Att sätta händerna i degen

I den stora boken “Algebra” av Grillet liknar författaren viss matematikinlärning med att knåda deg. Att lära sig vissa saker går bara om man själv försöker härleda eller använda dem. Till exempel matrisräkning kan man inte utantill om man inte multiplicerat en enda matris.

Jag håller fullt med om detta. Var själv väldigt priviligerad om att gå i den hårda ryska skolan och räkna 20 polynom, ekvationer och uttryck om dagen. Samma sak med multiplikation och division i de tidigare skolåren. Detta kommer till en användning i vardagen, då jag inte alltid har dator/miniräknare med mig, men oftast tillgång till papper & penna eller tavla & krita. 

Jaja, det är kanske ingen som bryr sig om att kunna räkna fort nuförtiden, varken tal eller andragradsekvationer, men människor vill kunna göra det (utan miniräknare). Speciellt studenter. Och enda vägen att lära sig är hårda vägen. 

Vad är bästa sättet att få eleverna att göra 20 ganska likadana uppgifter?

Om motivationen är “klara provet” eller “klara tentan” är det plötsligt en väldigt tråkig sak för dem att göra, för att man “måste”. Det sättet som gjorde det roligt för mig i lågstadiet i alla fall var att jag tävlade mot min bänkkamrat. Oavsett om det var rysk grammatik eller matte, så tävlade vi om vem som gjorde uppgifterna snabbast på lektionen. Långt ifrån alla är tävlingsinriktade förstås och alla har olika tempo. Dessutom var det inte läraren som gjorde det roligt för oss, utan det var vi själva.

Som lärare har jag inte vågat säga åt eleverna att utföra det här repetativa uppdraget. Det har Thomas Erlandsson däremot gjort till mina nya elever och jag kan säga att det funkar hur bra som helst. Han sa åt dem att räkna ett hundratal uppgifter från boken och det gör de också. När allt kommer omkring, är inte uppgifterna så djävulkst tråkiga.

När det gäller matriser och linjära avbildningar, så har jag gjort en stencil som börjar enkelt och testar färdigheter, men sedan blir allt svårare. Jag delade ut den på lektion 9 i kursen “Linjär algebra och geometri I” och man fick sitta med var sin stencil och komma så långt man kunde. Notera att samtidigt som att man gör standarduträkningar, smyger ovanliga uppgifter in och de får upptäcka lite matematik själva. Jag kan stolt skryta om att eleverna inte märkte när lektionstiden var ute, för de var så inne i stencilen. Här är den och stort tack går till min vän Djalal, som fixade kaninbilderna. (Bäst är att läsa den i utskriven version för sidorna på slutet är bilder som hör till tidiga uppgifter.)

Har ni några tips på att göra tråkig räkning rolig?

Kvadratuppdelning

Rekommenderad från: 12 år

Visa att en kvadrat kan delas upp i n stycken mindre kvadrater för alla n>5. Med “att dela upp” menas att vi klipper en kvadrat så att alla erhållna delar också är kvadrater och det blir inga bitar över.

Visa lösning och förklaring

Induktion (matematisk sådan)

Från Wikipedia: Låt P(n) vara ett påstående som har att göra med ett positivt heltal n, och antag att följande påståenden är sanna:

  • P(1) är sant.
  • \forall p \in \mathbb{N}:P(p) \Rightarrow P(p+1).

Då är påståendet P(n) sant för varje val av det positiva heltalet n.

Lätt som en plätt, eller?

Alla tycker induktion är svårt

Alla som någonsin har varit lärare i grundläggande matematikkurser på universitet har stött på svårigheter inom ett specifikt avsnitt: induktion. Det har skrivits många kompendieinlägg och artiklar i ämnet, det går att hitta massvis med förklaringar och exempel, men ändå har så många så svårt för det. Varje år är det kanske 30 elever man har och 29 av dem har svårigheter med induktion.

Nyligen fick jag ett mail som bad om hjälp med en induktionsuppgift. Problemet för personen var att det inte var en standarduppgift (som handlar om summor, vänsterled=högerled, etc.), och fattar man inte induktionsprincipen då, så är man fast.

Vad induktion inte är

För att börja kasta lite ljus över ämnet, kan jag berätta om vad induktion inte är.

1. Det är inte en metod. Det påminner om en metod väldigt mycket, “stoppa in basvärden här”, “skriv induktionsantagandet där”, “härled induktionssteget mha induktionsantagandet”. Jag tror det är det som förklaringen av induktionsprincipen faller på. Den förklaras  mycket formellt, precis som en metod, och därför också uppfattas som sådan. Finns alltså inget sätt att lösa allmännt induktionsproblem!

2. Det är absolut inte en formel. Om man bara har sett summationsuppgifter, säg “Visa att summan av de första n positiva heltalen är n(n+1)/2” och liknande, tror man kanske att induktionspincipen är en slags formel. Man stoppar in lite summor här och var och blir det likhet, så är man klar. Så är det på sätt och vis med summationsuppgifter, dock faller inte alla de ut lika lätt som exemplet jag tog upp.

3. Det är inte en sats, en teori, en bok, en tupp osv.

Var är det då? Induktionen är en princip, ett axiom och så önskas. Det betyder att det är någonting som vi människor (matematiskt lagda) tycker borde gälla. Det är någonting som följer logikens lagar. Till exempel “äpplet faller inte långt från trädet” är ett av naturens lagar och det är lite konstigt att titta på det som en metod för beräkning av äpplenas banor. Ett mer matematiskt exempel är “Om det finns en linje i planet och en punkt utanför linjen, så kan man bara rita en linje genom punkten som är parallell med den första, ändrar man något så kommer första linjen korsas”. Det är ju ganska naturligt att det är så, men det är fortfarande varken metod eller formel.

Hur jag lärde mig induktion

Det skedde relativt tidigt, då jag ännu inte fattade mig på summationstecknet, vilket nog hjälpte för att förstår principen bra (kanske det som är lösningen, lära ut summa efter att man lär ut induktion på grundläggande algebra-kursen?). Jag fick några problem på fritiden, så jag försökte klura ut hur man löste dem. Men det är väldigt svårt att komma på principen själv, så jag lyckades inte först. Sen när man förstår principen så säger det “klick” och sådana problem löses på bara några minuter.

Och hur förstår man principen då? Jo, genom exempel! Exempel från matten eller vardagen spelar ingen roll. Vitsen är att när någon berättar att man visar någonting att börja med (bas) och sedan visar att “varje leder till nästa” (induktionssteg), så är det klart att det följer för alla. “Självklart måste det vara så!”, säger man då, och då har man förstått. Nästa svåra steget är att översätta lösningar till matematikspråket. Just “översätta”, eftersom mitt största råd är att lösa varje uppgift med ord först, så gott det går, och bara sedan försöka formalisera. Till att börja med: glöm bort vad induktion är och försök lösa de här, så återkommer jag med utförliga exempellösningar.

Att använda olika färger

Jag har precis haft föreläsningar med en ny lektor, och hans tavelteknik var fascinerande! Förutom att han talade tydligt och klart, förklarade långsamt och bra, tittade mot klassen och aldrig drog över tiden, så var han en mästare på att använda färger!

Tänk er en vanlig grön/svart tavla som man skriver med vit krita på.  Efter ett tag blir det rätt så monotont, för att inte tala om plottriga bilder. Man ursäktar sig och försöker flitigt förtydliga vilka sakerna på grafen eller bilden är genom att rita massa små pilar med förklaringar. Eleverna försöker desperat kopiera från tavlan och det uppstår frågor om var “x” egentligen är på bilden ;)

Inte gör Warwick (föreläsaren) så inte. Han använder framför allt vit, gul och röd krita. Skriver två rader (en mening till exempel) med vitt, men sedan kommer en ekvation, den skriver han då med gult! Nästa rad är omvandling av den första ekvationen, de hänger ihop, så den andra ekvationen skriver han också med gult. Dags att växla tillbaks till vitt. Nu kanske de behövs en liten anmärkning, den skrivs med små bokstäver och rött. Allt detta flyter på utan avbrott! Han har alla tre kritorna i handen hela tiden (hmm, kanske till och med fler färger) och växlar snabbt och naturligt.

Det som står på tavlan blir 50% roligare och 94% tydligare att läsa, man vet nu vad som händer ihop med vad! Man livas upp och blir glad av den gula färger och börjar nästan tycka mer om ekvationer än ord.

För att inte tala om vad man kan göra med grafer/bilder/diagram! Använda en ny färg för varje ny typ av grej på bilden är en bra tumregel.

På måndag blir det besök i kritskåpet!

Underhållningsvärdet av en lektion

Några av mina andra lektioner i Linjär Algebra II gick inte lika bra som den första. Ett litet tag in på lektionen märkte jag att eleverna tyckte att det jag pratat om var för svårt, för tråkigt eller kanske för lätt – de började gäspa. Vänder man sig mot klassen med jämna mellanrum kan man lätt märka ifall de följer med och lyssnar eller om de tänker på annat. Är de inte inne i vad jag säger så snackar de kanske med grannen eller halvsover.

Vad gör man då? Nervositeten stiger, rösten darrar, man försökte skämta för att liva upp dem lite, vilket inte brukar gå så bra. Inte ens färgglada vektorer på tavlan hjälper. Då skulle det varit bäst att avbryta med en uppgift så de själva får jobba, men det är inte säkert att de kommer göra det, de är ju för oinspirerade och uttråkade.

I andra grupper går lektionen bra allra från början, är det en del som lyssnar uppmärksamt, så sprids den inställningen i hela gruppen. Alla mina skämt går hem och blir uppskattade (ok, åtminstone några)! Efter genomgången tar något trötta elever rast och nästa timme arbetar flitigt på egen hand.

Jag tänkte att detta berodde på något sämre förberedda lektionerna i första fallet, kanske de olika uppläggen av kursen för de olika grupperna. Kanske berodde detta på elevernas bakgrunder eller matematikkunskaper.

Men nu ser jag att just hur underhållande lektionen blir, hur kul eleverna har, beror på gruppsammanhållningen. Har ni märkt att de duktiga eleverna ofta är minst två och de sitter bredvid varandra?  Det är svårt att komma på alla frågor och funderingar på egen hand. Har ni märkt att eleverna har det roligare på rasterna om det finns bra gruppsammanhållning? Senaste lektionen kallade mina elever varandra för “linjärt beroende” och drog massvis med matteordvitsar :D Yeah!

Intresset för saker de lär sig spelar också stor roll förstås. Därför är målet för en lärare att från dag ett fixa:

1. Gruppsammanhållning genom en gemensam uppgift eller stor diskussion där alla verkligen är involverade (behöver inte handla om matte).

2. Intresset för kursen. Dra några problem eller exempel relevanta för elevgruppen eller människor i allmänhet.

Finns det dumma frågor?

Man hör jämt vissa lärare säga “det finns inga dumma frågor”. Man hör också ofta sina kursare eller klasskompisar klaga på någon störig typ, som “alltid ställer korkade frågor”. Så vilket är det som gäller?

Själva frågan som ställs är svår att döma i sig, speciellt tagen ur sammanhanget. “Är 2+2=4?” betraktas inte som en jättesmart fråga på mellanstadiet, på universitet/högskolan kan den däremot vara djupt filosofisk utan något kort svar. “Varför kommer det ut ånga ur vattenkokaren?” är en smart fråga för ett litet barn, men lite dum för en fysiker/kemist.

Det vi egentligen dömer är tänket bakom frågan, hur resonerade personen innan han eller hon ställde frågan, resonerades det överhuvudtaget? Om vi själva tror att personen inte tänkte efter, samtidigt som vi gjorde det, så stämplar vi personen som “dum”. Felaktigheten här ligger i att själva frågeställningen är en tanke, om personen inte tänkte efter och ställde en fråga, så tänkte personen bara högt. Vilket i civiliserad kultur betraktas konstigt eller dumt.

Vad är då en smart fråga? Frågor som uppfattas som smarta av läraren och andra elever är sådana som ingen annan tänkte på. Frågan är då ett bevis på att eleven förstått, tänkt efter och tänkt längre. Men så är det inte alltid, säg att läraren glömde att ta upp något trivialt specialfall av ett problem. När eleven påpekar felet handlar det om uppmärksamhet plus lite grundlig förståelse.

Som sagt, att ställa en fråga, tyst eller högt, är att tänka på det man ser eller hör. Innan dess bearbetas informationen och egna slutsatser dras. Och att tänka själv, är inte det att vara smart? Jag håller fast vid att det inte finns dumma frågor, men det finns mängder med opassande tillfällen att ställa en viss specifik fråga.

Ett sätt att lösa det som lärare är följande. Ge eleverna något att tänka på, gärna något klurigt, där man är osäker på svaret. Låt dem tänka självständigt i ett par minuter, be dem att eventuellt skriva ner sina funderingar. Detta ger garanti på att de verkligen tänkt efter och inte kommer ställa spontan fråga, som är störig för andra. Låt de sedan prata med grannen, diskutera slutsatser och jämföra funderingar. De flesta “uppenbara” frågor efter det kommer redan att vara besvarade av eleverna själva, om inte lärarens förklaringar var bristande. Då kan man starta större diskussioner, kanske hela klassen. De blyga personerna kommer vara säkra på relevansen av sin fråga, för det har de fått bekräftade av en kamrat, och spontana personer kommer att ha djupare frågor.

Frågor på det?

Första lektionen

Lektionerna nummer ett är nu avklarade! 

Det är alltid lite mer nervöst att ha lektion i en ny kurs för första gången, än med en ny grupp, men nu hände båda sakerna på en gång.  Sedan var det en ny grupp tre gången till :).  Varje gång gick jag igenom teoristoffet på lite olika sätt, med så många frågor som möjligt riktade till studenterna.

– Vad är ett vektorrum?

– Är linjen y=3 ett underrum till R^2?

– Hur beskriver man världen vi lever i (rummet) för en alien?

alien

Man får då notera att alienet är kanske två-dimensionellt och lever i sin egen värld. Även om situtationen bryter mot fysikens alla lagar så förstår  ju eleverna frågan. Då säger jag att alla bra svar på den här frågan är samma sak som en bas. En bas beskriver ett vektorrum på ett optimalt sätt, inte mer än så. Jag tror att det där med matematik anknyts till verkligen bäst med hjälp av aliens, ska försöka använda dem oftare.

I allmänhet är den första lektionen väldigt viktig. Det är då man fixar alla inställningarna på programmet som körs. Å ena sidan skall studenterna bilda en ungefärlig uppfattning om vad som väntar dem varje lektion, å andra sidan skall de inte bli uttråkade. Man vill rycka med dem, så det blir en bra start! Det är alltid bra när man är aktiv från början och ställer frågor.

Det där med frågor brukar min kompis, som undervisar i Stockholm, ta upp på sina första lektioner. Han berättar då om ett visst psykologiexperiment som genomfördes på någon högskola. Eleverna kom överens om att lyssna noga på läraren när han befann sig i högra halvan av klassrummet och titta lite slött i sina böcker när han befann sig i den vänstra. Läraren gick runt och pratade och allt eftersom började bara befinna sig i högra halvan av klassrummet. Då gjorde eleverna samma sak igen: kollade upp i högra fjärdedelen av klassrummet och tittade ner när läraren var någon annanstans. Utan att tänka på saken befann sig läraren så småningom i högra fjärdedelen av klassrummet. Experimentet fortsatte så … Till slut stod läraren i dörren och pratade till studenterna därifrån, som då förstås lyssnade väligt nogrannt :).

Sensmoralen är då att vi vill våra studenter känna att de har makt, men också ansvar, över sin egen utbildning. Finns det självförtroendet är det både lättare för dem och för oss att genomföra bra lektioner.

Vektorrum

Vad är det? Ett rum där vektorerna bor, såklart! Vill man veta vad som försigår där, så kan man lyssna på låten Tänk om jag vore en skalärprodukt.

Men om man ska vara matematiskt petig, så är vektorrum en mängd med vektorer, där diverse räknelagar för dem är uppfyllda.  Vi kan tänka på vektorer som förflyttningar: det viktigaste är inte var vi startar utan hur långt vi har förflyttat oss och åt vilket håll. 

Låt oss säga att vi startar i origo i vårt vektorrum. Vi försöker förflytta oss med hjälp av alla möjliga vektorer tillgängliga.  Som till exempel en enkel robot som vi styr genom en labyrint,  den kan bara få instruktioner “ett steg åt höger”, “ett steg åt vänster”, “ett steg uppåt”, “ett steg neråt”. På samma sätt får vi instruktionerna ur mängden av vektorer, varje vektor är en instruktion till oss.  Axiomen säger då att vi på så sätt inte ska kunna hoppa ur vektorrummet helt plötsligt om vi går med hjälp av instruktionerna.

Det finns dock extra saker som vi kan göra. Vi får nämligen själva bestämma hur långt vi kan gå åt varje håll som ges åt oss. Säg till exempel, att vi får vektorn som pekar “diagonalt-uppåt-höger”. Då kan vi gå jättelångt diagonalt, men också jättekort. T.ex. ett pyttelitet steg diagonalt, eller till och med inget steg alls.

Nu kan vi till och med formulera vad det betyder att vektorer spänner upp nånting. Vektorerna spänner upp ett underrum (en del av ett vektorrum) som består av alla punkter vi kan komma fram till om vi startar i origo (med hjälp av instruktioner från föregående stycken). T.ex. robotvektorerna spänner upp en hel labyrint, för att roboten kan komma fram överallt (om det är en snäll labyrint).

W2B, IT2A, IT2B, KandMa1

Hittils har lätt förvirring rått angående mina grupper. Nu har jag till slut förstått att W2B (miljö- och vattenteknik-programmet, årskurs 2, grupp B) och KandMa1 (kandidatprogrammet i matematik) har en gemensam föreläsare (min handledare Walter Mazorchuk), och IT-ingenjörerna har en annan (Thomas Erlandsson). Dessutom går tekniska fysiker med första gruppen och “system i teknik och samhälle”-nissarna går med den andra.

Varför har man grupperat dem så? På något sätt måste det ju göras för klassrumskapaciteten är inte godtyckligt stor. Tekniska fysiker och matematiker brukar dessutom gå rätt många genemsamma kurser, så det är naturligt för dem att fortsätta. Hur som helst, jag är nöjd med 2-2-fördelningen och med olika program i den första gruppen och samma i andra. Variationen är alltså garanterad.

Föreläsarna har nämligen bestämt sig för olika kursböcker till samma kurs. Det finns en standardbok, som är oficiell kurslitteratur (skriven av Anton och Rorres), alla har den som rekommenderad litteratur. Den boken tyckte jag till en början om, den var bra för att vara en linjär algebra-bok. Sedan började jag läsa i den för mina lektionsförberedelser och den var trååååååkig. Det gick att läsa en stund, visst, det kom definitioner och exempel som vanligt, men jag tyckte de valde tråkiga sätt att förklara saker på och rätt tråkiga beskrivningar på tillämpningar. Vissa var lyckade, men man stötte på tråk i varje kapitel i alla fall. 

Den andra boken, som Walter valde, är “Boken med kossan på”. Den finns tillgänglig på nätet, så alla kan skriva ut den förhoppningsvis. Vad jag kollat verkar den okej, men tydligen finns det inte så många bra uppgifter. Frågan är var det går att hitta passande intressanta roliga nyttiga uppgifter till kursen Linjär algebra II? Google, here I come!

Linjär algebra

Nästa vecka börjar jag undervisa på kursen “Linjär algebra II” för fyra olika studentgrupper. Det är alltså stor risk för förvirring, man vill å ena sidan inte missa att säga något viktigt till någon grupp och å andra sidan vill man variera sina lektioner. Så här strax innan kursen börjar är det alltså dags att fundera på ämnet och hur man kan framföra det.

Hur ser jag på linjär algebra?

Första bilden som dyker upp i huvudet är ett par linjer i rymden som korsas. Senare ploppar matriser upp i tankegångarna, de fylls med siffror och sedan börjar beräkningarna, då och då flyger bilder på parallellogram förbi. Ja, helt enkelt drar jag slutsatsen att det är blandning utav algebra och geometri.

Varför är det så bra då, varför just blandning av algebra och geometri?

När jag gick i ryska skolan som liten hade vi ämnet matematik förstås redan från och med ettan på lågstadiet. Vi fick lära oss flera räknesätt, lite om figurer och sedan också om ekvationer. Men i sjuan kom uppdelningen i två nya ämnen! Det ena var algebra och den andra var geometri. Algebran var lite som fortsättning på vanliga matten, man räknade på, fast med bokstäver. Geometrin var snarare en ursäkt för att lära oss axiomatiskt tänkande. Hur som helst såg vi på geometrin som läran om figurer. På universitetet slår vi då ihop allt till ett enda ämne, det universiella matteämnet linjär algebra. Det är nu vanlig räkning, fast med linjer(!), vanliga figurer, fast i 3D, och framför allt är det en ursäkt för att introducera axiomatiskt tänkande!

Linjär algebra är så pass närvarande i metoder och datorprogram, så det går inte att undvika som blivande civilingenjör. Samma gäller matematiker och fysiker, linjär algebra är för dem ett sätt att hantera verkligheten. Och även för mig, som är en ren algebraiker, reduceras forskningen till slut alltid till linjär algebra-uppgifter.