Problem vecka 11

Nu kommer de svåraste problemen hittills! Nästa vecka återkommer jag till normal svårighetsgrad.

Skicka in lösningsförslag genom att klicka på länken under uppgifterna senast måndagen den 28 mars. Glöm inte att kolla reglerna och aktuella poängställningen.

Punkter (3 poäng). Sätt ut så många punkter på ett papper som möjligt, på så sätt att ingen trippel av punkter ligger på en och samma linje, utan utgör hörn till en likbent triangel. Du behöver inte bevisa att det inte går att sätta ut fler punkter med samma egenskap.

Likbent triangel

En likbent triangel är en triangel med två lika stora vinklar. En ekvivalent definition är att det är en triangel som har två lika stora sidor.

Här är några exempel:
Likbenta trianglar
Notera att en liksidig triangel är också likbent.

Trasig våg (7 poäng). Du har 32k mynt som ser likadana ut, men bland dem finns ett falskt mynt som väger lite mindre än alla andra. Du har också tillgång till tre balansvågar (varje balansvåg har två skålar). Du vet att två vågar är i gott skick, men en är trasig och du vet inte vilken det är. Den trasiga vågen kan visa både jämvikt och ojämvikt åt ena eller andra hållet oberoende av vad du lägger på skålarna.

Hur bestämmer du vilket mynt som är falskt på 3k+1 vägningar?

Visa lösningar

Grisarna och kexen

Rekommenderad från: 13 år

Vargen bjöd hem de tre små grisarna och Rödluvan för att titta på film. Efter att de var klara gick Vargen till köket, räknade alla kex och upptäckte att det saknades två. Men han har en stor balansvåg hemma som han kan använda. Hur kan med hjälp av två vägningar bestämma, vem som åt upp kexen? Alla kex väger lika mycket, alla grisar (i alla fall när de precis hade kommit till Vargen) också. Vargen vet även att Rödluvan bantar, så hon kunde max äta upp ett kex.

grisar

Visa lösningen

Ett hekto socker

Rekommenderad från: 12 år

En balansvåg har två skålar. Om tyngderna på skålarna är lika visar balansvågen jämvikt. Annars visar den vilken skål som är tyngre.

Det finns en stor påse strösocker, en balansvåg samt en vikt på 1g. Hur kan man snabbast väga upp ett hekto strösocker? Observera att om man lägger två sockerhögar i en och samma skål, så blandas sockret ihop. Sockerhögarna får sparas mellan vägningarna.

balansvag

Visa lösningen

Mattecirkel med Anna: lektion 2

Här är ett smakprov av vår andra lektion, som handlar om att väga saker på en balansvåg och avgöra om de är lätta, tunga, falska etc. Här nedan ser ni några av lektionens svåraste problem. 

lektion2

Nu kan man försöka analysera vad det är egentligen som lärs ut på mattecirkeln. På sätt och vis är lektionerna mycket mer lika spel än någon annan undervisningsform. Mycket görs på egen hand och man “levlar” när problemernas svårighetsgrad ökar. Samtidigt används det man samlade på sig under tidigare “levels” (lättare problem).

En bra lektion lär ut idéer. Den här lektionen lärde inte ut någon specifik idé, utan var en härlig blandning av olikheter, informationsteori, falluppdelning och kombinatorik. Som inte i sig är metoder, utan just idéer till lösningar. Jag avslutar med ett citat:

What is the difference between method and device? A method is a device which you used twice.

–George Pólya, “How to solve it”