klockslag var det han gick över bäcken?

Visa lösningen

Polisbilen

Rekommenderad från: 15 år

En polisstation befinner sig på en väg som sträcker sig oändligt långt åt båda håll. Någon stal den gamla polisbilen, som har maxhastigheten lika med 90% av den nya polisbilens maxhastighet.

Detta upptäcktes på polisstationen och en polis fick i uppdrag att jaga ifatt tjuven med hjälp av den nya polisbilen. Polisen vet dock inte vare sig när tjuven stal den gamla bilen eller åt vilket håll tjuven åkte. Kan polisen komma ifatt tjuven?

Problemkonstruktör: G.Galperin

Visa lösningen

Lösningen till problemet för de yngre vecka 46


Mattegåta

När Dag tog studenten, fick han en klocka som hade en timvisare, en minutvisare och en sekundvisare. Hur många gånger per dygn sammanfaller alla tre visarna? (Förklara varför.)

Diskussion

Det här var ett svårt problem. Ett förvirrande faktum är vi måste studera tiden i dubbel bemärkelse. Problemet hade egentligen varit densamma ifall tre löpare hade sprungit med olika hastigheter runt en bana. Vi undrar när alla tre träffas, så vi kommer betrakta visarna som löpare.

Hur snabba är de då? Sekundvisaren är snabbast och “springer” med hastigheten ett steg per sekund (stegen är de 60 markeringarna på klockan). Sedan kommer minutvisaren som tar en sextiondedels steg per sekund och långsammast är timvisaren, som “promenerar” med hastigheten 1/720 steg per sekund (5 steg per timme eller 60 steg på 12 timmar). Nu kan vi pilla med hastigheterna om vi vill för att se när de olika visarna träffar varandra.

Lösning

Vi kan börja med att undersöka när två av visarna, minutvisaren och timvisaren, träffar på varandra under ett dygn. De börjar klockan 0:00 på samma ställe, på tolvan, och sedan rycker minutvisaren iväg. Eftersom minutvisaren klarar av 60 steg på en timme, medan timvisaren tar 5 steg, kommer de att träffas nästa gång efter mer än 1 timme. Mer exakt tar det faktiskt 12/11 av en timme. Minutvisaren drar iväg sedan och kommer gå om timvisare med jämna mellanrum.

Så minut- och timvisaren träffas:
1. efter 0 timmar (de börjar på samma ställe)
2. efter 1 och 1/11 timme
3. efter 2 och 2/11 timme
4. efter 3 och 3/11 timme
5. efter 4 och 4/11 timme
6. efter 5 och 5/11 timme
7. efter 6 och 6/11 timme
8. efter 7 och 7/11 timme
9. efter 8 och 8/11 timme
10. efter 9 och 9/11 timme
11. efter 10 och 10/11 timme
12. efter 11 och 11/11 timme = 12 timmar
13. efter 13 och 1/11 timme
14. efter 14 och 2/11 timme
15. efter 15 och 3/11 timme
16. efter 16 och 4/11 timme
17. efter 17 och 5/11 timme
18. efter 18 och 6/11 timme
19. efter 19 och 7/11 timme
20. efter 20 och 8/11 timme
21. efter 21 och 9/11 timme
22. efter 22 och 10/11 timme
23. efter 23 och 11/11 timme = 24 timmar, vilket är ett nytt dygn, så det räknas inte!

Så minutvisaren och timvisaren träffas 22 gånger per dygn, men vilka av gångerna hakar sekundvisaren på?

Vi kan kolla på vilka positioner sekundvisaren hamnar efter perioder på 1 och 1/11 timme. Sekundvisaren har hastigheten 3600 steg per timme, så totalt kommer den gå en massa varv plus 3600/11 steg som är lika med 327 och 3/11 steg som är lika med 5 varv och 27 och 3/11 steg. Så på klockan kommer visaren att hamna mellan femman och sexan nånstans. Vi kollar alla situationer då timvisaren sammanföll med minutvisaren:

1. sekundvisaren är på 0 steg = prick på klockan 12!
2. sekundvisaren är på 27 och 3/11 steg = mellan kl 5 och kl 6
3. sekundvisaren är på 54 och 6/11 steg = mellan kl 10 och kl 11
4. sekundvisaren är på 21 och 9/11 steg = mellan kl 4 och kl 5
5. sekundvisaren är på 49 och 1/11 steg = mellan kl 9 och kl 10
6. sekundvisaren är på 16 och 4/11 steg = mellan kl 3 och kl 4
7. sekundvisaren är på 43 och 7/11 steg = mellan kl 8 och kl 9
8. sekundvisaren är på 10 och 10/11 steg = mellan kl 2 och kl 3
9. sekundvisaren är på 38 och 2/11 steg = mellan kl 7 och kl 8
10. sekundvisaren är på 5 och 5/11 steg = mellan kl 1 och kl 2
11. sekundvisaren är på 32 och 8/11 steg = mellan kl 6 och kl 7
12. sekundvisaren är på 59 och 11/11 steg = 60 steg = 0 steg = prick på klockan 12!
Sedan upprepar historien sig!

Ingenstans, förutom klockan 12 på natten och på dagen hamnar sekundvisaren ens mellan rätt siffror (t.ex. i situation 8 är sekundvisaren mellan kl 2 och kl 3, medan minut- och timvisaren är mellan kl 7 och kl 8). Detta betyder att alla tre visarna träffas exakt två gånger per dygn!

Hissen

Rekommenderad från: 12 år

Eli bor i ett höghus med 9 våningar. Han kan åka hiss från sin egen våning till den första och då tar det 1 minut.

Men han når inte knappen till sin egen våning, eftersom han är så liten. Istället trycker han på den högsta knappen han når och därefter går han upp. Hela vägen upp tar 1 minut 10 sekunder.

Hissen har samma hastighet både upp och ner och Eli går upp två gånger så långsamt som hissen. Vilken våning bor Eli på? (Observera att basvåningen är samma som första våningen det vill säga våning nummer 1.)

Visa lösningen