Uppdelad rektangel

Uppdelad rektangel

En rektangel är uppdelad i 6 kvadrater (se bilden nedan). Hur stor är den största kvadraten om den minsta har sidlängden 1cm?

Obs! Figuren är inte nödvändigvis perfekt, därför räknas det inte som en lösning att mäta längderna.

Visa lösningen

Calkin Wilf-träd, del 2

År 1858 ställde tyska matematiker Stern och Moritz en fråga: På hur många sätt kan man skriva talet n som en summa av tvåpotenser, där var tvåpotens får förekomma högst två gånger? (Ordningen på termerna i summan spelar inte någon roll).

Till exempel kan talet 7 skrivas på ett enda sätt:
7 = 4+2+1

Talet 8 kan däremot skrivas som:
8 = 1+1+2+4
8 = 2+2+4
8 = 4+4
8 = 8,
det vill säga på 4 olika sätt!

Vi kan göra en lite tabell, där talen n står i översta raden, medan i understa raden står antalet sätt som n kan skrivas så som beskrivet ovan. Sätten för n = 7 respektiva n = 8 var angivna, kan du komma på alla sätten för alla de andra talen?

En lite intressant fråga att ställa sig är hur många sätt talet 0 kan skrivas på som en summa av tvåpotenser. Alla tvåpotenser är ju positiva, så man skulle kunna säga att svaret är inget sätt, det vill säga noll sätt.

Men matematiskt brukar man räkna med att summan utav inga termer alls är lika med 0 (medan produkten av inga termer är lika med 1). Det vill säga, finns det exakt ett sätt att skriva 0 på enligt våra regler: det tomma sättet.

Verkar följden 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5… bekant? Om inte, jämför med den i del 1.

Vad kommer det här sambandet mellan ett gammal problem och en ny trädkonstruktion ifrån?

Låt oss tänka på hur vi kan konstruera nya sätt att framställa tal från summor från de gamla.

Säg att talet n är udda. Då måste en 1:a ingå i summaframställningen, dessutom måste det vara exakt en 1:a, då tre stycker eller fler 1:or är föbjudet. Resten av talen i summan är jämna och alltså kan alla delas med 2. Vi kan skriva framställningen av n som 1+2x, där x då blir framställningen för talet (n-1)/2.

Till exempel 11 = 1 + 2 + 4 + 4 = 1 + 2*(1 + 2 + 2).

Därmed har vi förklarat varför antalet sätt för 5 och 11 är samma. Samma gäller för paren 1 och 3, 2 och 5, 3 och 7, 4 och 9, och så vidare (se tabellen).

Men hur man om n är jämnt?

Calkin Wilf-träd, del 3

Problem vecka 15

Papper (3 poäng).
Man tog ett rektangulärt papper och vikte ihop det så att ena hörnet hamnade i mitten på kortsidan (se bilden). Det visade sig att trianglarna I och II var kongruenta.

Hur lång var papprets långsida om kortsidan var 8 cm lång?

Brickor (7 poäng). En kvadrat med storlek 6×6 ska övertäckas med 12 brickor (utan hål och överlapp). Vissa brickor (k stycken) får vara vara “hörn” bestående av tre rutor och resten (12-k brickor) måste vara tre rutor stora rektanglar.

För vilka k är uppdelningen möjlig?

Visa lösningar

Uppdelning i nästan lika heltal

Rekommenderad från: 15 år

På hur många sätt kan man skriva talet 2009 som en summa av några positiva nästan lika heltal? Talen kallas nästa lika om deras skillnad är (till beloppet) maximalt 1. Sätten betraktas som samma om det enda som skiljer dem åt är ordningen på termerna.

vecka17

Visa lösningen

Hjärtfigur

Rekommenderad från: 10 år

Dela upp hjärtfiguren nedan i 8 likadana delar. Delarna räknas som likadana om de har samma form och storlek (de kan dock vara placerade på olika sätt).

hjärtfigur

Visa lösningen