Mynten på schackbrädet

Rekommenderad från: 15 år

Du sitter i en fängelsehåla och en vakt kommer till dig med ett erbjudande. Han säger att han kommer lägga upp mynt (totalt 64 st.) på ett schackbräde, ett mynt i varje ruta och det kommer vara slumpat för varje mynt huruvida det ligger med krona eller klave uppåt. Därefter kommer vakten peka på en ruta. Du får sedan en möjlighet att vända upp-och-ner på exakt ett av mynten, vilket du vill.

Därefter kommer en kompis in i rummet, som får se schackbrädet och får gissa vilken ruta vakten pekade på. Gissar han rätt, får ni båda gå fria. Hur kan du och kompisen komma överens om en strategi som garanterar er frihet, oavsett hur vakten gör?

The_Chess_Board

Visa lösningen

Tre påsar med mynt

Rekommenderad från: 13 år

Du har tre påsar med hundra mynt i varje. I en av påsarna väger alla mynten 9,9g, i en annan väger alla 10g och en tredje väger alla 10,1g, men du vet inte vilka mynt som ligger i vilken påse. Du har även en våg som kan visa den exakta vikten, men går sönder om du lägger på mer än 50g på den. Hur kan du med en vägning bestämma vilka sorts mynt ligger i varje påse?

myntpåse

Visa lösningen

Problem vecka 11

Nu kommer de svåraste problemen hittills! Nästa vecka återkommer jag till normal svårighetsgrad.

Skicka in lösningsförslag genom att klicka på länken under uppgifterna senast måndagen den 28 mars. Glöm inte att kolla reglerna och aktuella poängställningen.

Punkter (3 poäng). Sätt ut så många punkter på ett papper som möjligt, på så sätt att ingen trippel av punkter ligger på en och samma linje, utan utgör hörn till en likbent triangel. Du behöver inte bevisa att det inte går att sätta ut fler punkter med samma egenskap.

Likbent triangel

En likbent triangel är en triangel med två lika stora vinklar. En ekvivalent definition är att det är en triangel som har två lika stora sidor.

Här är några exempel:
Likbenta trianglar
Notera att en liksidig triangel är också likbent.

Trasig våg (7 poäng). Du har 32k mynt som ser likadana ut, men bland dem finns ett falskt mynt som väger lite mindre än alla andra. Du har också tillgång till tre balansvågar (varje balansvåg har två skålar). Du vet att två vågar är i gott skick, men en är trasig och du vet inte vilken det är. Den trasiga vågen kan visa både jämvikt och ojämvikt åt ena eller andra hållet oberoende av vad du lägger på skålarna.

Hur bestämmer du vilket mynt som är falskt på 3k+1 vägningar?

Visa lösningar

Lösningen till problemet för de yngre vecka 47


Mattegåta

I ett visst spel används mynt som är värda 1, 15 och 50 Hello Kitty-dollar. En spelare köpte ett svärd och fick i växel ett mynt fler än vad han betalade. Vilket är det minsta antalet dollar som svärdet kunde kosta?

Diskussion

Vid en första anblick verkar det vara konstigt varför 50 dollar-myntet överhuvudtaget är viktig för uppgiften. Det verkar ju rimligt att försöka handskas med så få mynt som möjligt, det vill säga betala med 15 dollar och få två stycker 1 dollar-mynt tillbaka. Det skulle ge priset 13 dollar.

Men det är inte säkert att det är det absolut minsta priset! Tänk på hur det kan bli om spelaren betalar med två mynt och får tre mynt tillbaka. Till exempel kan han betala 1+50 dollar och få 15+15+15 tillbaka. Och då kostar ju svärdet 6 dollar, vilket redan är lägre!

Då kanske det går att få ner priset ännu mer? Nu får vi ta och resonera ordentlig om hur betalningen kunde sett ut. Till exempel verkar det onödigt om spelar betalar med några 15 dollar-mynt och får också några tillbaka, det skapar bara onödig växling. Alltså kan vi reducera till fallen då mynt av olika sort var betalt respektive växel.

Vad finns det då för varianter? Som i exemplet ovan så går det att betala med 1 och 50 dollar-mynt och få bara 15 dollar-mynt tillbaka. I lösningen nedan ser vi att det inte blir fler signifikanta fall än så.

Lösning 1

Vi kan räkna med att spelaren betalade med några sorter mynt och fick bara andra sorter tillbaka i växel.

-Han kunde betala med valutorna på 1 och 15 dollar, och få bara 50 dollar-mynt tillbaka, men då skulle han få tillbaka mer än vad han betalade (eftersom han fick ett fler mynt i växel).
-Han kunde betala med valutorna på 15 och 50 dollar, och få bara 1 dollar-mynt tillbaka, men då skulle svärdet kosta åtminstone 13 dollar.
-Signifikant fall I. Han kunde betala med valutorna på 1 och 50 dollar, och få bara 15 dollar-mynt tillbaka.
-Han kunde betala med 1 dollar-mynt, och få bara 15 och 50 dollar-mynt tillbaka, men då skulle han få tillbaka mycket mer än vad han betalade.
-Han kunde betala med 50 dollar-mynt, och få bara 1 och 15 dollar-mynt tillbaka, men då skulle svärdet kosta åtminstone 20 dollar.
-Signifikant fall II. Han kunde betala med 15 dollar-mynt, och få bara 1 och 50 dollar-mynt tillbaka.

Om det är signifikant fall I, antag att han betalade a stycken 1 dollar-mynt och b stycken 50 dollar-mynt. Då fick han a+b+1 stycken 15-dollar mynt tillbaka. Då kan vi uttrycka priset:

a*1+b*50-(a+b+1)*15=priset

a*1+b*50-a*15-b*15-15=priset

b*35-a*14=priset+15

Notera att vänsterledet är delbart med 7, så högerledet måste vara det också. Så det minsta talet högerledet kan vara är 21, alltså är minsta priset i det här fallet 6 Hello Kitty dollar!

Om det är det signifikanta fallet II får vi i princip samma ekvation om vi antar att spelaren fick tillbaka a stycken 1 dollat-mynt och b stycken 50 dollar-mynt (då betalade han a+b-1 stycken 15 dollar-mynt). Även där blir minsta svaret 6 dollar.

Så 6 Hello Kitty dollar är det minsta svärdet kunde kosta! Det kunde ske genom att spelaren betalade 50 dollar och 1 dollar och fick tillbaka tre mynt värda 15 dollar var.

Lösning 2

Lösning 1 ger en idé till en annan lösning. Idén handlar om att delbarhet med 7 är intressant. Talen 1, 15 och 50 ger alla nämligen rest 1 vid division med 7.

Så om vi kollar hur mycket det blir kvar när vi tar bort så mycket sjuor som möjligt både från betalningen och växeln, så blir resten alltid 1 större för växeln (eller om betalningen hade rest 6 vid division med 7 kommer växeln att inte ge någon rest alls).

Svärdet ska kompensera för den skillnaden. Eftersom svärdets pris ska adderas till växeln för att få betalningen, måste priset ge rest 6 vid division med 7. Det minsta sådana talet är 6.

Adventspyssel 3


Myntpåsar

Lydia har två påsar och 100 mynt. Hon måste fördela alla mynten i påsarna så att en påse innehåller dubbelt så många mynt som den andra. Mynten får inte delas itu. Hur ska hon göra?

Visa svaret

Matteproblem för de yngre vecka 47


Mattegåta

I ett visst spel används mynt som är värda 1, 15 och 50 Hello Kitty-dollar. En spelare köpte ett svärd och fick i växel ett mynt fler än vad han betalade. Vilket är det minsta antalet dollar som svärdet kunde kosta?

Lösningen till problemet för de äldre vecka 44


Mattegåta

Martin samlar på ovanliga mynt. Mynten i hans samling alla har en diameter på högst 10 cm. Samlingen förvarar han i en låda som har storlek 30 cm x 70 cm (i ett lager, inga mynt ligger ens delvis ovanpå varandra).

Men nyss fick Martin ett nytt mynt med en diameter så stor som 25 cm. Visa att den nya samlingen får plats i en låda som är 55 cm x 55 cm stor (också nu i ett lager).

Diskussion

Uppgiften handlar lite om att optimera. Om vi har eventuell platsbrist i den nya lådan, så är det nog lite dumt att lägga det stora 25 cm x 25 cm-myntet i mitten utav den. Mycket smartare är det att lägga det i ett hörn.

Mynt kan även ligga på krångliga sätt, de är ju cirklar av olika storlekar. I varje mellanrum går det att stoppa in ett pyttelitet mynt till. Därför är det omöjligt att uppskatta antalet mynt och även hopplöst att försöka omplacera mynten för mycket.

Så gissningsvis ska mynten ligga ungefär som de gjorde i första lådan. Och det stora myntet ska ligga i ett hörn. Dessa två antaganden leder fram till lösningen nedan.

Lösning (av Benjamin Fayyazuddin-Ljungberg)

Rita ett rött streck 15 cm in på Martins ursprungliga låda, så att den delas in i två delar av storlek 30cm*55cm och 30cm*15 cm. Rita ett parallellt blått streck, 10 cm längre in än det röda, så att vi får två delar av storlek 30cm*45cm och 30cm*25cm.

Dela in lådan två (överlappande) rutor, ett som begränsas uppifrån av överkanten på lådan och nedifrån av det blåa strecket (storlek 30cm*25cm), och ett som begränsas uppifrån av det röda strecket och nedifrån av nederkanten på lådan (storlek 30cm*55cm).

Eftersom mynten högst har diameter 10 cm kan det inte finnas något mynt sådant att det röda strecket och det blåa strecket båda passerar genom det. Därför kan vi säga att varje mynt tillhör den rutan som helt innefattar det myntet. Alla mynt tillhör då någon ruta, och får plats i den. Det kan finnas mynt som hamnar i båda rutorna, då kan man godtyckligt välja vilken ruta de ska tillhöra.

Nu flyttar vi runt rutorna, med alla tillhörande mynt, och placerar dem i Martins nya låda. Vi ser då att vi får plats med en gul ruta i hörnet med storlek 25cm*25 cm. Alltså får det nya myntet plats också.

Matteproblem för de äldre vecka 44


Mattegåta

Martin samlar på ovanliga mynt. Mynten i hans samling alla har en diameter på högst 10 cm. Samlingen förvarar han i en låda som har storlek 30 cm x 70 cm (i ett lager, inga mynt ligger ens delvis ovanpå varandra).

Men nyss fick Martin ett nytt mynt med en diameter så stor som 25 cm. Visa att den nya samlingen får plats i en låda som är 55 cm x 55 cm stor (också nu i ett lager).

Ett falskt mynt

Rekommenderad från: 13 år


Du har hittat en skatt som består av 6 stycken antika mynt. I skattkistan låg en lapp som berättade om att ett av mynten är falskt. Det väger inte lika mycket som de riktiga mynten (de riktiga mynten väger lika mycket). Men det stod inte ifall det vägde mer eller mindre än ett riktigt mynt.

skattkista

Till ditt förfogande har du en vanlig våg. Den visar summan av vikten på alla mynt som du lägger på vågen vid ett tillfälle.

Hur kan du bestämma det falska myntet genom tre sådana vägningar?

Visa lösningen