Luciasånger

Luciasånger

Fyra pojkar övade på att sjunga luciasånger. På varje sång är det en av dem som spelar piano och de andra tre sjunger. Det visade sig att Johan sjöng flest sånger av alla, sju, medan Simon sjöng minst sånger av alla, fyra. Hur många sånger sjöng pojkarna totalt?

Visa lösningen

Vad är ett fullständigt bevis?

När man löser ett riktigt matematiskt problem räcker det inte att presentera svaret. Du måste presentera lösningen också, det vill säga hur du kom fram till svaret. Ibland har inte problemet något svar, utan du skall bevisa att något påstående är sant. Hur vet man att beviset är fullständigt? Ett sätt är att berätta beviset för en kompis. Om du övertygar denne om att du har bevisat det du skulle, så är ditt resonemang antagligen korrekt. Ett annat sätt är att själv försäkra sig om att man inte glömt att undersöka några möjligheter.

På vår mattecirkel får vi träna båda sätten! På en vanlig träff får man berätta lösningen för läraren och sedan få eventuella förtydligande frågor. På den första matteträffen denna termin körde vi dessutom tävlingen där deltagarna fick berätta lösningar för varandra. Denna tävling kallas mattedrabbning och man lär sig otroligt mycket på att både försöka övertyga motståndaren om att man har löst problemet rätt och, när man spelar opponentens roll, försöka fälla motståndaren med kluriga frågor.

Ta en titt på vår första lektion under fliken Cirkel.

Har du någon att diskutera problemen med, försöka att uttnyttja det. Du och den personen kommer lära er mycket om att resonera. Om du vill ha fler att prata matte med, och går eller tänker gå på Katedralskolan i Uppsala, välkommen på vår cirkel!

Lösningen till problemet för de äldre vecka 40


Mattegåta

Det finns fyra positiva heltal: a, b, c, d. Deras minsta gemensamma multipel råkar vara lika med a+b+c+d. Visa att abcd är delbart med 3 eller 5 (eller både 3 och 5).

Diskussion

Typiskt problem som kräver motsägelsebevis. Ett första steg är att inse att inget av talen a, b, c eller d får vara delbara med vare sig 3 eller 5 för att produkten inte ska vara det.

Eftersom problemets formulering inte skiljer på a, b, c och d (vi kan byta plats på två av dess bokstäver och få exakt samma problem), kan vi bestämma storleksordningen mellan dem till exempel.

Lösning

Antag att abcd är delbart med varken 3 eller 5.

Utan inskränkning kan vi anta att a>=b>=c>=d. Då kan a+b+c+d maximalt vara 4a (för a är störst).

Samtidigt vet vi att a+b+c+d är den minsta gemensamma multipeln till a, b, c och d. Så summan är delbar med alla dem var för sig, så bland annat a. Detta tillsammans med förra stycket medför att a+b+c+d är antingen lika med a, 2a, 3a eller 4a.

Fall I. a+b+c+d=4a. Men då är alla talen lika med a för att komma upp i den summan. I så fall skulle MGM(a, a, a, a)=a som inte är lika med 4a. Motsägelse.

Fall II. a+b+c+d=3a. Men då är 3a den minsta gemensamma multipeln till talen, det vill säga faktorn 3 behövs. Så något av talen måste vara delbart med 3.

Fall III (det svåraste fallet). a+b+c+d=2a. Så b+c+d=a, och eftersom b var det näst största talet, så är b minst en tredjedel utav a. Dessutom är b en delare till 2a. Således får vi begränsat med alternativ vad b kan vara.

Nämligen kan b vara lika med a/3 eller 2a/3 eller a/2 eller a (någon delare av större än dess tredjedel eller en dubblerad delare till a). De förstå två varianterna innebär att a är delbart med 3, vilket leder till motsägelse. Det sista fallet innebär c=d=0, vilket inte de får vara.

Vi får kvar att b=a/2. Så c+d=a/2 (för att hela summan ska bli 2a). Och c är störst av c och d, så c måste vara minst a/4. Kom ihåg att c också är delare till 2a, som var MGM för talen. Så c kan vara a/4 eller 2a/4 eller 2a/5 eller 2a/6 eller 2a/7.

Ifall c=a/4 så är d=a/4 (för att hela summan ska bli a). Men då är MGM(a, a/2, a/4, a/4)=a och inte 2a. Ifall c=2a/4=a/2, måste d=0, vilket inte går. Ifall c=2a/5 eller c=2a/6=a/3 medför att a är delbart med 3 eller 5, motsägelse. Så c=2a/7.

Då kan vi räkna ut att d=3a/14. Men då är ju d en multipel av 3.

Fall IV. a+b+c+d=a. Då är b=c=d=0. Det får de inte vara!

Nu är alla fall undersökta. Vi har fått motsägelse varenda gång, alltså var vårt antagande fel från början. Någon utan a, b, c eller d måste vara delbar med 3 eller 5, alltså är abcd delbart med 3 eller 5.

Kommentera gärna om jag glömt något fall.