Kvadrater i trappan

Kvadrater i trappan

Vilket är det minsta antalet kvadrater som man kan klippa upp trappan nedan i? Man får bara klippa längs med rutnätets linjer. (Det är alltså 15 trappsteg i trappan.)

trappan

Visa lösningen

Schinzels sats

Har du läst om hur man hittar pythagoreiska tripplar i cirklar? I artikelserien träffar vi på många cirklar som har några punkter med heltalskoordinater på periferin.

Men oftast är antalet punkter delbart med 4 (cirkeln är centralsymmetrisk i förhållande till koordinatsystemet, eftersom mittpunkten ligger i vårt fall antingen i en heltalsnod eller i mitten av en ruta). Men kan vi hitta en cirkel med ett annat antal punkter på periferin, t.ex. 6?

Klicka här för svar

Vi vill alltså ta reda på för vilka n det går att hitta en cirkel som går igenom exakt n heltalspunkter.

Går det att hitta en cirkel med en heltalsnod på periferin? Så klart går det, vi kan t.ex. ta en cirkel med en väldigt liten radie som går igenom en godtycklig punkt.

Två heltalsnoder på periferin då? Ja, vi kan ju skapa cirklar som inte är rotationssymmetriska, men däremot spegelsymmetriska, genom att välja att ha mittpunkten på cirkeln i (0, 0.5) till exempel eller egentligen var som helst mellan två närliggande heltalsnoder. Tar vi radien lika med 0.5 så är vi garanterade att inga andra heltalsnoder än (0,0) och (0,1) kommer med på cirkelns periferi.

Hur gör vi med 3 punkter på periferin? Cirkeln får nu varken vara spegelsymmetrisk eller rotationssymmetrisk med avseende på heltalsnoderna (om två periferipunkter ligger strikt på vänstra/högra halvan av cirkeln). Således måste vi placera mittpunkten varken i en heltalspunkt eller i en “halvtalspunkt”. Under några antaganden kan vi försöka hitta en cirkel med två heltalspunkter som befinner sig på samma vertikala linje. Vi antar att cirkelns horisontella diameter ligger på linjen y=0.

cirkel kanske 3 punkter

Koordinaterna för mittpunkten är då (s, 0) och för heltalsperiferipunkterna (0, a), (0, -a) samt (b, 0). Då får vi likhet av två radier (i kvadrat):

s2 + a2 = (b – s)2

s2 + a2 = b2 – 2bs + s2

a2 = b2 – 2bs

Både a och b är positiva heltal, medan s är ett positivt reellt tal (förmodligen större än 1). Därför måste b vara åtminstone 3 och vi prövar b = 3.

Då måste a2 = 9 – 6s. Tar vi a = 1 får vi s = 4/3 vilket ger oss cirkeln:

cirkel 3 punkter

Denna har exakt 3 punkter på periferin! Men hur gör man i det allmänna fallet? Kan man alltid få relativt snygga cirklar, det vill säga där punkterna ligger i par på respektive vertikallinjer? Det visar sig att man kan det med hjälp av Schinzels sats!

Schinzels sats

Det existerar en cirkel med exakt n heltalspunkter på periferin för varje naturligt tal n.

För jämna n=2k har Schinzels cirkel ekvationen

(x-\frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}5^{k-1}

Medan för udda n=2k+1 har Schinzels cirkel ekvationen

(x-\frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{9}5^{2k}

Testa till exempel hur cirkeln med exakt 7 heltalspunkter på periferin ser ut!

Schinzels cirklar är inte nödvändigtvis de minsta med den egenskapen, men de är i alla fall snygga på sättet beskrivet innan, nämligen att heltalspunkterna på periferin förekommer i par, vilket kan ses från ekvationen (mittpunkten ligger på en horisontell heltalslinje).

Kan du bevisa att Schinzels cirklar uppfyller egenskaperna som det påstås i satsen? Helt trivialt är det ju inte att bevisa.

Tack Sture Sjöstedt för frågeformuleringen, samt länkar och tips!

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 4

I föregående del avslöjade vi processen med vilken vi kan förstora koordinatsystem på så sätt att de förstorade ciklarna innehåller icke-primitiva pythagoreiska tripplar.

Om ett heltal kan representeras som en summa av två kvadrater, så kan vi alltid förstora primitiva pythagoreiska tripplar med detta heltal. Till exempel är 5 = 1+4 = 12+22, alltså en summa av två kvadrattal. Rita då nya rutor (gå 1 steg åt ett håll och 2 åt ett annat) i det gamla koordinatsystemet, rutorna kommer ha area 5. Det betyder att alla areor kommer vara exakt 5 gånger större!

5 gånger så stort rutnät

Hur är det med andra förstoringen av primitiva pythagoreiska tripplar, till exempel med faktor 3? Låt oss bevisa att trippeln (9,12,15) inte kan uttryckas i form av rektangelareor på en och samma cirkel. Specifikt undersöker vi hur rektangeln med arean 9 kan se ut.

Givetvis kan det vara en vanlig 3×3 eller 1×9 rektangel, där sidorna går längs med rutnätslinjerna. Men kan en rektangel med arean 9 ligga snett i rutsystemet?

Om en rektangelns ena sida ligger snett, så kommer rutnätspunkterna finnas på den med jämna mellanrum. Låt mellanrummets längd vara a. Vinkelrätt mot första sidan går rektangelns andra sida. Där hamnar rutnätspunkterna med exakt samma mellanrum. Eftersom rektangeln har sina hörn i rutnätspunkter, kommer alltså ena sidan består av k antal a:n och andra sidan av m antal a:n. Det vill säga k och m är heltal, medan a är roten ur summan av två heltalskvadrater.

rektangel med heltalskoordinater

Så arean på en sådan sned rektangel är k*m*a2, alltså en produkt av heltal. Det betyder att om k*m*a2=9, så är a2=1, 3 eller 9. Men varken 1, 3 eller 9 kan skrivas som summa av två positiva heltalskvadrater. Därför finns det inga sneda rektanglar med arean 9.

Överlag måste alltså någon av areans delare kunna uttryckas som en summa av två positiva kvadrattal, för att det ska finnas en sned rektangel med denna area. Det är dessutom ett tillräckligt villkor.

Det betyder att endast två rektanglar har area 9. Rektanglarnas mittpunkt sammanfaller med den omskrivna cirkelns, vi har alltså två varianter.

3x3,1x9

Men den första cirkeln innehåller bara en enda rektangel, medan den andra innehåller den primitiva pythagoreiska trippeln (9, 40, 41) och inga andra rektangelareor. Så trippeln (9,12,15) går inte att konstruera på det här sättet!

Så vi har hittat minst en trippel som inte är konstruerbar på det här sättet. Jag vet fortfarande inte om det är så att alla icke-primitiva tripplar med en faktor, som inte är en summa av två kvadrater, är okonstruerbara. Kanske kan du hitta ett motexempel?

Men denna fortfarande öppna fråga avslutar vi den här serien inlägg om pythagoreiska tripplar i form av areor. Läs gärna serien från början, kanske upptäcker du nya idéer när du läser för andra gången!

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 3

I del 2 såg vi att en primitiv pythagoreisk tripplel alltid kan representeras i form av rektangelareor (inuti rutnätscirklar).

Dyker det upp exakt 3 olika rekatngelareor inuti en sådan cirkel?
Nej, det kan dyka upp fler än så, vilket beror på att vi kan hitta cirklar där fler än 8 rutnätspunkter hamnar på cirkeln. Nedan ser ni nio olika rektanglar, med areor utskrivna, som vi kan hitta i en cirkel med 16 rutnätspunkter på randen. (Vad tror du förresten är det största antalet rutnätskpunkter man kan hitta på en cirkel?)

Pythagoras cirkel många punkter

Men hur gör man med icke-primitiva Pythagoreiska tripplar? Konstruktionen från förra delen fungerar inte, eftersom icke-primitiva tripplar kan inte genereras på samma sätt från m och n som primitiva.

En icke-primitiv trippel är däremot lika med en primitiv, multiplicerad med en faktor, som till exempel (6,8,10) är trippeln (3,4,5) multiplicerad med faktorn 2. Om vi på något sätt kunde förstora alla rektanlar med faktorn 2, utan att förlora rutnätsegenskaperna, så skulle problemet vara löst. Men förstorlingen av alla rektanglar med faktorn 2 skulle ske om alla sidor förstorades med faktorn √2.

Detta kan vi göra om vi helt enkelt förstorar hela rutnätet med faktorn √2! Vi gör det genom att rotera koordinataxlarna 45 grader och betrakta fyra punkter som bildar en kvadrat med sidan √2 som en enda ruta. På bilden nedan är det nya rutnätet ritat i rött ovanpå det gamla (eftersom vi trots allt använder det gamla för att rita ut cirklar).

Koordinatsystem i rött

Vi gör samma sak med rutnätscirkeln: rotera och förstora med faktor √2, då bildar från en cirkel med areorna (3,4,5) en annan cirkel med rektangelareorna (6,8,10). Punkterna på cirkeln numreras för det ska gå lättare att se rotationen.

pythagoras cirkel 3 4 5 till 6 8 10

Men såklart kan vi bilda nya rutsystem på andra sätt och med andra rutstorlekar! Bland annat går att att förstora alla areor med 5, med 13 och såklart med produkter av faktorer, som vi redan kan förstora med. (Försök att hitta ett rutsystem med rutlängderna √5). På så vis går det alltså att konstruera alla icke-primitiva taltripplar på formen t.ex. (5*(m2-n2),5*2*m*n,5*(m+n2)).

Men går att förstora på så sätt med alla faktorer? Går det till exempel att konstruera den icke-primitiva trippeln (9,12,15)? Vi besvarar den här frågan i den sista delen.

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 2

I del 1 såg vi hur vissa pythagoreiska tripplar kunde representeras i form av areor på rektanglar inuti cirklar på rutnät. I den här delen undersöker vi huruvida detta är möjligt för alla primitiva tripplar.

Primitiva pythagoreiska tripplar (a,b,c) är sådana att talen a, b och c inte har några gemensamma delare. Till exempel är (3,4,5) en primitiv pythagoreisk taltrippel, medan (6,8,10) är en icke-primitiv sådan.

två pythagoreiska trianglar

Ur varje icke-primitiv pythagoreisk taltrippel kan vi nämligen få en primitiv: Om de tre talen har största gemensamma delaren d, så kan de skrivas på följande sätt: a = d·r, b = d·s och c = d·t.

Eftersom a2 + b2 = c2, så är även (dr)2 + (ds)2 = (dt)2. Förkortar vi likheten med d2, så får vi r2 + s2 = t2. Således har vi fått en ny pythagoriesk trippel (r,s,t). Den är primitiv, eftersom r, s och t inte kan ha några gemensamma delare (deras gemensamma primfaktorer skulle ha ingått i d).

Ur primitiva taltripplar kan man förstår tvärtom få oändligt många icke-primitiva genom att multiplicera alla tre talen med en och samma faktor.

genererade pythagoreiska tripplar

Således finns det oändligt många pythagoreiska taltripplar, men finns det oändligt många primitiva?

Ja, det visar sig att det finns oändligt många sådana och dessutom genereras varje primitiv trippel genom två heltal, som vanligen betecknas m och n. Dessa tal bör vara relativt prima och ett av dem måste vara udda, medan det andra måste vara jämnt. Givet sådana två tal, kommer följande tre tal bilda en pythagoreisk trippel: (m2-n2, 2mn, m2+n2). Kontrollera gärna att oavsett vad m och n är, så kommer Pythagoras likhet gälla för dem.

Till exempel kan trippeln (3,4,5) skrivas som (22-12, 2·2·1, 22+12), det vill säga den genereras av talen 1 och 2.

Talen 3 och 8 ger oss trippeln (2·3·8, 82-32, 82+32), det vill säga (48, 55, 73) och just för det exemplet kommer vi rita upp en cirkel som innehåller rektanglar med respektive areor. Men låt oss beskriva hur vi agerar för allmänna m och n, det vill säga för en godtycklig primitiv pythagoreisk taltrippel.

Talen m och n är nämligen till stor hjälp när cirkeln konstrueras. Vi börjar inte i cirkelns mittpunkt, som man skulle kunna tro, utan på en punkt på randen (en heltalspunkt, som kommer vara hörn för åtminstone en rektangel). Markera en punkt m+n steg nedanför startpunkten, samt m-n steg till höger. Komplettera till en rektangel med en fjärde punkt på rutnätet. Rektangelns area är (m+n)(m-n) = m2 – n2 och dess mittpunkt måste sammanfalla med cirkelns. Vi bestämmer den genom att korsa diagonalerna.

pythagoras cirkel fyra punkter

Rektangeln vi har ritat är uppenbarligen inte en kvadrat, så vi får fyra nya rutnätspunkter som också ligger på cirkeln genom att rotera rektangeln 90 grader runt cirkelns mittpunkt:

pythagoras cirkel åtta punkter

Nu har vi fått en cirkel med åtta rutnätspunkter utsatta och det är faktiskt allt vi behöver! Låt oss bevisa det.

Markera en rektangel som har sina sidor vinklade 45 grader i jämförelse med den första. Kortsidan utgör hypotenusan i en likbent rätvinklig triangel med sida n, medan långsidan är på samma sätt, fast med m. Då kommer alltså arean att vara √(2n2)·√(2m2) = √(4m2n2) = 2mn. Precis som ett av talen i den pythagoreiska trippeln.

45 rektangel pythagoras cirkel

Markera nu en rektangel, som dessutom är en kvadrat genom att ta varannan punkt på cirkeln. Sidan blir lika med √(m2+n2), så arean måste bli lika med just m2+n2. Därmed är den sista arean funnen!

kvadraten pythagoras cirkel

Nu uppstår det fler frågor: Dyker det någonsin upp några extra rektanglar med en annan area vid en sådan konstruktion? Och hur gör man för att konstruera cirklar för icke-primitiva pythagoreiska taltripplar?

Vi försöker besvara dessa frågor i nästa del.

Pythagoreiska tripplar i form av areor, del 1


Föreställ dig ett rutnät av punkter. Det går att hitta massvis med cirklar som går igenom några av punkterna. En av de minsta sådana cirklarna har hela 8 punkter på sin rand:

grid_liten_cirkel

Det går även att hitta några rektanglar inuti sådana cirklar, som har alla sina hörn i punkterna på cirkelns rand (notera att även kvadraten räknas som en rektangel). Kan du bestämma rektanglarnas areor?

grid_rektanglar

Visa svar

Kan du på samma sätt i cirkeln nedan hitta rektanglar med areorna 5, 12 och 13?

grid_5_12_13

Visa svar

Följande fråga uppstår: går det att hitta vilken Pythagoreisk trippel som helst på samma sätt?

Lösning till problem vecka 14

Eli och Tiffany är kompisar och bor i grannhus. Eli bor på nummer 4. Om Tiffany ska ta den kortaste vägen till Eli, så spelar det ingen roll på vilken sida hon springer runt hennes eget hus. Bestäm numret som Tiffany bor på.

Lösning:

Om Tiffany springer till höger när hon kommer ut följer hon den röda vägen, om hon springer till vänster följer hon den blåa:

Den blåa vägen är 4 steg längre än den röda just nu, men de ska i slutändan bli lika långa.

Eftersom långsidan på Tiffanys hus är 8 steg totalt, måste 2 av dem  gå till den blåa vägen och 6 till den röda för att det ska jämna ut sig. Alltså bor Tiffany på nummer 6.