Tredje träffen med Matteklubben, åk 2-4

Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om den första träffen och den andra träffen med gruppen.

Från början hade vi tänkt att både ha med en del med blandade problem och en tematisk del. Vi hann dock bara gå igenom blandade problemen. Dock gjorde vi det ordentligt och dessutom fanns det trots allt en röd tråd i de här problemen, även om den inte var uppenbar. Men mer om det senare!

Precis som förra gången var 29 barn och 6 lärare med på träffen.

En lek med frågor

För att barnen skulle lära känna varandra i gruppen (och inte bara känna dem från egna skolan) började vi lektionen med en frågelek. Egentligen är det en matematisk lek, men det är inte helt uppenbart varför.

Reglerna var enkla: jag eller någon annan lärare tänkte på en person i klassrummet. Eleverna skulle ställa ”ja/nej”-frågor till oss för att ta reda på vem det var. Den som räckte upp handen fick chansen att ställa nästa fråga och jag försökte hela tiden välja personer som inte hade ställt någon fråga tidigare.

Men hjälp av frågorna ”Är det en tjej eller en kille?” (varpå jag svarade ”Ja” och frågan ändrades till ”Är den en kille?”), ”Är det jag?”, ”Är det han?”, ”Sitter personen på mittenraden?”, ”Har personen en blå tröja?” etc. kunde barnen gissa rätt person på 11 försök.

Lek i grupper

Nu skulle barnen testa samma lek i grupper om 4-6. Vi gav ut papper för att de skulle anteckna antalet frågor det tog att gissa personen som någon i gruppen tänkte på. På tavlan skrev jag upp gruppernas rekord: ”5 försök, 7 försök, 1 försök(!)…” Möjligen blev fokusen vid att ha så få försök som möjligt för stor, vilket gjorde att barnen ofta chansade just för att kunna gissa personen på ett försök. I snitt blev barnen bättre på att spela spelet, då oftast tog det mycket mindre än 11 försök.

Efter ett en stund pratade vi om vilka frågor som var bra att ställa. Egentligen syftade jag på frågor som ungefär halverar gruppen av misstänkta personer. Men jag formulerade inte, då barnen ändå förstod det intuitivt efter att ha lekt med frågorna.

”Är det en kille?”, ”Är det ett barn?”, ”Sitter personen på mittenraden?”, ”Har personen en långärmad tröja?”, ”Har personen ljust hår?” var några av de riktigt bra exempelfrågor som barnen kom på.

Blandade problem, del 1

Därefter delade vi ut ett blad med fem blandade problem. Det visade sig att problemen absolut inte var för lätta. Alla hade något att klura på, så jag ville inte skynda på processen bara för att hinna med en del till. Istället gjorde vi uppehåll i lösandet, då vi gick igenom de första två problemen och sedan tog vi rast.

Eleverna försöker alltid lösa problemen i ordning och hoppar oftast inte över något problem förrän de känner sig klara eller uttråkade. Nästan alltid har de några idéer på varje uppgift de hunnit börja på, så det finns alltid något att diskutera med varje grupp.

1. a) Hur många tvåsiffriga tal finns det?
b) Hur många tresiffriga tal finns det?

Elever: På a) är svaret 90
Lärare: Hur tänker ni?
Elever: Det är 99 tal som har upp till två siffror, men 1,2,3,4,5,6,7,8,9 är inte tvåsiffriga, dem måste vi ta bort.
Lärare: Japp, och var blir svaret på b)?
Elever: 990 eller.. 989… eller…
Lärare: Försök att räkna på liknande sätt. Hur många tal har upp till tre siffror och hur många måste vi räkna bort?

2. Skär ett 4×4-rutnät i två identiska delar. Försök att finna flera olika sätt. Nedan ser du två sätt, som egentligen är ett och samma:

Elever: Räknas de här (pekar på olika sätt)?
Lärare: Ja, de här är olika, men dessa (pekar på två egentligen likadana sätt) räknas som samma, eftersom man kan vrida bilden så att det ser likadant ut.

I vissa fall tyckte alltså eleverna att alla fyra sätten som här på bilden räknades som samma, i andra fall ansågs det att de räknades som två olika sätt (vänsterbilderna som ett sätt, högerbilderna som ett annat, eftersom de inte gick att vrida om till varandra).

Redovisning, del 1

Några elever fick komma fram och redovisa uppgift 1 (en grupp fick punkt a), den andra punkt b) då vi alltid har många frivilliga som vill fram, så jag försöker att ha framme så många olika personer som möjligt under lektionen).

På punkt b) fanns flera olika sätt att tänka, och gruppen vid tavlan gjorde en väldigt snygg lösning. De tog 1000 tal (1 till 1000), och sedan tog bort 100 (vad jag minnst). Det blir 900. Men 100 ska egentligen räknas med så det blir +1, det vill säga 901. Men 100 ska inte räknas med så det blir -1, det vill säga 900.

På andra uppgiften fick många grupper komma fram (en grupp i taget) och rita upp ett av sina sätt. Det blev totalt omkring 8 sätt, bland annat de här:

Några av eleverna begränsades inte av tänket ”måste skära längs med rutorna” och gjorde på följande sätt:

Det stod ju trots allt inte i uppgiften att man var tvungen att skära längs med rutorna (för mig var det underförstått). Det kom lite upprörda röster från vissa som tyckte att det inte räknades, och jag försökte säga att det egentligen blev två olika problem som vi löste. Och att dessa kreativa lösningarna räknades när man löste den ena versionen av problemet, men inte den andra.

(Lärdomen är att vara tydligare i uppgiftsformuleringen.)

Jag visade även att man kunde få alla uppdelningar genom att rita en linje som var symmetrisk kring centrum (eller snarare, några barn greppade vad jag var ute efter när jag frågade om uppdelningslinjen betedde sig på något speciellt sätt). Detta kan man säga även om linjer som inte följer rutgränserna.

Blandade problem, del 2

3. Ett litet barn har 3 röda och 2 blå kuber. Alla kuberna har samma storlek. Hur många 5 kuber höga olika torn kan barnet bygga?

Elev: Det finns ju jättemånga sätt! Jag vet inte om orkar rita upp alla.
Lärare: Försökt att göra det på ett strukturerat sätt. Då är det lättare att få översikt och inte glömma bort något sätt.

4. Det finns 60 trästockar, som alla är 3 meter långa, som ska huggas upp i halvmeterlånga delar. Hur många sågningar måste man göra?

Elev: Det är 6 bitar som varje stock delas upp i, således blir det 60*6 = 360 sågningar.
Lärare: Men är det verkligen 6 sågningar per bit? Hur många gånger skulle vi såga för att dela upp en stock i två bitar?
Elever: En..
Lärare: Och i tre bitar?
Elever: Två..
Lärare: Och i fler bitar?
Elever: Aha… (och man ser en aha-upplevelse i deras ansikten), det behövs 5 sågningar per stock, så svaret blir 60*5.

5. En bit föll ur en gammal tidskrift.
Första sidan hade numret 328 och sista hade ett nummer som bestod av samma siffror, men i en annan ordning. Hur många sidor föll ut ur tidskriften?

Elever: Sista sidan måste vara udda, alltså är det 823.
Lärare: Varför inte 283 då?
Elever: Men det är ju mindre, det ska vara större! Och då är det 823 – 328 = 495 sidor som ramlade ur.

Här blev det långa diskussioner med många av grupperna om vad som är sidor, vad som är blad (två sidor), om svaret verkligen kunde bli ett udda antal sidor och hur man egentligen ska räkna antalet sidor i en bit. Många hade svårt att förstå att man skulle (och varför man skulle) lägga till 1 efter subtraktionen.

 

Redovisning, del 2

Här hade vi inte så mycket tid kvar, så redovisningen gick ganska snabbt.

För att lättare föreställa sig tornet från uppgift 3 ritade jag upp det:

Sedan frågade jag vilket svar alla hade fått och skrev upp förslagen som sades högt: 20, 10, 11. Grupperna fick förklara från sina egna platser hur de fick just det svaret.

Den tydligaste strategin hade gruppen som hade svaret 10 (vilket också var rätt svar): Att först räkna de 4 fallen då en av de blåa kuber är längst ner. Sedan är det 3 fall kvar när en är näst längst ner (nu är det en röd längst ner, eftersom vi redan har betraktat de andra möjligheterna). Fortsätter man så, får man till slut svaret 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Lustigt nog blev inte alla barnen övertygade om svaret, utan en elev envisades med att svaret var 11 (eleven skrev upp alla möjligheter). Vi lärare föreslog att det antagligen fanns två sätt som sammanföll, men eleven stod på sig. Tyvärr hann vi inte kolla på dessa sätt efter lektionen. Men det är imponerande med sådant matematiskt självförtroende! Den finns i mycket mindre grad hos äldre elever.

På uppgiften om stockar fick en elev gå fram till tavlan och redovisa. Men det blev ett tankefel med antalet skärningar per stock, vilket eleven fick till 3. Tillsammans hjälpte klassen till att korrigera antalet sågningar per stock till 5, vilket till slut gav rätt svar.

Två elever kom fram och redovisade uppgiften om sidorna. De motiverade bra och räknade skillnaden rätt, men de behövde också förklara varför det inte bara är skillnaden, utan skillnaden plus ett som ger det rätta antalet sidor. Eleverna förklarade det med att man ”lägger tillbaka” sidan nummer 328.

Vi var tvungna att avbryta på grund av tiden, men jag tror att några hann förstå att det inte är så enkelt som att bara räkna ut skillnaden mellan två tal, när man ska ta reda på hur många tal det är som ligger mellan dem.

Röd tråd genom blandade uppgifter

Det gemensamma tankesättet för uppgifterna 1, 4 och 5 blev just ”effekten +/-1”, som går ut på att man får ett fel svar eller delsvar, som avviker med 1 från det korrekta. Effekten är ett mycket vanligt tankefel som händer de flesta vuxna och dyker också ofta upp i programmering. När man inte stannar upp och tänker efter så kan man tro att det måste ske 6 sågningar för att dela upp ett stock i 6 delar, men det ska vara 5.

En ännu mer generell idé som används vid lösningen av dessa uppgifter är att ha koll på vad man lägger till och vad man tar bort. Till exempel, i uppgift 1 b) kan man lägga till talen 1 till 999, och sedan ta bort talen 1 till 99. Då är det lättare att se att svaret är 999 – 99 = 900. I uppgiften om sidor kan man först räkna med alla sidor från 1 till 823 (823 stycken) och sedan ta bort 1 till 327 (eftersom 328 ska finnas med) och då få 823 – 327 = 496 sidor.

Den andra idén hade svårare att få fäste hos eleverna, möjligen behöver de öva mer på den i framtiden (medelst något lättare uppgifter, som t.ex. nummer 1). Det var också svårare att greppa tankesättet när de jobbade med så pass stora tal som 823 och 328. De hade ingen intuitiv känsla för talen, och sade ofta att skillnaden de emellan var 505 (800 – 300 = 500, 28 – 23 = 5). Jag ska nog vara försiktig med att använda stora tal i uppgifter som går ut på att upptäcka nya idéer.

Känslan efter lektionen

Trots att vi inte hann med temat, kändes lektionen fullständig. Det blev lite variation i och med leken i början av lektionen, vilken kändes uppskattad av eleverna. Trots att vi var lika många som förra gången, så kändes det mycket lugnare än vanligt, kanske för att alla var vana vid arbetssättet vid det här laget.

Bland det bästa med eleverna i åk 2-4 är att de inte håller sig för att säga sanningen. De kan både öppet kritisera och säga lovord. Denna gång blev jag väldigt glad när en av eleverna sade att Matteklubben-dagar var tillsammans med födelsedagen hennes favoritdagar! Sånt blir man glad av att höra och jag hoppas att flera elever känner något liknande.

Jag ser fram emot nästa träff, den sista före Jul, då vi också kommer att ha en liten utvärdering om höstterminen.