Lösningen till problemet för de äldre vecka 36
Mattegåta
Ekvationen x2+px+q=0 har bara heltalsrötter och man vet att både p och q är primtal. Hitta p och q.
Diskussion
Det hjälper att känna till faktorsatsen, som ger oss att polynomet kan uttryckas som (x-x1)(x-x2), där x1 och x2 är rötterna.
Vidare är det bra att känna till följande samband mellan koefficienterna (i vårt fall är det p och q) i en andragradare och dess rötter.
Viètes formler
Om ekvationen x2+px+q=0 har två rötter x1 och x2, så gäller:
x1 + x2 = -p
x1x2 = q.
Forsättningen på dessa tankar är ganska naturlig, som vi ser nedan.
Lösning (av Love Forsberg)
Låt a,b vara lösningarna till ekvationen. Då har vi att
(x-a)(x-b) = x2-(a+b)x+(ab) = x2+px+q=0, så
p = -(a+b), q = ab.
Men q = ab, q primtal och a,b heltal ger a eller b lika med ±1. Vi kan anta att a = ±1. Det följer också att b = ±q är ett primtal.
Vi noterar att primtal är positiva, så b har samma tecken som a.
Så p = -( ±1+b). Positiva a och b ger ett negativt p, vilket inte är tillåtet, så a och b är negativa.
p = -(-1+b) = -b+1, d.v.s. p är ett primtal som är ett högre än primtalet q. Det finns bara en möjlighet, p = 3, q = 2 (a = -1, b = -2).