Roligare matematik
Aktiviteter med Matteklubben i Uppsala, åk 2-9.
Här i kommentarerna kan du diskutera hemuppgiften. Skriv om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• En viss figur hade arean 12 cm2. Om den figuren förminskas så att alla dess sidor bli hälften så stora, vad kommer dess area att bli då?
• Rita figur som har 2 gånger så stor area som figuren på bilden, men har samma form.
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Du kan kolla upp var vi gjorde på första träffen innan du läser vidare.
Denna gång var det 36 elever som var närvarande, vilket är närmare ett lagom antal än förra gångens 41. Vi var sex stycken lärare och jag tror att vi räckte till det mesta av tiden. Om uppgifterna hade varit för lätta, så skulle vi inte ha så mycket att diskutera med barnen, förutom att de skulle berätta hur de tänkte (och vi skulle förmodligen inte hinna lyssna på allas lösningar). Och om uppgifterna hade varit för svåra så skulle vi inte lärarna ha så mycket att göra annat än att tipsa eleverna om hur de kan tänka. Det är lagom nivå på uppgifter om eleverna löser några, tänker fel på några andra (så att de lär sig något nytt!) och kanske har svårt för att lösa de allra svåraste problemen på egen hand, så att de börjar utbyta idéer med varandra. Vi kunde även lyssna på några elever som inte hittade någon att samarbeta med (eller inte ville samarbeta, vi tvingande ingen att vara i grupp, bara uppmanade). Jag hann i alla fall själv att prata med nästan alla grupper åtminstone en gång, vilket borde betyda att de flesta grupper har hunnit bolla var och en av sin idéer med åtminstone någon av lärarna.
Vi började träffen genom att gå igenom (den frivilliga) läxan. Några av eleverna kom ihåg den och hade jobbat med den hemma, de flesta hade säkert glömt bort den (eller inte jobbat på den). Därför försökte jag föra diskussionen på ett sådant sätt att även de som var helt nya för Matteklubben kunde hänga med lite grann. Vi diskuterade i bara 10 minuter för att de som inte hade fördjupat sig i uppgiften inte skulle bli uttråkade.
Uppgiften som handlar om konkreta tal (5 pärlor, si och så många av varje färg) kunde alla lösa om de försökte. Det handlar om att rita upp och inte glömma något fall. Det fanns ändå flera tolkningar på uppgiften där det fick vara alla möjliga antal svarta pärlor av fem. Några tolkade uppgiften som att armbanden inte fick vara helt svarta eller helt vita. Det gjorde inte så mycket, eftersom man bara behöver lägga till 2 till svaret om dessa armband skulle räknas.
En annan oväntad kuriosa uppstod när jag ritade upp de olika armbanden på den svarta tavlan med en vit krita. Jag tyckte att de pärlorna jag fyllde i var ”svarta”, men många barnen tyckte att dessa var ”vita” (eftersom det verkligen var den färgen de fick). Detta resulterade i ett par intressanta matematiska poänger. Dels att man själv får välja (definiera) vad man kallar för ”svart” och ”vitt”. Och dels att man kan se att det finns lika många armband med 3 svarta och 2 vita pärlor som armband med 2 svarta och 3 vita pärlor, eftersom man kan välja vilken färg man ser som ”svart”.
Vi gick igenom de andra fallen tillsammans: alla svarta, alla vita, 4 svarta + en vit, 4 vita + en svart. Totalt blev det 8 olika armband, om man räknar armband som fås via vridning som samma. Som jag sett av hur eleverna löste läxan, så betraktade de även spegelvända armband som samma (vilket inte var tanken med uppgiften), men detta spelar ingen roll förrän man börjar räkna armband med 7 pärlor.
Sista delen av uppgiften var en öppen fråga. Det vara bara 2-3 elever som hade jobbat på det hemma och berättat det för mig. Sambandet för ett godtyckligt antal pärlor är väldigt svårt. Så det var inte tanken att eleverna skulle lösa det, men de kanske kunde upptäcka vissa mönster. Om man inte räknar spegelvända armband som samma, så går uppgiften att lösa med Burnsides Lemma i det generella fallet (vilket är universitetsmatte), och i fall då antalet pärlor i armbandet är ett primtal (p) så är antalet armband lika med
Så till exempel för talet 5 blir svaret:
Försök att lista ut var svaret kommer ifrån (tips: 2:an står för antalet färger). Obs! Uppgiften är bara till för de elever som tycker allting annat är jättelätt.
I varianten där spegelvända armband räknas som samma vet jag inte hur man löser uppgiften generellt.
Sedan löste eleverna blandade uppgiften i ungefär 40 minuter. Vissa satt själva och vissa jobbade i grupper om 2-3. Individuellt arbete är mycket givande, men vi hinner inte jobba med var och en så mycket då antalet elever är så stort. De som räcker upp handen fick dock hjälp snabbt och om de som var villiga att diskutera kunde de få en givande dialog. Exempel på några typiska dialoger skriver jag under varje uppgift.
Om du undrar över lösningen på någon uppgift, så är det bara att fråga i kommentarerna.
Första uppgiften tog längst tid så den diskuterade jag absolut mest med eleverna.
1. a) Matilda har två leksakskuber med bokstäver på sidorna. Totalt finns det 12 olika bokstäver. Hur många ord på två bokstäver kan Matilda bilda?
Lärare: Obs! Låtsasord är också ord i den här uppgiften.
Elever: Får ett ord bestå av två likadana bokstäver?
Lärare: Javisst!
Elever: Det är 6 bokstäver på första kuben och 6 bokstäver på andra. Totalt blir det 6 x 6 = 36 ord.
Lärare: Men måste alltid den första kuben (till exempel den med bokstäverna ABCDEF) alltid stå först? Kan inte den stå på andra platsen?
Elever: Just det, då blir svaret dubbelt så stort!
Elever: Den första bokstaven kan man välja på 12 sätt. Den andra på 11 sätt. Totalt blir det 12 x 11 = 132 ord.
Lärare: Men det är bara en sida man kan välja per kub. Två bokstäver på samma kub bildar inte ett ord.
Elever: Aha, då är det 12 x 6.
Elev: Blir svaret 66?
Lärare: Kanske, hur fick du svaret?
Eleven berättar hur hen tänkte och det visar sig att hen hade tänkt rätt, men räknat fel.
Lärare: Du tänkte rätt!
Det var en del elever som inte noterade att alla de 12 bokstäverna var olika, och därmed snarare löste b)-uppgiften.
1. b) David fick däremot två likadana kuber. Hur många ord på två bokstäver kan han bilda?
Elever: Samma svar som i a), 72 sätt.
Lärare: Låtsas som att vi bara har två bokstäver per kub, A och B på första kuben och likadant på den andra. Vilka ord kan man bygga? T.ex. AA är ett ord.
Elever: Man kan också bygga BB, AB och BA.
Lärare: Så svaret blir…?
Elever: 4 ord.
Lärare: Men om vi skulle tänka som i första uppgiften skulle svaret bli 8 ord. Vad är felet?
2. Det är mörkt i rummet och du vet var det finns en låda med 7 röda och 5 blå pennor. Hur många pennor måste du dra på måfå för att vara säker på att ha minst 2 röda och 3 blå pennor när du sedan kommer ut ur rummet?
Elev: Om man drar 10 pennor, så kan man få 7 röda, men då får man ändå 3 blå.
Lärare: Varför räcker det inte med 9 pennor?
Elev: Man skulle kunna få 7 röda och 2 blå.
3. Vilja räknade fingrarna på sin högra hand: första var tummen, andra – pekfingret, tredje – långfingret, fjärde – ringfingret, femte – lillfingret, sjätte – ringfingret igen, sjunde – långfingret, åttonde – pekfingret, nionde – tummen, tionde – pekfingret och så vidare. Vilket finger blir nummer 2014?
Elever: Vi räknade att pekfingret blir nummer 10, ringfingret nummer 20, ringfingret nummer 30, pekfingret nummer 40, pekfingret nummer 50 och så vidare. Vi räknade ut vad finger nummer 2000 blir och sedan var det bara räkna 14 till. Och det blev ringfingret.
Lärare: Ok, coolt sätt att lösa uppgiften på!
Elev: Nummer 2010 blir pekfingret och sedan spelar det faktiskt ingen roll åt vilket håll man går, om 4 fingrar är det ändå ringfingret.
Lärare: Ja, intressant att man inte behöver bry sig om håll.
4. Siffrorna 1 till 9 fyller kvadraten som det syns på den vänstra bilden. Man får gå på kvadratens rutor, men aldrig tillbaka till en ruta man varit på förut, och man måste alltid gå till en angränsande ruta.
Emilia gick längs med pilen som syns på den högra bilden. Hon skrev ner siffrorna som hon gick på i ordning och fick talet 84937561. Rita en annan väg, som ger ett större tal (ju större tal, desto bättre).
Elev: Man måste börja på ett hörn, annars kan man inte gå igenom alla rutor…
Lärare: Kan man inte börja i mitten?
Elev: Men det är ändå lägre!
Lärare: Ja, förvisso.
Elev: Då börjar man med största siffran i hörnet, 5, och sedan går till 7, för 7 är större än 6. Sen går man till 2, för om man går till 3, så kan man inte komma till 2 senare.
Lärare: Kan inte man sluta i 2?
Elev: Jo, kanske, vänta nu lite!…
5. Gustav tänkte på tre tal, men berättade inte vilka tal det var. Däremot sade han vilka olika summor som två av talen kunde bilda: Det var 23, 25 och 28. Vilka tal tänkte Gustav på?
Elev: Jag testade och hittade talet 10, 13 och 15.
Lärare: Kan det ha varit några andra tal han tänkte på som också passar?
Elev: Jag vet inte, jag provade mig fram bara.
Eleverna fick komma fram till tavlan och redovisa sina lösningar, om de ville. Jag försökte att inte lägga ner så mycket tid på det, för då skulle det bli för lite tid kvar till temat. Det vill säga, vi lyssnade på bara en elevlösning per problem.
Intressanta frågor som dök upp (och som jag själv delvis svarade på för att ge exempel på fullständigt resonemang) var:
Problem 2.
– Varför är man säker på att 10 pennor är tillräckligt?
– Man vet att man får 5 röda och 5 blå, eller 6 röda och 4 blå, eller 7 röda och 3 blå. Det är tillräckligt i varje fall.
Problem 4.
– Hur vet man att man måste börja i ett hörn eller mitten med pilen?
– Om man målar kvadraten schackrutigt, så att 5 rutor blir målade (och 4 omålade), så kan man inte starta i en omålad ruta, eftersom man måste hela tiden växla för varje steg:
omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad – omålad – målad, vilket gör att man inte kommer att kunna gå på alla 9 rutor.
Problem 5.
(Det har var egentligen ett förtydligande av en annan elevs resonemang).
– Hur vet man att det inte finns något annat svar än 10, 13, 15?
– Om man ökar något tal till exempel, så måste man sänka båda andra och då skulle inte den tredje summan stämma.
Det här resonemanget är inte vattentät kom jag på i efterhand. Om man ökar ett visst tal, så kanske är man inte säker på att det ingår exakt i samma två summor som förut. Till exempel, om vi ökar 15 till 16, så är det inte säkert att 16 ingår i summan 28, utan kanske i de andra två summorna. Det gör att vi inte lika säkert kan förutspå hur de andra två talen måste förändras.
Med dagens tema fick eleverna jobba i grupper om ungefär 4. Det tog inte så lång tid, då frågorna var lite lättare och öppnare än de blandade problemen. De som blev klara fort fick pappret med individuella uppgifter.
Efter ungefär 20 minuter (tror jag) diskuterade vi elevernas förslag på tavlan. Jag skriver under varje uppgift vad vi tog upp i klassdiskussionen.
Figurerna i de här tre uppgifterna får bara ritas längs med rutornas gränser. Inga halva rutor tillåtna det vill säga.
1. Rita så många figurer som möjligt med omkretsen 8 (rutlängder). Vad har de olika figurerna för areor?
Eleverna ritade de två figurerna som består av tre rutor (”pinnen” och ”vinkelhaken”) och en som består av fyra rutor (”fyrkanten” eller ”kvadraten”). En grupp tänkte utanför lådan och hittade på en figur med area 0 (sträckan med längd 4) och med area 2 (två rutor som hänger ihop ett hörn). Jag berättade att figurer som den med arean 0 kallas för ”degenererade figurer” och man bestämmer själv ifall de ska räknas som figurer eller inte (därefter hade vi en omröstning i klassen och majoriteten tyckte inte att de räknades som figurer).
2. Rita så många figurer som möjligt med arean 8 (rutor). Vad har de olika figurerna för omkrets?
Eleverna fick jättemånga olika figurer här, så att de inte ens orkade rita upp alla (jag frågade sedan vilken grupp som hade ritat flest figurer). Omkretsarna var 16, 14, 9, 18.
En av lärarna frågade hur en elev hade fått omkretsen 9. Då ritade eleven upp en kvadrat med ett hål i (också nytänkande!). Omkretsen tyckte eleven var det som var utanpå (hålets omkrets räknades inte med). Men då blev det inte 9, utan 12.
Jag frågade klassen hur läraren kunde misstänka att omkrets nio inte var rätt. En elev svarade att omkrets var tvungen att vara ett jämnt tal. För att det är 4 i början (en ruta) och sedan läggs det liksom på 2 när man bygger ut.
Det blev en liten avvikelse i diskussionen och vi pratade om att omkrets förändras som +2, -2 eller +0 när man bygger ut figuren. Och eftersom det börjar med 4, så förblir det alltid jämnt. Detta är ett mycket djupt resonemang som involverar begrepp som invariant och stegvis konstruktion (början till induktion), som traditionellt är tematik för begåvade elever i högstadiet/gymnasiet. Imponerande att vissa elever i åk 5-6 redan har lite känsla för det!
3. Omkretsen för en viss figur är 20.
a) Vilken är den största arean som figuren kan ha?
b) Vilken är den minsta arean som figuren kan ha?
Kom på så många exempel som möjligt på figurer med störst respektive minst area.
Många av elevgrupperna kom fram till att figuren med störst area var kvadraten med arean 25 och med minst area en avlång rektangel (bredd 1) med arean 9. Jag frågade om de hade fler exempel på figurer med area 9 och det hade de, ”teddybjörn med stort huvud” och ”plusplus” tror jag vi kallade dem:
Egentligen funkade många olika lösningar på arean 9 (”böjd pinne” etc.), men med störst area fanns bara kvadraten (som eleverna sade: ”Om det inte får vara en cirkel eller nåt”). Jag sade att man kunde visa det men att det är en för svår uppgift för tillfället.
Precis i slutet pratade vi om vad som hände med arean och omkretsen om en kvadrat får dubbelt så stora sidor. Arean blev 4 gånger så stor! Först tyckte eleverna att omkrets blev 8 gånger så stor (förmodligen för att jag ritade ut de fyra små kvadraterna som den stora består av. Men sedan insåg de att omkretsen blev 2 gånger så stor bara.
Detta gjorde vi för att förstoring och förminskning var vad de individuella uppgifterna handlade om. Dem hann eleverna knappt hålla på med under lektionen, så det blev en (frivillig) läxa.
Om möjligt gick lektionen ännu bättre än förra gången. De eleverna som kom för andra gången var de som undervisningen verkligen passade för. Alla gillade aktiviteterna och ingen verkade känna sig så som om denne inte hade där att göra. Mot slutet blev några elever trötta (och började busa lite), så det behövs förmodligen en längre och aktivare rast nästa gång.
Det är roligt att många vågar räcka upp handen och vågar ha fel (även om det är för det mesta samma personer som räcker upp handen om och om igen). Jag har lärt mig 7 av elevnamnen och hoppas att jag ska kunna fånga upp de allra flesta namn vid terminens slut.
Delbarhetsprincipen med 11 är inte enkelt att komma fram till, men enkel att använda. Om du vill försöka forska som matematiker, låt bli att googla på vad det är. Försök att svara på följande frågor istället. Skriv i kommentarerna om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• Vilken rest ger talet 100…0 (n nollor) vid divisionen med 11 om • n är jämnt? • n är udda?
• Försök att formulera en delbarhetsprincip med talet 11.
Matteklubben har haft lektioner för grupperna åk 2-4, åk 5-6 och sist ut var högstadieeleverna, åk 7-9.
Denna gång kom en hanterbar mängd elever, 25 stycken. Det är ganska lagom för den åldern, nackdelen med för många elever är att någon som är blyg inte törs föra fram sin talan. Jag tror att det kommer bli bättre med det när eleverna har lärt känna varandra lite. I framtiden kanske vi kommer blanda om dem och få dem att jobba lag, men under lektionerna jobbade de antingen själva eller grupper om 2-3, så som det föreföll naturligt för dem.
Vi var fem lärare och de flesta stunderna fanns det någon som inte var upptagen och som eleverna kunde fråga om det var något de undrade.
Vi började med en timme med blandade kluringar (precis som i åk 5-6). Eleverna fick lösa dem i par och sedan berätta lösningar för oss när de var redo. Problemet var att nästan ingen räckte upp handen. Men när en lärare väl kom fram till en godtyckligt grupp elever så hade de nästan säkerligen löst en eller två stycken kluringar. Stor skillnad där mot yngre årskurser, kanske för att äldre barn redan har vant sig att de inte får uppmärksammad lärartid när de har presterat.
Kluringarna var inte helt självklara för alla, även om de flesta kunde klara av många av dem. Några var inte vana vid den typen av problem och då kunde man lätt missuppfatta villkoren. När vi kommunicerade med eleverna försökte vi fostra matematiskt tänkande hos dem med hjälp av följande frågor.
1. Går det att sätta in en av symbolerna +, -, *, / i varje mellanrum och sedan sätta ut
parenteser så att resultatet av uträkningen blir exakt 100?
Missuppfattningar/funderingar: Några förstod tvetydigheten som att man bara kunde använda sig av samma symbol (det vill säga välja en av symbolerna +, -, *, / och sedan bara sätta ut den). Någon glömde bort att man kan sätta ut parenteser. Vissa misstänkte att det inte gick att göra, men visste inte hur de skulle kunna förklara det.
Frågor/ledtrådar till eleverna: Försök att dela upp 100 i faktorer. Om du har fått en fyra, vad måste du få av resten av tvåorna (eleverna svarar korrekt att det är 25, men sedan måste man inse att det inte går med 25).
2. Piraterna A, B och C hade följande samtal.
A: ”B har 2 ögon.”
B: ”C har 2 ögon.”
C: ”A har 2 ögon.”
A: ”Vi tre har 2 ögon tillsammans.”
B: ”Vi tre har 3 ögon tillsammans.”
C: ”Vi tre har 4 ögon tillsammans.”
Det visade sig att var och en av piraterna ljög lika många gånger som han hade ögon. Hur många ögon hade var och en?
Missuppfattningar/funderingar: Eleverna förstod det som att ett svar räckte. Men för en fullständig lösning behövs att man redovisar alla svar eller förklarar varför fler svar, än de angivna, inte finns.
Frågor/ledtrådar till eleverna: När eleverna förklarade hur de tänkte, utgick de från antaganden, t.ex. ”Piraterna har 4 ögon tillsammans”, men sedan inte betraktade fallet då piraterna inte hade det. Då bad vi dem att gå igenom de missade fallen. Det var ganska omfattande och säkerligen missade vi några fall i diskussionen (det är inte helt lätt för läraren att följa), men eleverna fick en övning i logiskt resonerande och falluppdelning.
3. I ett tomt akvarium lade man ner några glaskulor och fyllde upp med vatten. När man sedan plockade ut hälften av kulorna, sänktes vattennivån i akvariet med en tredjedel. Hur mycket kommer vattennivån sjunka om man plockar ut hälften av de kvarvarande kulorna?
Missuppfattningar/funderingar: Många elever räknade ut andelen som vatten kommer sjunka i andra omgången relaterat till hur mycket vatten det fanns från början (d v s en sjättedel). Men det man undrar över är hur mycket vattnet kommer sjunka i förhållande till sitt dåvarande mängd. (Om man skulle säga ”Vattennivån sjönk med en sjättedel”, då skulle man mena något annat än det som händer i uppgiften.) När de räknade och jämförde bråk hade de oftast ”enheterna” i huvudet (det vill säga att 1/6 och 1/2 kunde beteckna andelar av helt olika saker), men då blev man lätt osäker vad ”enheten” för det slutgiltiga svaret blir.
Frågor/ledtrådar till eleverna: Räknar du med andelen av vattennivån i början eller efter första steget? Det man undrar över är det senare, det vill säga, hur stor andel av vatten i mitten av handlingen försvinner?
Om det är svårt att hålla reda på mängderna så kan du rita en bild.
4. En man har ett litet hål i väggen (lika stor som en punkt). Han har också ett märke som han kan hänga upp (se bilden). Markera alla punkter, där han kan sätta spiken, så att hålet täcks av märket.
Missuppfattningar/funderingar: Var ligger hålet? Hur stort är det? Här behövdes förklaringen att hålet är lika stort som en punkt och att svaret frågas i förhållande till det utsatta hålet.
Frågor/ledtrådar till eleverna: Markera en punkt. Skulle vi kunna sätta spiken där (markerar en punkt ett steg uppåt från hålet), kommer flaggan täcka hålet då? Vi frågar om några positioner till och eleverna svarar antingen ”ja” eller ”nej”. Vi förklarar att det som frågas efter är helt enkelt figuren som bildas av punkter där man kan sätta spiken. (Eleverna kommer då oftast fram till rätt svar själva.)
Vi lade ner åtminstone 15 minuter på att gå igenom de blandade problemen ordentligt. Eleverna fick presentera olika lösningar på tavlan. Längst tid tog uppgifterna 2 och 3.
På uppgiften om piraterna kom vi tillsammans fram till en uttömmande lösning. Eleverna kom med bra idéer om att utesluta vissa fall av total mängd ögon (t.ex. att piraterna måste ha ljugit minst två gånger på grund av de sista tre utsagorna). De såg också symmetrin i de första tre utsagorna, vilket gjorde att vi inte behövde betrakta tre olika fall hela tiden utan kunde sammanfatta dem (en av de första tre utsagorna är falsk, två av de första tre utsagorna är falska, etc.)
Uppgiften om akvariet var det många som ville förklara hur de tänkte på. Det var bra att öva för eleverna att redovisa inför grupp, eftersom då anstränger man sig extra för att förklara korrekt och tydligt (vilket är en av sakerna man kommer lära sig av att gå på Matteklubbens träffar). Många höll med om att rita en bild på akvariet underlättade lösningen. Några av eleverna satte i konkreta värden (höjd eller volym på akvariet) för att räkna ut svaret, men vi lade inte så mycket vikt vid huruvida det var rätt eller fel att göra. Däremot konstaterade vi (kanske något otydligt just då) att det blir på samma sätt oavsett vilka värden man antar. Det hela handlar om att gå från konkreta och bekanta enheter (cm eller l) till skummare enheter (andelar av totala volymen), vilket är ett svårt steg att ta om man går i sjuan t.ex. Vi kommer att så småningom vänja eleverna vid det generella tanksättet (om de inte redan är vana vid det).
Eftersom det inte fanns så mycket kvar tid till andra halvan av lektionen, ritade vi bara upp svaret på uppgiften om flaggan, men förklarade inte särskilt noga varför det var just svaret. Ska man vara matematiskt petig borde vi ha gjort det, det vill säga visat exakt varför punkterna innanför figuren fungerar som spikplatser och punkterna utanför figuren inte gör det. Däremot förstod eleverna det rätta svaret på ett intuitivt sätt (efter att ha experimenterat).
Dagens tema var delbarhetsprinciper, det vill säga principer och regler för hur man snabbt kan se om ett tal är delbart med något givet annat tal eller inte. Det klassiska exemplet är att man kan se att ett tal är delbart med 2 (d v s jämnt) om den sista siffran är 0, 2, 4, 6 eller 8 (d v s sista siffran är jämn). Detta skrev jag upp som
Jag använde symbolen 
Eleverna kände till fler delbarhetsprinciper och vi skrev upp dem för 5, 3 (och 9) och 4:
Egentligen gäller påståendet åt andra håller också, och det använde vi under lektionen. Men för att inte förvirra eleverna för mycket med ny notation, använde jag implikationspil (som man ändå fattar som ”pil”) istället för en ekvivalenspil (dubbelpil).
Vi förklarade tillsammans varför delbarhetsprincipen med 4 gäller. Vi delade upp ett konkret stort tal i hundratal och det som blir över (talet som bildas av de två sista siffrorna). Sedan insåg vi att 100 ligger i fyrans tabell och därmed hänger det bara på det sista talet, huruvida det stora talet är delbart med 4. Eleverna förstod beviset.
Många hade tydligen hört några av delbarhetsprinciperna förut, men de flesta kunde inte förklara varför de gällde. De som inte hade bevisat det förut hade även svårare för att komma ihåg dem också under problemlösningsdelen. Så jag tror att det var väldigt nytt och nyttigt med bevis.
Eleverna fick lösa följande kluringar på temat delbarhetsprinciper. Ofta utnyttjade de inte principerna utan kom fram till svar på annat sätt. Men de fick ledtrådar när de hade kört fast och då förstod de hur delbarhetsprinciperna kunde komma till nytta. Följande dialoger kunde ske under diskussionen av respektive uppgift.
1. Skriv en siffra till vänster och en siffra till höger om 10 så att det nya talet blir delbart med 12 (det vill säga blir ett tal där divisionen med 12 går jämnt upp).
Elever: Vi kommer inte fram till något svar.
Lärare: Tänkt på att talet är med 12:ans tabell. Vilka andra tabeller måste talet vara med i?
Elever: Fyrans, sexans, treans…
Lärare: Var vet om tal som är med i fyrans tabell?
Elever citerar delbarhetsprincipen med 4.
Lärare: Och vad vet om tal som är med i treans tabell? Skulle vi kunna kombinera det vi vet för att hitta ett svar?
Elever: Ahaa, smart.
2. Skriv 2014 efter sig själv några gånger så att talet som bildas blir delbart med 9.
Elever: Vi skrev upp 2014 efter varandra och dividerade (vi kunde fortsätta divisionen genom att skriva till några fler 2014) tills det gick jämnt ut.
Lärare: Är det en slump att det blev just 9 stycken?
Elever: Vi skrev upp 2014 efter varandra så att siffersumman blev delbart med 9.
Lärare: Är det en slump att det blev just 9 stycken?
Elever: Nej, siffersumman blir ju 9 gånger siffersumman av 2014.
3. Kan ett tal som bara består av fyror vara delbart med ett tal som bara består av treor? Och tvärtom?
Elever: Vi tror att svaret är ”nej”.
Lärare: Varför det?
Eleverna börjar resonera och kommer fram till att svaret är ”ja” på den första frågan.
Lärare: Och på andra frågan?
Elever: Kanske är svaret ”ja” här också…
4. I rutorna på en 5×5 står siffror som inte är lika med 0. Av alla raderna och kolonnerna bildas 10 femsiffriga tal. Kan det hända att alla tal utom ett är delbara med 3?
Elever: Kollar man på alla talen?
Lärare: Nej, de som bildas av de 10 raderna (vågräta och lodräta).
Elever: Ja, man kan ha siffror som är delbara med 3 och ändra en av dem.
Lärare: Men då ändrar man två av talen, inte ett.
Elever: Justja…
5. Ett kvadrattal slutar med siffran 6. Visa att den näst sista siffran är udda.
6. Från ett tal subtraherade man talet skrivet baklänges. Visa att resultatet måste vara delbart med 9.
De sista frågorna hann vi knappt, eftersom tiden höll på att ta slut.
Som exempel tog vi ett större tal och framme på tavlan kom tillsammans fram till att man får siffersumman av talet genom att dra bort tal som är delbara med 3 (för varje tiotal, hundratal, tusental etc. drar man bort ett visst antal 9:or, 99:or, 999:or etc.). Det blev lite oorganiserat på tavlan, så jag vet inte om majoriteten hann förstå beviset. Möjligen borde vi ha gått igenom beviset för talet 9, vilket i stort sett sammanfaller med bevist för 3, men kanske är något självklarare.
Det var kul att träffa intressanta och intresserade högstadieelever! Till vi ses nästa gång, fundera på och diskutera gärna hemmakluringen.
Minsta eleverna som går i Matteklubben är de i åk 2-4. Du kan också läsa om första lektionen i åk 5-6.
Även om eleverna var små, fyllde de salen så att det nästan blev lite trångt! Totalt var de 40 stycken och denna gång var vi 5 lärare (vi skulle ha varit ett par till, men de var sjuka). Första av allt presenterade vi oss, körde ut föräldrarna ur salen och delade ut fika. Sedan kunde lektionen börja (trots ljudnivån av 40 låg- och mellanstadiebarn).
Vi började lektionen med att spela ett matematiskt spel. Var och en fick ett papper som hen skrev ett tal mellan 1 och 100 på. Sedan avslöjade alla sitt tal. Det gäller att ha skrivit det minsta talet som ingen annan har skrivit. Det lättaste sättet att kolla, vem som vunnit är att ropa upp talen ett i taget:
– Vem skrev talet 1? (Flera händer räcks upp)
– Vem skrev talet 2? (Ett par händer räcks upp)
– Vem skrev talet 3? (Ingen)
– Vem skrev talet 4? o s v.
Vi körde i tre omgångar och talen 6, 13 och (jag tror) 8 vann de olika gångerna. Ett utmärkt spel att spela i alla åldrar när man är i ett stor gäng (åtminstone 25 personer).
Dagens tema var ”kalender”. Jag uppmanade klassen att svara på följande frågor utan att räcka upp handen:
– Vilken veckodag är det idag?
– Vilken veckodag är det om 5 dagar?
– Vilken veckodag är det om 25 dagar?
På den sista frågan räknade barnen på två olika sätt: 7+7+7+4 (man måste gå 4 dagar framåt från dagens tisdag, vilket betyder att man hamnar på en lördag) eller 14+14-3 (man måste gå 3 dagar bakåt från dagens tisdag, vilket blir en lördag). De flesta av eleverna verkade förstå att om man går 7 dagar framåt så hamnar man på samma veckodag, vilket var den grundläggande idén för lektionen.
Sedan fick barnen jobba i grupper om 4-5 och lösa några uppgifter som handlade om kalendern. Under varje uppgift skriver jag ner ungefärliga dialoger jag har haft med de olika eleverna.
Utan att använda mobiltelefonen, lista ut svaren på följande frågor. Skriv direkt på pappret!
1. Vilken veckodag är det om exakt fem månader?
Elev: Är alla månader här 30 dagar?
Lärare: Nej, månaderna kan vara olika långa. Om exakt en månad är det den 23:e oktober och om en månad till är den 23:e november. Vilken månad är det om 5 månader?
Elev: Jag räknade att månaderna innehåll 28 dagar och ”extradagar”. Sedan räknade jag ihop extradagarna och gick så många veckodagar framåt.
Lärare: Rätt tänkt! Men du kanske glömde bort att januari har 31 dagar och inte 30 och det är därför det blev fel.
Elev: Jag räknade ut hur många dagar det blev: 30*3+31*2 = 152. Sedan tog jag bort 140 dagar (140/7=20 veckor). Och sedan är det 12-7 = 5 dagar framåt. Alltså är svaret en söndag.
Lärare: Rätt tänkt! Men det är tvärtom: 3 av månaderna har 31 dagar och 2 har 30 dagar.
Värt att notera är att vissa elever förstod att man inte behövde räkna 7 dagar i september för sig och de 23 dagarna i februari för sig (även om många gjorde det förstås). Man behöver bara hålla reda på hur många dagar det är vid månadsskiftet (t.ex. att från september till oktober kommer det gå 30 dagar) och i så fall räkna som i den sista dialogen.
2. Vilken veckodag är den 20:e september 2015?
Några kom fram till rätt svar, men för de flesta var det en för svår uppgift.
3. Vilket datum har tisdagen om 100 veckor?
Den här uppgiften var också svår, men eleverna kunde få följande hjälp:
Lärare: Hur många dagar har det gått när det har gått 100 veckor?
Elever: 700 dagar!
Lärare: Hur många år är det?
Elever: 1 år / 2 år
Lärare: Räcker de här dagarna verkligen till för 2 år? Hur många dagar är det på ett år?
Elever: 365
Lärare: Hur många dagar är det på två år?
Elever: 600-nånting / 700-nånting
Lärare: Vad blir 365+365
Elever: 700 dagar räcker inte till för 2 år!
Lärare: Nej, kolla hur många dagar man måste backa i så fall…
4. Matteklubben har träffar på tisdagar. (Tänk om man skulle kunna träffas varje tisdag!) Hur många tisdagar kan det som mest bli på ett år?
Elever: 52 (nästan alla svarade det första, vissa sade 51)
Lärare: Varför är det inte fler?
Elever: För att det är 52 veckor på ett år.
Lärare: Är ett år exakt 52 veckor? Hur många dagar skulle det vara.
Elever: Nej, det är inte exakt.
Lärare: Så varför skulle det inte kunna bli fler tisdagar på ett år?
5. Kan en och samma månad innehålla 5 måndagar och 5 torsdagar?
Ett par elever klarade den här uppgiften med följande resonemang:
Elev: Nej, det kan det inte. Det kan antingen bli 5 måndagar och 4 torsdagar eller 4 måndagar och 5 torsdagar. Om man har t.ex. 4 veckor så behövs det fyra dagar till för en till måndag och torsdag, men man har bara tre.
Lärare: Vad händer om månaden börjar på en torsdag?
Elev: Då räcker det inte heller till.
Alla som gjorde ett ärligt försök på uppgiften hade kommit fram till svaret ”Nej”.
6. Vilken veckodag är det idag om jag vet att när övermorgon kommer att bli igår, så kommer det idag var lika långt till en söndag, som från den dagen som var idag, när igår
var imorgon?
Elever: Räknas det som att idag är tisdag?
Lärare: Nej, här vet man inte vilket veckodag det är. Vi testar t.ex. att det är tisdag. Då kommer övermorgon (torsdag) bli igår på en fredag. Då är det 2 dagar kvar till söndagen. Och igår (måndag) var imorgon på en söndag, dvs 0 dagar till söndag. Det är olika antal dagar, alltså passar inte svaret ”tisdag”.
Elev: Räknar man till söndagen framåt eller bakåt?
Lärare: Den som är närmast.
Här fick två grupper med elever fel svar, men var säkra på att de hade gjort rätt, dels på grund av att en av lärarna godkände svaret (även lärare kan ha fel!). En grupp hade dock rätt svar!
Mitt i lektionen gick vi igenom några fakta om kalendern. Många var inte säkra på hur många dagar alla månader innehöll, så det skrev vi upp (och några fick lära sig knogtricket). Vi diskuterade hur många dagar ett år har och att det kan bli skottår. När jag frågade eleverna när det senaste skottåret var, så sa vissa 2013 och vissa sade 2012. Efter ett tag tyckte de flesta att det var 2012.
Vi skrev upp några skottår i framtiden och noterade att det hände vart fjärde år. Sedan fick de veta att det inte är precis vart fjärde år som är skottår, utan vissa år, som är delbara med 100, är inte det. Jag förklarade även varför man gjorde så och det tyckte eleverna var ganska spännande.
På tavlan stod alltså åren 2100, 2200, 2300, 2500, 2600, 2700, o s v. överstrukna, eftersom de inte är skottår. Det är de år som är delbara med 100, men inte 400. Efter det gav jag eleverna en extrauppgift:
Hur många skottår är det mellan 2014 och 3000?
En del av eleverna räknade ut skillnaden och delade med 4, men vissa gjorde fel i divisionen, och vissa trodde att de var färdiga då. Men man ska akta sig för att inte få ett svar som är 1 mindre (vilket man får om man delar med 4 och avrundar neråt), samt att man måste ta bort de 7 förbjudna åren. En elev kom nära med sitt svar 232, men det är inte exakt rätt. Kan du lista ut svaret?
Många elever var engagerade under lektionen, men många andra såg man var ganska vilsna. Uppgifterna var för svåra för dem eller så var de ointresserade av den typen av matte. Det kan vara för tidigt att börja med problemlösning redan i tvåan eller trean (och till med fyran), då man inte fått baskunskaperna på plats. Med andra ord, man har möjligen inte fått en känsla för matematik än och därför inte kan hantera abstraktionsnivån på materialet som presenteras på Matteklubben.
Det var också svårt för vissa barn att arbeta när ljudnivån var så hög och ventilationen inte så jättebra (40 barn och flera vuxna i en sal som är tänkt för färre!) Det var skönt att vissa barn kunde sätta sig utanför stora salen och arbeta. Förhoppningsvis har vi omkring 30 elever nästa lektion, så att det blir hanterbart för alla.
Ändå var det jätteroligt att många barn försökte och gjorde sitt bästa på uppgifterna. Man märker att det är intresset som skiljer barnen åt. Tycker man att det är intressant att sitta och klura, kommer man att göra det oavsett hur lite man kan. Såklart kan jag göra så att uppgifterna passar bättre barnens förkunskaper nästa gång, så att det inte blir en avgörande faktor för någon. Men nivån kommer inte att bli särskilt mycket lättare, då vi i Matteklubben har som syfte att utmana alla!
Här i kommentarerna kan du diskutera hemuppgiften. Skriv om du har frågor eller förslag på lösning/svar.
• Hur många olika armband kan man tillverka av 3 svarta och 2 vita pärlor? På bilden har du ett exempel.
• Hur många svart-vita armband med 5 pärlor kan man tillverka överhuvudtaget?
• Hur ändras svaret om antalet pärlor får vara större?
Matteklubben är Uppsala kommuns satsning på begåvade elever i matematik. Jag har äran att förbereda aktiviteterna som vi håller på med och vara en av lärarna. Här på bloggen tänkte jag lägga ut materialet som vi tar upp på träffarna, samt skriva lite om hur lektionen har gått.
Träffen började med att eleverna tog fika och satte sig ner i ett stort klassrum. Nästan alla de ordinarie platserna blev upptagna (41 stycken). Vi var sju lärare och jag presenterade vad alla hette. Nästan direkt satte vi igång med de blandade uppgifterna. Det enda eleverna behövde var penna och kladdpapper, som de fick låna.
Eleverna fick dela upp sig i grupper om två-tre och i ungefär i 45 minuter försöka lösa fem uppgifter. När de hade löst en uppgift fick de räcka upp handen och berätta lösningen för en av lärarna. Läraren kunde då ställa följdfrågor, som att t.ex. be om att förklara svaret eller fråga om varför det är det enda möjliga svaret.
Under varje uppgift skriver jag några typiska dialoger jag hade med de små grupperna om just den uppgiften.
1. En pojke har lika många systrar som bröder, men hans syster har hälften så många systrar som bröder. Hur många pojkar och flickor finns det i familjen?
Elev: Hur kan man lösa den här uppgiften när det inte finns några siffror?
Lärare: Försök att pröva dig fram!
Elev: Vi fick att det var 4 pojkar och 3 flickor. Det uppfyller villkoren.
Lärare: Varför kan det inte finnas något annat svar?
2. I tre högar finns 22, 14 respektive 12 nötter. Du får göra tre förflyttningar. Ditt mål är att få högarna att innehålla lika många nötter.
Under en förflyttning får du flytta ett antal nötter från en hög till en annan, men antalet nötter man flyttar måste vara lika med antalet nötter i högen man flyttar till.
Vilka förflyttningar ska du göra?
Elever: Går det här verkligen att göra?
Lärare: Ja :D
Elev: Vi försöker med olika varianter men lyckas inte. (Förklarar hur de tänker.)
Lärare: Vad händer om du tänker baklänges? Vad skulle det sista draget kunna vara?
3. Skriv en siffra till vänster och en siffra till höger om 15 så att det nya talet blir delbart med 15 (det vill säga blir ett tal där divisionen med 15 går jämnt upp).
Elev: 0150, gills det?
Lärare: Försök att hitta på fler svar. (Alternativ: Nej, tal kan inte börja med 0.)
4. På den största ön i Sagolandet finns 4 kungadömen. Varje kungadöme gränsar till de tre andra. Rita karta över ön så som den kan se ut.
Elev: Till exempel så här (visar en cirkel uppdelad i fjärdedelar.)
Lärare: Vi räknar det inte som en gräns om de bara nuddar varandra på hörn, eftersom man inte kan gå över från ett land till ett annat. (Alternativt: Försök att hitta på fler svar.)
5. I en sjö har man placerat en väldig ovanlig vattenlilja. Varje dag så fördubblar liljan sin storlek.
Det visade sig att liljan tog upp precis hela sjön efter 20 dagar. Efter hur många dagar skulle sjön ha blivit full om man hade placerat ut 4 magiska vattenliljor från början?
Elev: Om det tog 20 dagar för 1 lilja, så borde det ta 20/4 = 5 dagar för 4 liljor.
Lärare: Låt oss undersöka om din logik fungerar i andra situationer. Om det hade tagit 4 dagar för en lilja att fylla sjön, så borde fyra liljor göra det på 1 dag, eller hur? (Undersöker lite och kommer fram till att det är 2 dagar i det fallet.)
Det fungerade väldigt bra att kommunicera med eleverna, vi var lagom många lärare (i snitt 5-6 elever per lärare) och ett par grupper hann precis klara av alla 5 uppgifterna när 45 minuter hade gått.
Därefter gick vi igenom varje uppgift på tavlan. En elev fick komma fram och förklara sin lösning och vi försökte alltid att diskutera alternativa lösningar. På uppgift nummer fyra fick alla gå fram och rita sina karta, vi fick väldigt många snygga exempel.
Därefter var det en liten-liten rast och vi skulle komma igång med temat, vilket var kombinatorik. Eleverna fick sitta i grupper om 4-6 och tänka och experimentera med hjälp av färgpennor. Denna gång försökte vi kommunicera med hela gruppen på en gång. Eleverna jobbade i grupp i ca 45 minuter, därefter var det 15 minuter gruppdiskussion.
Innan eleverna satte igång gick vi igenom färgerna som OS-ringarna har och att det har att göra med att alla länder i världen har någon av dessa färger i sin flagga. Därför skulle vi rita olika flaggor med de fem färgerna, men flaggorna behövde inte existera på riktigt.
1. Hur många olika flaggor av följande form kan man skapa om man har tillgång till fem färger?
Här förtydliga vi på tavlan att alla de fyra rektanglarna måste ha samma färg. Det dök upp en intressant fråga om korset fick ha samma färg som bakgrunden. Då bestämde vi att man kunde lösa två olika problem, ett där de fick ha samma färg och ett där de inte fick.
Eleverna löste det här på flera olika sätt som genomgången visade (när vi tänker på varianten då de inte fick ha samma färg).
Om korset får vara en av de fem färgerna, så kan bakgrunden ha fyra varianter för färg. Det är likadant för alla fem färgerna på korset. Alltså är svaret 5*4 = 20.
Om man tar två färger, till exempel blå och svart, så kan man göra två flaggor: En med svart kors på blått bakgrund och en med blått kort på svart bakgrund. Det finns 10 olika par av färger (man skriver upp alla möjligheter och kollade att man inte missade något.) Alltså är svaret 10*2 = 20.
Om man får ha samma färg på korset som på bakgrunden, så är svaret 25 (= 5*5). Men man måste räkna bort de enfärgade flaggorna, som det finns precis 5 av, lika många som färger. Alltså är svaret 25 – 5 = 20.
2. Hur många olika flaggor av följande form kan man skapa om man har tillgång till fem färger?
Här dök det också upp frågor om olika varianter: var alla räderna tvungna att vara olika? Fick översta och nedersta vara samma? Fick alla ha samma färg? Vi bestämde oss för att lösa tre olika varianter.
Variant 1: Alla ränderna måste ha olika färger. Några grupper listade ut hur man skulle räkna ut det och tillsammans på tavlan kom vi fram till att svaret blir 5*4*3 = 60.
Variant 2: Översta och understa ränderna får ha samma färg. Någon enstaka grupp listade ut svaret här också. Vi kom fram till att man skulle lägga till något antal till svaret i Variant 1. Man kunde tänka att när understa och översta randen är likadana så är det precis samma situation som med svenska flaggan (mittersta randen är korset, resten är bakgrunden). (Det var en elev som kom på det). Alltså är det 20 varianter vi måste lägga till, så att svaret blir 60 + 20 = 80. En annan elev kom på att vi från början kunde räkna 5*4*4 = 80.
Variant 3: Ränderna får ha vilka färger som helst. Ett par grupper räknade ut att det var 5*5*5 = 125.
Tillsammans på tavlan kom vi fram till att vi behövde lägga till 20 + 20 + 5 till Variant 2 (flaggor där översta och mellersta randen är lika, flaggor där understa och mellersta är lika och flaggor där alla ränder är lika). 80 + 45 = 125 – ett annat sätt att få svaret! Men då tog tiden slut!
3. a) På hur många sätt kan ni i er grupp ställa er på en rad?
b) På hur många sätt kan ni bilda en ring?
Några av eleverna hann testa på den här uppgiften. En del kom fram till rätt svar på a)-uppgiften. Svaren var olika beroende på hur många de var (4,5 eller 6). Men många fick samma svar på b) som på a). Då kom jag med följande invändning:
Lärare: På hur många kan två personer ställa sig på en rad?
Eleverna: Två!
Lärare: På hur många sätt kan två personer ställa sig i en ring?
Eleverna: Ett! Hmmmm…
Lärare: Varför skulle det då vara samma svar för fyra/fem/sex personer?
Uppgiften hann vi tyvärr inte diskutera i helklass, så den tar vi upp nästa gång.
Allt som allt gick lektionen bra för att vara i en så enorm klass. Eleverna blev trötta mot slutet, så nästa gång kommer vi ta en lite längre rast. Det vore också kul om eleverna interagerade mer mellan olika skolor och då kan det vara bra med slumpvis fördelade grupper, som vi kör en mattetävling emellan.
Jag ser fram emot att träffa alla eleverna om fyra veckor! Det är väldigt kul att hålla på med matte med elever som har väldigt god förståelseförmåga. Elever som är inte rädda för att försöka och därför lyckas väldigt bra med att lösa problem som jag är säker på att inte så många vuxna skulle klara.
© 2009-2024 Mattebloggen
![\text{Siffersumman f\](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Ctext%7BSiffersumman%20f%5C%22%7Bo%7Dr%20talet%20%7D%20%5Cvdots%203%5Ctext%7B%28resp.%209%29%7D%5CRightarrow%20%5Ctext%7B%20talet%20%7D%20%5Cvdots%203%20%5Ctext%7B%28resp.%209%29%7D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "\text{Siffersumman f\")
