Mattebloggen

Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.

Lösning:

Det bästa resultatet kommer från Erik T., han lyckades trycka in 35 rektanglar:

Mattebloggen har en inofficiell tävling i att lösa matematikproblem. Skicka in din lösning med motivering till valentina.chapovalova@gmail.com, så har du chansen att vara med på topplistan och vinna priser. Har du någon fråga om veckans problem, posta den i kommentarerna eller maila mig. Lycka till!

Pelle delade upp ett 8×8-bräde i 30 stycken rektanglar på så sätt att likadana rektanglar inte nuddar varandra, inte ens med hörn. Försök att förbättra hans resultat genom att dela upp brädet i ännu fler rektanglar så att de fortfarande uppfyller villkoret.

Kan man dela upp en kvadrat i 9 kvadrater och måla en av dem i vitt, 3 av dem i grått och 5 av dem i svart på så sätt att kvadrater med samma färg har samma storlek, men kvadrater med olika färg har olika storlek?

Lösning:

Ja, det kan man faktiskt! Så här till exempel:

Det finns en platt kvadratisk tavla som är 1 dm x 1 dm stor. Vi säger att ett pappersark i form av en rektangel med area 2 dm^2 är ett omslag om man kan slå in tavlan i pappret så att båda sidorna täcks helt.

Både pappersarket 2 dm x 1 dm och papperskvadraten med sidan roten ur 2 dm är omslag.

(a) Hitta något annat omslag

(b) Visa att det finns oändligt många olika omslag

Lösning:

(a) Vi ska visa att rektangeln är ett omslag. Lägg rektangeln på kvadraten på så sätt att två av kvadratens hörn hamnar på långsidorna och ett tredje hörn hamnar i mitten på kortsidan som det ser ut på bilden.

Hur man viker biten vidare för att den ska omsluta kvadraten på båda sidor ser ni nedan:

(b) Dela upp kvadratens lodräta sidor i n delar. Då kan vi hitta en parallellogram, som omsluter kvadrattavlan. På bilden syns parallellogrammen med kortsidan (i detta fall n=5).

Sedan kan man göra om parallellogrammen till en rektangel, så att övertäckningen blir i princip densamma. Arean ändras fortfarande inte.

Notera att kvadraten fås när n=1, rektangeln när n=2, rektangeln när n=3:

n=3

Aladdin vill sätta Jafar i ett fängelse som består av 4 rum och 3 smala gångar mellan rummen. I varje gång står en tjock och trött vakt lutandes mot en av väggarna. Varje gång Jafar går över från ett rum till ett annat, går vakten i den gången över till den motsatta väggen och börjar luta sig mot den istället. Om alla vakterna lutar mot samma vägg, kommer den inte att hålla emot utan går sönder, och då kan Jafar fly. Kan Aladdin placera ut vakterna och Jafar från början på så sätt att Jafar aldrig kan fly?

Lösning:

Jadå, det kan han göra.  Placera Jafar i rummet längst ner och vakterna varannan på höger och varannan på vänster sida. Det vill säga vakterna uppifrån och ner står: vänster, höger, vänster. Vi skall visa att i denna situationen är det omöjligt att fly.

Om Jafar står still i rum 4, händer förstås ingenting – vakterna står ju inte på en och samma sida. Om han går upp till rum 3 byter nedersta vakten sida: de står nu vänster, höger, höger. Om Jafar går ner igen, är situationen precis som i början och det fallet kommer vi ha undersökt.

Men om Jafar går upp till rum 2 så byter den mittersta vakten sida, de står nu vänster, vänster, höger. Går han ner igen kommer det bli samma läge som det har varit förr, så det fallet undersöker vi inte.

Går han upp til rum 1, så kommer den översta vakten byta sida och nu kommer det stå höger, vänster, höger. Nu kan Jafar i nästa steg bara gå neråt och komma till en situation som han har varit förut. Samma sak gäller de alla nästkommande stegen, nämligen att läget med Jafar och vakterna är densamma som redan har varit innan.

Vakterna lutar aldrig på en och samma vägg samtidigt, så Jafar kommer aldrig kunna fly, stackare.

En sifferkod, som består av 7 olika siffror kallas för godkänd sifferkod. Man vet att ett kassaskåp har en viss okänd godkänd sifferkod.

Om man slår in någon godkänd kod och åtminstone en rätt siffra kommer på rätt plats, så öppnas kassaskåpet.

Kan man öppna kassaskåpet på färre än 7 försök?

Lösning:

Jupp, det kan man! Slå in följande sex koder en efter en (de är alla godkända koder):

1234567
2345617
3456127
4561237
5612347
6123457

Om nu kassaskåpet INTE skulle öppnas, så är det säkert att ingen av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6 förekommer på de första sex platserna.

Men det betyder att endast siffrorna 7, 8, 9, 0 förekommer på de första sex platserna. Men det är omöjligt (enligt lådprincipen), eftersom alla siffror i koden skulle ju vara olika.

Motsägelse! Alltså måste kassaskåpet öppnas för någon ut av de 6 koderna.

Dela upp figuren på bilden i två sammanhängande delar, på så sätt att det går att sätta ihop delarna till en kvadrat 8*8.

Lösning:

Så här kan man göra:

Dela upp figuren på bilden i två sammanhängande delar, på så sätt att det går att sätta ihop delarna till en kvadrat 8*8.

I en stad finns 6 torg. Ur varje torg utgår 3 raka vägar till exakt 3 andra torg. Inga två vägar korsar varandra. Bland de tre vägarna, som utgår från samma torg, ligger ena vägen inuti vinkeln, som de andra två bildar (en vinkel är mindre än 180 grader). Rita en möjlig plan för staden.

Lösning:

Det är egentligen inte så mycket mer än att prova sig fram och rita och ändra lite. Efter ett tag får man kanske något i stil med:

Och om man ritar jättesnyggt från början blir det kanske så här:

I en stad finns 6 torg. Ur varje torg utgår 3 raka vägar till exakt 3 andra torg. Inga två vägar korsar varandra. Bland de tre vägarna, som utgår från samma torg, ligger ena vägen inuti vinkeln, som de andra två bildar (en vinkel är mindre än 180 grader). Rita en möjlig plan för staden.