Här i kommentarerna kan du diskutera hemuppgiften. Skriv om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• I ett höghus med 100 våningar finns en hiss, som bara har två knappar: ”+7” och ”-9”. Den första knappen får hissen att gå upp sju våningar, den andra får den att flytta sig 9 våningar ner. Går det att åka från vilken våning som helst till vilken annan våning som helst?
• Hästar står på ett litet schackbräde så som det syns på den vänstra bilden. Hästarna följer schackreglerna när de gör drag. Kan de efter några drag ställa sig så som den högra bilden visar?
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen och andra träffen innan du läser vidare.
Många lärare
Till Matteklubbens träffar kommer cirka 30 elever och antalet lärare brukar bli ungefär en på 5 elever. Några frågar mig vad alla lärare utom mig gör och jag brukar svara att de verkligen behövs! Det finns alltid saker att göra: Allt från att dela ut pennor och fika till att delta i matematiska diskussioner med de mest envisa eleverna. Det är väldigt bra att vara fler än en lärare, är man ensam så kan man göra något grovt matematiskt fel och det är inte säkert att någon upptäcker det. Det gör ingenting om en lärare har fel, men det är viktigt att reda ut felen. Eleverna måste se att det är sanningen i matematiken som gäller, och inte lärarnas subjektiva (och möjligen något auktoritära) åsikter.
Hemuppgiften
Lektionen började med läxan, precis som förra gången. Den hade ingen gjort så det blev en klassdiskussion.
Först undersökte vi vad som hände med en figur vars sidor blir hälften så stora. Hur många gånger mindre blir arean? En elev förklarade att om man tänkte på en kvadrat, så såg man att den gick från att vara fyra rutor till att bara vara en. Därmed kunde man se att arean blev fyra gånger så liten.
Den andra uppgiften var (är och förblir) riktigt svår, så jag ställde en ledande fråga till klassen. Det var en uppgift vi hade förra gången, om hur man kan rita en kvadrat med dubbel så stor area som en given. Det vill säga, rita en kvadrat på ett rutat papper med arean lika med exakt två rutor.
Många elever föreslog att man skulle förstora varje sida 1,5 gånger. En elev hade kollat upp med sin pappa att sidan i målkvadraten är roten ur 2, det vill säga ungefär 1,4. Båda förslagen vände jag mig emot med argumentet att det då inte blir en exakt bild (och arean blir inte heller exakt 2). Och om sidorna förstoras 1,5 gånger visade min kollega på tavlan att arean faktiskt blir större än 2. Det visade sig i diskussionen med kollegan senare att de gamla grekerna tänkte på precis samma felaktiga sätt som barnen på Matteklubben, de ville också förstora sidorna med 1,5.
Jag gav ledtråden om att en ruta består av två trianglar. Hur kan man rita en figur som består av dubbelt så många trianglar? En eller två av eleverna kunde då rita en korrekt bild på tavlan, det vill säga en vriden kvadrat, där sidorna utgörs av rutdiagonaler. Jag poängterade att denna figur har exakt dubbelt så stor area som en ruta.
För att lösa läxans andra uppgift tipsade jag om att kombinera svaren på uppgifterna vi har diskuterat hittills. Man ska egentligen tänka på samma sätt som i problemet där en kvadrat ska få dubbelt så stor area.
Grafteori
När man är nybörjade på matematisk problemlösning, vet man inte alltid hur uppgifter kan börja lösas. Det gäller då att visa upp många olika verktyg för barnen, för att de ska kunna välja det som passar vid varje tillfälle. Tillsammans med eleverna skapar vi en schweizisk armékniv med problemlösningstekniker. Men det är viktigt att inte behöva övertala dem (vilket ofta sker på vanliga mattelektioner) om att en viss teknik är viktig och kommer troligen att användas ”senare”. Istället väljer jag uppgifter där en viss teknik uppstår naturligt, och man ser direkt hur det underlättar problemlösandet.
En sådan teknik går utt på att rita scheman över objekt som finns i problemet, det som på högnivå-mattespråk kallas ”att rita en graf”.
Uppgifterna
Vi hade bara tre uppgifter på temat, men det var ganska mastiga alla tre. Många hann lösa ettan och börja på tvåan, men trean hann jag knappt diskutera med någon grupp.
Under uppgifterna står vanliga dialoger som skedde på lektionen.
1. I vår solsystem finns 8 planeter och Pluto, som en gång i tiden räknades som planet. Man utvecklade rymdturismen genom att erbjuda följande rutter (både fram och tillbaka): Jorden-Merkurius, Pluto-Venus, Jorden-Pluto, Pluto-Merkurius, Merkurius-Venus, Uranus-Neptunus, Neptunus-Saturnus, Saturnus-Jupiter, Jupiter-Mars, Jupiter-Neptunus, Mars-Uranus.
(a) Går att ta sig från Jorden till Mars?
Vissa elever missade ”fram och tillbaka” och vissa var lite osäkra på vilka planeter man fick åka emellan (det vill säga om man fick ”mellanlanda”). När vi redde ut dessa saker kunde de fortsätta med problemet.
Elever: Svaret är ”ja”….eller ”nej”… kanske… vi vet inte riktigt.
Lärare: Om det går, hur skulle man gå tillväga då? Hur skulle man exakt åka, mellan vilka planeter?
Elever: Svaret är ”nej”, för om man tar sig till Mars måste man komma från Uranus eller Jupiter, och om man ska ta sig till Jupiter så är det från Saturnus eller Neptunus, och till Neptunus kommer man från Jupiter så det går inte.
Lärare: Men ni har inte missat några utvägar då? Har vi verkligen kollat alla möjligheter? För att vara säkra så kan ni rita ett schema lite som scheman nedan.
(b) Vilka av scheman nedan kan representera ruttsystemet?
(c) Finns någon planet på schemat som du med säkerhet kan ange namnet på?
Uppgifterna (b) och (c) diskuterade jag med hela klassen ståendes framme vid tavlan. Några elever fick komma fram och rita egna scheman, samt säga vilka av scheman på bilden som fungerade för uppgiften. Eleverna kunde även korrekt förklara att man kunde bestämma Saturnus, men inga andra planeter. Rättare sagt, tillsammans kunde de exakt bestämma vilka villkor gällde för Saturnus (kopplad till två planeter, som båda är kopplade till tre planeter). Många kunde även förklara varför det inte gick att bestämma andra planeter med säkerhet.
2. Några barn i klassen kan spela olika musikinstrument: Pia kan spela gitarr och piano, Ville kan spela gitarr och dragspel, Tommy – fiol och cello, Daniel – bas och trumpet, Lena – piano och dragspel, Sara – fiol och trumpet, Solveig – cello och bas. På hur många sätt kan man ge var och en av dem ett instrument (alla instrument måste vara olika) så att alla kan spela samtidigt?
Elever: Vi ritade ett schema och såg att varje barn var kopplad till två instrument och varje instrument spelas av två barn.
Lärare: Kan man rita schemat på något annat sätt så att det ska bli lättare att bestämma svaret i uppgiften?
Elever: Vi gjorde en tabell och skrev upp alla möjligheter. Det blev fyra.
Lärare: Är ni säkra på att ni inte missade några möjligheter?
Även denna uppgift gick jag igenom på tavlan för att visa exempel på hur man ”snyggar till” scheman. Tricket är att inte bara rada upp instrumenten på ena raden och barnen på andra raden och sedan börja koppla ihop dem. Istället kan man börja med ”gitarr-Pia-piano” och sedan fortsätta med nästa person som ska spela piano och vidare göra så tills cirkeln är sluten. Då får man ett mycket tydligare schema. Jag visade att det då var självklart att ena cirkeln kunde fördela instrumenten på två sätt och andra också på två.
Vad blev svaret då? ”Fyra”, svarade barnen. ”Två plus två eller två gånger två?” undrade jag. Många av barnen förstod inte riktigt hur jag menade (”Det är ju samma sak!”). Men när jag förklarade att om det hade varit 2 och 3 sätt i respektive cirkel, skulle jag då addera eller multiplicera dem, så förstod många att det var multiplikation jag var ute efter. Kul att visa att 2+2 och 2*2 inte ”betyder” samma sak. Återigen, att det är hur man tänker, och inte svaret, som räknas.
3. I ett höghus med 100 våningar finns en hiss, som bara har två knappar: ”+7” och ”-9”. Den första knappen får hissen att gå upp sju våningar, den andra får den att flytta sig 9 våningar ner. Går det att åka:
(a) Från första våningen till den andra?
(b) Från den andra våningen till den första?
En del elever hann nosa in på den här uppgiften och lösa (a) och möjligen (b) också. De som var klara fick kika på hemuppgifterna, där de ofta fortsatte med hissuppgiften. Se nästa inlägg för fler detaljer.
Andra delen av lektionen genomförde vi en liten tävling, matteregatta. Regattan var planerad i tre omgångar, men vi hann bara med två, och dessutom fick vi korta ner den andra omgången till 10 minuter.
Elevernas delade sig själva upp i par och sedan sattes paren ihop till lag om fyra. Vissa lag fick vara tre personer. Alla lag fick heta någon frukt som till exempel lag Ananas (för att inte slösa bort tid på att hitta på lagnamn gav jag alltså ut lagnamnen). Sedan fick de för första gången öva på att skriva ner lösningar på Matteklubben (och inte bara berätta dem). Juryn, vilket var de andra lärarna, satte poäng på lösningar som de hade fått in.
Efter att eleverna var klara med första omgången, gick jag igenom lösningarna, medan juryn rättade. Därför kan jag inte säkert säga varför poängen blev som det blev, annat än att juryn bedömde fullständighet och korrekthet. När omgången var rättad, fick alla höra poängen samtidigt som att de fick möjligheten att protestera över sin poäng. Då är tanken att juryn går igenom lösningen en gång till och kollar efter om lösningen eventuellt är värd mer poäng.
Tanken med den demokratiska aspekten är återigen att minska auktoritetens betydelse och ta bort eventuell objektiv bedömning från matematiken. Det är som till slut är värt poäng är resonemanget som finns nedskrivet på pappret, och inför det står alla lagen lika.
Vi fick dra över tiden lite grann för att på samma sätt hinna gå igenom andra omgången. Om du är intresserad av riktlinjerna som juryn hade vid rättningen, så kan du ladda ner dem här nedan.
Här är regattans fullständiga slutgiltiga resultat. Grattis återigen till lag Mango som vann i en jämn kamp!
Tankar efter lektionen
Efter lektionen samlades vi alla lektionsledarna för att diskutera vad som har gått bra och dåligt. Vi var som vanligt imponerade av elevernas förmåga att ta åt sig nya idéer. Det kändes också att lektionens uppgifter blev bra (lagom svåra och roliga).
Det som man hade kunnat göra bättre var att ha ett tydligare schema, som eleverna och lärarna skulle försöka hålla sig till. Det hade varit bra bland annat för att hinna med den inplanerade tävlingen. Lektionen kändes också något stökigare än vanligt och där skulle fasta tider ha hjälpt. Det var bra med rast tyckte alla lärare!
Det ska bli spännande att träffa eleverna en sista gång innan Jullovet. Då blir det också dags för utvärdering!
På lektionen bevisade vi att vinkelsumman i en godtycklig triangel är 180° och en i fyrhörning 360°. Hur blir det med en femhörning, sexhörning osv.? Och hur bevisar man resultatet?
Det är inte bara månghörningar som har en viss bestämd vinkelsumma, utan andra figurer också. Vad blir vinkelsumman i en stjärna och varför är det alltid så?
Det här är alltså uppgifterna man kan tänka på hemma inför nästa Matteklubben-möte:
• Bestäm vinkelsumman i en n-hörning.
• Bestäm vinkelsumman (av de markerade vinklarna) i en femuddig stjärna.
Under andra matteträffen med högstadiet hade vi 19 elever som besökte oss. Vi var 3 lärare plus en till som hjälpte lite grann. Det var alldeles lagom för en grupp med elever som inte så ofta räcker upp handen. Men hade eleverna varit lika aktiva som de i åk 2-4, så hade vi lärare inte räckt till. Men som sagt, det var mycket lugnt i klassrummet.
Det är inte så lätt att börja med matematisk problemlösning sent i högstadiet, då man redan har lärt sig en del metoder och hur man brukar göra i matten. Det finns många uppfattningar om hur man bör göra som vi på Matteklubben försöker ändra lite. Det vill säga, vi vill visa dels att man kan göra matte på många olika sätt, dels vill vi lära ut att vara rigorösa i ens tänkande (annars blir det något annat än matte). Det är extra svårt att lära ut något när man ses så sällan!
Det var därför mycket klurigt att välja tema till lektionerna som är lagom svår, men som också är rätt ny för eleverna, där de inte redan har bestämda sätt att göra uppgifterna på. I andra länder är det vanligt att elever stöter på matematisk stringens först när de läser geometri. Samtidigt har vi i Sverige en mattetävling där eleverna presterar sämst just på geometriuppgifterna (mest för att de inte övat på sådana förut). Därför valde jag ”Vinklar” som tema på dagens lektion.
Men jag vill skriva om lektionen som har varit i kronologisk ordning, därför börjar vi med hemuppgiften.
Hemfrågan
Sist i uppgiftsbladet förra gången stod hemuppgiften. Den gick ut på att, med hjälp av att betrakta rester som tiopotenser ger vid division med talet 11, lista ut en delbarhetsprincip för talet 11.
Det var ungefär 3-4 elever som hade tänkt på uppgiften hemma, vilket är glädjande, det betyder att de tyckte att det var tillräckligt intressant och en lagom utmaning. Självklart förväntar jag mig inte att man ska titta på hemuppgiften, då det finns så mycket annat som kallar på ens uppmärksamhet. Men de som tycker att det är kul att utforska ska givetvis göra det, jag försöker att välja lagom uppgifter för det.
Innan vi tog oss an delbarhetsprincipen med 11 och elevernas teorier, repeterade vi beviset för hur man visar att ett tal och dess siffersumma ger samma rest vid division med 9. Mycket för att påminna om hur rester fungerar (att man kan subtrahera tal som är delbara med 9 och få samma rest) men också för att de som var nya på träffen skulle komma in i vad vi höll på med. Jag gjorde en tydligare uppställning än förra gången, då beviset lite hastigt gicks igenom på slutet av lektionen.
Sedan svarade vi på frågorna om vad det blir för rest när man dividerar 100…00 (jämnt antal nollor) med 11 och när man dividerar 100..00 (udda antal nollor) med 11.
I det första fallet tyckte eleverna att svaret var 1, och för att visa det subtraherade vi talet 99..99. Vi diskuterade dels hur många nior det fanns i talet (lika många som nollorna i tiopotensen), dels vad resultatet av divisionen 99..99/11 blir. Eleverna hade inte helt lätt för att svara på den frågan, förmodligen för att de inte är vana vid att jobba med icke-konkreta (stora) tal. Först fick vi svaret 99..9 (en nia mindre), men efter lite rimlighetskontroll förstod de att vi inte hade räknat rätt. En elev formulerade att svaret faktiskt blev 909090..09 (hälften så många nior). Sedan nämnde jag att det ändå inte var så jätteviktigt vad resultatet blev (men att resultatet är ett heltal är en försäkring om att talet verkligen är delbart med 11).
I det andra fallet tyckte vissa elever att svaret fortfarande var 1, men snabbt insåg vi att svaret var 10 (subtraherade talet 999…90 på samma sätt). Hur skulle vi nu kontrollera delbarheten av ett godtyckligt tal med 11?
Likt fallet med delbarhet med 9 gjorde vi ett konkret exempel med ett tal som bestod av några 10000-tal, 1000-tal, 100-tal, tiotal och ental (t.ex. 30000 + 7000 + 400 + 20 + 1). Varannan siffra gav alltså sig själv i rest (3, 4, 1) och varannan gav sig själv gånger tio (70, 20). Vi har förstås en delbarhetsprincip nu (det är bara att räkna ut summan 3 + 70 + 4 + 20 + 1 och se om resultatet är delbart med 11), men den är ju inte särskilt smidigt.
Skulle vi kunna subtrahera något mer, t.ex. från 70? från 20? Vi vill subtrahera något som är delbart med 11 för att inte förändra resten. En elev föreslog talet 66, och vi provade det och fick 4 som svar. Men det är inte självklart hur man från början skulle få den där fyran från siffran sju. På en förfrågning efter andra förslag sade en elev att man kunde subtrahera 77, och då skulle vi få -7 i summan. En annan elev insåg att det var logiskt att ta bort 22 från 20 (och då få -2 i summan). Tillsamman kom vi fram till att resultatet av 3 – 7 + 4 – 2 + 1 skulle ge ett tal med den sökta resten.
Nu bad jag en elev att formulera delbarhetsprincipen med 11, vilket blev att man räknar ut ”varannan siffra plus och varannan minus”. Vi testade slutsatsen på några exempel. På frågan om man skulle börja räkna med minus eller plus nämnde jag att det inte spelade någon roll. Det är inte trivialt varför det spelar någon roll, men jag gav en snabb förklaring om att resultatet blir precis samma, fast med omvänt tecken. Det spelar alltså roll för den exakta resten, men kvittar om vi bara ska bestämma huruvida ett tal är delbart med 11 eller inte.
Det var roligt att tillsammans bevisa den här riktigt svåra delbarhetsprincipen och se att många hängde med. Frågan är om eleverna kan upprepa det på egen hand, när de till exempel förklarar det för någon annan.
Vinklar
Jag valde vinklar som ett avsnitt i geometri, dels för att eleverna redan har mött dem och vet vad det är för något och dels för att många problem i tävlingen HMT handlar om vinklar. Lär man sig tekniken ”vinkeljakt”, det vill säga har vanan att räkna ut vinklar i olika figurer, så kan man komma ganska långt bara på det.
Tyvärr innebar det att eleverna behövde träffa på många nya begrepp på en gång, men jag försökte poängtera att det inte var lika viktigt att lära sig namnet ”alternatvinklar” som att känna till det faktum att sådana vinklar är lika.
Jag ritade upp en bild med två parallella linjer på tavlan, samt en linje som korsar dem. Det bildas många vinklar (åtta), men vilka av dem är lika? Jag tror eleverna redan hade en känsla för det, men det är ju viktigt i geometri att nämna vad som räknas som ett ”vetertaget faktum” (axiom) och vad som inte gör det. Jag pekade på några par vertikalvinklar och sade att de var lika, förklarade vad likbelägna vinklar var (och att det var lika), samt att det då följde att alternatvinklar var lika.
Jag gjorde genomgången av alla tre begreppen på en och samma bild och dessutom lite för hastigt, eftersom jag var ivrig med att komma igång med problemlösningen. Men i efterhand ser jag att det där med ”vedertagna fakta” inte uppfattades av de flesta eleverna. Vi hade tjänat på att gå igenom dessa typer av vinklar noggrannare, långsammare och inte på en och samma bild.
Jag berättade också hur man brukar markera lika vinklar i en figur. Det spelar inte så stor roll vad man väljer för beteckning, så länge alla likadana vinklar är markerade på samma sätt. Man kan markera lika vinklar med lika många bågar eller med lika många streck på bågen eller med ett hjärta om man så vill.
Geometriuppgifter
Eleverna fick lösa uppgifter om vinklar i kanske 35 minuter. De flesta försökte på egen hand, några samarbetade och var två och två. Efter varje uppgift har jag har skrivit upp några av typiska svårigheter och frågor som eleverna (och lärarna) hade, samt hur det gick för dem att lösa uppgiften.
1. Två linjer skär varandra. En av viklarna som bildas är lika med 41°. Vad är de andra tre vinklarna lika med?
Eleverna tolkade som att bilden ”vertikalvinklar” hörde till den uppgiften (eftersom den fanns direkt bredvid). Till elever, som hade svårigheter med frågan, gav jag ledtrådar av typen ”vilka vinklar är lika på bilden?”, ”vad vet man om summan av de alla fyra vinklarna?”. Efter det hade de flesta inga problem med att lösa uppgiften.
2. Markera så många lika vinklar som möjligt i a) en kvadrat c) ett parallellogram:
b) en rektangel
c) ett parallellogram
Eleverna hade inga problem med att markera de parvis lika vinklarna (förutom en överanvändning av streck i vissa fall, en vinkel med fem överstrykningar gick inte att skilja från en vinkel med sex överstrykningar, och där gav jag rådet att använda en annan beteckning). Men nästan ingen kunde motivera varför de markerade vinklarna var lika. ”Eftersom de är lika stora”, fick jag höra några gånger. Det var helt nytt med motivering inom geometri för de flesta eleverna. Därför krävde vi inte någon rigorös förklaring på alla egenskaper hos figurerna, men stannade och diskuterade gärna om sätt att dra slutsatser på. Helt enkelt visade vi hur problemen kunde angripas strikt matematiskt.
Till exempel kunde vi fråga varför alla vinklar i mitten av kvadraten (där diagonalerna skär varandra) var lika stora och nöja oss med svaret ”kvadraten består av fyra likadana trianglar”. Men ingen refererade till ”likbelägna” eller ”alternatvinklar”, antagligen på grund av ovanan vid axiomatiskt resonerande (eller min hafsiga genomgång). Skönt i alla fall att eleverna höll med Euklides om att dessa axiom gäller :)
3. Vad är vinkelsumman i a) en triangel? b) en fyrhörning?
Här skrev de flesta eleverna ner rätt svar, men nästan ingen hade någon som helst motivering till det. På grund av detta stannade vi upp i den enskilda problemlösningen och hade en gemensam slutledning om varför vinkelsumman i en triangel alltid är 180° (ALLA visste det, men INGEN hade sett något bevis för det). Eleverna hittade på ett spännande sätt som gick ut på att kopiera triangeln och lägga den upp och ner ett par gånger. Vi behövde fortfarande använda ”alternatvinklar”-axiomet, men det sjönk nog ändå inte in att vi använde det. Det kommer ta ett tag innan gruppen är vana vid bevis!
Vad gäller förhyrningen så hade ett par elever bra idéer som gick ut på att en fyrhörning består av två trianglar (vilket ju egentligen räcker för att bygga ihop ett riktigt bevis). Vi gick igenom det på slutet av geometrimomentet och då tog jag även upp icke-konvexa fyrhörningar.
4. En linje skär två andra parallella linjer. Bestäm vinkeln mellan de mostående inre vinklarnas bisektriser.
Eleverna som satte sig in i uppgiften kunde hitta lösningen genom att kombinera dessa två definitionsbilder. Jag kan tänka mig att om uppgiften skulle ha tagits upp på någon annan träff, så skulle en del inte kunnat lösa den. Men i samband med temat ”vinklar” och ett par ledande bilder blir den tvärtom ganska lätt.
5. Går det att rita fem strålar från en punkt så att det bildas exakt fyra spetsiga vinklar mellan strålarna? Vinklar mellan varje par av strålar räknas, inte bara mellan grannstrålarna.
Det behövdes några förtydliganden för vad som gäller i den här uppgiften, men de flesta hade en intuitiv känsla för vad strålar och spetsiga vinklar är för något. Under genomgången fick en elev komma fram och visa sitt exempel (som för övrigt inte är trivialt att konstruera). Totalt var det kanske 5 elever som hade löst uppgiften (och velat gå fram till tavlan).
6. Yttervinklarna för triangel ABC vid hörnen A och C är lika med 115° respektive 140°. En linje, som är parallell med AC, skär sidorna AB och AC i punkterna M och N. Bestäm vinklarna hos triangeln BMN.
En fråga som många av eleverna (och till med någon av lärarna!) inte visste svaret på, var vad ”yttervinkel” är för något. En av lärarna läser inte uppgifterna i förväg av pedagogiska skäl, det vill säga för att titta på uppgifterna med samma nya ögon som eleverna på lektionen. Men kanske är det inte en strategi som håller. Det var hur som helst det ordet eleverna fastnade på. Men ett par elever hann ändå klara uppgiften, med det var inte jag personligen som lyssnade igenom lösningarna.
Allt som allt var geometri och vinkeljakt ett svårt ämne, framförallt för att eleverna var så ovana. Fördelen är att alla då är på samma villkor, ingen hade mycket mer förkunskaper än någon annan. Jag hoppas att eleverna gillade att upptäcka nya saker om vinklar och bevisföring. Om någon inte gjorde det, så kan det bero att det var ett för stort kognitivt steg att direkt hoppa in i bevisens värld eller så gillade kanske inte personen att hålla på med helt nya saker (och kanske hellre ville syssla med något bekant). I det senare fallet tror jag inte Matteklubben är en rätt aktivitet för personen, då vi kommer att hålla på med nya tankesätt varje träff.
Bevis
Som jag har nämnt ovan, att motivera sina lösningar från grunden (använda sig av axiom) var någonting som var helt nytt för eleverna. När man pluggar matte möter man ofta olika typer av bevis (till exempel beviset för Pythagoras sats), men man ombes inte alltid att konstruera bevis själv. Egentligen är en motiverad lösning till vilken uppgift som helst ett bevis i sig, men brukar inte kallas för det. Därför är många universitetsstudenterna rädda för att hitta på bevis, de förstår inte hur man går till väga.
Tanken är att eleverna på Matteklubben så småningom inte ska bli rädda för att motivera saker så utförligt som möjligt. Det handlar dels att lära sig om vad som är allmänt vedertaget fakta (t.ex. behöver man inte bevisa att 1 + 1 = 2, trots att det egentligen går att motivera), med också vad som inte är det. Och dels om att bli säker på att man inte missat några möjligheter i sitt bevis. Den känslan utvecklas när man blir bra på logik och kombinatorik, vilket vi ofta övar på när vi löser blandade uppgifter.
I samband med att tävlingen HMT hålls den 11:e november ville jag lägga ner en del av lektionen på att informera om den och att träna inför den genom att lösa gamla problem. Bara några stycken i gruppen hade hört talas om Högstadiets Matematiktävling, vilket kanske inte är så konstigt, eftersom få skolor i Uppsala har deltagit de senaste åren. (En elev som var med på första träffen hade dock gått till final förra året och presterat bra!)
Eleverna som går i Matteklubben är de mest lämpade att delta, men för att de ska kunna göra det, behöver deras lärare vara delaktiga. Därför fick alla ett informationsblad som de kunde ge till sina respektive lärare. Sista anmälningen är den 4:e november och det går att läsa mer om tävlingen på HMT:s hemsida.
Jag hoppas att några elever vill delta, de har en god chans att ta sig vidare till final! Oftast behöver man lösa ungefär 4 problem (av 6) för att gå vidare. Men det är förstås frivilligt och man ska bara tävla om man tycker att det är kul.
Övning inför tävlingen
Vi hade bara någon halvtimme kvar av lektionen för att öva på gamla HMT-problem. Men klassen hann lösa alla uppgifter en minut innan lektionen skulle sluta! Det vill säga varje uppgift löstes av åtminstone en elev. Även om jag sade att uppgifterna inte var ordnade i svårighetsgrad, så försökte de flesta ändå att lösa uppgifterna i ordningen de stod, det är ju svårt att avgöra svårighetsgraden innan man har ett hum om uppgiften.
Utvärdering
Som det märks från mängden material som vi hinner ta upp under en lektion, så kan eleverna ta in en hel del kunskap. Men de har inte riktigt lärt sig att tillämpa allt vi pratar om. Det är inte så konstigt. Det är ganska lätt att visa häftiga saker för intresserade elever, kanske berätta om sitt eget sätt att se på matte eller visa en naturvetenskaplig grej som någon annan har kommit på (sådant som förekommer på tekniska museer). Men det är svårt att lära ut genomförande, det vill säga förmågan att komma på egna häftiga saker. Det tar många år av arbete och träning.
Det är dock väldigt viktigt att ta vara på intresserade elever, eftersom de i framtiden kommer att kunna bli riktigt bra ingenjörer eller forskare (eller något annat häftigt). Målet är ju att de ska komma på nya saker och därför behöver de att träna på den förmågan. Däri ligger Matteklubbens styrka och utmaning! Det finns hur mycket som helst i matematiken som bjuder in till upptäckter, men det gäller att välja sådan material som passar eleverna. De ska ha en chans att både göra upptäckter som någon annan har gjort före dem, men också ha möjligheter för att hitta på helt nya lösningar!
Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om den första träffen med gruppen här på bloggen.
På den andra träffen kom färre elever, men de var precis lagom många för att vi skulle hinna prata med alla. Barn i årskurser upp till 4 är mycket aktiva och berättar gärna sina lösningar. Vi var 6 lärare och 29 elever. Ju yngre barnen är, desto lägre måste elev/lärare-kvoten vara, enligt min erfarenhet ungefär 4-5 för yngre barn och 6 (absolut högst 7) för äldre barn.
Blandade problem
Lektionen började med att eleverna satt två och två och löste blandade problem, precis som vi brukar göra med de äldre grupperna. Under varje uppgift står vanliga dialoger som jag och de andra lärarna hade med eleverna.
1. Andreas skrev upp talen i ordning tills siffran 2 skrevs upp 10 gånger. Han började med talet 1. Vilket tal slutade Andreas på?
Elev: 92, för att han började på 2, sedan är det 12, sedan 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Tio tal ger tio tvåor!
alternativt:
Elev: 82, för att han började på 2, sedan är det 12, sedan 22 (två tvåor), 32, 42, 52, 62, 72, 82. Tio tvåor!
Lärare: Måste tvåorna som skrivits upp alltid vara den sista siffran? (Pekar på 22.) Här är det en tvåa som talet börjar med. Finns det inte fler sådana tal?
Elev (efter en liten tankestund): Ja, just det, det är så på 20, 21, 22… Räknar snabbt fram till talet 26 (eller 27 om den andra tvåan i 22 glöms bort).
2. Så fort deltagarna ankom till Matteklubben bildades det en lång kö till fikat. Precis bakom Adam står Linda, precis bakom Linda står Hjalmar. Om man räknar från köns början, står Hjalmar som nummer tjugo. Om man räknar från slutet, står Adam som nummer trettio. Hur många personer står i kön till fikat?
Elever: Är svaret 46?
Lärare: Kanske, berätta hur ni tänkte!
Elever: Om Adam är nummer 30 från slutet, så är det 27 personer bakom Hjalmar i kön. På samma sätt är det 17 framför Adam. Mellan Adam och Hjalmar är det 2 (personer). Tillsammans blir det 27 + 17 + 2 = 46.
(Det fanns också andra förklaringar till 46 som jag måste erkänna att jag inte riktigt förstod. Det var inte helt lätt att fånga upp felet i resonemang där man är slarvig med att räkna med/inte räkna med personer som står på ändarna)
Lärare: Vilka personer har vi räknat in och vilka har vi inte räknat in? Har vi räknat någon två gånger?
alternativt:
Lärare: Om det är 27 personer bakom Hjalmar, hur många är resten? Alltså från nummer 1 till Hjalmar som är nummer 20? (Det var inte helt självklarat för vissa barn att det var 20.)
3. Med hjälp av siffrorna 0, 5 och 9 bilda det största möjliga samt det minsta möjliga tresiffriga talet. Siffrorna i talet måste alla vara olika.
Elev: Det är 905 och 059.
Lärare: Men 059 räknas inte som tresiffrigt.
Elev: Aha, då är det 509.
4. Tre ekorrar hittade 90 nötter. De delade upp nötterna på så sätt att den äldsta ekorren fick 10 nötter mer än mellanekorren och så att den yngsta ekorren fick 10 nötter mindre än mellanekorren. Hur många nötter fick varje ekorre?
Elever: Vi tänkte först att alla skulle få lika många nötter, 30 stycken. Men sedan skulle den minsta ge 10 till den största, så det blev 40, 30, 20.
alternativt:
Elever: Vi testade med 30, 20, 10, men då blev det för lite. Det saknas 30 nötter. Då lade vi på 10 till varje ekorre.
5. På en idrottslektion ställde sig hela klassen på en rad. Först skulle var sjunde barn göra två steg fram. Sedan skulle var tredje barn (av de som var kvar i ledet) göra ett steg fram, och till sist skulle var femte barn (av de som var kvar) göra ett steg bakåt. Hur många går i klassen om 15 barn stod kvar på sina platser i slutändan?
Elever: Är svaret 30?
Lärare: Låt oss kontrollera!
(Vi kontrollerar för 30 genom att rita upp 30 pinnar/saker, stryker dem en i taget och ser att det fungerar.
Lärare: Finns det fler svar?
Några av elevparen blev klara med uppgifterna snabbt, och då fick de lösa ett par extra uppgifter från träffen med åk 5-6.
Sedan var det dags att presentera lösningarna på tavlan. Många av eleverna/grupperna var ivriga att få gå fram. För att fler skulle få komma fram fick de göra det två och två. De som var bekväma med att prata inför gruppen fick presentera lösningen, de andra agera som stöd (ibland turades båda om att prata).
Eleverna hade snygga (förfinade efter diskussion med läraren) lösningar på uppgifterna. Till exempel, på uppgift 1 skrev de bara upp talen från 1 till 26 som innehöll siffran 2 (eftersom de andra var irrelevanta). På uppgift 2 ritade eleverna upp hur de tänkte, vilket nästan påminde om Venn-diagram, man kunde lätt följa deras resonemang. Efter att uppgift 3 hade presenterats frågade jag hur man i allmänhet bildade största möjliga och minsta möjliga tal med en given mängd siffror. Barnen kunde svara på det utan problem, även om vissa först tänkte att 0 kunde stå på första plats i ett tal (även någon enstaka lärare trodde att det var ok).
Fixering vid svar
Det jag har märkt både under diskussionerna med eleverna och i sättet de presenterar lösningarna på tavlan är att de lägger stor vikt vid att formulera svaret. De tycker att det absolut ska stå ”Svar:” någonstans på pappret (eller när man presenterar på tavlan). Eller så glömmer de ibland bort att skriva det, men när de är färdiga med lösningen kommer de ihåg att avsluta med ”Svar: 30 elever” till exempel.
Detta läggs förstås vikt på i skolan, för att läraren lätt ska få en överblick över om uppgiften gjorts rätt eller inte. Under Matteklubben försöker jag skifta fokus från svar till själva lösningar. På frågan ”Är __ rätt svar” svarar jag alltid ”Hur tänkte ni?” för att visa att det är tanken och inte vad man räknade ihop på slutet, som räknas. Extra roligt är det att ta med uppgifter där det finns flera svar på lektionerna. Då förstår eleverna bättre när läraren ställer frågorna ”Finns det fler svar på uppgiften? Varför/varför inte?”. De börjar undersöka mer för att själva försäkra sig om att de verkligen har betraktat alla möjligheter. Vi straffar inte elev för att hen har gissat sig fram till ett svar, för det är också en slags strategi (som kan ge rätt svar), men vi försöker säga att det inte räknas som en fullständig lösning förrän man är säker på att det inte finns fler svar.
Det var det som hände vid diskussionen av uppgift 5, då vi kom fram till att det finns ett ytterligare svar än det som presenterades på tavlan. Men därefter kunde vi också förklara varför antalet elever i raden inte kunde bli större eller mindre.
Experiment med utvikningar
Nu fick eleverna vara i gruppen om 3-5 och undersöka olika utvikningar. Varje grupp fick en sax och en linjal, samt papper för att klippa ut och testa utvikningar. Till uppgift 2 tog jag med en Rubiks kub som fick stå framme på katedern. Om man ville testa sin utvikning, fick man alltså komma fram och göra det. Till uppgift 3 tog jag med några tändsticksaskar (därav måtten) som eleverna också kunde testa utvikningar på. Men det var nästan ingen som hade kommit så långt.
Eleverna var lite mer trötta vid det här laget och hade svårigheter med att läsa igenom och skilja på de olika uppgifterna. Jag sade till många att de skulle komma på egna utvikningar, men då läste ju inte eleverna uppgift 2 så noga (eftersom de antog att de redan hade fått det förklarat) och många missade att sidan skulle vara 6 cm. Inte för att det gör särskilt mycket. Men nästa gång ska jag ha tydligare gräns mellan uppgifterna, kanske till och med ge ut dem en i taget.
1. Vilka av figurerna på bilden kan vecklas ihop till en kub?
Vissa elever föreställde sig hur det skulle bli i huvudet (och då gjordes såklart också några fel) och kunde utesluta eller godkänna några former. De flesta klippte ut och testade med papper när de var osäkra. Den metoden fungerade perfekt. Några av eleverna sade att de redan hade gjort liknande uppgifter tidigare på lågstadiet och då kan man ju bara glädjas åt att de verkar ha haft roligt då i skolan. Jag hoppas dock att alltid lära ut något extra med uppgifterna på Matteklubben, så som diskussionen nedan.
2. Hitta på en annan utvikning till en kub och tillverka den. Kubens sidor är 6 cm långa. Klipp ut din utvikning och testa den på kuben.
Några grupper gjorde en egen utvikning i rätt storlek, några gjorde mindre utvikningar. Det bästa med stora utvikningar var att vi kunde testa dem på Rubiks kub och alla kunde se att det passade. Många grupper hittade den utvikningen, som är lik den första, fast man flyttar två av rutorna (så att formen ser ut som bokstaven ”T”). Då uppmanade jag dem att hitta på en till.
3. Kom på en utvikning till ett rätblock som är 1,5 cm hög, 4 cm bred och 5,5 cm lång. Klipp ut och testa utvikningen!
Under tiden någon klipper ut utvikningen, försök att komma på fler annorlunda utvikningar till samma rätblock. Du behöver inte rita dem snyggt, bara på ett ungefär.
En grupp tillverkade utvikningen och vi testade den sedan på tändsticksasken. Möjligen hade de flesta grupper inte hunnit komma så långt, då vi inte hade så mycket tid för det här momentet.
Vi ritade upp alla utvikningar (inklusive de falska) från uppgift 1 på tavlan och gick igenom dem en och en och klassen fick skandera ”ja” eller ”nej” som svar på frågan huruvida de var möjliga eller inte. De flesta hade alla rätt. Vi markerade även vilka rutor som var tvungna att överlappa ifall man skulle klippa ut figuren och försöka vika en kub utav den.
Sedan var det dags för grupperna att lämna in utvikningar som de själva hade kommit på. Det blev tre annorlunda former totalt och de ritade vi upp (och visade upp de stora). Jag berättade att det totalt finns 11 utvikningar så om man ville, kunde man försöka hitta de 2 vi saknade. Här bifogar jag en bild över alla ifall man är nyfiken:
Sedan visade vi upp utvikningen för ett rätblock som en grupp hade gjort (som var korrekt och inspirerad av standardformen (”plus”) på kubutvikningen). Då ställde vi en fråga till barnen: ”Tror ni att finns fler utvikningar för en rätblock än för en kub eller färre?”. ”Färre!” skanderade barnen. De tänkte att det var svårare att rita upp en utvikning för ett rätblock (svårare att passa in sidor), alltså måste det finnas färre sådana.
Då försökte vi diskutera fram till att om en utvikning för ett rätblock kan göras av en kub-form, skulle en inte då kunna göras av andra kubformer också? Långsamt blev barnen mer och mer övertygade om detta. ”Lika många, lika många!” skrek de då.
Sedan ritade jag och en annan lärare upp flera olika former för rätblock som egentligen hade samma underliggande standardutvikningsform för kuben. Vi kunde variera den på minst tre olika sätt, genom att välja form och riktning på ”sidoflärparna” (det finns ju tre olika rektangelytor). Då började fler och fler barn långsamt bli övertygade om att de faktiskt fanns fler former för rätblock (som inte är kuber) än för kuber. Jag avslöjade att det fanns ungefär 50 utvikningar för rätblock. ”Och vi ska hitta de alla!” sade en elev med uppspärrade ögon. Kul tänkt, men matte ska ju helst inte var plågsamt :) Så det behövde de förstår inte göra, men jag bifogar de ändå här:
Hemuppgift
Det fanns extrauppgifter på bladet som de flesta inte hann komma till. Därför fick de ta dem med sig hem och tänka över dem i lugn och ro. Hemuppgiften är förstås frivillig.
Konstig nog går även den här formen att vika ihop till kub (testa hemma)!
Kan följande former också vikas ihop till kuber?
Jag berättade om vad den första uppgiften gick ut på (att man skulle klippa ut den delen som var i färg). Barnen blev väldigt förvånade över att det var en utvikning (”hur ska man vika ihop den då?”). Då tipsade jag om att det fanns en ritning över kuben, som var sned och att man kunde ta den som grund. Då förstod en av eleverna att de bitarna som stack ut passade ihop precis med det som saknades på rutorna bredvid. Får se om någon tar sig an de sista tre formerna och lyckas vika ihop dem till en kub. Det är inte särskilt lätt ens för vuxna!
Utvärdering
De 29 eleverna som kom till lektion kände sig motiverade och trivdes bra (förutom för en elev som var där för första gången och inte hade roligt), så gruppen är rolig att arbeta med. Nivån var till och med enkel för många, så det gäller att ha ett förråd med svårare uppgifter, ifall någon blir klar väldigt fort (t.ex. uppgifter från åk 5-6 kan passa). Barnen blev fortfarande trötta mot slutet, men eftersom uppgifterna var mer tillgängliga än första gången, orkade nästan alla jobba hela vägen fram.
En annan lärare påpekade, efter att han på en rast hjälpt en elev att fatta lösningen på uppgiften om fikakön, att det viktigaste med matten är inte att fatta, utan att försöka fatta. Kloka ord tycker jag, Har man nyfikenheten och ihärdigheten, så kan man komma hur långt som helst!
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen innan du läser vidare.
36 elever och 6 lärare
Denna gång var det 36 elever som var närvarande, vilket är närmare ett lagom antal än förra gångens 41. Vi var sex stycken lärare och jag tror att vi räckte till det mesta av tiden. Om uppgifterna hade varit för lätta, så skulle vi inte ha så mycket att diskutera med barnen, förutom att de skulle berätta hur de tänkte (och vi skulle förmodligen inte hinna lyssna på allas lösningar). Och om uppgifterna hade varit för svåra så skulle vi inte lärarna ha så mycket att göra annat än att tipsa eleverna om hur de kan tänka. Det är lagom nivå på uppgifter om eleverna löser några, tänker fel på några andra (så att de lär sig något nytt!) och kanske har svårt för att lösa de allra svåraste problemen på egen hand, så att de börjar utbyta idéer med varandra. Vi kunde även lyssna på några elever som inte hittade någon att samarbeta med (eller inte ville samarbeta, vi tvingande ingen att vara i grupp, bara uppmanade). Jag hann i alla fall själv att prata med nästan alla grupper åtminstone en gång, vilket borde betyda att de flesta grupper har hunnit bolla var och en av sin idéer med åtminstone någon av lärarna.
Hemuppgiften
Vi började träffen genom att gå igenom (den frivilliga) läxan. Några av eleverna kom ihåg den och hade jobbat med den hemma, de flesta hade säkert glömt bort den (eller inte jobbat på den). Därför försökte jag föra diskussionen på ett sådant sätt att även de som var helt nya för Matteklubben kunde hänga med lite grann. Vi diskuterade i bara 10 minuter för att de som inte hade fördjupat sig i uppgiften inte skulle bli uttråkade.
Uppgiften som handlar om konkreta tal (5 pärlor, si och så många av varje färg) kunde alla lösa om de försökte. Det handlar om att rita upp och inte glömma något fall. Det fanns ändå flera tolkningar på uppgiften där det fick vara alla möjliga antal svarta pärlor av fem. Några tolkade uppgiften som att armbanden inte fick vara helt svarta eller helt vita. Det gjorde inte så mycket, eftersom man bara behöver lägga till 2 till svaret om dessa armband skulle räknas.
En annan oväntad kuriosa uppstod när jag ritade upp de olika armbanden på den svarta tavlan med en vit krita. Jag tyckte att de pärlorna jag fyllde i var ”svarta”, men många barnen tyckte att dessa var ”vita” (eftersom det verkligen var den färgen de fick). Detta resulterade i ett par intressanta matematiska poänger. Dels att man själv får välja (definiera) vad man kallar för ”svart” och ”vitt”. Och dels att man kan se att det finns lika många armband med 3 svarta och 2 vita pärlor som armband med 2 svarta och 3 vita pärlor, eftersom man kan välja vilken färg man ser som ”svart”.
Vi gick igenom de andra fallen tillsammans: alla svarta, alla vita, 4 svarta + en vit, 4 vita + en svart. Totalt blev det 8 olika armband, om man räknar armband som fås via vridning som samma. Som jag sett av hur eleverna löste läxan, så betraktade de även spegelvända armband som samma (vilket inte var tanken med uppgiften), men detta spelar ingen roll förrän man börjar räkna armband med 7 pärlor.
Sista delen av uppgiften var en öppen fråga. Det vara bara 2-3 elever som hade jobbat på det hemma och berättat det för mig. Sambandet för ett godtyckligt antal pärlor är väldigt svårt. Så det var inte tanken att eleverna skulle lösa det, men de kanske kunde upptäcka vissa mönster. Om man inte räknar spegelvända armband som samma, så går uppgiften att lösa med Burnsides Lemma i det generella fallet (vilket är universitetsmatte), och i fall då antalet pärlor i armbandet är ett primtal (p) så är antalet armband lika med
Så till exempel för talet 5 blir svaret:
Försök att lista ut var svaret kommer ifrån (tips: 2:an står för antalet färger). Obs! Uppgiften är bara till för de elever som tycker allting annat är jättelätt.
I varianten där spegelvända armband räknas som samma vet jag inte hur man löser uppgiften generellt.
Blandade uppgifter
Sedan löste eleverna blandade uppgiften i ungefär 40 minuter. Vissa satt själva och vissa jobbade i grupper om 2-3. Individuellt arbete är mycket givande, men vi hinner inte jobba med var och en så mycket då antalet elever är så stort. De som räcker upp handen fick dock hjälp snabbt och om de som var villiga att diskutera kunde de få en givande dialog. Exempel på några typiska dialoger skriver jag under varje uppgift.
Om du undrar över lösningen på någon uppgift, så är det bara att fråga i kommentarerna.
Första uppgiften tog längst tid så den diskuterade jag absolut mest med eleverna.
1. a) Matilda har två leksakskuber med bokstäver på sidorna. Totalt finns det 12 olika bokstäver. Hur många ord på två bokstäver kan Matilda bilda?
Lärare: Obs! Låtsasord är också ord i den här uppgiften.
Elever: Får ett ord bestå av två likadana bokstäver?
Lärare: Javisst!
Elever: Det är 6 bokstäver på första kuben och 6 bokstäver på andra. Totalt blir det 6 x 6 = 36 ord.
Lärare: Men måste alltid den första kuben (till exempel den med bokstäverna ABCDEF) alltid stå först? Kan inte den stå på andra platsen?
Elever: Just det, då blir svaret dubbelt så stort!
Elever: Den första bokstaven kan man välja på 12 sätt. Den andra på 11 sätt. Totalt blir det 12 x 11 = 132 ord.
Lärare: Men det är bara en sida man kan välja per kub. Två bokstäver på samma kub bildar inte ett ord.
Elever: Aha, då är det 12 x 6.
Elev: Blir svaret 66?
Lärare: Kanske, hur fick du svaret?
Eleven berättar hur hen tänkte och det visar sig att hen hade tänkt rätt, men räknat fel.
Lärare: Du tänkte rätt!
Det var en del elever som inte noterade att alla de 12 bokstäverna var olika, och därmed snarare löste b)-uppgiften.
1. b) David fick däremot två likadana kuber. Hur många ord på två bokstäver kan han bilda?
Elever: Samma svar som i a), 72 sätt.
Lärare: Låtsas som att vi bara har två bokstäver per kub, A och B på första kuben och likadant på den andra. Vilka ord kan man bygga? T.ex. AA är ett ord.
Elever: Man kan också bygga BB, AB och BA.
Lärare: Så svaret blir…?
Elever: 4 ord.
Lärare: Men om vi skulle tänka som i första uppgiften skulle svaret bli 8 ord. Vad är felet?
2. Det är mörkt i rummet och du vet var det finns en låda med 7 röda och 5 blå pennor. Hur många pennor måste du dra på måfå för att vara säker på att ha minst 2 röda och 3 blå pennor när du sedan kommer ut ur rummet?
Elev: Om man drar 10 pennor, så kan man få 7 röda, men då får man ändå 3 blå.
Lärare: Varför räcker det inte med 9 pennor?
Elev: Man skulle kunna få 7 röda och 2 blå.
3. Vilja räknade fingrarna på sin högra hand: första var tummen, andra – pekfingret, tredje – långfingret, fjärde – ringfingret, femte – lillfingret, sjätte – ringfingret igen, sjunde – långfingret, åttonde – pekfingret, nionde – tummen, tionde – pekfingret och så vidare. Vilket finger blir nummer 2014?
Elever: Vi räknade att pekfingret blir nummer 10, ringfingret nummer 20, ringfingret nummer 30, pekfingret nummer 40, pekfingret nummer 50 och så vidare. Vi räknade ut vad finger nummer 2000 blir och sedan var det bara räkna 14 till. Och det blev ringfingret.
Lärare: Ok, coolt sätt att lösa uppgiften på!
Elev: Nummer 2010 blir pekfingret och sedan spelar det faktiskt ingen roll åt vilket håll man går, om 4 fingrar är det ändå ringfingret.
Lärare: Ja, intressant att man inte behöver bry sig om håll.
4. Siffrorna 1 till 9 fyller kvadraten som det syns på den vänstra bilden. Man får gå på kvadratens rutor, men aldrig tillbaka till en ruta man varit på förut, och man måste alltid gå till en angränsande ruta.
Emilia gick längs med pilen som syns på den högra bilden. Hon skrev ner siffrorna som hon gick på i ordning och fick talet 84937561. Rita en annan väg, som ger ett större tal (ju större tal, desto bättre).
Elev: Man måste börja på ett hörn, annars kan man inte gå igenom alla rutor…
Lärare: Kan man inte börja i mitten?
Elev: Men det är ändå lägre!
Lärare: Ja, förvisso.
Elev: Då börjar man med största siffran i hörnet, 5, och sedan går till 7, för 7 är större än 6. Sen går man till 2, för om man går till 3, så kan man inte komma till 2 senare.
Lärare: Kan inte man sluta i 2?
Elev: Jo, kanske, vänta nu lite!…
5. Gustav tänkte på tre tal, men berättade inte vilka tal det var. Däremot sade han vilka olika summor som två av talen kunde bilda: Det var 23, 25 och 28. Vilka tal tänkte Gustav på?
Elev: Jag testade och hittade talet 10, 13 och 15.
Lärare: Kan det ha varit några andra tal han tänkte på som också passar?
Elev: Jag vet inte, jag provade mig fram bara.
Eleverna fick komma fram till tavlan och redovisa sina lösningar, om de ville. Jag försökte att inte lägga ner så mycket tid på det, för då skulle det bli för lite tid kvar till temat. Det vill säga, vi lyssnade på bara en elevlösning per problem.
Intressanta frågor som dök upp (och som jag själv delvis svarade på för att ge exempel på fullständigt resonemang) var:
Problem 2.
– Varför är man säker på att 10 pennor är tillräckligt?
– Man vet att man får 5 röda och 5 blå, eller 6 röda och 4 blå, eller 7 röda och 3 blå. Det är tillräckligt i varje fall.
Problem 4.
– Hur vet man att man måste börja i ett hörn eller mitten med pilen?
– Om man målar kvadraten schackrutigt, så att 5 rutor blir målade (och 4 omålade), så kan man inte starta i en omålad ruta, eftersom man måste hela tiden växla för varje steg:
omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad, vilket gör att man inte kommer att kunna gå på alla 9 rutor.
Problem 5.
(Det har var egentligen ett förtydligande av en annan elevs resonemang).
– Hur vet man att det inte finns något annat svar än 10, 13, 15?
– Om man ökar något tal till exempel, så måste man sänka båda andra och då skulle inte den tredje summan stämma.
Det här resonemanget är inte vattentät kom jag på i efterhand. Om man ökar ett visst tal, så kanske är man inte säker på att det ingår exakt i samma två summor som förut. Till exempel, om vi ökar 15 till 16, så är det inte säkert att 16 ingår i summan 28, utan kanske i de andra två summorna. Det gör att vi inte lika säkert kan förutspå hur de andra två talen måste förändras.
Forskning om area och omkrets
Med dagens tema fick eleverna jobba i grupper om ungefär 4. Det tog inte så lång tid, då frågorna var lite lättare och öppnare än de blandade problemen. De som blev klara fort fick pappret med individuella uppgifter.
Efter ungefär 20 minuter (tror jag) diskuterade vi elevernas förslag på tavlan. Jag skriver under varje uppgift vad vi tog upp i klassdiskussionen.
Figurerna i de här tre uppgifterna får bara ritas längs med rutornas gränser. Inga halva rutor tillåtna det vill säga.
1. Rita så många figurer som möjligt med omkretsen 8 (rutlängder). Vad har de olika figurerna för areor?
Eleverna ritade de två figurerna som består av tre rutor (”pinnen” och ”vinkelhaken”) och en som består av fyra rutor (”fyrkanten” eller ”kvadraten”). En grupp tänkte utanför lådan och hittade på en figur med area 0 (sträckan med längd 4) och med area 2 (två rutor som hänger ihop ett hörn). Jag berättade att figurer som den med arean 0 kallas för ”degenererade figurer” och man bestämmer själv ifall de ska räknas som figurer eller inte (därefter hade vi en omröstning i klassen och majoriteten tyckte inte att de räknades som figurer).
2. Rita så många figurer som möjligt med arean 8 (rutor). Vad har de olika figurerna för omkrets?
Eleverna fick jättemånga olika figurer här, så att de inte ens orkade rita upp alla (jag frågade sedan vilken grupp som hade ritat flest figurer). Omkretsarna var 16, 14, 9, 18.
En av lärarna frågade hur en elev hade fått omkretsen 9. Då ritade eleven upp en kvadrat med ett hål i (också nytänkande!). Omkretsen tyckte eleven var det som var utanpå (hålets omkrets räknades inte med). Men då blev det inte 9, utan 12.
Jag frågade klassen hur läraren kunde misstänka att omkrets nio inte var rätt. En elev svarade att omkrets var tvungen att vara ett jämnt tal. För att det är 4 i början (en ruta) och sedan läggs det liksom på 2 när man bygger ut.
Det blev en liten avvikelse i diskussionen och vi pratade om att omkrets förändras som +2, -2 eller +0 när man bygger ut figuren. Och eftersom det börjar med 4, så förblir det alltid jämnt. Detta är ett mycket djupt resonemang som involverar begrepp som invariant och stegvis konstruktion (början till induktion), som traditionellt är tematik för begåvade elever i högstadiet/gymnasiet. Imponerande att vissa elever i åk 5-6 redan har lite känsla för det!
3. Omkretsen för en viss figur är 20.
a) Vilken är den största arean som figuren kan ha?
b) Vilken är den minsta arean som figuren kan ha?
Kom på så många exempel som möjligt på figurer med störst respektive minst area.
Många av elevgrupperna kom fram till att figuren med störst area var kvadraten med arean 25 och med minst area en avlång rektangel (bredd 1) med arean 9. Jag frågade om de hade fler exempel på figurer med area 9 och det hade de, ”teddybjörn med stort huvud” och ”plusplus” tror jag vi kallade dem:
Egentligen funkade många olika lösningar på arean 9 (”böjd pinne” etc.), men med störst area fanns bara kvadraten (som eleverna sade: ”Om det inte får vara en cirkel eller nåt”). Jag sade att man kunde visa det men att det är en för svår uppgift för tillfället.
Precis i slutet pratade vi om vad som hände med arean och omkretsen om en kvadrat får dubbelt så stora sidor. Arean blev 4 gånger så stor! Först tyckte eleverna att omkrets blev 8 gånger så stor (förmodligen för att jag ritade ut de fyra små kvadraterna som den stora består av. Men sedan insåg de att omkretsen blev 2 gånger så stor bara.
Detta gjorde vi för att förstoring och förminskning var vad de individuella uppgifterna handlade om. Dem hann eleverna knappt hålla på med under lektionen, så det blev en (frivillig) läxa.
Tankar efter lektionen
Om möjligt gick lektionen ännu bättre än förra gången. De eleverna som kom för andra gången var de som undervisningen verkligen passade för. Alla gillade aktiviteterna och ingen verkade känna sig så som om denne inte hade där att göra. Mot slutet blev några elever trötta (och började busa lite), så det behövs förmodligen en längre och aktivare rast nästa gång.
Det är roligt att många vågar räcka upp handen och vågar ha fel (även om det är för det mesta samma personer som räcker upp handen om och om igen). Jag har lärt mig 7 av elevnamnen och hoppas att jag ska kunna fånga upp de allra flesta namn vid terminens slut.
När man lär sig vissa skills så finns det ofta sätt att utvärdera dem. I karate finns det bälten av olika färger som visar på vilken nivå du har uppnått hittills. Om du lär dig att dansa så ordnas det dansföreställningar som markerar slutet av någon inlärningsperiod. Om du spelar fotboll på fritiden finns det matcher som ditt lag spelar mot andra. Och i skolans ämnen finns betyg.
Men vad händer om du är intresserad av mer matematik än den som finns i skolan? Hur kan du avgöra om du blir bättre på det?
Ett sätt är att plugga en bok från en högre årskurs på egen hand. Du kan se om du räknar rätt på uppgifterna och på så vis läsa svårare ”skolmatte” och så småningom även universitetsmatte. Det är en helt ok väg att ta om du litar på att kurserna i skolan och högskolan är upplagda på ett bra sätt. Det är svårt att lägga upp kursplanerna i ett ämne som du inte kan än, så det är kanske det enda sättet att lära sig matematik på egen hand.
Men matematisk problemlösningsförmåga är svårare att mäta på samma sätt. För det behöver man jämföra sig med andra, eftersom det inte finns några etablerade nivåer inom problemlösning. Jag känner inte till något bättre sätt att sätta sina kunskaper på prov än just mattetävlingar.
Hur tävlar man i matte?
Man löser kluriga uppgifter på tid! Oftast handlar det inte lika mycket om att kunna begrepp från skolmatten, utan att kunna tillämpa sina kunskaper. Det finns individuella tävlingar och tävlingar för små grupper (främst i högstadiet). Ibland får man vara på sin egen skola och ibland får man träffa tävlande från andra skolor (oftast på finalen av respektive tävling).
Förutom att det är ett sätt att utvärdera sig själv, så är den sociala aspekten en stor grej av tävlingar. Många brukar säga ”det viktigaste är inte att vinna, utan att delta” om fotbollsmatcher (för barn). Förvisso är det mycket roligare att vinna, men det är en enorm skillnad mellan att delta och förlora och att inte delta alls. Varje tävling är en chans att visa upp sig och göra sitt bästa. Att prestera på topp under kort tid (även vid förlust) är givande för de flesta i deras matematiska utveckling. Men att också umgås med andra, som försöker prestera på topp inom samma område, att utbyta tankar och erfarenheter med dem är ovärderligt. Därför är det hälsosamt att tävla om man kan ta en förlust.
Varför anordnas tävlingar?
Tävlingar anordnas för att hjälpa eleverna att hitta sin bana. Det är en belöning för dem som har valt att satsa på sina matematiska intresse.
På tävlingar görs reklam för vidare matematikstudier eller yrkesmöjligheter – självklart vill skolorna och företagen ha de bästa hjärnorna i Sverige.
De som anordnar tävlingar förstår deras betydelse för både lärare och elever. Som en av de som förbereder Högstadiets Matematiktävling kan jag säga att vi gör det mest för att stimulera intresset för svår matematik, så att den inte dör ut hos duktiga elever som har lätt för skolmatte.
Vad tjänar lärare på det?
En lärare kan få en helt annan inställning i klassen mot matte om hen inför kulturen av regelbundna tävlingar. Då finns det ett större mål med matematikstudier, vilka annars är svåra att motivera. För vad svarar man vanligtvis på frågan ”Vad behöver vi det här till?” under en mattelektion? Man säger ”Det här kommer du behöva senare i livet”, vilket är lite sisådär motiverande för en högstadieelev.
Om matteprestationer belönas extra med ära och erkännande, så blir det ”coolt” att vinna mattetävlingar och att vara bra på matte. Liten hälsosam konkurrens i klassen tjänar de allra duktigaste oerhört mycket på. De svagas självförtroende kan dock minska så man ska vara försiktig med att jämföra eleverna för mycket inom klassen. Betrakta istället klassprestationer som en gemensam sak, det vill säga, om det går bra för någon i klassen, så är det hela klassens förtjänst. Eleverna intresserar sig mycket mer för den skolmatten och har inget emot att nöta vanliga räkneuppgifter som ”träning” inför den svåra problemlösningen.
Visa att man kan stryka några siffror i början och några i slutet av talet
(talet består av 2000 siffror), så att summan av de resterande siffrorna blir delbart med 2014.
Om några siffror i början och några siffror i slutet stryks, så kommer talet som är kvar bestå av flera 2014 i följd samt några extrasiffror i början och i slutet. Om vi summerar alla siffrorna, så blir resultatet lika med summan av ett antal sjuor (2+0+1+4), samt lite till.
För att få summan exakt 2014 behövs det 287 sjuor och 5 till (2014 = 287*7 + 5). Detta är möjligt att åstadkomma med talet 1420142014…2014 (som består av 287*4 + 2 = 1150 siffror). Det får man genom att ta bort de första två siffrorna samt de sista 848. Siffersumman 2014 är såklart även delbart med 2014.
Detta är de inofficiella (dagen-efter) lösningar till SMT-kvalet som hölls den 30:e september på gymnasieskolorna över hela Sverige. De officiella lösningarna kommer att komma upp på SMT:s hemsida.
Problem 1
Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna, och med samma tidtabell alla dagar i veckan. Under varje resa stannar tåget endast en gång, vid Mo.
Jens åker med tåget från Aby, stiger av i Mo för att handla och återvänder till Aby när tåget nästa gång stannar i Mo. Hans uppehåll i Mo har då varat i 50 min. Jenny åker från Bro till Mo, och åker sedan hem nästa gång tåget stannar på väg mot Bro. Hennes uppehåll i Mo blir 30 min.
Hur många gånger stannar tåget i Mo under ett dygn? Vi bortser från den tid det tar för tåget att stanna till i Mo, samt antar att tåget är i rörelse vid midnatt.
Lösning
Puh, den första uppgiften testar om du kan läsa mycket text! :)
Vi noterar att under tiden Jens är i Mo, så hinner tåget åka från Mo till Bro, stå i Bro och sedan åka tillbaka från Bro till Mo precis. Under tiden som Jenny är i Mo, så hinner tåget att göra precis rester, det vill säga åka från Mo till Aby, stanna i Aby och sedan åka tillbaka från Aby till Mo. Eftersom vi antar att tåget inte spenderar tid i Mo, så utgörs hela cykeln av de två tiderna. Det vill säga, det tar 80 minuter för tåget att göra sin rutt.
Under dygnets 24*60 minuter hinner tåget göra rutten 24*60/80 = 18 gånger. Under varje rutt stannar tåget i Mo två gånger. Således blir det 36 stopp i Mo under ett dygn.
Problem 2
Medelvärdet av 12 reella tal är 20. Medelvärdet av de tal som är större än 20 är 27, medan medelvärdet av de tal som är mindre än 20 är 17. Visa att minst ett av de talen måste vara lika med 20.
Lösning
Vi antar motsatsen: Det finns inget tal bland de 12 som är lika med 20. Då utgörs talen av k stycken som är större än 20 och 12-k stycken som är mindre än 20.
Talens medelvärde är 20, alltså är alla talens summa lika med 20*12 = 240. De som är större än 20 har på samma sätt summan k*27 och de som är mindre har summan (12-k)*17. Således har vi:
20*12 = 27*k + 17*(12-k) = 17*12 + 10*k
3*12 = 10*k
3,6 = k
Motsägelse, eftersom k var ett antal. Alltså måste det finnas som minst ett tal som är exakt 20.
Problem 3
Pukterna P, Q, R, S väljs på sidorna av kvadraten ABCD, så att P ligger på AB, P på BC, R på CD och S på DA, och så att sträckorna AP, BQ, CR, DS är lika långa. Punkten M inuti kvadraten ABCD är sådan att arean av fyrhörningen SDRM är 24 cm2, arean av RCQM är 41 cm2 och arean av QBPM är 70 cm2. Bestäm arean av fyrhörningen PASM. (Du kan ta för givet att det finns en punkt M som uppfyller villkoret.)
Lösning
Om AP = BQ = CR = DS, så är PB = QC = RD = SA, då kvadratens sida är lika med AP + PB = BQ + QC = CR + RD = DS + SA. Därför får vi, om vi drar linjerna PQ, QR, RS, SP, fyra kongruenta rätvinkliga trianglar på bilden (kongruensfall SVS till exempel).
Det betyder att PQ = QR = RS = SP, samt att alla vinklar i PQRS är räta, då de komplementerar två vinklar, vars summa är 90°. PQRS är således en kvadrat.
Låt oss betrakta fallet då punkten M hamnar inuti kvadraten PQRS. Dra då de fyra höjderna från M mot den lilla kvadratens sidor. Höjdernas respektive längder betecknar vi med a, b, c, d. Notera att a + c = b + d, då dessa höjder bildar sträckor, parallella med kvadratens sidor. Alltså har summorna samma värde som längden av den inre kvadratens sida.
Låt oss beteckna den inre kvadratens sida med x. Det betyder att vi kan uttrycka areorna av trianglarna MSP, MPQ, MQR, MRS:
Då a + c = b + d får vi att:
Då måste även
då vi lägger på areor av två av de kongruenta trianglarna på båda sidor (gula på bilden).
Alltså är arean av fyrhörningen PASM lika med 24 + 70 – 41 = 53cm2.
Men vad händer om punkten M ligger utanför den inre kvadraten? Egentligen fungerar exakt samma lösning, men man måste tillåta att vissa areor är negativa. Till exempel om M ligger inuti triangeln APS ligger, så betraktar vi längden av höjden a som ett negativt värde, liksom arean av triangeln MPS. Alla andra påståenden i vår lösningen gäller även med den modifikationen, alltså blir svaret i vilket fall densamma. Det vill säga 53cm2.
Problem 4
Sträckorna AP och BQ är höjder i triangeln ABC. Triangelns vinkel vid hörnet C är 100°. Punkten M är mittpunkt på sidan AB. Bestäm vinkeln PMQ.
Lösning
Eftersom triangeln är trubbvinklig går höjderna AP och BQ utanför triangeln och skär förlängningen av BC respektive AC.
Om man ritar ut cirkeln med mittpunkten M och diametern AB, så kommer punkterna P och Q hamna på cirkelns rand, eftersom de står på diameter med räta vinklar. (Se randvinkelsatsen.) C hamnar inuti cirkeln, eftersom ACB > 90°
Eftersom vinkeln ACB är 100°, så är komplementvinkeln ACP lika med 80°. Det betyder att vinkeln CAP är lika med 10°, då vinkeln APC är rät. På samma sätt är CBQ = 10°, fast det kommer vi inte att använda.
Dags att använda radvinkelsatsen igen! Då vinklarna PAQ och PMQ står på samma båge, men den första är en randvinkel medan den andra är en centralvinkel, så följer det att PMQ är dubbelt så stor, det vill säga lika med 20°.
Problem 5
I en skolklass får en elev en påse med 2014 enkronor från läraren medan de övriga eleverna inte har några pengar alls. Varje gång två elever träffas delar de pengarna de har tillsammans lika om det är ett jämnt antal kronor, medan de lägger en krona i klasskassan och delar lika på resten om de har ett udda antal kronor tillsammans. Efter lång tid har detta hänt många gånger och det visar sig att alla pengarna ligger i klasskassan. Hur många elever måste det minst ha varit i klassen?
Lösning
Det gäller att komma på ett svar, visa att händelsen var möjlig vid det svaret, samt förklara varför ett mindre antal elever aldrig skulle fungera.
Mitt svar är 12 elever. Låt oss ställa dem på rad, med eleven med 2014 kronor först. Därefter delar första och andra eleven på pengarna, andra och tredje, tredje och fjärde och så vidare upp till att tionde och elfte delar på pengarna. Vi får efter det följande mängder hos eleverna (och några kronor ligger i klasskassan):
1: 1007 kr
2: 503 kr
3: 251 kr
4: 125 kr
5: 62 kr
6: 31 kr
7: 15 kr
8: 7 kr
9: 3 kr
10: 1 kr (precis innan hade hen 3 kr)
11: 1 kr (precis innan hade hen 0 kr)
12: 0 kr
I denna situation kan elev 10 och elev 11 bli av med pengar genom att dela dem med elev 12, en i taget.
På så vis ”försvann” 3 kr från en elev med hjälp av två andra elever som hade 0 kr. Därför är det möjligt, att i flera steg få bort 3 kr från elev 9 (eftersom det finns minst två elever med 0 kr). Notera att elev 9 hade 7 kr innan hen delade med sig för första gången vidare i raden. Därför har vi ett sätt att bli av med 7 kr med hjälp av tre ”tomma” elever. Därför kan vi bli av med elev 8:as 7 kr också.
Vi fortsätter på samma sätt tills elev 1 är den enda som har pengar (1007 kr) kvar. Hen kan bli av med dem (mha av de andra tomma eleverna), eftersom elev 2 kunde göra det. Alltså kan man bli av med alla pengar i det här fallet.
Varför räcker det inte med 11 elever?
Notera att i en situation då vi har en mängd elever som kan göra operationerna med varandra, och då alla har åtminstone m mynt, kommer ingen nånsin att kunna få färre än m mynt. För det skulle krävas att man delade som mest på 2(m – 1) + 1 = 2m – 1 mynt, men det är mindre än vad två godtyckliga personer i mängden har tillsammans.
Om klassen hade haft två personer skulle de bara kunna ha 1007 mynt var och inte kunna minska på den mängden. Vi ska visa att om tre personer får byta så kommer var och en att ha som minst 503 kr, om fyra personer får byta så kommer de ha som minst 251 kr var och så vidare. Om 11 personer får byta kommer de alltid ha som minst 1 kr var. Då kommer vi att ha visat att inte alla pengar kan hamna i kassan.
I fallet med tre personer, titta på när den sista personen blir involverad för första gången. Hen delar då pengar med en person som har minst 1007 kr (enligt vad vid visade om två personer). Den själv har 0 kr, alltså kommer de efter delningen att få minst 503 kr var. Nu har alla tre personerna minst 503 kr (den som inte var med om den sista delningen har minst 1007) och kan inte få färre.
På samma sätt går vi steg för steg (eller med induktion) och betraktar då k+1 personer får vara involverade. När den sista av dem gör sin första delning så blir dess minimum hälften av minimum för k personer, avrundat neråt. Ingen annan har mindre än det minimivärdet. Således har vi visat att minsta antal kronor hos varje person bland 11 är 1 kr (och med färre personer ännu större), det vill säga de fallen fungerar inte för att bli av med hela kassan.
Problem 6
Låt a och b vara två positiva heltal sådana att 8a2 + 2a = 3b2 – b . Visa att både 2a + b och 4a – 2b + 1 är kvadrater av heltal.
Lösning
Min lösning var inte världens snyggaste från början, men här en så kallad ”kammad” lösning. Det vill säga onödiga steg har tagits bort. Låt dig inte luras av att lösningen är kort, det tog några försök att komma fram till den.
Låt oss multiplicera de talen vi ska visa vara kvadrattal: (2a + b)(4a – 2b + 1) = 8a2 – 2b2 + 2a + b = (8a2 + 2a) + (- 2b2 + b)
Den första termen kan vi ersätta med 3b2 – b så som det är givet av villkoret i uppgiften: (2a + b)(4a – 2b + 1) = (3b2 – b) + (- 2b2 + b) = b2
Så vi vet att produkten av talen är ett kvadrattal i alla fall.
Notera att ett kvadrattal har alltid ett jämnt antal av samma primfaktorer i sin primtalsfaktorisering, så det lönar sig att titta på något primtal p, ta något sådant som ingår i faktoriseringen av både 2a + b och 4a – 2b + 1. Det implicerar att b2 är delbart med p ocskå. Eftersom p är ett primtal, så måste även b vara delbart med p.
Om både 2a + b och b är delbara med p, så är 2a det också. Låt oss nu titta på 4a – 2b + 1 igen: 4a är delbart med p, b är delbart med p, alltså ger talet rest 1 vid division med p. Detta ger motsägelse, alltså kan inte 2a + b och 4a – 2b + 1 har gemensamma primfaktorer. De är alltså relativt prima.
Det innebär att varje primfaktor som b2 har i faktoriseringen (ett jämnt antal gånger) antingen ingår helt i ena talet eller det andra. Det innebär att vart och ett av talen har alla primfaktorer i jämna potenser och alltså är kvadrater av heltal.
